【配套K12】高中数学第一章基本初等函数II1.1任意角的概念与蝗制1.1.2蝗制和蝗制与角度制的换

1.1.1 角的概念的推广课堂导学三点剖析一、任意角的概念角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形,射线旋转时经过的平面部分为角的内部.如图,射线OA 绕端点O 旋转到OB 位置所成的角,记作∠AOB,OA 叫做∠AOB 的始边,OB 叫做∠AOB 的终边;以OB 为始边,OA 为终边的角记作∠BOA.由图知∠AOB=120°,∠BOA=-120°.理解角的概念时要注意角的四要素:顶点,始边,终边和旋转方向,角可以是任意大小的.【例1】 用集合表示下列各角:“0°到90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”“0°—90°的角”.思路分析:解决本题关键是明确这几类角的定义,搞清它们之间的关系.解：0°到90°的角的集合为{α|0°≤α<90°},第一象限角的集合为{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z }.锐角的集合为{α|0°<α<90°}.小于90°的角的集合为{α|α<90°}.0°—90°的角的集合为{α|0°≤α≤90°}.各个击破类题演练 1A={小于90°的角}，B={第一象限角}，则A∩B 等于（ ）A.{锐角}B.{小于90°的角}C.{第一象限的角}D.以上都不对解析：小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限角包括锐角和其他终边在第一象限的角.所以A∩B 是由锐角和终边在第一象限的负角组成，应选D.答案：D变式提升 1时钟的分针所转的角是正角还是负角？经过下列时间分针所转过的角各是多少度？（1）12分钟；（2）2小时15分.思路分析:首先要由分针旋转的方向确定角的符号,其次要注意小时与分的换算.解：分针所转的角是负角，经过1分钟分针所转过的角是︒︒-60360=-6°. (1)分针走12分钟所转过的角是-6°×12=-72°.(2)2小时15分=135分，分针走2小时15分所转过的角是-6°×135=-810°.二、终边相同的角(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点,角的始边与x 轴的非负半轴重合.(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z },即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.(3)明确以下几点:a.k 为整数;b.α为任意角;c.k·360°与α之间用“＋”连结，如k·360°-30°应看成是k·360°+(-30°);d.终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；e.终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.【例2】 与-457°角终边相同的角的集合是（ ）A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z }B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z }C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z }D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z }解法一：∵-457°=-2×360°+263°,∴应选C.解法二：∵-457°与-97°角终边相同，又-97°与263°角终边相同，263°角又与k·360°+263°角终边相同.∴应选C.答案：C温馨提示讨论三角函数问题时，在同一个式子中两种角度制不能混用，如与45°角终边相同的角的集合不能用{x|x=2k π+45°,k∈Z }表示.正确的表示方法为{x|x=k·360°+45°,k∈Z }或{x|x=2k π+4,k∈Z }. 类题演练 2(1)写出与15°角终边相同的角的集合;(2)在(1)的集合中,将适合不等式-1 080°<α<360°的元素α求出来.思路分析:对于(1),可利用终边相同角公式写出.对于(2),可在(1)的基础上,利用满足约束条件的不等式,对其中的k 值,采用赋值法求解. 解:(1)与15°角终边相同的角的集合是M={α|α=k·360°+15°,k∈Z }.(2)在M 中适合-1 080°<α<360°的元素是:取k=-3时,-3·360°+15°=-1 065°.取k=-2时,-2·360°+15°=-705°.取k=-1时,-1·360°+15°=-345°.取k=0时,0·360°+15°=15°,即元素-1 065°,-705°,-345°,15°为所求.变式提升 2如果角α与x+45°具有同一条终边,角β与x-45°具有同一条终边,那么α与β间的关系是( )A.α+β=0B.α-β=0C.α+β=k·360°,k∈ZD.α-β=k·360°+90°,k∈Z解析:∵α=x+45°+k 1·360°,β=x-45°+k 2·360°,k 1,k 2∈Z ,∴α-β=90°+(k 1-k 2)·360°,即α-β=90°+k·360°,k∈Z .答案:D三、象限角当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的正半轴重合时,那么角的终边(除顶点外)在第几象限角就是第几象限角;当角的终边落在坐标轴上时,称为轴线角,这时这个角不属于任何象限.本概念是以“角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴正半轴重合”为前提,否则则不能从终边的位置来判断某角是第几象限角,轴线角这个概念在教材中没有提到.【例3】 已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限思路分析：角α与角-α表示两旋转方向相反，转过的角度相等的两个角.