第一章
1-4、试写出各向异性介质在球坐标系)(ϕθ、、r 中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。
解：球坐标微元控制体如图所示：
热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：
→→→∂∂+∂∂+∂∂-=∆-=k T r k j T r k i r T k T k q r ϕ
θθϕθsin 11'
' （1-1）
根据能量守恒：st out g in E E E E •
•••=-+
ϕθθρϕθθϕϕθθϕθd drd r t
T c d drd r q d q d q dr r q p r sin sin 2
2∂∂=+∂∂-∂∂-∂∂-• （1-2） 导热速率可根据傅里叶定律计算：
ϕθθ
θθd r dr T
r k q sin ⋅∂∂-
= （1-3） 将上述式子代入（1-4-3）可得到
)
51(sin sin )sin ()sin (sin )(222-∂∂=+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂⋅∂∂⋅ϕθθρϕθθϕθϕ
θϕϕθθθθϕθθϕθd drd r t
T c d drd r q d rd dr T
r k rd d dr T r k d d dr r T r k r p r 对于各向异性
材料，化简整理后可得到：
t
T
c q T r k T r k r T r r r k p
r ∂∂=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂⋅ρϕθθθθθϕθ2222222sin )(sin sin )( （1-6） 第二章
2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为1t 和2t ，两侧面(L y ±=)向温度为1t 的周围介质散热，表面传热系数为h 。试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图：
（1）设f f f t t t t t t -=-=-=2211,,θθθ，根据题意写出下列方程组
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00
000212222θθ
λθθθδθθθ
θh y L y y y x x y x （2-1） 解上述方程可以把θ分解成两部分I θ和∏θ两部分分别求解，然后运用叠加原理∏+=θθθI 得出最终温度场，一下为分解的I θ和∏θ两部分： （2）首先求解温度场I θ
用分离变量法假设所求的温度分布),(y x I θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积，即
)()(),(11y Y x X y x I =θ （2-2）
将上式代入I θ的导热微分方程中，得到0121
21212=+X dy
Y d Y dx X d ，即21''11''1ε=-=Y Y X X ，上式等号左
边是x 的函数，右边是y 的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2ε。由此得到一个待定常数的两个常微分方程
00122
1
2122
1
2=+=-Y dy
Y d X dx
X d εε （2-3） 解得
)()()(1x Bsh x Ach x X εε+= （2-4） )sin()cos()(1y D y C y Y εε+= （2-5） 把边界条件0,
0=∂∂=y
y I
θ代入（2-3-4）得到A=0，所以有 )()(1x Bsh x X ε= （2-6） 把边界条件0,
=∂∂=y
L y I
θ代入（2-3-5）得到D=0，所以有
)cos()(1y C y Y ε= （2-7） 把边界条件0,=+∂∂=I I
h y
L y θθλ
联立（2-3-7）得到 λ
εε/)cot(hL L
L =
（2-8）
设Bi hL L ==λβε/,，则有i B /)cot(ββ=，这个方程有无穷多个解，即常数β有无穷多个值，即)3,2,1(Λ=n n β，所以对应无穷多个ε，即)3,2,1(Λ=n n ε，所以有
)cos()(1y C y Y n n ε= （2-9） 联立（2-3-6）可得
∑∞
==1)()cos(),(n n n n I x sh y K y x εεθ （2-10）
把边界条件2,θθδ==I x 代入上式可得 ⎰⎰=L
n n n L
n dy y sh K dy y 0
20
2
)(cos )()cos(εδεεθ
（2-11）
解得
]
)cos())[sin(/()
sin(22n n n n n n L sh K βββδββθ+= （2-12）
其中L n n εβ= )()cos(]
)cos())[sin(/()sin(2),(12x L sh y L L sh y x n n n n n n n n I β
ββββδββθθ∑
∞
=+= （2-13）
（3）求解温度场∏θ
与解I θ一样用分离变量法，假设所求温度分布),(y x ∏θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积
)()(),(22x Y x X y x =∏θ （2-14）
将该式子代入∏θ的导热微分方程中得到022
222222=+X dy
Y d Y dx X d ，即2
2''22''2ε=-=Y Y X X ，由此可得到两个常微分方程
022
2
2=-X dx
X d ε （2-15）
