2015高三一模冲刺数学导数大题分类型汇编(含答案)

试卷第1页，共44页专题09导数（三大类型题）15区新题速递

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、导数的概念及几何意义

1．（2023·上海青浦·统考一模）若函数

yfx

在

0xx

处的导数等于a

，则

00

0lim

xfxxfxx

x



的值为（）.

A．0B．a

C．2aD．3a

2．（2023·上海青浦·统考一模）已知有穷等差数列

12{}:,,,(3,N)

nmaaaamm*

的公差d大于零．

(1)证明：{}

na

不是等比数列；

(2)是否存在指数函数

．．．．()yfx

满足：()yfx

在

1xa

处的切线的交x

轴于

2(,0)a

，()yfx

在

2xa

处的切线的交x

轴于

3(,0)a

，…，()yfx

在

1mxa



处的切线的交x

轴于(,0)

ma

？若存在，请写出函数()yfx

的表达式，并说明

理由；若不存在，也请说明理由；

(3)若数列{}

na

中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列{}

nb

，求出所有可能的m的取值．

二、导数在研究函数中的作用

3．（2023·上海闵行·统考一模）已知函数

yfx

的导函数为

yfx

，xR，且

yfx

在R上为严格增函数，

关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）

①“

12xx

”是“

121211fxfxfxfx

”的充要条件；

②“对任意0x都有

0fxf”是“

yfx

在R上为严格增函数”的充要条件．

A．①真命题；②假命题B．①假命题；②真命题

C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题

4．（2023上·上海松江·高三统考期末）函数

yfx

的图象如图所示，

yfx

为函数

yfx

的导函数，则不等

式

0fx

x

的解集为（）

A．(3,1)

B．(0,1)

C．(3,1)(0,1)

D．(,3)(1,)

5．（2023·上海青浦·统考一模）已知三个互不相同的实数a

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

专题13导数与极限第二辑

1．【2018年广东预赛】设函数.𝑓(𝑥)=𝑒𝑥‒1‒𝑥

⑴求在区间（n为正整数）上的最大值；𝑓(𝑥)[

0,1𝑛]

𝑏

𝑛

⑵令（n、k为正整数）.求证：.𝑎

𝑛=𝑒1𝑛‒1‒𝑏

𝑛，𝑝

𝑘=𝑎2𝑎4⋯𝑎2𝑘

𝑎1𝑎3⋯𝑎2𝑘‒

1𝑝

1+𝑝

2+⋯+𝑝

𝑛

<2

𝑎𝑛+1‒1

【答案】（1）（2）见解析𝑏

𝑛=𝑒1

𝑛‒1‒1

𝑛

【解析】

⑴因为，所以当时，，即上是增函数，故上的最大值为𝑓'(𝑥)=𝑒𝑥‒1𝑥∈[

0,1

𝑛]

𝑓'(𝑥)≥0𝑓(𝑥)在[

0,1

𝑛]

𝑓(𝑥)在[

0,1

𝑛]

.𝑏

𝑛=𝑒1

𝑛‒1‒1

𝑛

⑵由⑴知.因为，𝑎

𝑛=𝑒1

𝑛‒1‒𝑏𝑛=1

𝑛(2𝑘‒1)(2𝑘+1)(2𝑘)2=4𝑘2‒1

4𝑘2<1

所以.[1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2𝑘‒1)

2⋅4⋅⋯⋅(2𝑘)]2 =1⋅3

22⋅3⋅5

42⋅5⋅7

62⋅⋯⋅(2𝑘‒1)(2𝑘+1)(2𝑘)2⋅1

2𝑘+1<1

2𝑘+1又容易证明.1

2𝑘+1<2𝑘+1‒2𝑘‒1

所以𝑝𝑘=𝑎2𝑎4⋯𝑎2𝑘

𝑎1𝑎3⋯𝑎2𝑘‒1=1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2𝑘‒1)

2⋅4⋅⋯

⋅(2𝑘) <1

2𝑘+1<2𝑘+1‒2𝑘‒1

所以.𝑝

1+𝑝

2+⋯+𝑝

𝑛<(3‒1)+(5‒3)+⋯+(2𝑛+1‒2𝑛‒1) =2𝑛+1‒1=2

𝑎𝑛+1‒1

即.

𝑝

1+𝑝

2+⋯+𝑝

𝑛<2

𝑎𝑛+1‒12．【2018年甘肃预赛】设函数）．𝑓(𝑥)=𝑥‒2

𝑥‒𝑎ln𝑥（𝑎∈R,𝑎>0

（1）讨论的单调性；𝑓(𝑥)

（2）如果有两个极值点，我们记过点的直线斜率为．问：是否存在，𝑓(𝑥)𝑥

1和𝑥

2𝐴(𝑥

1,𝑓(𝑥

1)),𝐵(𝑥

2,𝑓(𝑥

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编

导数及其应用

一、填空题

1、（潮州市2015届高三）曲线在点处的切线方程为

2、（揭阳市2015届高三）函数()1xfxe的图象与x轴相交于点P，则曲线在

P处的切线方程是

3、（深圳市2015届高三）设P是函数xyln图象上的动点，则点P到直线xy的距离的最小值为

4、（珠海市2015届高三）已知函数()fx的导函数为()fx，且满足3()=(2)fxxxf，则函数()fx在点（2，(2)f）处的切线方程为

二、解答题

1、（潮州市2015届高三）已知函数，（）．

若，求函数的极值；

设函数，求函数的单调区间；

若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围．

2、（佛山市2015届高三）已知函数lnxafxx.

(Ⅰ) 若1a,证明:函数fx是0,上的减函数；

(Ⅱ) 若曲线yfx在点1,1f处的切线与直线0xy平行,求a的值；

(Ⅲ) 若0x,证明:ln1e1xxxx(其中e2.71828是自然对数的底数).

3、（广州市2015届高三）已知函数2lnafxxxx，aR .

（1）讨论函数fx的单调性;

（2）若函数fx有两个极值点1x,2x, 且12xx, 求a的取值范围; 323yxx1xlnfxxax1agxxRa11afx2hxfxgxhx31,e2.718e0x00fxgxa

（3）在（2）的条件下, 证明:221fxx.

4、（惠州市2015届高三）已知函数()(0)tfxxxx，过点(1,0)P作曲线()yfx的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．

·1· 静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测

数学（理）试卷

（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知集合0,2xxyyM，)2lg(2xxyxN，则NM .

答案：)2,0(

考点：集合的描述法

备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。

2．设8877108)1(xaxaxaax，则8710aaaa .

答案：25628

考点：二项式定理

解法：将1x代入式子中

备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。

3．不等式01271x的解集是 .

答案：)4,21(

考点：分式不等式的解法

备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。

4．如图，在四棱锥ABCDP中，已知PA底面ABCD，1PA，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为6，则该四棱锥的体积是 .

答案：12

考点：锥体体积的求法

备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。

5．已知数列na的通项公式1222nnna（其中*Nn），则该数列的前n项和nS .

答案：)212(4nn

考点：数列分组求和，等比数列求和。 A

B C D P

·2· 备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。同时，也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。