pid控制倒立摆

PID控制倒立摆

前言

直线一级倒立摆，是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车的匀质长杆组成的非线性的、不稳定的系统。

本文主要讲了采用机理建模的方法得到一阶倒立摆的数学模型，并采用PID双闭环控制的方式来控制它，从而使其成为稳定的系统，并对整个过程进行了matlab仿真分析。

Abstract

First-order linear inverted pendulum is composed of a trolley, moved

along the linear guides, and a homogeneous pole, one end of which is fixed

at the car. However, this system is non-linear and unstable.

This article stresses the use of modeling approach to the mechanism of

first-order mathematical model of the inverted pendulum, and the use of

double-loop PID control to control it, making it a stable system, and the

whole process simulation analysis with MATLAB.

倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台．许多抽象的控制概念，如控制系统的稳定性、可控性、系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆系统直观地表现出来．除教学用途外，倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非性和强耦合等特性，使得许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象．他们不断从研究倒立摆控制方法中发掘出新的控制方法，并将其应用于航天科技和机器人学等高新科技领域．倒立摆系统是典型的机电一体化系统，其机械部分遵循牛顿的力学定律，其电气部分遵守电磁学的基本定理．因此，可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型， 1

通过实际测量和实验来获取系统模型参数．无论哪种类型的倒立摆系统，都具有3个特性，即：不确定性、耦合性、开环不稳定性．直线型倒立摆系统，是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统．小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动．小车导轨般有固定的行程，因而小车的运动范围是受到限制的．

设计目的及意义

1）、理论联系实际，加强对自动控制理论的理解。增强分析问题、解决问题的能力。

2）、熟悉MATLAB软件，掌握它在控制系统设计当中的应用，能熟练进行系统建模、性能分析、模型仿真等操作。

3）、用单片机进行编程，实现PID的控制算法，了解控制算法的具体片

单片

机软件仿真过程。开发创新意识，增进对科学技术的兴趣,培养严肃认真的

科学态度。

二、一阶倒立摆控制系统及其工作原理

图2.1 一阶倒立摆控制系统模型

该倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。计算机根据一定的控制算法，计算出控制量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。

- - 电机增益 摆角控制器 位置控制器

F(s) X(s) 一阶倒立摆

2

图2.2 一阶倒立摆控制系统示意图

三、建立一阶倒立摆控制系统模型

3.1.一阶倒立摆建模

在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车 和匀质杆组成的系统，如下图所示，

M：小车质量 x：小车位置

m：为摆杆质量 J：为摆杆惯量

F：加在小车上的力

l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度

θ：摆杆与垂直向上方向的夹角

根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：

（1） 摆杆绕其重心的转动方程为

（2） 摆杆重心的运动方程为

得

（3）小车水平方向上的运动为

22..........(4)xdxFFMdt sincos..........(1)yxJFlFl2222(sin)..........(2)(cos).........(3)xydFmxldtdFmgmldt 3

联立上述4个方程，可以得出

一阶倒立摆数学模型：

2222222222222222sin.sincoscoscos.sincos.lgsincosJmlFmlJmlmlgxJmlMmmlmlFmlMmmmlMmJml

式中J为摆杆的转动惯量：32mlJ

若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（1010）的细微变化，则可以近似认为：

1cossin02

2..2222..)(lg)()()(MmlmMJmlFmmMMmlmMJglmFmlJx

若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10sm,则可以得

一阶倒立摆简化模型：

....0.443.330.412xFF 拉氏变换

;

3.2、一阶倒立摆特性

由以上得出的一阶倒立摆模型，对一阶倒立摆进行仿真，分析其稳定性。 222()0.4()12()1.110()sFssxssss 4

由以上仿真曲线可以看出，一阶倒立摆系统是发散的，即不稳定的。后面将设计PID控制器对其进行双闭环控制，使其达到稳定。

3.3电动机驱动器

选用小惯量交流伺服电动机，经传动机构变速后输出的拖动力为：F=0~16N；与其配套的驱动器为：MSDA021A1A，控制电压：UDA=0~±10V。

若忽略电动机的空载转矩和系统摩擦，就可以认为驱动器和机械传动装置均为纯比例环节，并假设这两个环节的增益分别为Kd和Km。

6.11016)(maxmaxUFKKKKKsGssmvd

即电动机增益：D3(s)=1.6 5

四、双闭环PID控制器设计

4.1内环控制器的设计

其中，Ks=1.6为伺服电动机与减速机构的等效模型

1、控制器的选择

内环系统未校正时的传递函数为:

对于内环反馈控制器错误!未指定书签。D2(s)可有PD，PI，PID三种可能的结构形式，怎么选取呢？这里，不妨采用绘制各种控制器结构下“系统根轨迹”的办法加以分析比较，从而选出一种比较适合的控制器结构。

各种控制器下的开环传函的传递函数分别为：

在MATLAB下输入以下程序用“凑试”的方法画根轨迹图：

num=[分子];

den=[分母];

xlabel('Real Axis');

ylabel('Imag Axis');

title('Root Locus');

grid;

rlocus(num,den)

下图为各种控制器下的系统根轨迹。

6

（a） P （b） PD

（c）PI （d） PID

从根轨迹不难发现，采用PD结构的反馈控制器，结构简单且可保证闭环系

统的稳定。所以，选定反馈控制器的结构为PD形式的控制器。

2、控制器参数的选定

若设定K= -20，则可以求出内环的传递函数为：

7

2222222212.81212.81.940.391.940.39212.820.70712.812.8()512.8nppdndWKKDsKWKWsss解得：系统内环传递函数为：

注释：工程上常用阻尼比=0.707作为二阶系统最优解！

3、系统内环的simulink仿真及结果

a.系统内环仿真框图：

b.系统内环仿真结果为：

8

图2.1 系统内环摆杆角度阶跃响应曲线

由上图可以看出，经过PD控制器的调节，内环系统达到了稳定，超调量不到5%，调节时间约为3s。

4.2

外环控制器的设计

2221222212.81.11012.8(1.110)()()512.8(512.8)ssWsGsssssss

可见，系统开环传递函数可视为一个高阶（4阶）且带有不稳定零点的“非最小相位系统”，为了便于设计，需要首先对系统进行一些简化处理（否则，不便利用经典控制理论与方法对它进行设计）。

１.系统外环模型的降阶

（1）对内环等效闭环传递函数的近似处理

2212.8()...........(1)512.8Wsss

将高次项2s忽略，有

212.81()..........(2)512.80.391Wsss

近似条件可由频率特性导出，即

22212.812.8()()5()12.812.85Wjjjj

由（2）得：212.8()512.8Wjj

212.810c 1.13c即：

（2）对象模型G1(s)的近似处理

2121.110().........(3)sGss

1210().........(4)Gss