《概率学》1.4条件概率与独立性

概率论与数理统计目录一、随机事件及其概率1.1 随机事件的基本概念定义与分类事件的运算1.2 概率的定义与性质概率的公理化定义概率的基本性质1.3 古典概型与几何概型古典概型的计算几何概型的计算1.4 条件概率与独立性条件概率事件的独立性1.5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式贝叶斯公式及其应用二、随机变量及其分布2.1 随机变量的概念随机变量的定义随机变量的分类2.2 离散型随机变量及其分布常见的离散型分布分布律与分布函数2.3 连续型随机变量及其分布常见的连续型分布概率密度函数与分布函数2.4 随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量的概念联合分布函数边缘分布3.2 多维离散型随机变量联合分布律边缘分布律3.3 多维连续型随机变量联合概率密度函数边缘概率密度函数3.4 条件分布离散型条件分布连续型条件分布3.5 随机变量的独立性独立性的定义独立性的判定与性质四、数字特征4.1 数学期望数学期望的定义与性质数学期望的计算4.2 方差方差的定义与性质方差的计算4.3 协方差与相关系数协方差的定义与性质相关系数的定义与性质4.4 矩与协矩阵矩的定义与计算协矩阵的定义与计算五、大数定律与中心极限定理5.1 大数定律切比雪夫大数定律伯努利大数定律5.2 中心极限定理林德贝格-莱维中心极限定理德莫佛尔-拉普拉斯中心极限定理六、数理统计的基本概念6.1 总体与样本总体的定义与性质样本的定义与性质6.2 统计量与抽样分布统计量的定义与性质常见的抽样分布七、参数估计与假设检验7.1 参数估计点估计区间估计7.2 假设检验假设检验的基本概念单侧检验与双侧检验正态总体的假设检验八、回归分析与方差分析8.1 回归分析一元线性回归多元线性回归回归模型的检验与预测8.2 方差分析单因素方差分析双因素方差分析方差分析的应用。

《概率论与数理统计》课程教学进度与教案表第一章：概率论的基本概念1.1 随机试验与样本空间1.2 事件及其运算1.3 概率的基本性质1.4 条件概率与独立性1.5 贝叶斯定理第二章：随机变量及其分布2.1 随机变量的定义及其分类2.2 离散型随机变量的概率分布2.3 连续型随机变量的概率密度2.4 随机变量的期望与方差2.5 大数定律与中心极限定理第三章：多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量的联合分布3.2 边缘分布与条件分布3.3 随机变量的独立性3.4 随机向量的重要结论3.5 协方差与相关系数第四章：数理统计的基本概念4.1 统计量及其性质4.2 点估计与区间估计4.3 假设检验的基本方法4.4 参数估计的置信区间4.5 假设检验的错误类型与功效第五章：回归分析与相关分析5.1 一元线性回归模型5.2 回归模型的参数估计5.3 回归模型的检验与预测5.4 多元线性回归模型5.5 相关分析与协方差分析第六章：大数定律与中心极限定理6.1 大数定律的意义及其应用6.2 中心极限定理的证明与意义6.3 样本均值的分布6.4 样本方差的估计6.5 样本分布的性质第七章：假设检验7.1 假设检验的基本概念7.2 常见的检验方法7.3 检验的统计功效与类型II 错误7.4 参数估计的显著性检验7.5 非参数检验方法第八章：回归分析8.1 简单线性回归分析8.2 多元线性回归分析8.3 回归模型的诊断与改进8.4 回归分析的应用实例8.5 岭回归与套索回归第九章：时间序列分析9.1 时间序列的基本概念9.2 平稳时间序列的性质9.3 自相关函数与偏自相关函数9.4 时间序列的模型建立9.5 预测与控制方法第十章：贝叶斯统计10.1 贝叶斯统计的基本概念10.2 贝叶斯估计方法10.3 贝叶斯推断的应用10.4 贝叶斯决策理论10.5 贝叶斯网络及其应用重点和难点解析一、事件及其运算补充说明：通过具体例子解释事件的包含关系、交集、并集、补集等概念，以及如何运用这些概念解决实际问题。

