高中数学专题01解密命题充分必要性之含参问题特色训练新人教A版选修1_18

第04讲充分条件与必要条件模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3．培养逻辑思维能力，能够在复杂情况下运用充分条件与必要条件进行推理，解决数学问题.知识点1充分条件与必要条件1、命题（1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．（2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．2、充分条件与必要条件（1）一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出结论q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．（2）如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ¿.这时，我们就说，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．（3）充分条件与必要条件的关系p 是q 的充分条件反映了p q ⇒，而q 是p 的必要条件也反映了p q ⇒，所以p 是q 的充分条件与q 是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．而p 是q 的充分条件只反映了p q ⇒，与q 能否推出p 没有任何关系．3、充要条件（1）充要条件的概念：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔．此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．（2）充要条件的含义：若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同．（3）充要条件的等价说法：p 是q 的充要条件又常说成是q 成立当且仅当p 成立，或p 与q 等价．4、充分条件与必要条件的传递性（1）若p 是q 的充分条件，q 是s 的充分条件，即p q ⇒，q s ⇒，则有p s ⇒，即p 是s 的充分条件；（2）若p 是q 的必要条件，q 是s 的必要条件，即q p ⇒，s q ⇒，则有s p ⇒，即p 是s 的必要条件；（3）若p 是q 的充要条件，q 是s 的充要条件，即p q ⇔，q s ⇔，则有p s ⇔，即p 是s 的充要条件．5、条件关系判定的常用结论p 与q 的关系结论p q ⇒，但q p ¿p 是q 的充分不必要条件q p ⇒，但p q ¿p 是q 的必要不充分条件p q ⇒且q p ⇒，即p q ⇔p 是q 的充要条件p q ¿且q p¿p 是q 的既不充分也不必要条件知识点2从不同角度理解充分必要性1、从命题的角度充分理解充分必要性若把原命题中的条件和结论分别记作p 和q ，则原命题与逆命题同p 与q 之间有如下关系:（1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若原命题和逆命题都是真命题，则p 和q 互为充要条件；（4）若原命题和逆命题都是假命题,则p 是q 的既不充分也不必要条件.2、从集合的角度理解充分必要性若条件p ，q 以集合的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则由A ⊆B 可得，p 是q 的充分条件，（1）若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；（3）若AB ，则p 是q 的必要不充分条件；（4）若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；（5）若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；知识点3充分、必要、充要条件的证明1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。

高中数学专题复习《充分条件与必要条件》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．若α∈R,则“α=0”是“sin α<cos α”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2020年高考浙江卷（文））2．“1<x<2”是“x<2”成立的______ （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2020年高考湖南（文））3．“α、β、γ成等差数列”是“等式sin(α+γ)=sin2β成立”的( ) A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件(2020陕西文)4．设p ：x 2－x －20>0,q ：212--x x <0,则p 是q 的（ A ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件(2020山东理)5．对于数列｛a n ｝，“a n +1＞∣a n ∣（n=1，2…）”是“｛a n ｝为递增数列”的【B 】(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件[来源:学+科+网] (C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（2020陕西理)6．记实数1x ，2x ，……n x 中的最大数为max {}12,,......n x x x ，最小数为min {}12,,......n x x x 。

已知ABC 的三边长位a,b,c （a b c ≤≤），定义它的亲倾斜度为max ,,.min ,,,a b c a b c l b c a b c a ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则“l =1”是“∆ABC 为等边三角形”的（ ）A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（2020湖北理10）7．若不等式||1x m -<成立的充分非必要条件为1132x <<，则实数m 的取值范围是 ---------------（ ）A.41[,]32- B.14[,]23- C.1(,]2-∞- D.4[,)3+∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题8． “m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．解析：∵x 2＋x ＋m ＝0有实数解，∴m ＝－x 2－x ，令f (x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14， ∴f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，14， ∴x 2＋x ＋m ＝0有实数解时，m ≤14，∴m <14是x 2＋x ＋m ＝0有实数解的充分非必要条件．9．若p 是q 的充分条件，则p ⌝是q ⌝的 条件（填“充分必要”、“ 充分不必要”、“ 必要不充分”或“既不充分也不必要”）．10．“1x >”是“2x x >”的 ▲ 条件．11．已知命题:|23|1p x ->，命题:lg(2)0q x -<，则命题p 是命题q 的 条件12．方程0122=++x ax 至少有一个负的实根的充要条件是13．命题:20,01;p m n -<<<<命题:q 关于x 的方程20x mx n ++=有两个小于1的正根，则p 是q 的 条件。

