（4）相似模型
1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；
2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则
①AD AE DE
==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；
E
D C B
A E D
C
B A
③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型
例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
G
F
E D C
B
A
解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。
例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。
解析：如图所示，连接CE DE 、，
由于DQ ME 、平行，根据同底等高知，QME DME S S =△△； 同理根据BC ME 、平行，有PME CME S S =△△；所以PQM CDE S S =△△。 由于四边形ABCD 为直角梯形， 所以()()111
5753553725222
CDE ADE BCE ABCD S S S S =--=++-⨯⨯-⨯⨯=△△△梯形， 即阴影三角形PQM 的面积为25。
（2）鸟头（共角）定理模型
例1、如图所示，平行四边形ABCD ，BE AB =、2CF CB =、3GD DC =、
4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积为2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比。
P Q M
E
D C B A A B C
D E
M
Q P
解析：如图所示，连接AC BD 、，由于在ABC EBF △、△中，ABC ∠与EBF ∠互补，根据鸟头定理有111
133
ABC EBF S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△； 因为1
12
ABC ABCD S S =
=△平行四边形，所以3EBF S =△； 同理可得：428AEH S =⨯=△、428GCF S =⨯=△、5315DHG S =⨯=△。 所以
221
8815323618
ABCD EBF
S S =
==++++平行四边形四边形。
例2、如图所示，ABC △的面积为1，54BC BD AC EC DG GS SE ====、、、AF FG =，求FGS △的面积。
解析：首先根据等积变换模型知，FGS FES EAF EGF S S S S ==△△△△、， 所以4AGE FGS S S =△△。 根据鸟头模型有
32
213
AGE CDE S AE GE S CE DE ⋅⨯===⋅⨯△△，所以2CDE FGS S S =△△； 21
211
AGD FGS S AG DG S FG SG ⋅⨯===⋅⨯△△，所以2AGD FGS S S =△△；所以8ACD FGS S S =△△； C
H F E
D
G
B A
C
H
F E
D
G
B
A
111
144
ADB ACD S AD BD S AD DC ⋅⨯===⋅⨯△△，所以2ADB FGS S S =△△；所以10ABC FGS S S =△△， 即110
FGS S =
△。
（3）蝴蝶模型
例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？
解析：如图所示，连接阴影四边形的对角线，此时正六边形被平分成两半。设
AOB S △的面积为1份，根据正六边形的特殊性质知，2BC AD =，再根据梯形蝴
蝶定理，标出各个三角形所占份数，所以整个正六边形被分成了18份，阴影部
分占其中的8份，即阴影部分面积为84
1189
⨯=。
例2、如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为
2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC 的面积。
解析：如图所示，连接DE CF 、。在梯形EDCF 中，根据梯形蝴蝶定理知，
EOD FOC S S =△△，2816EOD FOC EOF DOC S S S S ⨯=⨯=⨯=△△△△，
即4EOD FOC S S ==△△，所以8412ECD S =+=△，12224ABCD S =⨯=长方形，
245289OFBC S =---=四边形。
1
2244
2
2
1O D C B
A 2？
8
5
O F E
D
C B
A 2？
8
5
O F E
D C
B
A
