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SCHUR不等式例题

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a, b, c, are non-negative reals such that a+b+c=1. Prove that a3+b3+c3+6abc≥1/4

Solution.

Multiplying by 4 and homogenizing,

4×(a3+b3+c3+6abc)≥4×(1/4)

4×(a3+b3+c3+6abc)≥1

we seek 4a3+4b3+4c3+24abc≥(a+b+c)3

(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)+6abc

a3+b3+c3+6abc≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

Recalling that Schur’s inequality gives a3+b3+c3+3abc ≥ a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b), the

inequality follows.

In particular, equality necessitates that the extra 3abc on the left is 0.

Combined with the equality condition of Schur,

we have equality where two of a, b, c are 1 and the third is 0.

This is a typical dumbass solution. 2

Solution 2. Without loss of generality, take a ≥ b ≥ c. As a+b+c=1, we 1+c≤3 or

1−3c≥ 0.

Write the left hand side as (a+b)3−3ab(a + b − 2c) = (a + b)3 − 3ab(1 − 3c). This is

minimized for a fixed sum a + b where ab is made as large as possible. As by AM-GM (a

+ b)2 ≥ 4ab, this minimum occurs if and only if a = b. 3 2 Hence, we need only consider

the one variable inequality 2 1−c + c3 + 6 1−c c = 2 2 1 · (9c3 − 9c2 + 3c + 1) ≥

1 . Since c ≤ 1 , 3c ≥ 9c2 . Dropping this term and 9c3 , the 4 4 3 inequality follows.

Particularly, 9c3 = 0 if and only if c = 0, and the equality cases are 1 when two variables

are 2 and the third is 0. This solution is of the smoothing variety in that we moved

two variables together while preserving their sum. In other inequalities √ we may

wish to preserve products and thus analyze the assignment a = b = ab. These are both

representative of the technique of mixing variables, in which two or more variables

are blended together algebraically as part of an argument allowing us to outright equate

variables

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schur补引离 均值不等式引理

schur补引离 均值不等式引理

在线性代数和矩阵理论中，schur补引离和均值不等式引理是两个重要的概念。它们在矩阵分析和最优化领域具有深远的影响，对于理解和应用这些概念，我们需要从基础开始，逐步深入。

1. Schur补引离

Schur补是矩阵理论中的一个重要概念，它是一种矩阵变换，可以将一个大矩阵分解为几个小矩阵的形式。对于一个矩阵A，其Schur补可以表示为A/B，其中B是A的一个子矩阵。Schur补引离的主要目的是通过引入一个新的块矩阵，将原矩阵的一部分分离出来，从而简化原矩阵的操作和分析。

在矩阵分析和控制理论中，Schur补引离常常用于简化复杂系统的分析和设计。通过引入一个适当选择的块矩阵，可以将原系统分解为几个相互独立的子系统，从而简化系统的分析和设计。

2. 均值不等式引理

均值不等式是数学中的一个重要概念，主要用于描述不同数的平均值之间的关系。在矩阵理论中，均值不等式引理是一种重要的工具，用于描述矩阵的特征值之间的关系。

均值不等式引理主要包括谱半径不等式、谱间隔不等式和Rayleigh商不等式等，这些不等式可以帮助我们分析和估计矩阵的特征值，从而揭示矩阵的结构和性质。

3. 个人观点和理解

在我的观点看来，Schur补引离和均值不等式引理是矩阵理论和最优化领域中至关重要的概念。它们不仅可以帮助我们理解复杂系统的结构和性质，还可以为我们设计和分析系统提供重要的工具和方法。

总结回顾

在本文中，我们从Schur补引离和均值不等式引理这两个重要的矩阵理论概念出发，逐步深入地探讨了它们的含义、应用和相关理论。通过对这些概念的全面评估，我们不仅能更深入地理解它们的内涵和本质，还能更灵活地运用它们解决实际问题。希望本文能够帮助读者更好地理解Schur补引离和均值不等式引理，以及它们在矩阵理论和最优化领域的重要作用。

以上就是我撰写的关于Schur补引离和均值不等式引理的文章，希望对你有所帮助。如果还有其他需要，欢迎随时联系我。在矩阵理论和最优化领域中，Schur补引离和均值不等式引理是两个非常重要的概念，它们在分析和设计复杂系统时发挥着关键作用。在实际应用中，我们可以通过这些概念来简化系统的分析和设计过程，从而更加高效地解决问题。

一对互补对称函数的Schur凸性质

一对互补对称函数的Schur凸性质

第２５卷　第２期　２０１０年３月　内蒙古民族大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ　Ｖ０ｌＩ２５　Ｎｏ．２　Ｍａｒ．２０ｌ０　

一对互补对称函数的Ｓｃｈｕｒ凸性质　

银花　

（通辽职业学院，内蒙古通辽０２８０００）　

［摘要）讨论了一对互补对称函数　（　）和　（　）及　（　）一　（　）在　上的ｓｃｈｕｒ凸性，并建立了几个　不等式．　［关键词］对称函数；互补函数；Ｓｃｈｕｒ凸性；不等式　（中图分类号］０ｌ７８　［文献标识码］Ａ　（文章编号］１６７ｌ一０Ｉ８５（２０ｌ０）Ｏ２—０１４２—０３　

