递推数列2

求递推数列的通项公式的九种方法

利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和

高中数学联赛的热点之一.

一、作差求和法

例1在数列{na}中，3

1a,)1(1

1nnaa

nn，求通项公式na.解：原递推式可化为：111

1nnaa

nn则,21

11

12aa31

21

23aa

41

31

34aa，……，nnaa

nn1

11

1

逐项相加得：naa

n11

1.故na

n14.

二、作商求和法

例2设数列{na}是首项为1的正项数列，且0)1(

122

1nnnnaanaan（n=1,2,3…），则它的通项公式是

na=▁▁▁（2000年高考15题）

解：原递推式可化为：

)]()1[(

11nnnnaanaan

=0∵nnaa

1＞0，11



nn

aa

nn则,43,

32,

21

34

23

12aa

aa

aa……，nn

aa

nn1

1

逐项相乘得：naa

n1

1，即na=

n1

.

三、换元法

例3已知数列{na}，其中

913,

34

21aa，且当n≥3时，)(31

211nnnnaaaa，求通项公式na（1986

年高考文科第八题改编）.

解：设11nnnaab，原递推式可化为：

}{,

31

21nnnbbb

是一个等比数列，91

34

913

121aab，公比为31.故nnn

nbb)

31()

31(

91)

31(22

11

.故n

nnaa)

31(

1.由逐差法可得：n

na)

31(

21

23

.

例4已知数列{na}，其中2,1

21aa，且当n≥3时，1221nnnaaa，求通项公式na。解由

12

21nnnaaa得：1)()(

211nnnnaaaa，令11nnnaab，则上式为1

21nnbb，因此}{

nb

是一个等差数列，1121aab，公差为1.故nbn.。

二、数列的递推公式与通项公式、前n项和公式

一、知识点回顾：

1、递推公式定义：如果已知数列na的第1项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=11sssnn 12nn。

在数列｛an｝中，前n 项和Sn 与通项公式an 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。

注意：（1）用1nnnSSa求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n，当1n时，11Sa）；若a1 适合由an的表达式，则an 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

（2）一般地当已知条件中含有na与nS的混合关系时，常需运用关系式1nnnSSa，先将已知条件转化为只含na或nS的关系式，然后再求解。

3、数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。一般地当已知条件中含有na与nS的混合关系时，常需运用关系式1nnnSSa，先将已知条件转化为只含na或nS的关系式，然后再求解。

⑶已知12()naaafn求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnfnanfn。

⑷若1()nnaafn求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa

1a(2)n。

⑸已知1()nnafna求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。

⑹已知递推关系求na，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）。特别地有

①形如1nnakab、1nnnakab（,kb为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na。

２０２３

年８

月上半月　

竞赛强基　

一类二次非线性递推数列的通项公式

和上下界估计

◉

广东省深圳中学　

阮　

禾

摘要:数列是高中数学的重难点内容,其中对于等差数列、等比数列以及一次线性的递推数列和分式递推数列都有比较

成熟的研究,但是关于二次非线性递推数列的研究很罕见．

本文中给出了一类二次非线性递推数列的通项公式．

关键词:二次非线性递推数列;通项公式;上下界估计

１

问题起源

引例　

已知数列{a

n},

n∈N∗,满足

a

n＋１＝a２

n－

２,且

a

１＝５２,求

a

n{}的通项公式．

上述引例是复习数列时,学生问笔者的一道题．

这

是一类比较特殊的数列．

事实上,题目中的常数项－２

是解题的难点,因此本题的突破点在于如何把－２

消

解掉．

我们考虑如下代换:

令a

n＝b

n＋１

b

n,易知

b

n＞０,且不妨设

b

１＝２．

代入a

n＋１＝a２

n－２,得

b

n＋１＋１

b

n＋

１＝b

２

n＋１

b２

n．

当b

n＋１＝b２

n时,上述式子恒成立,在此条件下得

到lnb

n＋１＝２lnb

n,于是

lnb

n{}构成等比数列．

由于

lnb

１＝ln２,因此可得

lnb

n＝２n－１ln２,故

b

n＝２２n－１

,

故a

n＝２２n－１

＋１

２２n－１．

通过验证可知上述a

n是满足题目的一个解,又

根据原数列的递推公式可知该数列有且仅有一个解,

因此上述解即为满足题目的全部解．

点评:上述代换方法具有一定的技巧性,在得到

b

n＋１＋１

b

n＋

１＝b

２

n＋１

b２

n这个式子后,我们是直接找了满

足该式的一个解而不是试图给出全部解,最后通过数

列{a

n}的唯一性确定了本题的全部解

．

事实上,假设

b

n＋１＝１

b２

n也能得到相同的结果．

２

主要结果

在前述引例的基础上,笔者进行了推广,得到如

下定理:定理　

已知数列{x

n},

n∈N∗,满足

x

n＋１＝ax２

n＋

bx

n＋c,

a,

b,

c∈R,

a＞０,

x

１是给定实数,令p＝

b２－４ac－２b４,

y

１＝ax

１＋b２,已知

y

１≥１,则有以下三

种情形:

(

１)

p＝０

时,x

n＝a２n－１－１

(

x

１＋b

２a)２n－１

第2课时数列的递推公式学习目标1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累

乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式．导语

同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密

不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数

列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1.

一、数列通项公式的简单应用

例1(教材P5例3改编)已知数列{an}的通项公式是a

n＝2n2－n，n∈N*.

(1)写出数列的前3项；

(2)判断45是否为数列{a

n}中的项，3是否为数列{a

n}中的项．

解(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.

(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－9

2(舍去)，

故45是数列{an}中的第5项．

令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝3

2，故3不是数列{an}中的项．

反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法

数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，

就可以求出数列的相应项．

(2)判断某数值是否为该数列的项的方法

先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一

项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．

跟踪训练1已知数列{an}的通项公式为a

n＝qn，n∈N*，且a4－a

2＝72.

(1)求实数q的值；

(2)判断－81是否为此数列中的项．

解(1)由题意知q4－q2＝72，

则q2＝9或q2＝－8(舍去)，

∴q＝±3.

(2)当q＝3时，a

n＝3n.

显然－81不是此数列中的项；

当q＝－3时，an＝(－3)n.

令(－3)n＝－81，无解，

∴－81不是此数列中的项．

二、数列的递推公式

问题1如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根