为
.
(2)直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件
是
.
解析(1)由x2<1解得-1<x<1,而{x|0<x<1}⫋{x|-1<x<1},{x|-
1<x<0}⫋{x|-1<x<1},所以0<x<1和-1<x<0都可作为x2<1的一个充分
不必要条件;
又因为{x|-1<x<1}⫋{x|x<1},{x|-1<x<1}⫋{x|x>-1},所以x<1和x>-1
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1.若A是B的充分不必要条件,则A⇒B,但B A; 若A是B的必要不充分条件,则B⇒A,但A B; 若A是B的充要条件,则A⇒B,B⇒A. 2.若A的充分不必要条件是B,则B⇒A,但A B; 若A的必要不充分条件是B,则A⇒B,但B A; 若A的充要条件是B,则A⇒B,B⇒A.
变量 x 的范围应该比 x≥3 或 x≤-12对应的范围小一些,而
{-1,3,5}⫋
x
x
≥
3
或
x
≤
-
1 2
,故选 C.
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习题课——充分条件与必要条 件的综合应用
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一、选择题1．设x ∈R ，则x >2的一个必要不充分条件是( ) A ．x >1 B ．x <1 C ．x >3 D ．x <3[答案] A[解析] 首先要分清“条件p ”(此题中是选项A 或B 或C 或D)和“结论q ”(此题中是“x >2”)，p 是q 的必要不充分条件，即p 不能推出q 且q ⇒p ，显然只有A 满足．2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( )）A ．若1x ＝1y ，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2[答案] A[解析] B 项中，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1；C 项中，当x ＝y <0时，x ，y 无意义；D 项中，当x <y <0⇒x 2>y 2，所以B ，C ，D 中p 不是q 的充分条件．3．α≠π2是sin α≠1的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A][解析] α≠π2⇒/ sin α≠1，sin α≠1⇒α≠π2，故选A ．4．(2015·天津文)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由|x －2|<1得－1<x －2<1即1<x <3， 则1<x <2⇒1<x <3，反之不成立，故选A ．5．“a ＝－2”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋y －2＝0与直线l 2：ax ＋(2a ＋2)y ＋1＝0互直垂直”的( ) $A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由l1⊥l2，得a(a＋1)＋2a＋2＝0，解得a＝－1或a＝－2，故选A．6．(2015·甘肃省金昌市二中期中)a、b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件.[答案]B[解析]∵f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)＝x2a·b＋x(|b|2－|a|2)－a·b，当f(x)为一次函数时，a·b ＝0且|b|2－|a|2≠0，∴a⊥b；当a⊥b时，f(x)未必是一次函数，因为此时可能有|a|＝|b|，故选B．二、填空题7．已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的________条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)[答案]充分不必要[解析]x＝3⇒x2＝9，x2＝9⇒/ x＝3，故p是q的充分不必要条件．8．已知a、b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．@[答案]充要[解析]a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，故填充要．9．命题p：sinα＝sinβ，命题q：α＝β，则p是q的________条件．[答案]必要不充分[解析]sinα＝sinβ⇒/ α＝β，α＝β⇒sinα＝sinβ，故填必要不充分．三、解答题10．下列各题中，p是q的什么条件(1)p：x＝1；q：x－1＝x－1；}(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5；(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．[解析](1)充分不必要条件当x＝1时，x－1＝x－1成立；当x－1＝x－1时，x＝1或x＝2.(2)充要条件∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5.](3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．一、选择题1．(2015·北京理)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α，“m ∥β”是“α∥β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B 《[解析] 由面面平行的判定定理可知，由m ∥β⇒/ α∥β，故充分性不成立；而α∥β⇒m∥β，必要性成立．2．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由函数f (x )＝x 2－4a ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，得2a ≤2，即a ≤1，故选B ． 3．一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A ．m >1，n <－1B ．mn <0 ；C ．m >0，n <0D ．m <0，n <0[答案] B[解析] 先找出原条件的等价条件，因为此一次函数过第一、三、四象限，所以⎩⎨⎧－mn >01n <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0.从而A ，B ，C ，D 中只有B 满足题意． 4.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充分条件也是必要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件([答案] A[解析] ∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲． 又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件， ∴丙⇒乙，但乙不能推出丙．综上有丙⇒乙⇒甲，但乙不能推出丙，故有丙⇒甲，但甲不能推出丙， 即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 二、填空题5．下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中，可以是x 2<1的一个充分条件的所有序号为________. @[答案] ②③④[解析] 由于x 2<1，即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②、③、④满足题意． 6．已知p ：2x ＋m >0，q ：x 2－4x >0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________. [答案] m ≤－8[解析] p ：x >－m2，q ：x <0或x >4，由条件知p ⇒q ， ∴－m2≥4，∴m ≤－8. 三、解答题7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件. (用“充分条件”或“必要条件”作答):(1)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，p ：x 1x 2＝y 1y 2，q ：a ∥b ；(2)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝－y ；(3)p ：直线l 与平面α内两条平行直线垂直，q ：直线l 与平面α垂直；(4)f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，p ：f (x )，g (x )均为偶函数，q ：h (x )为偶函数．[解析] (1)由向量平行公式可知：p ⇒q ，但当b ＝0时，a ∥b 不能推出x 1x 2＝y 1y 2，即q 不能推出p ，∴p 是q 的充分条件．(2)∵|x |＝|y |⇒x ＝±y ，∴p 不能推出q ，但q ⇒p ，—∴p 是q 的必要条件．(3)由线面垂直的判定定理可知：p 不能推出q ，但由线面垂直的定义可知：q ⇒p ，∴p是q的必要条件．(4)若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，∴p⇒q，但q 不能推出p，∴p是q的充分条件．8.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.[解析](1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根，设x2＋mx＋1＝0的两根为x1、x2，由韦达定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同号，又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2同为负根．(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1·x2＝1，需Δ＝m2－4≥0且x1＋x2＝－m<0，即m≥2.综上可知，命题成立．。