§4 条件概率与事件的独立性一、条件概率二、全概率公式，贝叶斯(Bayes)公式三、事件独立性四、贝努里概型补充和注记习题一、条件概率任一个随机试验都是在某些基本条件下进行的，在这些基本条件下某个事件A的发生具有某种概率. 但如果除了这些基本条件外还有附加条件，所得概率就可能不同.这些附加条件可以看成是另外某个事件B发生.条件概率这一概念是概率论中的基本工具之一. 给定一个概率空间ΩF，并希望知道某一事件A发生的可能性大小. 尽管我们不可能完全知(,,)P道试验结果，但往往会掌握一些与事件A相关的信息，这对我们的判断有一定的影响. 例如，投掷一均匀骰子，并且已知出现的是偶数点，那么对试验结果的判断与没有这一已知条件的情形有所不同. 一般地，在已知另一事件B发生的前提P A.下，事件A发生的可能性大小不一定再是()已知事件B发生条件下事件A发生的概率称为事件A关于事件B的条件概率P A B.(conditional probability)，记作(|)在某种情况下，条件的附加意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算.例1盒中有球如右表1-2.任取一球，记A={取得蓝球}，B={取得玻璃球}，显然这是古典概型.Ω包含的样本点总数为16，A包含的样本点总数为11，故11()16P A =.表1-2如果已知取得为玻璃球，这就B 是发生条件下A 发生的条件概率，记作(|)P A B . 在B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，也即把样本空间压缩到玻璃球全体. 而在B 发生条件下A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==.一般说来，在古典概型下，都可以这样做.但若回到原来的样本空间，则当()0P B ≠，有(|) B A P A B B AB B 在发生的条件下包含的样本点数＝在发生的条件下样本点数包含的样本点数＝包含的样本点数 AB P AB B P B 包含的样本点数/总数（）＝＝包含的样本点数/总数（）.这式子对几何概率也成立. 由此得出如下的一般定义.定义1 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）.(1)反过来可以用条件概率表示A 、B 的乘积概率，即有乘法公式若()0P B ≠，则()()(|)P AB P B P A B =,(2)同样有若()0P A ≠，则()()(|)P AB P A P B A =.(2)'从上面定义可见，条件概率有着与一般概率相同的性质，即非负性，规范性和可列可加性. 由此它也可与一般概率同样运算，只要每次都加上“在某事件发生的条件下”即成.两个事件的乘法公式还可推广到n 个事件，即12121()()(|)n P A A A P A P A A =⋅312121(|)(|)n n P A A A P A A A A -⋅ (3)具体解题时，条件概率可以依照定义计算，也可能如例1直接按照条件概率的意义在压缩的样本空间中计算；同样，乘积事件的概率可依照公式(2) 或(2)'计算，也可按照乘积的意义直接计算，均视问题的具体性质而定. 例2 例2 n 张彩票中有一个中奖票. ① 已知前面1k -个人没摸到中奖票，求第k 个人摸到的概率； ② 求第k 个人摸到的概率.解 问题 ① 是在条件“前面(1)k -个人没摸到”下的条件概率. ② 是无条件概率. 记iA ={第i 个人摸到}，则 ① 的条件是A A A k 121 -. 在压缩样本空间中由古典概型直接可得① P(A k |A A A k 121 -)=11n k -+；② 所求为()k P A ，但对本题，A k =A A A k 121 -A k , 由(3)式及古典概率计算公式有()k P A ＝P (A A A k 121 -A k )＝P A P A A P A A A P A A A A k k ()(|)(|)(|)121312121 -123111221n n n n k n n n n k n k ----+=⋅⋅⋅---+-+1n =.这说明每人摸到奖券的概率与摸的先后次序无关.例3 甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲乙两市至少一市下雨的概率. 解 分别用A ，B 记事件{甲下雨}和{乙下雨}. 按题意有，()20%P A =，()18%P B =，()12%P AB =.① 所求为()122(|)()183P AB P A B P B ===.② 所求为()()()()P A B P A P B P AB =+-20%18%12%26%=+-=.二、全概率公式，贝叶斯(Bayes)公式对于较为复杂的事件，需要综合运用上面提到的一些基本公式. 先介绍一个基本概念.定义2 若事件组12{,,,,}n A A A 满足下列两条件：①iA ，1,2,i =，两两互不相容，且()0i P A >；②1i i A ∞==Ω∑， 则称12{,,,,}n A A A 是Ω的一个完备事件组，也称是Ω的一个分割.最简单的完备事件组是{A ，}A . 全概率(total probability)公式 设12{,,,,}n A A A 是一个完备事件组，则有1()()(|)i i i P B P A P B A ∞==∑. (4)证 注意到i iA B A ⊂，故()()i j A B A B =∅，i j ≠，i ，j =1，2，…. 因此由可列可加性得11()()()()i i i i P B P B P B A P A B ∞∞===Ω==∑∑11()()(|)i i i i i P A B P A P B A ∞∞====⋅∑∑.公式(4)意味着“全”部概率()P B 被分解成了一些部分之和. 如果在较复杂的情况下不易直接计算()P B ，但B 总是随某个iA 伴出，而()i P A 和(|)i P B A 又易于计算，我们就可应用全概率公式去计算()P B .例4 有5个乒乓球，其中3个新的2个旧的. 每次取一个，无放回地取两次，求第二次取时得新球的概率.解 记A ={第一次取时得新球}，B ={第二次取时得新球}，因为第二次得新球这事件的概率与第一次是否得新球有关，即事件B 可以与完备事件组{A ，}A 联系起来. 又3()5P A =，2()5P A =，且 2(|)4P B A =，3(|)4P B A =，故由从公式(4)有3()()(|)()(|)5P B P A P B A P A P B A =⋅+=.例5 播种用的一等小麦种子中混合2 % 的二等种子，1. 5 %的三等种子以及1%的四等种子. 用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0. 5，0. 15，0. 1，0. 05. 任选一颗种子，求它所结的穗含50颗以上麦粒的概率.解 记 B ={所选种子结穗含50颗以上麦粒}，iA ={所选种子是第i 等}，i =1，2，3，4.1234{,,,}A A A A 构成一完备事件组，已知1()95.5%P A =，2()2%P A =，3()1.5%P A =，4()1%P A =，1(|)0.5P B A =，2(|)0.15P B A =，3(|)0.1P B A =，4(|)0.05P B A =， 故41()()(|)0.4825i i i P B P A P B A ==⋅=∑.例6 求上例中“任选一颗种子，发现其所结穗确含有50颗以上麦粒，求它是第一等种子”的概率.