解：因为α是第三象限角，所以k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z .于是-k·360°-270°<-α<-k·360°-180°,k∈Z .所以-α所在范围与（-270°,-180°）范围相同，则-α的终边在第二象限，因此选B.答案：B温馨提示（1）若采用数形结合，角α可看成按逆时针方向旋转，角-α则看成是按顺时针方向旋转;（2）写出象限角的步骤：第一步，在0°—360°范围内，终边在第一象限内角的取值范围是0°<α<90°;第二步，加上360°的整数倍，即加上k·360°，k∈Z .其他各象限角的集合，可仿此步骤写出.类题演练 3求终边为直线y=-x 的角的集合.思路分析:终边共线且反向的角的写法有二:一是分别写出每条终边所代表的角的集合,再取并集;二是在其中一条终边上找出一个角,然后再加上180°的整数倍.解法一:由于y=-x 的图象是第二、四象限的平分线,故在0°—360°间所对应的两个角分别为135°及315°,从而角α的集合为S={α|α=k·360°+135°或α=k·360°+315°,k∈Z },∴S={α|α=k·180°+135°,k∈Z }.解法二:因为终边为y=-x,当x<0时的一个角为135°,所以角α的集合为S={α|α=k·180°+135°,k∈Z }.变式提升 3若α是第二象限的角，则2α、2α各是第几象限的角？写出它们的一般表达形式. 思路分析:对象限角进行和,差,倍,分运算,要注意运用不等式的性质,结果是哪个象限的角,要进行讨论.解：∵α是第二象限角，∴k ·360°+90°<α<k·360°+180°（k∈Z ）.∴2k·360°+180°<2α<2k·360°+３６０°(k∈Z ).∴2α是第三或第四象限角或2α的终边与y 轴的负半轴重合.又∵k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z )， ∴k·180°+45°<2α<k·180°+90°(k∈Z ). 当k=2m(m∈Z ),m·360°+45°<2α<m·360°+90°时，2α是第一象限角； 当k=2m+1(m∈Z ),m·360°+225°<2α<m·360°+270°时，2α是第三象限角. 综上,可知2α是第一或第三象限角. 【例4】 已知角α,β的终边有下列关系,分别求α,β间的关系式:(1)α,β的终边关于原点对称;(2)α,β的终边关于y 轴对称.思路分析:如图.仔细观察坐标系中α,β的终边位置的关系,适当地变换其中一个角,使两角终边共线,以便用数量关系表示出.解:(1)由于α,β的终边互为反向延长线,故α,β相差180°的奇数倍〔如图(1)〕.于是α-β=(2k-1)·180°(k∈Z).(2)在0°—360°间,设α的终边所表示的角为90°-θ,由于α,β关于y轴对称〔如图(2)〕,则β的终边所表示的角为90°+θ.于是α=90°-θ+k1·360°(k1∈Z),β=90°+θ+k2·360°(k2∈Z),两式相加得α+β=(2k+1)·180°(k∈Z).温馨提示(1)角α,β的终边关于直线y=x对称,则α,β之间满足关系α+β=k·360°+90°(k∈Z).(2)角α,β的终边关于直线y=-x对称,则α,β之间满足关系α+β=k·360°+270°,(k∈Z).类题演练 4若角α与65°角的终边相同,角β与-115°角的终边相同,那么α与β之间的关系是( )A.α+β=-50°B.α-β=180°C.α+β=k·360°+180°(k∈Z)D.α-β=k·360°+180°(k∈Z)解析:∵{α|α=k1·360°+65°,k∈Z };{β|β=k1·360°-115°,k∈Z },∴α-β=k·360°+180°(k∈Z).答案:D变式提升 4若角α是第二象限的角,求角2α的集合A.记B={第一、三象限的角},举例说明A B,B A. 思路分析:用集合表示角,特别是求角的交,并以及集合间的关系时,要注意分类讨论思想的运用.解:∵90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),∴A={2α|180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°,k∈Z}.∴270°∈A,270°∉B.∴A B.∵1°∈B,1°∉A,∴B A.温馨提示要证明A B,只需举一特殊值即可,但要证明A⊆B时,必须验证集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.。

1.1.2 弧度制5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角( )A.所对的弧长相等B.所对的弦长相等C.所对弧长等于各自的半径D.所对的弧长为︒︒180'1857R 解析：由弧度制的定义，半径为R 的圆上，其1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 R. 答案：C2.在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为3πcm ，它所对的圆心角为( ) A.6π B.3π C.2π D.32π 解析：设圆心角为θ，则θ=623ππ=. 答案：A3.求图1-1-2中公路弯道处弧的长度l (精确到1 m,图中长度单位:m).图1-1-2解析：∵60°=3π,l=αr,∴l=3π×45≈47(m). 4.将下列各角化成0到2π的角加上2k π(k∈Z )的形式. (1)323π； (2)-323π. 解：(1)323π=35π+6π=35π+3·2π; (2)-323π=3π-8π=3π+(-4)·2π. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.α=-2 rad ，则α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：-2∈(-2π,-π),所以-2 rad 属于第三象限角.答案：C2.