数学人教版A必修1同步训练：2.2.2对数函数及其性质第1课时(附答案)

2.2.2 对数函数及其性质 第一课时
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A ．y ＝x 2和y ＝(x)2
B ．|y|＝|x|和y 3＝x 3
C ．y ＝log a x 2
和y ＝2log a x
D ．y ＝x 和y ＝log a a x
2．函数f(x)＝|log 3x|的图象是( )
3．如果函数f(x)＝(3－a)x
，g(x)＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是__________． 4．求下列函数的定义域． (1)y ＝log 2(x ＋1)；
(2)y ＝log 31
1－3x
.
课堂巩固
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是 ( )
A ．y ＝3x ＋2
B ．y ＝lgx ＋1
C ．y ＝x 2
＋1 D ．y ＝1x
2．(2009浙江嘉兴一中一模，文8)函数y ＝e |lnx|
－|x －1|的图象大致是( )
3．函数y ＝log 2x 的定义域是( )
A ．(0,1]
B ．(0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞) 4．(2008湖南高考，文6)下面不等式成立的是 … ( )
A ．log 32<log 23<log 25
B ．log 32<log 25<log 23
C ．log 23<log 32<log 25
D ．log 23<log 25<log 32
5．(2008安徽高考，理2)集合A ＝{y∈R |y ＝lgx ，x>1}，B ＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是
( )
A ．A∩B＝{－2，－1}
B ．(∁R A)∪B＝(－∞，0)
C ．A∪B＝(0，＋∞)
D ．(∁R A)∩B＝{－2，－1}
6．函数y ＝2－x ＋log 3(1＋x)的定义域为__________．
7．函数y ＝log a (x －2)＋1(a ＞0且a≠1)恒过定点__________． 8．求下列函数的值域．
(1)y ＝log 2(x 2
＋4)；
(2)y ＝log 12
(3＋2x －x 2
)．
1．(2009浙江台州一模，理2)下列四个数中最大的是( )
A ．lg2
B ．lg 2
C ．(lg2)2
D ．lg(lg2) 2．函数y ＝lg|x|( )
A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
3．函数y ＝
log 1
2
(3x －2)的定义域是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(2
3
，＋∞)
C ．[23，1]
D ．(2
3
，1]
4．(2009福建厦门一中期末，文8)设a ＝π0.3
，b ＝log π3，c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是 …( )
A ．a>b>c
B ．a>c>b
C ．b>a>c
D ．b>c>a
5．若集合S ＝{y|y ＝(12
)x
－1，x∈R }，T ＝{y|y ＝log 2(x ＋1)，x>－1}，则S∩T 等于( )
A ．{0}
B ．{y|y≥0}
C ．S
D ．T
6．已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x>0，2x ，x≤0，若f(a)＝1
2，则a ＝__________.
7．(2008安徽高考，理13)函数f(x)＝
|x －2|－1
log 2(x －1)
的定义域为__________．
8．已知log 0.5(2m)<log 0.5(m ＋1)，求m 的取值范围．
9．已知函数f(x)＝log 2(2x
＋1)，求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增．
10．已知常数a>1，变数x 、y 有关系3log x a ＋log a x －log x y ＝3.
(1)若x ＝a t
(t≠0)，试以a 、t 表示y ；
(2)若t 在[1，＋∞)内变化时，y 有最小值8，求此时a 和x 的值各为多少？
答案与解析
2．2.2 对数函数及其性质
第一课时 课前预习
1．D 只有定义域相同且对应关系也相同的两个函数才是相等的函数．
2．A y ＝|log 3x|的图象是保留y ＝log 3x 的图象位于x 轴上半平面的部分(包括与x 轴的交点)，而把下半平面的部分沿x 轴翻折到上半平面而得到的．
3．(1,2) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<3－a<1，0<a<1或⎩
⎪⎨⎪⎧
3－a>1，a>1，解得1<a<2. 4．解：(1)要使函数有意义，必须x ＋1>0，x>－1，即该函数的定义域是(－1，＋∞)．
(2)要使函数有意义，必须11－3x >0,1－3x>0，x<13，即该函数的定义域是(－∞，1
3
)．
课堂巩固
1．D
2．D 当0<x≤1时，lnx≤0，y ＝e
|lnx|
－|x －1|＝1x
＋x －1；当x>1时，lnx>0，y ＝e
|lnx|
－|x －1|＝x －x ＋1＝1，易知D 成立．
3．D 由⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x≥0，
x>0，得x≥1.