解 这相当于求1(|)P A B . 按条件概率定义，并利用公式(2)'和(4)，可得111141()()(|)(|)()()(|)i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A =⋅==⋅∑0.9550.50.98970.4825⨯==.同理可求出它是第二等、第三等、第四等种子的概率.从这个例子引出一个与全概率公式密切相关的公式——贝叶斯公式. 设12{,,,,}n A A A 是一个完备事件组，则1()(|)(|)()(|)i i i kkk P A P B A P A B P A P B A ∞=⋅=⋅∑， i =1，2， (5)()i P A 是在没有进一步的信息（不知B 是否发生）的情况下人们对iA 发生可能性大小的认识，称为先验(Priori)概率；现在有了新的信息（知道B 发生），人们对iA 发生的可能性大小有了新的估计，得到条件概率(|)i P A B ，称为后验(Posteriori)概率.如果把B 看成“结果”，i A，,,2,1 =i 看成导致这一结果的可能的“原因”.则全概率公式可以看成为“由原因推结果”，而贝叶斯公式正好相反，可以看成是“由结果推原因”. 现在一个结果B 发生了，那么导致这一结果的各种不同的原因的可能性大小就可由贝页斯公式求得.例7 用血清甲胎蛋白法诊断肝癌. 用C 表示被检验者确实患有肝癌的事件，A 表示判断被检验者患肝癌的事件，已知(|)0.95P A C =，(|)0.90P A C =，()0.0004P C =.现若有一人被此法诊断患有肝癌，求此人真正患肝癌的概率.解 所求为()(|)(|)()(|)()(|)P C P A C P C A P C P A C P C P A C ⋅=⋅+⋅.(6)因()1()0.9996P C P C =-=，(|)1(|)0.10P A C P A C =-=，将这些数值与已知值代入(6)式，得(|)0.0038P C A =.条件中(|)P A C 表示确实患肝癌的人被确诊有肝癌的概率，(|)P A C=0.95，及(|)0.90P A C =两式表明这检验法还是相当可靠的. 但若有一人被诊断患肝癌，而实际上他真患肝癌的概率(|)P C A 并不大. 如果在分析问题时不运用概率论的思想，是很难理解这一结论的. 事实上因为人群中真正患肝癌的人很少()0.0004P C =，由于检验方法并不完全准确，在大批健康人中还会有一定数量的人被误诊为肝癌. 另一方面，真正肝癌患者在全人口中占很小比例，即使全部被检出，在这两部分被检验为患肝癌的总人数中也只小部分.例8 为判断某木材是桦木还是桉木，先考察它们的某一特征(例如平均亮度)的某个值X ，以1A ，2A 分别表示该木是桦木还是桉木，事先掌握了1()P A ,2()P A ,1(|)P X A ，2(|)P X A ，由公式(5)得21()(|)(|)()(|)i i i kkk P A P X A P A X P A P X A ==∑, i =1，2.若12(|)(|)P A X P A X >，则认定该木是桦木.上述方法称为贝叶斯决策，在模式识别等学科中这种方法有重要的应用, 并有很好的发展前景.三、事件独立性1. 两个事件的独立性事件B 发生与否可能对事件A 发生的概率有影响，但也有相反的情况，即有时有(|)()P A B P A =.(7)这时，()()(|)()()P AB P B P A B P A P B ==⋅. 反过来，若()()()P AB P A P B =⋅,(8)则()()()(|)()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===.这种情况称A 与B 统计独立(statistical independence)，或A 与B 独立. A 与B 不独立也叫A 与B 统计相依(statistical dependence). 当()0P B >时，(7)式与(8)式是等价的，一般情况下独立的定义来用(8)式，因为在形式上它关于A 与B 对称，且便于推广到n 个事件. (8)式也取消了()0P B >的条件. 事实上，若B =∅, 则()0P B =, 同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有(8)式，亦即任何事件都与∅独立. 同理任何事件也与必然事件Ω独立.例9 口袋中有a 只黑球b 只白球，连摸两次，每次一球. 记A ={第一次摸时得黑球}，B ={第二次摸时得黑球}. 问A 与B 是否独立？就两种情况进行讨论：① 有放回；② 无放回.解 因为()0P A >，我们可以用(|)P B A 是否等于()P B 来检验独立性. 对于情况 ①，利用古典概型，有(|)(|)aP B A P B A a b ==+，再利用全概率公式，得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅a ab a a a b a b a b a b a b =⋅+=+++++.故(|)()P B A P B =，A 与B 相互独立.对于情况 ②，此时1(|)1a P B A a b -=+-，(|)1aP B A a b =+-， 再利用全概率公式，有1()11a a b a P B a b a b a b a b -=+++-++- (|)aP B A a b =≠+，A 与B 不独立.例10 求证：若A 与B 互不相容，且()()0P A P B ≠, 则A 与B 一定不独立. 证 A 与B 不相容，则()0()()P AB P A P B =≠, 故A 与B 不独立. 反之，当A 与B 相容时，A 与B 可能独立，也可能不独立. 例11 已知A 与B 独立，求证A 与B ,A 与B ，A 与B 也独立. 证 设A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =, 从而()()()()()P AB P A B P A AB P A P AB =-=-=-()()()()(1())()()P A P A P B P A P B P A P B =-=-=,所以A 与B 也独立. 利用这个结果，则B 与A 的逆事件A 也独立；同理A 与B 独立.很多实际问题中，利用(7)或(8)式来判断A 与B 的独立性是比较困难的，这时往往根据独立的含义直观判断. 例如一个电路系统中两个不同元件出现故障可以认为是相互独立的；但是某一地区的气温和降雨量就不能认为是独立的了.定义3 两个σ域1A , 2A 被称为关于P 是独立的，如果对任意事件1 12 2,A A ∈∈A A 都有1212()()()P A A P A P A =.例如，令{}1 11,,,A A =∅ΩA ,{}222,,,A A =∅ΩA ,那么1A 和 2A 独立当且仅当1A 和2A 独立.2. 多个事件的独立性对n 个事件，除考虑两两的独立性以外，还得考虑其整体的相互独立性. 以三个事件A , B , C 为例.定义4 若()()()()()()()()()P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C =⋅⎫⎪=⋅⎬⎪=⋅⎭(9)且()()()()P ABC P A P B P C =(10)则称A , B , C 相互独立.(9)式表示A , B , C 两两独立，所以独立包含了两两独立. 但A , B , C 的两两独立并不能代替三个事件相互独立，因为还有(10)式. 那么(9)式是否包含(10)式呢？