工程数学(线性代数与概率统计)第三章典型例题分析

思考题3-11.对.理由：由==AB CA E 可知，B 和C 都是方阵，进一步可知，B 和C 都是A 的逆矩阵，又因为逆矩阵是唯一的，所以=B C .2.对.理由：因为A 可逆，所以在=AB O 的两边同时左乘1-A ，可得=B O . 3.错.错的原因是：AX =YA 中左右两边A 的位置不同. 4.错. 改为1-=X CA .5.错.反例，设100010⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，100100⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，则AB 可逆，但A 和B 都不可逆。

若增加条件,A B 为方阵，则结论正确。

6. 错.反例，设100100⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，则T A A 可逆，但TAA 不可逆.。

若增加条件A 为方阵，则结论正确。

7.对。

111()()T T ---==A A A ，1-∴A 也是对称矩阵.8.错。

反例，设100000000⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，则*=A O ，但≠A O .9.对。

用反证法可以证明。

证：若A 的2n 个元素的余子阵都是奇异矩阵，则A 的所有元素的代数余子式都为0.将A 的行列式按第一行展开，可知0=A ，这与A 是非奇异矩阵矛盾，所以A 的2n 个元素中至少有一个元素的余子阵是非奇异矩阵.10.对。

注：讨论矩阵相乘可交换的问题时，一般要用到11--=AA A A .11. BAC =E 不正确，BCA =E 正确。

理由：由,,A B C 为方阵及ABC =E 可知，A 可逆，其逆矩阵为BC ，所以BCA =E .同理可证=CAB E .但得不出BAC =E .12.对。

矩阵A 的奇异性由A 是否等于0决定，对三种初等变换分别讨论可知结论正确。

习题3-1 1. 5k ≠且 1.k ≠-2.11221721(1)432(2)210111411------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B11111144445300111121004444(3)(4)001311114444001211114444--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦C D 3.注：1111,,n -**--===A AA A A A A(1)22521231212562()2()88.9TT -*-*-*-====A B A A B A A B A A B111131343(2)232377.2*-----+=+===A A A A A A A 111113177343(3)(4)4()44128-*------=-=-=-=-A A A A A A A 3313113(4)(1)(2)(1)(2)216⨯---=--=-⋅-=O B A B B A OA 4.注：该题印刷有误，改为求.B 解：由2**=+ABA BA E ，得2(2),21,21**-=-=-=A E BA E A E B A A E B A12124608--=-=-B A E A 5.（1）证：21()()k --++++E A E A A A21k -=++++E A A A21k k ------A A A Ak=-=E A E∴-E A 可逆，且121()k ---=++++E A E A A A（2）证：反证法。

第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用第2课时线性回归分析A级基础巩固一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示:分类甲乙丙丁r 0.820。

780.690。

85m 106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（）A．甲B．乙C．丙D．丁解析：r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，所以选D正确．答案：D2．已知回归方程错误!＝2x＋1,而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3,7.1)，(4,9。

1)，则残差平方和是()A．0。

01 B．0。

02 C．0.03 D．0.04解析：因为残差错误!i＝y i－错误!i，所以残差的平方和为(4。

9－5）2＋（7。

1－7)2＋(9.1－9）2＝0。

03。

答案：C3．若某地财政收入x与支出y满足线性回归模型y＝bx＋a ＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|〈0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过()A．10亿元B．9亿元C．10。

5亿元D．9。

5亿元解析：x＝10时，错误!＝0。

8×10＋2＝10.因为｜e|〈0.5,所以年支出预计不会超过10.5亿元．答案:C4．下列说法中正确的是（）①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱,｜r｜越接近于1，相关性越弱；②回归直线错误!＝错误!x＋错误!一定经过样本点的中心(x,y）;③随机误差e满足E(e)＝0，其方差D（e）的大小用来衡量预报的精确度；④相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越小,说明模型的拟合效果越好．A．①②B．③④C．①④D．②③解析：①线性相关关系r是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，|r|越接近于1，这两个变量线性相关关系越强，｜r｜越接近于0，线性相关关系越弱，①错误；②回归直线错误!＝错误!x ＋错误!一定通过样本点的中心(x，y),②正确;③随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E(e)＝0，③正确；④用相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，④错误．答案：D5．如图所示，5个(x，y)数据，去掉D（3，10）后,下列说法错误的是（)A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解析：由散点图知，去掉D后,x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．答案：B二、填空题6．若一组观测值(x1，y1），（x2，y2)，…，(x n，y n）之间满足y i＝bx i＋a＋e i（i＝1，2，…,n），且e i恒为0，则R2为________．解析：由e i恒为0，知y i＝错误!i，即y i－错误!i＝0，答案：17．根据如下样本数据得到的回归方程为错误!＝错误!x＋错误!，若错误!＝5。

