几何五大模型之二：鸟头定理(共角定理)模型

三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则AC AB AE AD AC AE AB AD S S ABC ADE ⨯⨯=⨯=∆∆ (夹角两边：大大小小⨯⨯) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例题讲解：1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2，平方厘米12=∆ADE S ，求△ABC 的面积．4、 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA AB CDE【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙5、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA6、 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？7、 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA8、 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECDDC EB A9、 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A10、如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且13BE AB =，已知四边形EDAC 的面积是35，求三角形ABC 的面积。

小学数学五大几何模型知识框架一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC BA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A BC DO baS 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则ACAB AEAD AC AE AB AD S S ABC ADE ⨯⨯=⨯=∆∆ (夹角两边：大大小小⨯⨯) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例题讲解：1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2，平方厘米12=∆ADE S ，求△ABC 的面积．4、 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D CB A A BCD E【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙5、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA6、 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？7、 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA8、 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECDC EB A9、 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A10、如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且13BE AB =，已知四边形EDAC 的面积是35，求三角形ABC 的面积。

一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。

四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型证明例题1例题2将三角形ABC的AB边延长一倍到D，BC边延长两倍到E，CA边延长三倍到F。

如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是18。

【例4】AC的长度是AD的五分之四，且△AED的面积是△ABC面积的一半。

请问：AE是AB的几分之几？【解析】五分之二。

因为“AC的长度是AD的五分之四”，所以S△ABC:S△ABD＝4:5，又因为S△AED 是S△ABC的一半，可知S△AED占2份，S△AED:S△ABD＝2:5。

因此AE是AB 的五分之二。

【例8】园林小路曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。

问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由.【解析】一样大。

此题为例7的延伸，考察学生对鸟头定理中第四个模型的掌握情况，图中有多个。

因为白色石板均为正方形（如图）。

因此AB=AD、AE=AC，推出S△ADE:S△ABC ＝ (AD×AE):（AB×AC)＝1:1，即两三角形面积相等。

同理可知内圈红色三角形面积应该等于外圈青色三角形面积，所以内外总面积相等。

【挑战题】在四边形ABCD中，其对角线AC、DB交于E点。

且AF=CE，DE=BG。

已知四边形ABCD的面积为1，求△EFG的面积。

【解析】1。

分别用a、b、c、d表示△CDE、△ADE、△ABE、△BCE。

由鸟头模型，可知：a:S△EFG=(CE×DE):(EF×EG);b:S△EFG=(AE×DE):(EF×EG);c:S△EFG＝(AE×BE):(EF×EG);d:S△EFG＝(CE×BE):(EF×EG).因此，(a+b+c+d):4S△EFG＝(CE×DE+AE×DE+AE×BE+CE×BE):(EF×EG)=[DE×(AE+CE)+BE×(AE+CE)]:(E F×EG)=[(AE+CE)×(BE+DE)]:(EF×EG)=(AC×BD):(EF×EG)。

几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型鸟头定理（共角定理）模型:两个三葡附有一个角扁同或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角（相同角或互补角）两夹边的乘和之比。

如下图在△•ABC中，D, E分别是AB, AC上的点（或D在BA的延长线上，E 在AC 上），则S^AB c：S^ADE=（AB X AC）:（.W X证明：最后我们会发现两种情况的证明方法完全一样。

鸟头定理（共角定理）证明: 连接BE.在ZSAEB中，$4ADE _ 竺(1)S AABE AB在A AEC中，S AABE ■…AE<2)S AABC AC将（1） X（2）有,S AADE .AEXADS^ABC ACXAB 证毕。

例题1:如上图，4AABC中，D, E分别是AF AC ＞的点.BC=3AE, AD=2DB, S二ABC=h 求厶虹丘的面积。

题_解法一，利用鸟头定理有・Saads = AEXAP = ^x—= -x- = - 斤闭S A ABC ACXAB AC AB 43 6所以SaADE= ~o题_解法二:A本题也可叹不用鸟头定理，而用等积变换。

连接BE,在2XAEB中，S AAED：^AAEB=AD：AB=2；3S AAED=(2/3)S AAEB在厶削。

中，S AAEB：^AABC=AE： AC=1 ：4S A AEB=(1/4)S.ABC由⑴，⑵式可得S^ED=;X|X S A AB C 4通过观察题一的解袪二我们可以找到一个证明如模型图一中鸟头定理的方如上图，在AABC 中，E 是AC±的点，D 昙BA 証长线卜的一軾 苴中:EC=2AE, AB=2AD, S A ABC =1,求△ ADE 的面和 连接BE,在AAEB 中， S AADE _ ADS AABE AB 在△ABC 中，_ AES Z I ABC AC 将(1) X (2)有：$AADE _ AExADS dx^BC ACXAB 证毕。