回答是否定的，有例如下：例12 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面为白色，第三面为黑色，第四面红白黑三色都有. 分别用A , B , C 记投一次四面体时底面出现红、白、黑的事件. 由于在四面体中有两面出现红色，故1()2P A =；同理,1()()2P B P C ==；同时出现两色或同时出现三色只有第四面，故1()()()()4P AB P AC P BC P ABC ====,因此()()()P AB P A P B =⋅, ()()()P AC P A P C =⋅， ()()()P BC P B P C =⋅，(9)式成立，A , B , C 两两独立. 但11()()()()48P ABC P A P B P C =≠⋅⋅=,即(10)式不成立.反过来，也有例子说明从(10)式也不能推出(9)式，因此A , B , C 的相互独立必需(9)式与(10)式同时成立.类似地，n 个事件相互独立的定义如下：定义5 若对一切可能的组合1i j k n ≤<<<≤，有1212()()(),()()()(), ()()()(),i j i j i j k i j kn n P A A P A P A P A A A P A P A P A P A A A P A P A P A =⎫⎪=⎪⎬⎪⎪=⎭ (11) 就称A A n 1,, 相互独立.(11)式中共有C C C n n n n n n2321+++=-- 个等式. 并且表明，若n 个事件相互独立，则它们中任意k (2≤<k n )个事件也相互独立.例13 设1,,nA A 相互独立，()i iP A p =，i =1，2，…，n . 求：(1) 所有事件全不发生的概率；(2) 这些事件中至少发生一个的概率； (3) 恰好发生其中一个事件的概率. 解 先把所求各事件表示成1,,nA A 的和、积、逆等形式，再利用概率的运算公式.(1) 所有事件全不发生=12,,,nA A A ，类似于例11，可证12,,,nA A A 也是相互独立的，故所求为1212(,,,)()()()n n P A A A P A P A P A =⋅1(1)ni i p ==∏-.(2)n 个事件中至少发生一个=12nA A A ，它是(1)中事件的逆事件，故1212()1()n n P A A A P A A PA =-11(1)ni i p ==-∏-.当然这里也可以用n 个事件的和的概率公式(§3的 (7) 式)，但不如上面的算法容易.(3) 恰好发生其中一个事件=121121n n n n A A A A A A A A --+++12A AnA ,上面式子中，每一项作为一个事件，各项互不相容，其中每一项中各个事件又是相互独立的，故所求为12111()nk k k n k P A A A A A A -+=∑12111(nk k k nk P A A A A A A -+==∑12111()()()()()()nk k k n k P A P A P A P A P A P A -+==∑11(1)nn k i k i i kp p ==≠=-∑∏.例14 一个系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性. 现有两系统都由同类电子元件A , B , C 、D 所组成，如图1-4.每个元件的可靠性都是p ，试分别求两个系统的可靠性.图1-4解 以R 1与R 2分别记两个系统的可靠性，以A , B , C 、D 分别记相应元件工作正常的事件，则可认为A , B , C 、D 相互独立，有1(())()R P A B C D P ABDACD ==()()()P ABD P ACD P ABCD =+-()()()()()()()()()()P A P B P D P A P C P D P A P B P C P D =+-3 (2)p p =-,2()()()()()()R P AB CD P AB P CD P AB P AC P ABCD ==+=+-22 (2)p p =-.显然21R R >.可靠性理论在系统科学中有广泛的应用，系统的可靠性的研究具有重要意义.3. 试验的独立性与事件的独立性密切相关的是随机试验的独立性. 一般来说，若有n 个试验1E ，2E ，…，nE ，每个试验的每个结果都是一个事件. 如果1E 的任一事件与2E的任一事件与…与nE 的任一事件相互独立，就说1E ，2E ，…，nE 相互独立.记iE 的样本空间为iΩ. 为描述这n 次试验，要构造复合试验E =1(,E2,,)n E E ，对应的样本空间12nΩ=Ω⨯Ω⨯⨯Ω是n 个样本空间的直积. 而E中的样本点ω为(1)()(,,)n ωωω=, 其中()i i ω∈Ω.应该把iE 的任一事件()i A 放到复合的样本空间中，成为复合事件()12(,,,,)i n A ΩΩΩ, 不妨仍记作()i A . 这样，试验12,,,nE E E 独立可表示为，对一切(1)A ，(2)A ，…，()n A 均有(1)(2)()(1)(2)()()()()()n n P A A A P A P A P A =.(12)n 次有放回摸球是n 个试验相互独立的例子，并且这里1Ω=2Ω=…=n Ω，而且各次试验中同样事件的概率相同，这种试验称为n 次重复独立试验，在概率的统计定义中曾提到过. n 次不放回摸球则是n 个试验不独立的例子.下面研究一种重要的重复独立试验模型.四、贝努里概型如果一次随机试验E 只有A 与A 两种相反的结果（掷一枚硬币，只出现“正面”或“反面”；考察一条线路，只有“通”与“不通”；传递一个信号，只有“正确”与“错误”；播下一颗种子，了解它“发芽”与否；观察一台机器“开动”与否…），这种随机试验称为贝努里(Bernoulli)试验. 有时试验的结果虽有多种，但如果只考虑某事件A 发生与否，也可作为贝努里试验，例如抽检一个产品，虽有各种质量指标，但如果只考虑合格与否，就是贝努里试验. 我们可以用A 代表“成功” 而A 代表“失败”，这种抽象的说法来描述贝努里试验. 它的样本空间12{,}ωωω=，其中1A ω=,2A ω=，事件域(,,,)A A =∅ΩF . 给定()P A p =, (01p <<), 则()1P A p =-，就给出了一次贝努里试验的所有事件的概率.常常讨论的是在n 次重复独立的贝努里试验中的情况，这种概率模型称为贝努里概型. 如上一段末所述，它的样本点是(1)()(,,)n ωωω=，其中()i ω是A 或A ，样本点总数为2n . 各样本点出现的概率不全相同，故虽是有限样本空间，却不是古典概型.贝努里概型中，每个样本点即是一个基本事件，由它们又可组成很多复合事件. 利用事件的运算公式和概率的运算公式，可以计算这些事件的概率.例15 某人射击5次，每次命中的概率是0. 8，求事件{前两次命中,后三次不命中}的概率.解 5次射击可看成5次重复独立的贝努里试验. 记A ={一次射击时命中}，则()0.8P A =,()0.2P A =. 所考虑事件=(1)(2)(5)A AA ，其中(1)A(2)A A =，(3)(4)(5)A A A A ===，由独立事件乘积的概率计算，所求概率=2323[()][()]P A P A p q =. 例16 求n 重贝努里概型中kB ={事件A 恰好发生k 次}的概率.解 与上题不同的是这里只指定A 发生的次数，而没有限定在哪几次A 发生，也即可以是头上k 次，也可以是中间某k 次，也可能是最后k 次. 