1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201.2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211.4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X .5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样? 解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023010*********71210 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100007121002301,矩阵的秩为3, 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2;(3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331,于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有 B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x (k 为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000010002/102/12/11,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x ,即 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数).(4)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x . 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007/57/97/5107/67/17/101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171,即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数).14. 写出一个以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1042013221c c x为通解的齐次线性方程组.解 根据已知, 可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10420132214321c c x x x x ,与此等价地可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-=2413212211432c x c x c c x c c x ,或 ⎩⎨⎧+-=-=432431432x x x x x x ,或 ⎩⎨⎧=-+=+-04302432431x x x x x x ,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15. λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr.(1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0. 因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.16. 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x当λ取何值时有解？并求出它的解.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112λλB ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(000)1(32110121λλλλ. 要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=-2. 当λ=1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121111212112B ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000001101101,方程组解为⎩⎨⎧=+=32311x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3332311x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x (k 为任意常数).当λ=-2时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421121212112B ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000021102101,方程组解为⎩⎨⎧+=+=223231x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33323122x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x (k 为任意常数).17. 设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x .问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解.解 B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)4)(1()10)(1(0011102452λλλλλλλλ. 要使方程组有唯一解, 必须R (A )=R (B )=3, 即必须 (1-λ)(10-λ)≠0,所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0, 所以当λ=10时, 方程组无解.要使方程组有无穷多解, 必须R (A )=R (B )<3, 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为B ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000001221,方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==++-=3322321 1x x x x x x x ,或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (k 1, k 2为任意常数).18. 证明R (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T , 使A =ab T .证明 必要性. 由R (A )=1知A 的标准形为 )0 , ,0 ,1(001000000001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 即存在可逆矩阵P 和Q , 使)0 , ,0 ,1(001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=PAQ , 或11)0 , ,0 ,1(001--⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=Q P A . 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=-0011P a , b T =(1, 0, ⋅⋅⋅, 0)Q -1, 则a 是非零列向量, b T 是非零行向量, 且A =ab T .充分性. 因为a 与b T 是都是非零向量, 所以A 是非零矩阵, 从而R (A )≥1. 因为1≤R (A )=R (ab T )≤min{R (a ), R (b T )}=min{1, 1}=1, 所以R (A )=1.19. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明(1)方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m ;证明 由定理7, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=R (A , E m ),而| E m |是矩阵(A , E m )的最高阶非零子式, 故R (A )=R (A , E m )=m .因此,方程AX=E m有解的充分必要条件是R(A)=m.(2)方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=n.证明注意,方程YA=E n有解的充分必要条件是A T Y T=E n 有解.由(1)A T Y T=E n有解的充分必要条件是R(A T)=n.因此，方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=R(A T)=n.20.设A为m⨯n矩阵,证明:若AX=AY,且R(A)=n,则X=Y.证明由AX=AY,得A(X-Y)=O.因为R(A)=n,由定理9,方程A(X-Y)=O只有零解,即X-Y=O,也就是X=Y.。

(5)相关指数：
n
( yi $ yi )2
R2＝1－
i1 n
.
( yi y)2
i1
R2 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合
效果越好.在线性回归模型中，R2 表示解释变量对于预报变量变
化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好.
1.已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 x
年份 卷别 设问特点 涉及知识点
求解析式;求
全国
Ⅰ
数据最小值; 求费用平均 数;并据此决
柱状图、分 段函数、频 率、平均值
策
2016 全国 频率估计概 频率、概
Ⅱ 率;求平均值 率、平均值
全国
Ⅲ
求相关系数; 求回归方程, 并进行预测
样本折线 图、相关系 数、回归方 程
题目类型 解题思想方法
-4-
样本估计 观察、分析、
解析：由题意知，父亲的身高 x(单位：cm)与儿子的身高 y(单位：cm)对应关系如下表：
x
173
170
176
y
170
176
182
则 x ＝173＋1730＋176＝173， y ＝170＋1736＋182＝176，
3
( xi－ x )(yi－ y )＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)
项 A 和 B 中的直线方程进行检验，可以排除 B.故选 A.
2.(2012 年新课标)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样 本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线 y＝12x＋1 上，则这组样本 数据的样本相关系数为( D )