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倒立摆的PID与LQR控制算法的对比研究

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２０ 年第２ ０６ 期广 东 自动化 与信 息工程 １
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下面探求增加 摆角误差 ｅ 的微 分系数 Ｋｄ 后控 １ ｌ 制效果 的变化 ，使 ｕ １的 Ｋ ｌ由 １ ｄ ０增至 １０ ５ ，摆角
下面将通 过仿真实验 ， 求加权阵 Ｑ（）、 ｔ ”探 ｔ Ｒ（） 与性能指标 间的关系 ：
Ｒ＝【． ，对 比仿 ０１ 】
３ ＬＲ控制算法的研究 Ｏ
Ｌ Ｒ控制算法是基 于状 态方程 ＝ ＋ ｕ Ｑ Ａｘ Ｂ ，确 定 最佳控制量 ｕｔ 一 （ 的最优 反馈 增益矩阵 Ｋ，使得 （＝Ｋｘｔ ） ）
真 结果如图 ４ 、图 ５ 示。 所
Ｋ ＝ 一 ． ３１ — ５ １ ５ ８１０１ １ ． ６ １ — ． ２ ８ — ．６ ６ ３１６ ２ ２１３ ８
总 控 量 ｕ ｋ＝∑Ｕ七。 面 利 的 制 ： （） ） 下 将 用 （
ｉ ＝１
ＭＡ Ｌ Ｂ进行仿真【 ， ＴＡ 然后再修改相关参数， 】 比较
分析仿真 结果 。 首先 ，设定 ４个控制指标 （ 摆角 ，角速 度 ，小 车 位 置， 小车速度 ） Ｐ 的 Ｄ参数 ， 初始依次 选择 为（０ ｌ ） ５，０ ，
制算法进行 了仿真研究 ，一般而言 ，Ｌ ＱＲ控制算法的控制性能要优于 ＰＤ控制算法 。 Ｉ
关键 词 ：倒立摆；Ｐ Ｉ Ｄ；Ｌ Ｒ Ｑ
１引言
倒立摆 是一种典型 的快速 、多变 量 、非线性 、绝 对不稳定 、非最 小相位系统 。由于它 的行 为与火箭 飞 行 以及两 足机器人行走有极大 的相似性 ， 因而对其进
２ ＰＤ Ｉ 控制算法的研究
ＰＤ 控制是最 早发展起来 的一种控 制方法， Ｉ 至今
仍广泛应用于工业过程控制中 ３ ［ １ 。
（）比例调节 （ ） １ Ｐ 比例系 数 Ｋ 的大 小决定 了 比例调 节器 调节 的 ｐ 快慢程度 。但 Ｋｐ过大会使控制 系统 出现超调或振荡 现象 ，Ｋｐ过小 又起 不到调节作用 。 比例控制无法 消
个元素分别代表对 各项指标误差 的重视程度＿。下面 ５ 】
将研究 Ｑ、Ｒ参数 的变化 对性能指标 的影响 。 Ｌ Ｒ控制器 的最优 反锁增益 ， ‘ ０： Ｑ
０
Ｋ Ｌ Ｒ （ ＝Ｑ Ａ，Ｂ ，Ｑ，Ｒ）
ｕ ｋ＝ Ｋｘ （） 一
由原理知， 求 出最优控 制 作用 Ｕ ， 要 除求解 代数 Ｒｃ ａ 方程外 ， ｉ ｔ ｃｉ 加权矩 阵的选择 也是至关重要 的。 下面 是几个选 择的一般原则 ： ・通常选用 Ｑ 和 Ｒ 为对角线矩阵， 实际应用 中，
（）微 分调节 （ ３ Ｄ）
当偏差 ｅ 间波动过快 时， 瞬 微分 调节器会立 即产 生响应 ，来抑制偏差 的变化 ，使系统更趋于 稳定，改 善 了系统 的动态 性能 。 通 过选 择不 同的 ＰＤ 参数对倒立摆 系统进行仿 Ｉ
图 ２增加摆角误差 ｅ １比例 系数 Ｋ ｌ ｐ 后对比仿 真曲线
（ 控制 量 Ｕ ）
真，决定对每个控制指标都选择 Ｐ Ｄ控制方式，控制 器为：ｕ（ ） ｋｉｉ ｋ ＋ ｄ ｄｉ ｋ。式中，ｉ ｋ ｉ ｋ ＝ ｐｅ（ ） ｋｉ ｅ（ ） ｅ（ ），
ｄｉ（ｋ分别为第 ｉ ｅ ） 个控 制指标的误差和 误差变 化率，
可见 ，增 大了摆角误差 ｅ 的 比例系数 Ｋ ｌ ， ｌ ｐ后 摆角 Ａ ｇ ｎｌ ｅ的动态性能 明显 的有所提 高，但换来 的代 价是控制量 ｕ的增大 ，即消耗更 多的能量。
除余差 。 （）积分调节 （ ） ２ Ｉ
图 １增加摆角误差 ｅ ｌ比例系数 Ｋ １ ｐ 后对 比仿真曲线（ 摆角 ）
积分作 用可消除余差 。积分 常数 Ｔ ｉ的大小决定 了积分作用 强弱程度 。 积分作用通 常使系统的稳定性 下 降。因此， 分常数 Ｔ 大 小的选 择要得当 。 积 ｉ
ｌ ０ ０ ０
Ａｎｌ ｇ ｅ的对 比仿真结果如 图 ３ 示。 所
设定初始参数 为： Ｑ＝
０ ｌ ０ ０
，
０ ０ ｌ ０ ０ ０ ０ ｌ
Ｒ＝ 【． Ｏ１ 】
现在改变 Ｑ 的权值 ，本 次将通过改变小车位置
状态 变量的权值观察变化 。
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四的对 比研 究 Ｉ Ｄ与 Ｑ 控
朱文凯 袁桂嫦 朱 学峰
（ 南理 工大 学 自动化 学 院 ） 华 摘要 ：文章在一级倒立摆的数学模型的基础上，基于 ＭＡ Ｌ Ｂ仿真软件，对一级倒立摆的 Ｐ ＴＡ Ｉ Ｌ Ｒ控 Ｄ及 Ｑ
（ ０ １ ） ，Ｏｏ １） ， （ｏ １）。 １， ０ ， ０ １， ０
行研究具有重要的理论和实践意义。 同时由于倒立摆
结构简 单，成本低廉 ，因此成为人们 学习、研究和验
证各种控制 理论的理想装置 。
改变摆角误差 ｅ ｌ的 比例系数 Ｋ ｌ ｐ ，观察仿真 的 变化 。增 大摆 角误差 ｅ 的比例 系数 Ｋｐ，使 ｕ 中的 １ １ １ Ｋ ｌ由 ５ ｐ ０增至 １０ 仿 真对 比结果如 图 ｌ 图 ２ 示。 ０， 、 所
Ｃ
ｏ
控 能 标Ｊ （。 ＵＲ）ｔ 到 小， 星０ 制性 指 ＝ｌ ， ＋ Ｔｕ 达 极 其 Ｑ ｄ
０
Ｏ
实质在 于用较 小的控 制来维持较小 的误差 ， 到能量 达
和误差综合最优 的 目的。其 中 Ｑ 为正定 （ 或半正定 ） 厄米特矩 阵，Ｒ为 正定厄米特矩 阵，Ｑ和 Ｒ分 别表示 了误差和能量损耗 的相对重要性 。 中对 角矩 阵的各 Ｑ
图 ３增加摆角误差 ｅ 的微分系数 Ｋ ｌ １ ｄ 后仿真 曲线 ｌ ０ ０ ｌ
即 Ｇ ＝
０ ０
０ ０
，
可见 ，微分作用过度增大后 ，摆角的超调量 、调
节时间有所增加 ，即动态性 能变坏 。故 Ｋ ｄ的选择要
适 当。
０ ０ １０ ０ ０ ０ ０ ０ ｌ