在不致引起误会的前提下，每种基本事件可记为k 个A 与n k -个A 的乘积，而kB 则为这些基本事件的和事件，即11k k n k k n k B AA A AA A AA AAA AA A ----=+个个个个n k k AAA AAA -++个个，(13)它共有kn C 项，各项互不相容，每一项中各事件又是相互独立的. 任一项的概率都是[()][()]k n k k n kP A P A p q --=. 由有限加法定理,()k k n k k n P B C p q -=，记作!(;,)!()!k k n kk n kn n b k n p C p q p q k n k --==-,k =0，1，2，…，n(14)它是二项展开式()nnk k n kn k p q C p q-=+=∑的各项（其和恰好为1），故称为二项分布. 这是贝努里概型中最重要的概率，由它可推出很多事件的概率.例17 n 台同类机器，每台在某段时间内损坏的概率为p ，求在这段时间内不少于m 台能正常使用的概率.解 每台机器能在这段时间内正常使用的概率1q p =-. 又{不少于m 台能正常使用}={}nk mk =∑台能正常使用,和式中各项互不相容，故所求概率为{}(;,)n nk mk mP k b k n q ===∑∑台能正常使用.重新考虑§2的例9：每一次从口袋中拿牙签不是拿甲盒就是拿乙盒，记A ={拿甲盒},A ={拿乙盒}，共拿(21n m -+)次，是贝努里概型. 若发现甲盒先用完，则(21n m -+)次抽用的全部过程可看成{前2n m -次抽n 次甲盒(n m -)次乙盒}∩{最后一次抽甲盒},这种情况的概率=2111222nn mnn m C --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，发现乙盒先用完的概率相同. 所述事件的概率为222111122222n n mn mn n n mn m CC ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.注 如果每次试验的可能结果有两种以上，就不是贝努里试验，但可用类似的分析方法处理. 设一次试验的可能结果为12,,,kA A A , (3k ≥), 它们构成一完备事件组，()i iP A p =,11kii p==∑. 则在n 次重复独立试验中12,,,kA A A 分别出现12,,,kn n n 次的概率为111!!!kn n kk n p p n n .（先固定12,,,kA A A 出现的次序，例如前面1n 次都是1A ，最后kn 次都是kA ，则概率为11k n n kp p ；再变动12,,,kA A A 的次序，得到的各项概率相同，所有项数是变动的可能情况总数，为121k kn n n n n n nC C C -=1!!!k n n n ，各项概率相加，即为所求概率）.补充和注记1. 概率论起源于古代赌博游戏. 但概率的数学模型的提出普遍归功于法国数学家巴斯卡（Pascal ， 1623-1662）和费马（Fermat ， 1601-1655）.他们通过书信讨论有关掷骰子游戏的数学问题，利用排列组合方法精确计算出某些问题的概率，同时创立了关于排列、组合、二项系数等理论. 此后，由于贝努里（Bernoulli ， 1654-1705）、德莫佛（De Moivre 1667-1754）、 贝叶斯(Bayes)、薄丰(Buffon)、勒让德(Legendre)，拉格朗日（Lagrange ）等人的工作，概率论的内容逐渐丰富，到拉普拉斯（Laplace 1749-1827）时所谓古典概率论的结构已基本完成， 《分析概率论》(1812)是其集大成之作. 有关概率的统计或经验的观点主要是由费歇尔(Fisher)、冯-迈思(Von-Mises)发展起来的. 冯-迈思的样本空间概念最终使得人们可以基于测度观点来发展概率数学理论. 现代概率论的公理化体系于20世纪30年代由苏联数学家柯尔莫格洛夫(Kolmogorov,1903-1987)所创立. 这不仅对论述无限随机试验序列或一般的随机过程给出了足够的逻辑基础，而且也极大地促进了数理统计理论的发展.2. 排列与组合 从n 个相异物件取r 个(1)r n ≤≤的不同排列总数为(1)(2)(1)r n P n n n n r =---+. (1)例如，从a ,b ,c ,d 四个字母中任取两个作排列，有4⨯3 =12种：ab ,ba ,ac ,ca ,ad ,da ,bc ,cb ,bd ,db ,cd ,dc . 特别，若n r =, 有!1)1(r r r P r r =-= .(2)(称为全排列). 人们常约定把0!作为1. 当r 不是非负整数时，记号!r 没有意义.从n 个相异物件取r 个(1)r n ≤≤的不同组合总数为))!(!/(!!/r n r n r P C r n rn -==. (3)例如，从a ,b ,c ,d 四个字母中任取两个作组合，有4!/(2!2!)6=种，即ab ,ac ,ad ,bc ,bd ,cd .组合数另一个通用的记号是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n . 当0r =时，按0!1=的约定，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛0n = 1，这可看作一个约定. 对组合数另一常用的约定是，只要r 为非负整数，不论n 为任何实数，公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n =(1)(2)(1)/!n n n n r r ---+都有意义. 故不必限制n 为自然数, 也不必限制n r >. 例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-r 1=(1)(2)(3)()/!r r ----=r )1(-.而n 为自然数且n r <时，则0n r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.组合数n r ⎛⎫⎪⎝⎭又常称为二项式系数，因为它出现在下面熟知的二项式展开的公式中：in i ni nba i nb a -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)(.(4)利用这个关系可得出许多有用的组合公式. 例如，在(4)式中令1a b ==，得nn n n n 210=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ . 令1a =-,1b =, 则得0)1(10=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n . 另两个有用的公式是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k n k n k n 11 (5)和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=i k n i m k n m k i 0.(6)为证明后者，考虑恒等式(1)(1)(1)m n m nx x x ++=++即jn j i m i k nm k x j n x i m x k n m ∑∑∑==+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+000，比较两边kx 的项的系数得(6). 令m n =,k n =, 从(6)式还可得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n n i n i n ni 20.