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABCADES S AB AC AD AE =⨯⨯△△三角形等高模型与鸟头模型EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADES=△平方厘米，求ABC △的面积． EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADEABESS AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADEABC SS =⨯⨯△△，设8ADES=△份，则35ABCS=△份，16ADES=△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABCABESS =V V又∵5AB AD = ∴515ADEABE ABC SS S =÷=÷V V V ，∴1515ABCADE SS ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE 甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABDBDES S =V V又∵4BD DC ==，∴2ABCABDSS =V V ，∴6ABCBDESS =V V ，5SS =乙甲．【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADES=△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADEABESS AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△， 所以[]:(32):5(32)6:25ADEABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADES=△份，则25ABCS=△份，12ADES=△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？FDBA【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABCS=△份，则4BDES=△份，4ADFS=△份，9CEFS=△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS=△平方厘米【例 5】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECDDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABCS=△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．ECA【解析】由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABCS =⨯÷=△；所以4CEFS=△；同理得，:2:3CDEACD SS =△△;，183212CDES=÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEFCEF DEC DFC SS S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AA BCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ．∵11ABCDBCSS=V V ，1ABCS=V ，∴S1DBC=V ．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=． (法2)用共角定理∵在ABC V 和CFE V 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCESAC BC SFC CE ⋅⨯===⋅⨯V V ．又1ABCS=V ，所以8FCES=V ．同理可得6ADFS =V ，3BDES=V ．所以186318DEFABC FCE ADF BDE SS S S S =+++=+++=V V V V V ．【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBESAB BC SBE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABCS=△，所以3FBES=△．同理可得8GCFS =△，15DHGS=△，8AEHS=△．所以8815+3+236EFGHAEH CFG DHG BEF ABCD SS S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGHSS==．【例 9】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB AA B CDEGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCDCGF SS CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDBS S =△△同理:1:2ABDAHE S S =△△，即2AHEABDSS =△△ 所以2()2AHECGF CBD ADB ABCDSS S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHGBEF ABCDS S S +=△△四边形 5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCDS S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCDS=÷=四边形平方米【例 10】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEFABCS S ∆∆=，同理4HDGADCSS ∆∆=． 于是444BEFHDG ABC ADC ABCDS S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEHABDSS ∆∆=，同理9CFGCBDSS ∆∆=．于是999AEHCFG ABD CBD ABCDS S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCESAC BC SFC CE ⋅⨯===⋅⨯△△．又2ABCS=V ，所以0.5FCES=V ．同理可得2ADFS =△，3BDES=△．所以20.532 3.5DEFABC CEF DEB ADF SS S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABCS=△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS V ．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGSS△的面积为4321115432210FGSS=⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】连接AF 、EG ．因为218164BCFCDE SS ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEFS=V ，8EFGS=V ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =V ，32ABFES=，24ABFS=V ，所以12ABGS=V 平方厘米．【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．GFCB【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496． 由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=． 同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．B DCEA【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．。

小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。

AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。

模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 ２）,则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积．三角形等高模型与鸟头模型EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△,设8ADE S =△份，则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理:共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角)两夹边的乘积之比 .【巩固】如图,三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少?EDCBAABCD E【解析】 连接BE .∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷,∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图,三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =,6AE =∴3AB BE =,3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==,∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =,5S S =乙甲.【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,:3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△,设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米，ABC△的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示,在平行四边形中，E 为的中点,2AF CF =，三角形(图中阴影部分)的面积为８平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】 连接．三角形面积是三角形面积的２倍,而三角形面积是三角形面积的2倍,所以三角形面积是三角形面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形面积的２倍，所以平行四边形的面积是三角形面积的326⨯=（）倍.因此,平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米）．【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积. FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份,4ADF S =△份,9CEF S =△份,244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米,所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =,三角形BDE 的面积是多少?AB ECDDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=,所以可以用共角定理,设2AB =份,3BC =份，则5BE =份,325BD =+=份,由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份,恰好是3平方厘米,所以1份是0.5平方厘米,25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (20０7年”走美”五年级初赛试题）如图所示,正方形ABCD 边长为6厘米,13AE AC =,13CF BC =.三角形DEF 的面积为平方厘米.A【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△;而66218ABC S =⨯÷=△;所以4CEF S =△；同理得,:2:3CDE ACD S S =△△；,183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米).【例 7】 如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =;延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积．FEDCBAAB CDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用.连接AE 、CD ． ∵11ABC DBCS S=,1ABC S =，∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=.(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中,ACB ∠与FCE ∠互补, ∴111428ABC FCES AC BC SFC CE ⋅⨯===⋅⨯.又1ABC S =，所以8FCE S =. 同理可得6ADF S =，3BDE S =．所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=．【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =,3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2, 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中,ABC ∠与FBE ∠互补,∴111133ABC FBES AB BC S BE BF⋅⨯===⋅⨯△△.又1ABC S =△,所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△.所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCD EFGHS S ==.【例 9】 如图,四边形EFGH 的面积是66平方米,EA AB =，CB BF =,DC CG =，HD DA =,求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△,即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△,即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ,同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ,若四边形ABCD 的面积为５,则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD .由于2BE AB =,2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=.于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=.再由于3AE AB =,3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=. 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =,延长BC 至E ,使12CE BC =，F 是AC 的中点,若ABC △的面积是2,则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABCFCES AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△. 又2ABC S =,所以0.5FCE S =． 同理可得2ADF S =△,3BDE S =△.所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABC S =△,5BC BD =，4AC EC =,DG GS SE ==,AF FG =.求FGS S .SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的3种情况． 最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点,F 是CE 的中点,G 是BF 的中点,三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABC DEF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =,再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,得到16BFC S =，32ABFE S =，24ABF S =,所以12ABG S =平方厘米.【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积.【解析】 如图,将原图扩展成一个大正三角形DEF ,则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ,则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ,所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的4９倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496.由于4FA a =，3FB a =,所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249,所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 .B DCEA【解析】 从图中可以看出,虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积;虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半,那么它们合起来等于一个正六边形的面积;虚线AE 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16,所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=,所以五边形的面积是12103633-=.。

三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则AC AB AE AD AC AE AB AD S S ABC ADE ⨯⨯=⨯=∆∆ (夹角两边：大大小小⨯⨯) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例题讲解：1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积．3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2， 平方厘米12=∆ADE S ，求△ABC 的面积．4、 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCB A AB CDE【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙5、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．ED CBAEDCBA6、 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？7、 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA8、 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE的面积是多少？AB ECDDC E B A9、 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A10、如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且13BE AB =，已知四边形EDAC的面积是35，求三角形ABC的面积。