4．A 由log 32<1<log 23<log 25，知选项A 正确． 5．D A ＝{y∈R |y>0}，∁R A ＝{y|y≤0}． 又B ＝{－2，－1,1,2}， ∴(∁R A)∩B＝{－2，－1}．
6．(－1,2] 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2－x≥0，
1＋x>0，得－1<x≤2，
即其定义域为(－1,2]．
7．(3,1) 若x －2＝1，则不论a 为何值，只要a ＞0且a≠1，都有y ＝1.
8．解：(1)y ＝log 2(x 2
＋4)的定义域为R . ∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2
＋4)≥log 24＝2.
∴y＝log 2(x 2
＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2
＋4≤4， ∵u>0，∴0<u≤4.
又y ＝log 1
2u 在(0，＋∞)上为减函数，
∴log 12u≥log 1
24＝－2.
∴y＝log 12
(3＋2x －x 2
)的值域为{y|y≥－2}．
课后检测
1．A 由0<lg2<1，lg 2＝1
2
lg2，lg(lg2)<0，可知lg2最大．
2．B 函数y ＝lg|x|是偶函数，其草图如下：
3．D 要使函数有意义，只需log 12(3x －2)≥0,0<3x－2≤1，解得2
3
<x≤1，
即该函数的定义域是(2
3，1]．
4．B ∵a＝π0.3
>1，b ＝log π3<1，c ＝1， ∴a>c>b.
5．C 由题意，得S ＝{y|y>－1}，T ＝{y|y∈R }，S∩T＝S.
6.－1或 2 令log 2a ＝1
2
，得a ＝2>0；
令2a
＝12
，得a ＝－1<0.均满足条件．
7．[3，＋∞) 由log 2(x －1)≠0，得x －1>0且x －1≠1，即x∈(1,2)∪(2，＋∞)； 由|x －2|－1≥0，得x∈(－∞，1]∪[3，＋∞)． 综上可知，x∈[3，＋∞)．
8．解：由题意，根据对数的性质，得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1>0，2m>m ＋1，
2m>0，
解得m>1.
所以m 的取值范围是(1，＋∞)．
9．证明：任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2， 则f(x 1)－f(x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)
＝log 22x 1＋12x 2＋1
，
∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋1<2x 2＋1.
∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，log 22x 1＋12x 2＋1<0，
即f(x 1)<f(x 2)．
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增．
点评：函数y ＝log a f(x)可看做是y ＝log a t 与t ＝f(x)两个简单函数复合而成的，则由复合函数的判断法则同增异减知：当a>1时，若t ＝f(x)为增函数，则y ＝log a f(x)为增函数；若f(x)为减函数，则y ＝log a f(x)为减函数；当0<a<1时，若t ＝f(x)为增函数，则y ＝log a f(x)为减函数；若t ＝f(x)为减函数，则y ＝log a f(x)为增函数．
10．解：(1)∵x＝a t
，
∴3loga t a ＋log a a t －loga t
y ＝3. ∴3t ＋t －1
t
log a y ＝3. 由log a y ＝t 2－3t ＋3，得y ＝at 2
－3t ＋3(t≠0)．
(2)由(1)知y ＝a(t －32)2＋3
4
，
∵t＝32∈[1，＋∞)，∴t＝32时，y min ＝a 34.
由a 34
＝8＝23
，得a ＝16.
此时，x ＝163
2＝64.。