把n 个相异物体分成k 部分，各部分依次有1r ，2r，…，k r 个，则不同的分法有!!!!21k r r r n(7)种，它也是12()nk x x x ++展开式中1212k r r r kx x x 项的系数.对于阶乘数!n 的斯特林(Stirling)公式2!()nnn n e θλ=，10<<θ.习 题1. 把1,2,3,4,5诸数任取其三组成一个三位数，求所得数是偶数的概率.2. 袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率.3. 在一个装有n 只白球n 只黑球n 只红球的口袋中，任取m 只球，求其中白，黑，红球各有m m m 123,,(m m m m 123++=)只的概率.4. 由盛有号码为1,2,…,N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记其号码，求这些号码按严格上升次序排列的概率.5. 在中国象棋棋盘上任放一红车和一黑车，求两车可相互吃掉的概率.6. 对任意凑在一起的40人，求他们中没有两人生日相同的概率.7. 从n 双不同的鞋子中任取2 r (r <n) 只，求下列事件的概率：(1) 没有成双的鞋子；(2) 只有一双鞋子；(3) 恰有两双鞋子；(4) 有r 双鞋子.8. 10层楼的一架电梯在底层登上7位乘客，从第二层起乘客可离开电梯，求每层至多一位乘客离开的概率. (乘客在各层离开是等可能的).9. 从52张的一付扑克牌中，任意取出13张，问有5张黑桃, 3张红心, 3张方块和2张草花的概率是多少？10. 从52张的一付扑克牌中，任取5张，求下列事件的概率：(1) 取得以A 打头的同花顺次5张；(2) 有4张同点数；(3) 5张同花；(4) 三张同点数另两张也同点数.11. 一颗骰子投4次至少得一个6点的概率与两颗骰子投24次至少得一个双六的概率哪一个大？12. 某码头只能容纳一只船. 现知某日将独立来到两只船，且在24小时内来到的可能性均相等，如果它们停靠的时间分别为3小时和4小时，求有一船要在江中等待的概率.13. 在一线段AB 中随机取两点X 1和X 2，求三线段A X 1,X 1X 2,X 2B 可构成三角形的概率.14. 在线段[0,1]上任意投三个点，求由0到这三点的三线段能构成三角形的概率.15. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币，问方格要多小才能使硬币与线不相交的概率小于1%？16. P(φ)=0. 但若有事件A 使P(A)=0，问是否必定有A=φ？如是，请说明理由；否则请举出反例.17. 设A, B, C, D 是四个事件，试用它们表示下列各事件：(1) 四个事件至少发生一个；(2) 四个事件恰好发生两个；(3) A, B 都发生而C, D 不发生；(4) 这四个事件都不发生；(5) 这四个事件至多发生一个；(6) 四个事件至少发生两个；(7) 它们至多发生两个.18. 设A, B, C 是三个事件，说明下列关系式的概率意义：(1) A ∪B ∪C=A; (2) A ⊂BC .19. 在某班同学中任选一位，记A={选到的是男同学}, B={选到的人不喜欢唱歌}，C={选到一名运动员}. (1) 表述ABC 与ABC 的含义； (2) 什么条件下成立ABC=A ？ (3) 何时成立C B ⊂？(4) 何时成立A=B ？20. 元件A, D 与并联电路B, C 串联如右上图. 以A, B, C, D 记相应元件能正常工作的事件.(1) 以A, B, C, D 表示{线路能正常工作}这一事件； (2) 以A B C D ,,,表示{线路不能正常工作}的事件.21. 从两事件相等的定义证明事件的下列运算规律：(1) A B A B =⋅; (2) A B C () =AB ∪AC.22. 袋中n 个球，编号为1,2, …,n. 求下列事件的概率：(1) 任意取出两个球，号码恰为1,2；(2) 任意取出3球，没有号码1；(3) 任意取出5球，号码1, 2, 3中至少出现一个.23. 用数学归纳法证明§3的n 个事件和的概率公式 (7).24. 任取n 阶行列式的展开式中的一项，求它至少包含一个主对角线元素的概率.25. 考试时共有n 张考签, m (m ≥n )个学生参加考试，被抽过的考签立即放回，求在考试结束后，至少有一张考签没有被抽到的概率.26. 在§3例2中，求恰好有k (0≤≤k n) 个人拿到自己枪的概率. 27. 给定p=P(A), q=P(B), r=P(A ∪B)，求P A B ()⋅及P A B ()⋅.28. 已知若A 1与A 2同时发生则A 发生，求证: P(A)≥+-P A P A ()()121. 29. 对任意的随机事件A 1,A 2，求证: (1) P(A 1A 2)=1--P(A 1)--P(A 2)+P(A A 12);(2) 1--P(A 1)--P(A 2)≤P(A 1A 2)≤P(A 1∪A 2)≤P(A 1)+P(A 2).30. 对任意随机事件A, B, C ，求证: P (A B)+P (A C)--P (B C)≤P (A). 31. 求包含事件A, B 的最小σ-域. 32. 在三个孩子的家庭中，已知至少有一个是女孩，求至少一个男孩的概率. 33. n 件产品中有m 件废品，任取两件，求：(1) 所取产品中至少有一件是废品的条件下，另一件也是废品的概率；(2) 所取产品中至少有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率.34. 某厂有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，产量各占25 %, 35 %, 40 %; 在各自的产品里，不合格品各占5 %, 4 %, 2 %.(1) 从产品中任取一只，求它恰是不合格品的概率；(2) 若任取一只恰是不合格品，求它是机器甲生产的概率. 35. 甲袋中a 只白球, b 只黑球; 乙袋中c 只白球, d 只黑球. 某人从甲袋中任取两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，求最后所得两球全为白球的概率. 36. 袋中a (a ≥3) 只白球, b 只黑球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后不放回). 试用全概率公式分别求乙丙各自取得白球的概率.37. 敌机被击中部位分成三部分：在第一部分被击中一弹，或第二部分被击中二弹，或第三部分被击中三弹时，敌机才能被击落. 其命中率与各部分面积成正比，这三部分面积之比为0. 1, 0. 2, 0. 7. 若已中两弹，求敌机被击落的概率. 38. 38. 产品中96%是合格的. 现有一种简化的检查法，把真正的合格品确认为合格品的概率为0. 98，误认废品为合格品的概率为0. 05. 求以简化法检查为合格品的一个产品确实合格的概率. 39.甲乙两人从装有九个球，其中三个是红球的盒子中，依次摸一个球，并且规定摸到红球的将受罚.1). 如果甲先摸，他不受罚的可能性有多大？2). 如果甲先摸并且没有受罚，求乙也不受罚的可能性有多大？ 3). 如果甲先摸并且不得不受罚，求乙不受罚的可能性有多大？ 4). 乙先摸是否对甲最有利？5). 如果甲先摸，并且已知乙没有受罚，求甲也不受罚的可能性有多大？ 40. 8支枪中3支未经校正, 5支已校正. 一射手用前者射击，中靶概率0. 3；。

