条件概率与事件的独立性练习 (1)

第51讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式练习1A组夯基精练一、单项选择题(选对方法，事半功倍)1. (2023·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是()A. 0.819 2B. 0.972 8C. 0.974 4D. 0.998 42. 已知P(A)>0，P(B|A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B()A. 互斥B. 对立C. 相互独立D. 以上均不正确3. 每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1 h，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1 h的学生中任意调查一名学生，则这名学生近视的概率为()A. 716 B.38C. 516 D.144. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为34，如果他前一球没投进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为()A. 34 B.58C. 716 D.916.二、多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有()A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品的概率为0.06B. 任取一个零件是次品的概率为0.052 5C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为2 7D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2 76. 甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是()A. A1，A2互斥B. P(B|A2)＝2 3C. 事件B与事件A2相互独立D. P(B)＝9 14三、填空题(精准计算，整洁表达)7. 冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，医务工作者行动会更方便．研究人员得到石墨烯后，在制作石墨烯发热膜时有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为23，且各生产环节相互独立，则成功生产出质量合格的发热膜的概率为________．8. 抛掷3个骰子，事件A＝“三个骰子向上的点数互不相同”，事件B＝“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，则P(A|B)＝________.9. 已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为34，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．若小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为________．四、解答题(让规范成为一种习惯)10. (2023·济宁模拟)甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A，在点A处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B，在点B处投中一球得3分，不中得0分．已知甲、乙两人在A处投中的概率都是1 2，在B处投中的概率都是13，且在A，B两处投中与否相互独立，规定甲、乙两人先在A处各投篮一次，然后在B处各投篮一次，总得分高者获胜．(1) 求甲投篮总得分ξ的分布列；(2) 求甲获胜的概率．11. 2023年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名．(1) 从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；(2) 先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率．B组滚动小练12. (2023·聊城期中)已知a>b>1，若log a b＋log b a＝103，ab＝b a，则a＋b＝________.13. 在数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋a n＋1＝2n＋1，n∈N*，则数列{a n}的通项公式为________．第51讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式练习2A组夯基精练一、单项选择题(选对方法，事半功倍)1. (2023·日照三模)若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的阴影部分的面积表示()(第1题)A. 事件A发生的概率B. 事件B发生的概率C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率D. 事件A，B同时发生的概率2. (2023·泰安二模)已知盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5，现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为()A. 15 B.25C. 12 D.383. (2023·惠州模拟)甲罐中有5个红球、3个白球，乙罐中有4个红球、2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1，A2表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是()A. P(B|A1)＝1021 B. P(C|A2)＝47C. P(B)＝1942 D. P(C)＝43844. (2023·柳州三模)某班数学老师和同学们进行一个游戏，游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的5名同学并按顺序排好，每位同学手里均有5张除颜色外无其他区别的卡片，第k(k＝1,2,3,4,5)位同学手中有k张红色卡片，5－k张白色卡片．老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则老师获胜，否则学生获胜，老师获胜的概率为()A. 15 B.25C. 35 D.45二、多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5. (2023·武汉模拟)一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4，抛掷该正四面体两次，记事件M＝“第一次向下的数字为1或2”，事件N＝“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是()A. 事件M发生的概率为1 2B. 事件M与事件N互斥C. 事件M与事件N相互独立D. 事件M＋N发生的概率为1 26. (2023·襄阳模拟)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：P(A|B)＝P(A)P(B|A)P(B).某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学()A. 第二天去甲餐厅的概率为0.54B. 第二天去乙餐厅的概率为0.44C. 第二天去甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为5 9D. 第二天去乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为4 9三、填空题(精准计算，整洁表达)7. (2023·邯郸模拟)同时抛掷两枚质地均匀的骰子两次，记事件A＝“两枚骰子朝上的点数之积均为偶数”，事件B＝“两枚骰子朝上的点数之和均为奇数”，则P(B|A)＝________.8. (2023·武汉期初)一电器商城出售的某种家电产品来自甲、乙、丙三家工厂，这三家工厂的产品比例为1∶2∶1，且它们的产品合格率分别为96%,95%,98%，现从该商城的这种家电产品中随机抽取一件，则取到的产品是合格品的概率为________．9. (2023·临沂三模)某足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置，且出场率分别为0.3,0.5,0.2，当甲球员在相应位置时，球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6.据此判断当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为________．四、解答题(让规范成为一种习惯)10. (2023·泰安模拟)某百科知识竞赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛．比赛最多有三局，第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答．比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局．已知甲、乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为13，12，快问快答局获胜与平局的概率分别为13，16，抢答局获胜的概率为13，各局比赛相互独立．(1) 求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；(2) 已知乙最后晋级决赛，但不知甲、乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率．11. (2023·丽水、湖州、衢州11月联考)自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节．自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点(也称强基计划)．下表是某高校从2018年起至2023年通过自主招生或强基计划在部分专业的招生人数：(1) 统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系．记x 为年份与2017的差，y 为当年数学、物理和化学的招生总人数，试用最小二乘法建立y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2023年的数学、物理和化学的招生总人数(结果四舍五入保留整数)；(2) 在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2020年强基计划录取结果进行抽检，此次抽检从这20名学生中随机选取3位学生进行评审．记选取到数学专业的学生人数为X ，求随机变量X 的数学期望E (X )；(3) 经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占76%，五年毕业的占16%，六年毕业的占8%.现从2018到2023年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，若该生是数学专业的学生，求该生恰好在2025年毕业的概率．附：在y ＝b ∧x ＋a ∧中，b ∧＝i ＝1n (x i －x )(y i －y )i ＝1n (x i －x )2，a ∧＝y －b ∧x .B 组 滚动小练12. (2023·岳阳调研)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且2 0202 023·S 2023＝S 2 020＋3 030，a 4为a 2与a 8的等比中项．(1) 求{a n }的通项公式．(2) 若b n ＝a n ·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(3) 若c n＝na n，判断数列{c n}是否存在最大项和最小项，若存在，求{c n}的最大项和最小项；若不存在，请说明理由．。