下列各角中与127π终边相同的角为( ) A.435° B.465° C.225° D.-435° 解析：127π=7×12π=7×15°=105°. 435°=360°+75°;465°=360°+105°;225°=360°-135°;-435°=-360°+(-75°). 答案：B3.如果一扇形的圆心角为72°，半径等于20 cm ，则扇形的面积为( )A.40π cm 2B.80π cm 2C.40 cm 2D.80 cm 2解析：先把角度化为弧度，然后利用弧度制下的扇形面积公式即可求出结果. 72°=52π,S=21｜α｜r 2=21×52π×202=80π (cm 2). 答案：B 4.已知下列各个角：α1=711π-,α2=6511π,α3=9,α4=-855°. (1)其中是第三象限角的是_______________________;(2)将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？解：(1)α1=711π-=-2π+73π，它是第一象限角； α2=6511π=65047ππ+=84π+67π，它是第三象限角； α3=9=(9-2π)+2π，它是第二象限角;α4=-855°=-3×360°+225°,它也是第三象限角.(1)α2和α4(2)α1=711π-=711-×180°≈-282.86°; α2=6511π=6511×180°=15 330°; α3=9=9×π︒180≈516.66°;α4=-855°=-855×︒180π=419π-. 5.圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，那么这段弧所对的圆心角是弧度. 解析：设圆的半径为r ，则圆内接正三角形的边长为3r,即弧长为3r,所以所求圆心角的弧度数为｜α｜=33=-rr r l . 6.在直径为10 cm 的轮子上有一长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒５弧度的角速度旋转，求经过５秒钟后，点P 转过的弧长.解析：P 到圆心O 的距离PO=2235-=4(cm),即为点P 所在新圆的半径. 又点P 转过的角的弧度数为α=5×5=25，所以弧长为α·OP=25×4=100(cm).7.用弧度制表示下列终边落在阴影内部分的角的集合(图1-1-3)：图1-1-3解：(1)按逆时针方向，在区间［-π，0］上与34π终边相同的角是-32π，故所求集合为S={α|-32π+2k π＜α＜6π+2k π，k∈Z }； (2)S={α|4π+k π＜α＜2π+k π，k∈Z }； (3)S={α|2k π＜α＜3π+2k π或32π+2k π＜α＜(2k+1)π，k∈Z }. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.角316π化为α+2k π(k∈Z ，0＜α＜2π)的形式是( ) A.5π+3π B.4π+34π C.6π-32π D.3π+37π 解析：316π=34π+2×2π=4π+34π. 答案：B2.已知α=9 rad ，β=10 rad ，下面关于α和β的说法中正确的是( )A.都是第一象限角B.都是第二象限角C.分别是第二象限和第三象限角D.分别是第三象限和第四象限角解析：由 1 rad≈57°18′，故57°＜1 rad ＜58°.所以513°＜9 rad ＜522°，即360°+153°＜9 rad ＜360°+162°.因此9 rad 是第二象限角.同理,570°＜10 rad ＜580°，360°+210°＜10 rad ＜360°+220°.因此10 rad 是第三象限角.答案：C3.下列各式不正确的是( )A.终边在x 轴上角的集合是｛α|α=k π，k∈Z }B.终边在y 轴上角的集合是｛α|α=2π+k π，k∈Z } C.终边在坐标轴上角的集合是｛α|α=k·2π,k∈Z }D.终边在直线y=x 上角的集合是｛α|α=4π+2k π，k∈Z } 解析：终边在直线y=x 上的角包括终边在第一象限和第三象限两部分，所以正确表示为｛α|α=4π+k π，k∈Z }. 答案：D4.在半径为1的单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则弦AB 所对圆心角α是( )A.α=3B.α＜3C.α=32π D.α=120 解析：sin2α=23，所以2α=3π,α=32π. 答案：C 5.若θ角的终边与3π的终边相同，在［0，2π］内哪些角的终边与3θ角的终边相同？ 解：∵θ=3π+2k π,k∈Z , ∴3θ=9π+32πk ,k∈Z . 在［0，2π］内与3θ终边相同的角有3个：9π,97π,913π. 6.已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，求此扇形面积和它所含弓形面积.解：设扇形面积为S 扇，所含弓形面积为S 弓，半径为R ，圆心角为α，弧长为l.因为120°=32π，所以有l=αR=32π·6=4π. 则S 扇=21lR=21·4π·6=12π. 所含三角形面积为21×6·sin60°·6·cos60°·2=39. 所以S 弓=12π-39.7.已知两角的和为1弧度，且两角的差为1°,试求这两个角各是多少弧度?解：设两个角的弧度数分别为x 、y ，因为1°=180π rad ，依题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.180,1πy x y x 解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,36021,36021ππy x 即所求角的弧度数分别为21+360π、21-360π. 8.已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值.解：∵l+2R=30，∴S=21lR=21(30-2R)R=-R 2+15R=-(R-215)2+4225. ∴当R=215时，扇形有最大面积4225. 此时，l=30-2R=15，α=Rl =2. 