事件的独立性与条件概率无论事件的独立性如何，条件概率都是一个非常重要的概念。

它的定义是指在某种情况下，某个特定事件发生的概率。

因此，它提供了一种有效的方法来评估特定事件发生的可能性。

它对于对抗风险和机会的筛选也有用，以最大化益处和承担最小的损失。

事件的独立性是指发生某个特定事件是否受到之前发生事件的影响。

如果一个事件发生后，它不会影响其他事件发生的概率，那么它就是独立的。

例如，如果我们将一组随机10个数字抛到空中，其中的每一个数字的概率是一样的，这意味着它们是独立的，并且一个数字出现的可能性不会影响其他数字出现的可能性。

因此，事件的独立性与条件概率关系密切，它们是相互建立起来的。

独立性提供了一种可能性，即某个特定事件可能受到之前发生的其他事件的影响，而条件概率则是确定某个特定事件发生的可能性的概念。

因此，事件的独立性与条件概率之间的关系可以用来计算某个特定事件发生的概率。

在统计学中，事件的独立性与条件概率的关系被称为贝叶斯定理。

它表明，当计算某个特定事件发生的可能性时，必须考虑之前发生的事件，以提高可能性的准确性。

德尔菲法则是一种应用这一原理的工具，它可以帮助识别不同事件之间的相互关系，也可以帮助更准确地计算某个特定事件发生的概率。

总之，事件的独立性与条件概率是一种有效的方法，用于评估特定事件发生的可能性，从而确定抗风险和机会的筛选结果。

它可以在决策中起到重要的作用，帮助人们更准确的承担风险和挖掘开拓互助合作的机会。

此外，条件概率也可以用在机器学习中，有些非常复杂的机器学习模型将使用条件概率作为其特征抽取的一部分，可以更快地对数据进行分析。

例如，当分析一个单词在句子中出现的概率时，可以使用条件概率来计算。

此外，条件概率也可以应用于语音识别，它可以从大量的音频数据中提取信号特征，从而更准确地识别某个声音是什么。

例如，条件概率可以用于根据给定声音识别相应的单词或文本，并且可以用于解决有限数据集中的不平衡分类问题。

大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性大学数学易考知识点：概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中一个重要的分支，研究事物发生的可能性。

在大学数学的学习中，概率论是一个比较常见的考点。

其中，条件概率与独立性是概率论中的两个基本概念。

本文将详细介绍条件概率与独立性的概念、性质以及应用。

一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的计算可以通过实际问题的转化来帮助理解。

例如，某班级有60%的男生和40%的女生，已知班级中80%的学生喜欢数学。

现在要求已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率。

根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(喜欢数学|男生) = P(喜欢数学∩男生) / P(男生)由于已知喜欢数学的学生占总人数的80%，而男生占总人数的60%，则有：P(喜欢数学|男生) = (0.8*0.6) / 0.6 = 0.8所以，在已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率为0.8。

条件概率的计算方法对于实际问题的解决非常有用。

通过合理的条件划分，我们可以计算出各种条件下的概率，从而更好地理解和解决问题。

二、独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。

具体而言，事件A与事件B相互独立的条件为：P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)即事件A发生的概率与事件B发生与否无关，事件B发生的概率与事件A发生与否无关。