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基于一级倒立摆的PID与LQR控制算法对比分析

基于一级倒立摆的PID与LQR控制算法对比分析

基于一级倒立摆的PID与LQR控制算法对比分析-工程论文基于一级倒立摆的PID与LQR控制算法对比分析陈聪CHEN Cong；赵莹ZHAO Ying；高金凤GAO Jin-feng（浙江理工大学机械学院自动化系，杭州310018）（Department of Automation，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）摘要：倒立摆系统是典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统，本文在给出一级倒立摆数学模型的基础上，设计了PID控制器与LQR控制器，并基于MATLAB软件对这两种控制算法进行了仿真对比分析，结果显示LQR控制算法的控制性能要优于PID控制算法。

Abstract：This paper presents the model of first-order inverted pendulum which is a classical rapid，multi-variable，nonlinear and unstable system. PID controller and LQR controller comparison analysis results are obtained based on MATLAB software. Numerical examples illustrate that the effect of LQR controller is superior than PID controller.关键词：倒立摆；PID；LQR；MATLAB软件Key words：inverted pendulum system；PID；LQR；MATLAB software 中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）18-0209-02作者简介：陈聪（1994-），男，浙江金华人，在读本科生，研究方向为自动控制。

单级倒立摆的PID控制

单级倒立摆的PID控制

控制系统的分析与设计报告姓名：专业班级：任课教师：年月日单级倒立摆的PID 控制一、 单级倒立摆的建模倒立摆系统的控制问题一直是控制界研究的一个典型问题。

控制的目标是通过给小车的底座施加一个力u (控制量)，是小车停留在一个预定的位置，并且能让杆不倒下，即不超过一个预先定义好的垂直偏离角度范围。

图1为一级倒立摆系统示意图，小车质量为M ，摆的质量为m ，小车的位置为x ，摆的角度为θ。

图1 一阶倒立摆系统示意图设摆杆偏离垂直线的角度为θ，同时规定摆杆重心的坐标为(,)G G G x y ，则有：sin G x x l θ=+, cos G y l θ=。