答：当扇形半径为215,圆心角为2时，扇形有最大面积4225. 9.如图1-1-4，已知圆上一点A(1，0)按逆时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ(0<θ≤π)角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又转到与最初位置重合的位置，求θ角的弧度数.图1-1-4解：因为0＜θ≤π，可得0＜2θ≤2π.又因为2θ在第三象限，所以π＜2θ＜23π. 由14θ=2k π(k∈Z )，可得2θ=72πk (k∈Z )， 所以π＜72πk ＜23π，即27＜k ＜421. 所以k=4或5，即θ=74π或θ=75π. 答：θ角的弧度数是74π或75π. 快乐时光同理可证爸爸：“小明，考你一道题，树上有两只鸟，打死一只，还有几只？”小明：“一只.”爸爸：“笨蛋，那只鸟还不被吓跑了！再问你一道简单的问题，如果答不对，小心屁股！听着，屋里只有你一个人，现在爸爸进来了，一共有几个人？”小明：“一个.”爸爸：“怎么还是一个？”小明：“我被吓跑了！”。

1.1任意角的概念与弧度制知识梳理1.任意角(1)角的定义①静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.(2)在平面内，一条射线绕它的端点旋转有顺时针和逆时针两个相反的方向.习惯上规定：按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为零角；旋转生成的角又常称为转角.这样就形成了任意大小的角即任意角.(3)角的记法：用一个希腊字母表示；用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”).(4)角的分类：按旋转方向分为正角、零角、负角；按终边所在位置分为象限角和象限界角.2.终边相同的角(1)规定：将角的始边与x轴的正半轴重合，角的顶点与原点重合，这样就把角放在直角坐标系中.这样给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，但是，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角有无数个.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和的形式.3.象限角和象限界角(1)象限角：在平面直角坐标系xOy中，总是将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，如果角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.(2)象限界角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，我们把它称为象限界角.(3)表示第一象限角的集合：{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}；第二象限角的集合：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z}；第三象限角的集合：{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k∈Z};第四象限角的集合：{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k∈Z}；终边落在x轴的正半轴上的角的集合：{α|α=k·360°,k∈Z}；终边落在x轴的负半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+180°,k∈Z}；终边落在x轴上的角的集合：{α|α=k·180°,k∈Z}；终边落在y轴的正半轴上的角的集合:{α|α=k·360°+90°,k∈Z}；终边落在y轴的负半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+270°,k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：{α|α=k·180°+90°,k∈Z}；终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α=k·90°,k∈Z}.象限角与象限界角的表示形式并不唯一，还有其他的表示形式.例如：终边落在y轴的负半轴上的角的集合也可以表示为{x|x=k·360°-90°,k∈Z}.4.弧度制(1)定义：以弧度为单位度量角大小的制度叫弧度制.(2)度量方法：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小叫做1弧度的角.(3)记法：弧度单位用符号“rad”表示或用弧度两个字表示.在用弧度制表示角的大小时，通常单位省略不写.5.弧度制与角度制的换算(1)换算公式：α(rad)=(πα180)°，n°=180πn (rad). 角度0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧度 0 12π 6π 4π 3π 125π 2π 32π 43π 65π 角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 π67π 45π 34π 23π 35π 47π 611π 2π 6.弧度制下的公式如图1-1-1所示，l 、r 、α分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数.图1-1-1(1)弧度数公式：|α|=rl ； (2)弧长公式：l=|α|r；(3)扇形面积公式：S=21lr=21|α|r 2. 知识导学1.课前复习初中学习过的角的定义、特点、范围.2.学习过程中一定要努力突破单一按角度制思考问题的习惯，力求通过弧度制来认识任意角.要实现这一目标，可以多做角度与弧度的互化练习，熟记常用特殊角的弧度数.疑难突破1.当角α与角β的终边相同时，α与β相等吗？