Ｏｎ　Ｓｃｈｕｒ．．Ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｗｏ　Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ　Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　

Ｙｉｎｈｕａ　（Ｔｏｎｇｌｉａｏ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔｏｎｇｌｉａｏ　０２８０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　Ｓｃｈｕｒ—ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｓｃｈｕｒ－ｃｏｎｃａｖｉｔｙ　ｉｎ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　＾（　），　＾（　）ａｎｄ　＾（　）一　（　）　ａｒｅ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ａｎｄ　ｓｏｍｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎａｌ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ａｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｓｃｈｕｒ－ｃｏｎｃａｖｉｔｙ；Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　

１引言　在本文中，／Ｖ和　分别表示ｎ维实数集和ｎ维正实数集，并记　＝Ｒ和砖＝Ｒ＋，对于（　，　，…，　）Ｅ跫，　ｋ：１，２，…，ｎ．在文［１］中有　

我们定义　∑　㈤：　““　一“　Ｓ一∑　‘　

（　）＝　∑　１ｓｆｌ‘ｉ２《’　娶　：∑　“　＋　““　“　。　（２）　

其中．ｓ＝∑　，．若ｋ＝０，规定　（　）＝　（　）＝１；若　＞　，规定　（　）：　（　）＝０・　定义１（２，３　设　，ｙ∈　，　与ｙ分量的递减重排分别记为　…　２］≥…≥　…－ｒ：ｊｙＩ１］≥，，［２］≥…　ｙ　，若　∑　［ｆ］≤　，，［ｆ］，　＝ｌ，２，…，ｎ一１，且　［ｆ］：　ｙ［ｆ］，则称　被　所控制，记作　＜Ｙ・　定义２　，　设Ｇ　ｃ　Ｒｎ为对称凸集合　Ｇ—　，若　＜ｙ＝ｃｆ（ｘ）≤（≥），（ｙ），ｘ，ｙ∈Ｇ，则乖　为Ｇ上的ｓｃｈｕｒ凸（凹）　函数．　

不等式知识

不等式知识

不等式知识

目录：

三道小题 （一）一些基础。。。

（二）不等式的一些直观解释。。。

（三）谈谈放缩法。。。

（四）杂谈 关于配方法。。。

（五）杂谈 差分代换。。。

（六）杂谈 谈谈切线法及其推广

（七）介绍几个重要的不等式①。。。

（八）介绍几个重要的不等式②。。。

（九）杂谈 再谈配方法。。。。

（十）关于函数实根分别和不等式解集问题。。。。。。。

（十一）谈谈齐次形式不等式的程序化处理①对称整理类。。。

（十二）谈谈齐次形式不等式的程序化处理②Schur拆分法。。。

（十三）细化赫尔德(Hölder)不等式&引入闵可夫斯基(Minkowski)不等式。。。。

（十四）幂平均函数及其他。。。。。。。

（十五）SOS定理。。。

（十六）凸函数理论及受控理论。。。

（十七）杂谈 克劳修斯（Clausius）不等式与热力学第二定律。。。。

（十八）关于机械化方法的历史。。。

（十九）多元函数极值的偏导方法。。。。

（二十）解析——几何与代数的桥梁

小测试 A（轮换不等式）

小测试 B（含参情况）

小测试 C（对称破缺）

出三道小题，作为你们的自我检测，如果做不上来，你你还需要多练习练习。如果可以，那我们继续看：

①对于实数 x , y , z 证明：

②求 f(x) = x^x 的最小值。

③对于正数 a , b , c 满足 a + b + c = 1 , 证明：

感觉如何？一般来说都可以做出来，我们继续。

一） 一些基础。。。

因为懒，我们发明了这么两个符号:

sss.这是懒到cyc都不写了。。。

之后不引人sym，（写起来）太麻烦。。。

因为懒，再引入逻辑符号：且& ,或|| ,推出=> ,逆推出<= ,等价于<=> ,当且仅当iff

我总说的sss.是“事实上”的意思。。。

说说基本性质：

三分律：任何两个实数都有确定的序关系。

对逆性：a > b <=> b < a

传递性：a > b || b > c => a > c.

控制论常用的矩阵不等式

控制论常用的矩阵不等式

- 1 - 控制论常用的矩阵不等式

控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。

1. 线性矩阵不等式(LMI)

线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。它的形式为：

$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$

其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。

2. Lyapunov矩阵不等式

Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。它的形式为：

$$A^{T}P+PA<-Q$$

其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。该不等式表示的是系统的Lyapunov函数$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。

3. Riccati矩阵不等式 - 2 - Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。它的形式为：

$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$

其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。

4. Schur矩阵不等式

Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。它的形式为：

$$Mprec N$$