条件概率的独⽴性1第三章条件概率的独⽴性习题3 ⼀．填空题1.设A.B 为两个互相独⽴事件，若P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，则(P B A ?)=2.在⼀次实验中A 发⽣的概率为p ，现在进⾏n 次独⽴重复试验，那么事件A ⾄少发⽣1次的概率为3.设A.B.C 构成⼀完备事件组，且P(A)=0.4，P(B )=0.7，则P （C ）= ,p(AB)=4.若P(A)=21,P(B)=31，P(A B )=32,则P(B A )= 5.某⼈向同⼀⽬标重复独⽴射击，每次命中⽬标的概率为P(02次命中⽬标的概率为⼆．选择题1. 同⼀⽬标进⾏5次射击，每次命中的概率为0.8，则恰好命中两次的概率为（） (A) 0.00512 (B) 0.64 (C) 0.256 (D) 0.05122. 5⼈以摸彩的⽅式决定谁从五张彩票中摸的⼀张电影票，设Ai 表⽰“第i 次个⼈摸到电影票”(i=1,2,3,4,5),则下列结果不正确的是（） (A) P(1A 2A )=41 (B) P(2A )= 54 (C) P(2A )=51 (D) 53)(21=A A P 3 袋中有5个球（3个新球，2个旧球），现每次取⼀个，⽆放回的抽取两次，则第⼆次取到新球的概率为（ )53)(A 43)(B 42)(c 103)(D 4,对于任意两个事件A 与B ，下⾯结论正确的是（） (A)若P(A)=0，则A 是不可能事件(B)若P(A)=0，P(B)≥0，则事件B 包含事件A(C)若P(A)=0，则P(B)=1，则事件A 与事件B 对⽴ (D)若P(A)=0，则事件A 与B 独⽴三，计算题1.设A 与B 是两个随机事件，且P(A)=41,31)(=A B P ,21)(=B A P ,试求P(B A ?). 2.设A 与B 是两个随机事件，P(A)=0.7，P(B)=0.6，，4.0)(=A B P 试求P(B A ?).3.如果每次试验成功的概率都是P ，并且已知在三次独⽴重复试验中⾄少成功⼀次的概率为2719，试求P 的值. 4.设随机事件A 与B 互相独⽴，P(A)=P(B)=a-1，P()B A ?=97,求a 的值. 四．应⽤题1.三⼈独⽴的同时解答⼀道题，他们每⼈能够解出的概率为21，4131，，求此题能破解出的概率.2.设在全部产品中有2％是废品，⽽合格产品中有85％是⼀级品，求随机抽出⼀个产品是⼀级品的概率.3.汽车保险公司得到投保⼈资料如表3-1所⽰：5.设10个考签中4个难签，今有3⼈按甲先，⼄次，丙最后的次序参加抽签(不放回），求：（1）甲没有抽到难签⽽⼄抽到难签的概率；（2）甲，⼄，丙都抽到难签的概率.6.设有4个独⽴⼯作的原件1,2,3,4 他们的可靠性都是p,将他们按图3.2的⽅式联接，求整个系统的可靠性.7.甲，⼄两⼈独⽴的对同⼀⽬标射击⼀次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知⽬标被击中，求他是甲击中的概率。

我们必须假定各局比赛结果相互独立1采用三局二胜制0604pa0604pa060406pbcpc33p33习题9nnppapapaapapaa34p33例10nnppapapaapapaa35p33习题7a产品被接收papbpab1010100990050990050480636p33习题1101papba37辅导用书p46习题3a相邻2节在一起b相邻3节在一起c相邻4节在一起38辅导用书p48习题21次独立试验中事件出现奇数次的概率记为0011qpcpqcpqcpqcpqcpqcpqcpqcpqcpq3912cpqcpqcpqcpqcpqcpqcpqcpqcpq41辅导用书p48习题23nnppapapaapapaa42辅导用书p48习题24papbab与互不相容前次试验与都没出现第次试验出现121431113121845第三章随机变量及其分布第一节随机变量和分布函数在随机现象中有很大一部分问题与数值发生关系
Ai “发出的信号为i”，i 0,1
Bj “接收到的信号为j”，j 0, x,1
P( A0 Bx ) 0.75, P( A1 Bx ) 0.25
第三节 贝努利概型 定义：有一随机试验，观察事件A发生与否，
P( A) ˆ p(0 p 1), P( A) 1 p ˆq
Ai “第i次试验中A发生”
P( Ai ) p, i 1, 2,3, 4,5
A1 , A2 , A3 , A4 , A5独立
P({8 }) P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) pq
3 2
B0 32
A “10台机床能够正常工作”
Bk “10台机床中有k台机床开动”

7
见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，
所以二者不是相互独立事件.
【类题通法】
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相
互影响；
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的
概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件；
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)=P(B)判断.
3 5
25
【类题通法】概率问题中的数学思想
(1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+P()=1)
简化问题，是求解概率问题最常用的方法；
(2)化繁为简.将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，
即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几
类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑
A1，A2，…，An相互独立.
2.若事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发
生的概率，等于每个事件发生的概率积，即
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
【定向训练】
张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他
预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率
是0.60，做对第一道题与做对第二道题互不影响，估
解：(1)设事件A表示：观众甲选中3号歌手且观众乙未选
中3号歌手.
2
观众甲选中3号歌手的概率为 ，观众乙未选中3号歌手的
3
3
2
3
4
概率为1- ，所以P(A)= ×(1- )= .
5
3
5 15
因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概