两个独立事件的条件概率相等于事件的边际概率。

例如，某扑克牌中共有52张牌，我们从牌中随机抽取一张，记录下此牌的花色，然后将此牌放回。

再次从牌中随机抽取一张，记录下此牌为红桃。

问第一次所抽取的牌为红色的概率是多少？根据题意，第一次所抽取的牌为红色的概率为1/2，因为扑克牌中共有52张牌，其中红色牌有26张。

条件概率与事件的独立性一、课堂目标1．掌握条件概率的定义和计算公式，以及条件概率与乘法公式之间的关系．2．掌握独立事件的定义和性质．3．掌握互斥事件和独立事件的综合应用．4．掌握全概率公式的定义及应用，了解贝叶斯公式．二、知识讲解1. 条件概率知识精讲（1）定义一般地，当事件发生的概率大于时（即），则事件发生的条件下事件发生的概率，称为条件概率，记作.（2）计算公式一般地，设为两个随机事件，且，则：．（3）性质①非负性：条件概率具有的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．②若事件A与B互斥，即与不可能同时发生，则．③可加性：如果和是两个互斥事件，则．（4）条件概率的求法①定义法，先求和，再求；②基本事件法，借助古典型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得．注意：求复杂事件的条件概率时，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，求出这些简单事件的条件概率，再利用概率的可加性，得到最终结果．经典例题A. B.C.D.1.某地气象台预计，月日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则（）．巩固练习A.B.C.D.2.小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二个路口遇到红灯的概率为，在两个路口连续遇到红灯的概率是．某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（）．经典例题A. B.C.D.3.一个盒子内装有个红球，个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球的概率是（）．巩固练习A. B.C.D.4.某盒中装有只乒乓球，其中只新球，只旧球，不放回地依次摸出个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）．经典例题A. B.C.D.5.袋中装有形状和大小完全相同的个黑球，个白球，从中不放回地依次随机摸取两个球，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（）．巩固练习A.B.C.D.6.抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合，令事件，，则的值为（）．2.乘法公式知识精讲由条件概率的计算公式可知，这就是说，根据事件发生的概率，以及事件发生的条件下事件发生的概率，可以求出与同时发生的概率.一般地，这个结论称为乘法公式.经典例题7.甲袋中有个白球，个红球；乙袋中有个白球，个红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球 ,则取到白球的概率是．巩固练习A.B.C.D.8.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（）．A.B.C.D.9.已知箱中有红球个，白球个，箱中有白球个，（、箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从箱中取出个球放入箱，将箱中的球充分搅匀后，再从箱中随意取出个球放入箱，则红球从箱移到箱，再从箱返回箱中的概率等于（）．3. 事件的独立性知识精讲（1）定义当时，与独立的充要条件是这时，我们称事件、相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．（2）独立事件的性质对于两个独立事件和，有如下两个性质：①与，与，与也相互独立；②．经典例题A. B.C.D.10.袋中有大小形状都相同的个黑球和个白球．如果不放回地依次取次球，每次取出个，那么在第次取到的是黑球的条件下，第次取到白球的概率为（）．巩固练习A. B.C.D.11.已知件次品和件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（）．经典例题12.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为，，，则此密码能被译出的概率为．巩固练习13.某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为．4. 互斥事件与独立事件知识精讲互斥事件与独立事件的区别：“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示两个事件不可能同时发生，后者指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．知识点睛已知两个事件，它们的概率分别为.将中至少有一个发生记为事件，都发生记为事件，都不发生记为事件，恰有一个发生记为事件，至多有一个发生记为事件，则它们的概率间的关系见下表.概率互斥相互独立1经典例题A.不相互独立事件B.相互独立事件C.互斥事件D.对立事件14.一袋中装有只白球，只黄球，在有放回地摸球中，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，则事件与是（ ）．巩固练习A.互斥但不相互独立B.相互独立但不互斥C.互斥且相互独立D.既不相互独立也不互斥15.掷一颗骰子一次，设事件：“掷出奇数点”，事件：“掷出点或点”，则事件，的关系（ ）．经典例题A.B.C.D.16.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过概率是（ ）．（1）（2）17.某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为，数学为，英语为，并且该生各科取得第一名相互独立．问一次考试中：三科成绩均未获得第一名的概率是多少？恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？巩固练习18.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该学生恰有一项合格的概率为（ ）．A.B. C.D.A.B.C.D.19.社区开展“建军周年主题活动——军事知识竞赛”，甲乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（）．5. 全概率公式知识精讲（1）公式公式的推导：一般地，如果样本空间为，而为事件，则与是互斥的，且,所以,当且时，由乘法公式得：,所以，．（2）全概率公式的一般结论前面提到的全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分（即与）后得到的.如果将样本空间分成更多互斥的部分，从而得到更一般的结论，如下：定理：若样本空间中的事件满足：①任意两个事均互斥，即；②；③.则对中的任意事件，都有，且.上述公式也称为全概率公式.经典例题20.某射击小组共有名射手，其中一级射手人， 二级射手人， 三级射手人， 四级射手人． 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是、、、． 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率．巩固练习（1）（2）21.某仓库有同样规格的产品箱，其中箱、箱、箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一件产品，求：取得一件产品是次品的概率．若已知取得的一件产品为次品，这件次品是乙厂生产的概率．6. 贝叶斯公式知识精讲（1）贝叶斯公式一般地，当且时，有.这称为贝叶斯公式.（2）贝叶斯公式的推广同全概率公式一样，贝叶斯公式也可以进行推广.定理：若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即；②；③.则对中的任意概率非零事件，有.上述公式也称为贝叶斯公式.经典例题22.甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的，乙厂生产的占；甲厂商品的合格率为，乙厂商品的合格率为．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为 ．巩固练习23.某地区居民的肝癌发病率为 ，现用甲胎蛋白法进行普查医学研究表明，化验结果是存在错误的已知患有肝癌的人其化验结果呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果呈阴性（无病）.现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率有多少？三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测A.B.C.D.24.下面结论正确的是（ ）．若，则事件与是互为对立事件若，则事件与是相互独立事件若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件若事件与是相互独立事件，则与也是相互独立事件25.根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为 ，在下雨天里，刮风的概率为 ．26.已知件产品中有件次品，现逐一不放回的检验，直到件次品都能被确认为止，则检验次数为的概率为 ．27.甲、乙、丙的投篮命中率分别为，，．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率是 ．。