为什么与角α终边相同的角的集合可以写成S={β|β=α+k·360°,k∈Z }?剖析:角的定义有两种：静态定义和动态定义.难点是受思维定势的影响，往往会先想到用角的静态定义来考虑这个问题，那样就会陷入迷茫.突破这个难点的途径是用角的动态定义来分析.若α、β的终边相同，则它们的关系为将角α终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z )周即得β，所以α、β的数量关系为：β=k·360°+α(k∈Z )，即α、β的大小相差360°的整数k 倍.所以α与β不一定相等.例如：β与30°角的终边相同，但是β不一定等于30°.将30°角的终边按逆时针旋转1周即得角β=1·360°+30°=390°；按逆时针旋转2周即得角β=2·360°+30°=750°；按逆时针旋转3周即得角β=3·360°+30°=1 110°；按逆时针旋转4周即得角β=4·360°+30°=1 470°；…；所以390°，750°，1 110°，1 470°，…都与30°角的终边相同.将30°角的终边按顺时针旋转1周即得角β=(-1)·360°+30°=-330°；按顺时针旋转2周即得角β=(-2)·360°+30°=-690°；按顺时针旋转3周即得角β=(-3)·360°+30°=-1 050°；按顺时针旋转4周即得角β=(-4)·360°+30°=-1 410°；…；所以-330°，-690°，-1 050°，-1 410°…都与30°角的终边相同.由以上可看出β与30°角的终边相同，但是β不一定等于30°，它们的数量关系是β=k·360°+30°(k∈Z ).因此所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z }要注意以下几点：(1)上式中角α为任意角，它说明终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；(2)k∈Z 这一条件必不可少；(3)k·360°与α之间是“+”.如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，即与-30°角终边相同的角；(4)终边相同的角不一定相等，但是相等的角，终边一定相同；(5)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.在求终边相同的角的问题中关键是找到一个与其终边相同的某一角(一般找0°—360°的角)，然后用集合和符号语言表示出来.2.第一象限角、小于90°的角、0°—90°的角、锐角这四种角有什么差别？剖析:受初中所学角的影响，看到这四种角，往往就说它们相同.其原因是虽然已经将角扩充到了任意角，但是解决问题时，考虑的角还是仅仅停留在锐角、直角、钝角即初中所学角的范围内，没有按任意角来看待.其突破方法是把握住其各自的取值范围.这四种角的范围用集合表示，分别是：锐角{α|0°＜α＜90°},0°—90°的角{α|0°≤α≤90°}，小于90°的角{α|α＜90°}，第一象限角是{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z }.所以锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90°的角包括锐角、零角、负角.如果用弧度制表示角，角的表示形式变为实数，其大小关系会更加明显.3.为什么β=k·360°+23π(k∈Z )这种写法是错误的？ 剖析:很多同学这样写，但是并不认为是错误的，并且屡错屡犯，很难改正.突破口是正确认识角度制和弧度制.弧度制和角度制一样，都是度量角大小的方法，只是单位不同.在同一道题目中，用了弧度制后，就不能再用角度制；同样，用了角度制后，也不能再用弧度制，即角度制和弧度制不能混用.就像长度单位米和千米一样，不能写出1米+1千米这样的式子，这样会容易引起混乱.就如同人的穿着打扮全身要上下协调一样，写成β=k·360°+23π(k∈Z )，就像一个人上身穿着羽绒服，脚上穿着凉鞋一样，这种打扮显然是不合适的.所以角度制与弧度制必须分开使用，不能在同一问题中混合使用.弧度制与角度制相比有一定的优点.其一是在进位上，角度制在度、分、秒上都是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运算起来方便.因此在今后表示角的时候，常常用弧度制表示.。

编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
(2)①按逆时针方向，在－π～π 范围内，与角43π终边相同的 角为－23π，故所求集合为 S＝α2kπ－23π＜α＜2kπ＋π6，k∈Z .
②按逆时针方向，在 0～2π 范围内，所求集合为 S＝α2kπ≤α＜2kπ＋π3，k∈Z ∪ α2kπ＋23π＜α≤2kπ＋π，k∈Z .
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键 是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇 形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
变式训练 4 已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2 rad，求 该扇形的面积．
解析：设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为 2 rad， 依据弧长公式可得 l＝2r，从而扇形的周长为 l＋2r＝4r＝8，解 得 r＝2，则 l＝4.故扇形的面积 S＝12rl＝12×2×4＝4(cm2)．
点评： 表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必须要统 一单位，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπ(k∈Z)”中， α 必须是用弧度制表示的角，在“α＋k×360°(k∈Z)”中，α 必 须是用角度制表示的角.