学科教师辅导讲义
学员学校： 年 级：高二 课时数：2 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 课 题 向量的坐标表示及其运算
授课日期及时段
教学目的
1. 掌握向量的坐标表示法。
2. 掌握向量的加法、减法、数与向量的乘法等运算的坐标表示形式。
3. 理解和掌握两个非零向量平行的充要条件（坐标形式）。
4. 学会定比分点公式的推导方法。
5. 理解定比分点公式，掌握中点坐标公式。
教学内容
【知识结构】
1. 基本单位向量：在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，记作i j 和。
2. 位置向量：起点是坐标原点O 的向量。
已知A(x,y),则位置向量OA =xi j +y 。我们把有序实数对（x,y ）叫做位置向量OA 的坐标，记作(,)OA x y =。
注：位置向量的坐标就是位置向量终点的坐标。
3. 已知任意两点1122(,),(,)P x y Q x y ，则自由向量PQ =（2121,x x y y --） 注：自由向量的坐标就是向量终点坐标减去起点坐标。
4. 向量运算的坐标表示形式 设λ是一个实数，11(,)a x y =22(,)b x y =
则a b +=1212+x x y y +（，） 说明向量相加等于坐标分量相加；
a b -=（1212,x x y y --） 说明向量相减等于坐标分量相减； a λ=11(,)x y λ=11(,)x y λλ 数乘向量等于数乘每一个分量；
a =2211y x + 向量的模等于对应坐标分量平方和开根号； a
b =1212=x x y y ⇔=且 向量相等的充要条件是对应的坐标分量相等 5. 非零向量1122(,),(,)a x y b x y ==平行的充要条件是1221=x y x y
6. 已知P 是直线12P P 上一点，且12=-1PP PP R
λλλ∈≠（，） 111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y ，则12121+1x x x y y y λλ
λλ+⎧
=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
，这个公式叫做点P 的分线段12P P 的定比分点公
式，其中λ叫做定比，点P 叫做分点。 特别的，当λ=1时，P
为12P P 的中点。此时12122
+2
x x x y y y +⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩叫做中点公式。
【例题精讲】
例1. 平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1), 解答下列问题: (1)求3a +b -2c ;
(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (3)若(a +k c )∥(2b -a ),求实数k ;
(4)设d =(x ,y )满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d .
例2.已知(2,1),(8,8)A B -，求线段AB 的三等分点C 、D 的坐标
例3.已知(3,1),(1,1)A B ---，O 为坐标原点。
（1）求2;OA AB OB +-(2)若2.xOA yOB AB +=求实数x,y 的值
例4．已知点 (1,2),(2,8)A B -及11
,33
AC AB DA BA =-=-.求点C 、D 和CD 的坐标。
例5.已知：点(2,3),(5,4)(7,10)A B C ，若AP =AB +AC λ⋅(R λ∈)，则λ为何值时，点P 在第一、第三象限的角平分线上？点P 在第三象限内？
例 6. 已知点O 是△ABC 内一点，∠AOB =150°,∠BOC =90°,设OA =a , OB =b ,OC =c ,且|a |=2,|b |=1,|c |=3,试用a 和b 表示c .
分析 本例是用平面内两个不共线的向量表示同一平面内的另一个向量.根据平面向量的基本定理有c =λ1a +λ2b ,当a 、b 、c 的坐标已知时，该式实际上是一个关于λ1、λ2的二元一次方程组，由此可确定λ1、λ2，这也是解决本题的一个重要思路. 解：如图1所示，以点O 为原点，OA 为x 轴的非负半轴，
建立平面直角坐标系.由三角函数的定义，得B (cos150°,sin150°),
C (3cos 240°,3sin 240°),即B (-23
,21),C(-2
3
,-). ∴a =(2,0),b =(-2
3
,21),c =(-2
3,-2
33
).设c =λ1a +λ2b (λ1,λ2∈R )，
则得(-2
3,-2
33
)=λ1(2,0)+λ2(-
23，21)=(2λ1-2
3
λ2,2
1λ2). ∴⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧-=λ-=λ-λ.2332
1,23
232221解得λ1=-3,λ2=-33.∴c =-3a -33b .
例7. ［例4］向量b ＝(－3，1)，c ＝(2，1)，若向量a 与c 共线，求｜b ＋a ｜的最小值. 解：设a ＝λc ＝(2λ，λ)， 则b ＋a ＝(－3＋2λ，1＋λ)，
∴｜b ＋a ｜＝22)1()32(++-λλ＝101052+-λλ ＝5)1(52+-λ≥
5
∴｜b ＋a ｜的最小值为5，此时
a ＝c .
例8. ［例3］在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，设点M 分AB →所成的比为2∶1，点N 分OA →所成的比为3∶1，而OM 和BN 交于点P ，试用a 和b 表示OP . 解：OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23 AB →
＝OA →＋23 (OB →－OA →)＝13 OA →＋23 OB → ＝13 a ＋23
b ∵OP →与OM →共线，设OP →＝t 3 a ＋2t 3
b ①
又∵NP →与NB →共线，设NP →＝sNB
→， 图1