根据牛顿定律，建立水平和垂直运动状态方程。

摆杆围绕其重心的转动运动可以用力矩方程来描述：sin cos I Vl H θθθ=-式中，l 为摆杆围绕其重心的转动惯量。

摆杆重心的水平运动由下式描述：22td (sin )d m x l H θ+= 摆杆重心的垂直运动由下式描述：22td cos d m l V mg θ=- 小车的水平运动由下式描述：22td d M u H =-假设θ很小，sin θθ≈，cos 1θ=，则以上各式变为：I Vl Hl θθ=- (1)()m x l H θ+= (2)O V mg =- (3) mx u H =- (4)由式(2)和式(4)得：(M m)x ml u θ++= (5) 由式(1)和式(3)得：2(I ml )mlx mgl θθ++= (6)由式(5)和式(6)得单级倒立摆方程：22m(m+M)gl m(M+m)I+Mm (M+m)I+Mm u l l θθ=- (7)22222m (M+m)I+Mm (M+m)I+Mml gl I ml x u l θ+=-+ (8)式中，2112I mL =，12l L =。

控制指标有4个，即单级倒立摆的摆角θ，摆速θ，小车位置x 和小车速度x ，将倒立摆的运动方程转化为状态方程的形式。

二级倒立摆系统的LQR控制算法研究

二级倒立摆系统的LQR控制算法研究

1.毕业设计（论文）题目：二级倒立摆系统的LQR控制算法研究2.题目背景和意义：本课题来源于西安工业大学机器人实验室的倒立摆实验台。

倒立摆系统是一个多变量、快速、非线性和自然不稳定系统。

在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。

倒立摆在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。

从日常生活中所见到的各种重心在上，支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服机构的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际生产和生活中有很多用场。

3.设计(论文)的主要内容（理工科含技术指标）：本题目是以倒立摆为研究对象，设计一个LQR控制器。

借助Matlab语言编程，得出直线二级倒立摆LQR控制器、仿真图。

修改Simulink 的LQR模块中的参数，观察仿真；通过试验对系统进行仿真分析，从而得出对系统的最佳控制方案。

4.设计的基本要求及进度安排（含起始时间、设计地点）：按毕业设计题目的要求在毕业设计时间内完成设计内容并。

1-5周；开题，针对原理及应用、主要技术难点的收集资料，熟悉课题方案。

6-10周；完成方案论证，确定设计方案。

10-15周；利用Matlab对系统做进一步的仿真分析，完善控制器的设计和算法，得到系统的最优控制器。

16—18周；完成所有的设计工作，整理资料，完成毕业论文，准备答辩。

5.毕业设计（论文）的工作量要求：*或实习（天数）：350小时①实验（时数）*：A4一张②图纸（幅面和张数）③其他要求：外文翻译3000字指导教师签名：年月日学生签名：年月日系（教研室）主任审批：年月日说明：1本表一式二份，一份由学生装订入附件册，一份教师自留。

2 带*项可根据学科特点选填。

西安工业大学北方信息工程学院本科毕业设计(论文)题目：二级倒立摆系统的LQR控制算法研究系别电子信息工程系专业电气工程及其自动化班级B070307姓名龙仕学号B********导师张荷芳焦灵侠2011年 6 月二级倒立摆系统的LQR控制算法研究摘要倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统，是验证各种控制理论和方法有效性的典型理想模型，许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、系统收敛速度等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。

基于PID和LQR算法的倒立摆控制设计

基于PID和LQR算法的倒立摆控制设计

10.16638/ki.1671-7988.2017.05.001基于PID 和LQR 算法的倒立摆控制设计程明贺，陈仓（长安大学，陕西 西安 710064）摘 要：文章建立了一级倒立摆的数学模型，并在此基础上通过MA TLAB 仿真工具对一级倒立摆的PID （Proportion Integration Differentiation ）及LQR （Linear Quadratic Regulator ）控制算法进行了设计与仿真。

一般而言LQR 控制算法的控制性能要优于PID 控制算法。

关键词：倒立摆；PID ；LQR中图分类号：U462.1 文献标识码：A 文章编号：1671-7988 (2017)05-01-04Design of Single Inverted pendulum based on PID and LQRCheng Minghe, Chen Cang（Changan University, Shaanxi Xi'an 710064）Abstract: In this thesis single inverted pendulum model was built. And on this basis, through MA TLAB simulation tools, inverted pendulum PID and LQR control algorithm was carried on the design and simulation. In general, the LQR control algorithm is superior to the control performance of PID control algorithm. Key words: Single inverted pendulum; PID; LQRCLC NO.: U462.1 Document Code: A Article ID: 1671-7988 (2017)05-01-041、引言倒立摆是一种典型的快速多变量非线性绝对不稳定非最小相位系统。