几何五大模型之二鸟头定理资料全

小学奥数平面几何五种模型(等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型）,共边（含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如右图12::SSab

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCDSS△△；

反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上),

则:():()ABCADESSABACADAE△△

EDCBA EDCBA

图⑴ 图⑵

三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系（“蝶形定理"）:

①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造baS2S1DCBAS4S3S2S1ODCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”）：

①2213::SSab

②221324::::::SSSSababab；

③S的对应份数为2ab．

1

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

① 等底等高的两个三角形面积相等；

② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1：S a:b

③ 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 EACD足BCD ；

反之，如果SACD SABCD，则可知直线AB平行于CD .

④ 等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形）；

⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等，面积比等于它们的咼之比.

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

如图在AABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴（或D在BA的延长线上，E在 AC

上）,

贝S SAABC : SAADE （AB AC）： （AD AE）

图⑵

任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）：

① S：S2 S4 ：S3 或者 Si S3 S2 S4 ② AO:OC Si & : S4 S3

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造Si S2

a A B

C D

C D 2

模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积 对应的对角线的比例关系.

梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：

① S：S a2：b2

② S1 : S3 : S2: S4 a2: b2: ab: ab ;

③ S的对应份数为a b2 .

四、相似模型

（一）金字塔模型

五大模型 一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 SS21 如上图b:aS:S21 ；⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S=S△△BCDACD CDAB 。平行于，则可知直线反之，如果SS△ACD△BCD ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 1

二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 两夹边的乘积之比。)相等角或互补角(共角三角形的面积比等于对应角AC,ABE,D如(上在的延长线上，在或1)如图上的点(分别是中，如图，在EBADACABC△ ，则2)图)AEAD(:)ACAB(S:SADE△ABC△

1 图2 图 三、蝴蝶定理模型 ：”)蝴蝶定理(“任意四边形中的比例关系 SSOC:AOSS: ②或者①S:SSSSSS:S342121423134 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例 关系。 ”)梯形蝴蝶定理(“梯形中比例关系 22b:aS:S①

1

几何五大模型——鸟头模型

一 两点都在边上：鸟头定理：

（现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。）

△ADE△ABCSAD×AE=SAB×AC

EDCBA

二 一点在边上，一点在边的延长线上：

△CDE△ABCSCD×CE=SBC×AC

EDCBA

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例1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ ABC的面积是

平方厘米．

例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。

（2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。

例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。

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例4 三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2倍到E，CA延长3倍到F，问三角形DEF的面积为多少？

FEDCBA

例5 长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大？

4

例6 如图，过平行四边形ABCD内的一点P作边AD、BC的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？

ABCDEFGHP

5 作业：

1. 如下左图，在ABC△中，D、E分别是BC、AB的三等分点，且ABC△的面积是54，求CDE△的面积。