第四章 数值积分
要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式 （2）插值型求积公式的构造及余项表达式 （3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明 （4）梯形公式、Simpson 公式的形式及余项表达式 （5）复合梯形公式、复合Simpson 公式及其余项表达式 （6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson ）公式的余项确定积分
区间[a,b]的等分次数n
（7）Newton-Cotes 求积分公式的特点以及代数精确度的结论 （8）高斯型求积公式的概念 复习题：
1、已知求积公式为
(
)(
)(1
1158059
f x dx f f f -⎡
⎤≈++⎣⎦
⎰
(1) 确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss 公式； (2)
用此求积公式计算定积分
1
-⎰
解：（1）依次取2
3
4
5
()1,,,,,f x x x x x x =代入积分公式可发现: 左端=右端， 而当取6
()f x x =时，左端 ≠可端 可见该是求积公式具有5阶代数精确度
由于求积公式节点数为3n =,而公式代数精确度21p n =-
所以该求积公式为Gauss 公式
（1
）对于()f x = 有
()0.5166, (0)0.426460.f f ===±
故
1
0.5166801
(50.9530.426450.51669
)-⨯+⨯+⨯≈≈⎰
3、分别用梯形公式和二点Gauss 公式计算积分⎰
1
dx e x ，比较二者的精度
解：利用梯形公式，1
010
1() 1.85922
x
e dx e e ≈+≈⎰
注：Gauss 公式部分不要 4、对于积分
⎰
-1
dx e x 。（1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的
代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过6102
1
-⨯ 解：（1）011()0.68392T e e --=
+≈， 00.511
(4)0.63236
S e e e ---=++≈
（2）梯形公式余项 3()[](12) , [0,1]12
T b a R f f e η
ηη-=-∈-''=-
辛普森公式余项5(4)()[]() , [0,1]28828800
S f f e b a R η
ηη-=-∈-=-
可见梯形公式代数精度为 1p =，辛普森公式代数精度3p =
（3）根据复合辛普森公式的余项 5(4)44
()[](2880288)0n S b a e R f f n n
η
η----==
注意到44
1
|[]|28802880n S e R f n n η-=≤
令
6
4
111028802
n -≤⨯，解得 5.133n ≥
可见当取4n =时，对应的复合辛普森公式n S 可满足精度要求
5、确定下列公式
⎰
-++-≈2
2
)1()0()1()(Cf Bf Af dx x f
中的参数A ，B ，C ，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。 解：依次取2
()1,,f x x x =代入积分公式，并令: 左端=右端，得方程组
4 016 + 3A B C A C A C ⎧
⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪=⎩
， 解得 83
43A C B ⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得公式：
2
24
()(2(1)(0)2(1))3
f x dx f f f -≈
--+⎰
取3
()f x x =代入公式，有左端=右端 取4
()f x x =代入公式，有左端≠右端
可见该求积公式代数精确度为3p =
6、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度
)()0()()(22h Cf Bf h Af dx x f h
h
++-≈⎰
-
解：解题过程与上题类同，所得结果816 , 433
A C h
B h ==
=-
代数精确度为3p =
7、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。
⎰
++≈2
210)2()1()0()(f f f dx x f ωωω
解：解题过程与上题类同，所得结果816 , 433
A C h
B h ==
=-
代数精确度为3p = 8、求积公式)4
3
(32)21(31)41(32)(1
f f f dx x f +-≈
⎰
具有多少次代数精确度 解：依次取2
3
()1,,,f x x x x =代入积分公式，得左端=右端
当取4
()f x x =时，左端≠右端，故公式的代数精确度为3p =
9、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。
⎰
'++≈1
010)0()1()0()(f B f A f A dx x f
解：依次取2
()1,,f x x x =代入积分公式，令左端=右端，得
0110111213A A A B A ⎧
⎪+=⎪
⎪
+=⎨⎪
⎪=⎪⎩
得010
211336A A B ===，， 公式的代数精确度为2p =
