2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二.多选题（共4小题）.9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0 10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．812．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），故选：A．2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，解：根据两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0，可得＝≠，可得a＝6，可得两条平行直线即6x﹣3y+9＝0和6x﹣3y+4＝0，故它们间的距离为d＝＝，故选：D．4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．解：∵四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，，，，E是PC的中点，∴＝+＝﹣+＝﹣+（+）＝﹣+（﹣+）＝﹣﹣+，故选：B．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，∴平面α的一个法向量为＝（3，﹣5，1），∵经过（0，0，0）直线l的方程为，∴直线l的一个方向向量为＝（3，2，﹣1），设直线1与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，∴直线1与平面α所成角的正弦值为．故选：B．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，所以最小的弦长|AB|＝2＝2，故选：B．7．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：由AC⊥m，BD⊥m，可得AC⊥CD，BD⊥CD，故可得＝0，＝0，∴＝（）•＝+||2+＝0+12+0＝1，∴cos＜，＞＝＝，∵与夹角的取值范围为[0，π]，故向量的夹角为60°，∴异面直线l，m所成的角等于60°．故选：C．8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e＝＝．故选：D．二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，代入点P（2，3）可得a＝5，所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解：曲线C：mx2+ny2＝1．若m＞n＞0，方程化为，得＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，故A 正确；B错误；若m＝n＞0，方程化为，则C是圆，其半径为，故C错误；若m＝0，n＞0，方程化为，即y＝，则C是两条直线，故D正确．故选：AD．11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．8解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，可得以AB为直径的圆和圆C有交点，得PO＝|AB|＝m，即4≤m≤6，结合选项可得，m的值可能取6和5．故选：BC．12．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），由y1＞，可得＜x1＜，则直线PF1的方程为，即，直线PF2的方程为，即．∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，∴，①∵＝，＝，﹣＜m＜，∴①式转化为，即m＝，又＜x1＜，∴＜m＜．结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝1．解：∵平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，α⊥β，∴＝﹣x+y﹣1＝0，解得y﹣x＝1．故答案为：1．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．解：如图，取C1C的中点G，连接BG，可得BF∥C1G，BF＝C1G，则四边形BGC1F为平行四边形，∴C1F∥BG．连接EG，得EG∥CD∥AB，EG＝CD＝AB，则四边形ABGE为平行四边形，得BG∥AE，则FC1∥AE，∵AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，∴直线FC1到平面AB1E的距离等于F到平面AB1E的距离，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为1，∴，AE＝，，则cos∠EAB1＝，∴sin，则＝．设F到平面AB1E的距离为h，由，得，即h＝．∴直线FC1到平面AB1E的距离为．故答案为：．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．解：由椭圆，得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆周长为2π，∴r＝1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r＝×20×1＝10，又∵△ABF2的面积S＝+＝×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|＝×（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝3|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），∴3|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为3；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（﹣4，0），（4，0），设公切线方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则，解得k＝±，m＝0，故公切线方程为y＝±x，则Q到直线l的距离d＝，故l截圆Q的弦长＝2＝3；（2）设方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝，d2＝，d3＝，则d2＝4（4﹣d12）＝4（4﹣d22）＝4（9﹣d32），即有（）2＝（）2，①4﹣（）2＝9﹣（）2，②解①得m＝0，代入②得k2＝，则d2＝4（4﹣）＝，即d＝，故答案为：3；．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．解：（1）设AC边的中点为M，则M（，），∴直线BM斜率k＝＝，∴直线BM的方程为y+1＝（x+2），化为一般式可得9x﹣5y+13＝0，∴AC边中线所在直线的方程为：9x﹣5y+13＝0（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，∴有，解得，∴D（3，8），∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）∴；（3）由B（﹣2，﹣1），C（2，3）可得直线BC的方程为x﹣y+1＝0，∴点A到直线BC的距离d＝＝2，∴△ABC的面积S＝×4×2＝8．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解：（1）∵∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，又AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，所以直线AC的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1）．即3x+y+2＝0．（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点A的坐标为（0，﹣2），∵∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心又r＝．从△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝8．（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距c＝2．所以虚半轴长．从而动圆P的圆心的轨迹方程为．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．解：如图建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），∵CM＝BN＝a，∴M（，0，1﹣），N（，，0）．（Ⅰ）＝；（Ⅱ）＝，当a＝时，|MN|最小，最小值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，则M（，0，），N（，，0），取MN的中点G，连接AG，BG，则G（，，），∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．∵，，∴cos＜＞＝＝．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．解：（Ⅰ）由题意可得2a＝4，∴a＝2，∵，∴c＝1，∴b＝，∴椭圆C1的标准方程为：．（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程，消去y得：7x2﹣8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|＝＝＝．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1为菱形，AB＝BC，AC＝，∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC，又平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）取A1B1的中点O，A1C1的中点N，连接OA，ON，∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴ON⊥平面ABB1A1，得ON⊥OA1，ON⊥OA，又四边形ABB1A1为菱形，，O是A1B1的中点，∴OA⊥A1B1，故OA1，ON，OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OA1、ON、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∴B1（﹣1，0，0），C1（﹣1，2，0），E1（﹣1，1，），B（﹣2，0，），由图可知，平面EB1C1的一个法向量为，设平面BB1C1C的一个法向量为，则，取z＝1，得．设平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，又∵θ∈（0，]，∴，故平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可知：|EP|＝|EA|，|CE|+|EP|＝2，∴|CE|+|EA|＝2＞|CA|＝2，∴点E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，且2a＝2，c＝1，∴其轨迹方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，由题意可知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，则，，∴＝，∴＝＝＝，当且仅当即m＝0时，△CMN的面积取得最大值，此时直线l的方程为x＝1．。
2020-2021 学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 11．（5 分）已知集合 A {x | x }， { | (1 )}，则 A B ( B x y ln x ) 2 1 2 1A ．{x | x2}B ．{x |1 x 2} ．C {x | 0 x ．D x |x 1} 2 2．（5 分）抛物线 y ax (a0) 的焦点 坐标为( 2 )F 1a1aA ．(0, )2a B．( ，0) C ．(0, )4aD ．( ，0)4 2 3．（5 分）已知a A ． a b c2 ， 0.3 b log 2 c log 0.3 ，，则 ， ， 的大小关系为( a b c )3 2B ．b a cC ．c b aD ．c a b4．（5 分）下列说法正确的是(0 ”是“函数 f (x) 是奇函数”的必要不充分条件 )A ．“ f (0)B ．若 p q 为假命题，则 p ， q 均为假命题 x (0,) ，lnxx1”的否定是“ (0,) ，C ．命题“ ” lnx x 1x 0 0 01 1D ．“若 ，则 ”的否命题是“若 s in ，则 ”s in6 2 6 2 5．（5 分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压 数据（单位： 的分组区间为 ，[12 13) [13 14) [14 15) [15 16) [16 17]， ， ， ， ， ， ， ， ， kPa) 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ，第五组．如图是根据试验数据制 成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第 三组中有疗效的人数为()A．6B．8C．12D．186．（5分）古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除法．如图，若输入，的值分别为779，209，则输出的m n m()A．17B．18C．19D．207．（5分）在区间[1，2]上任取一个实数，则直线y(x 5)与圆x y 1相交的概22率为()3 4132312A．B．C．D．8．（5分）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“11”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当好的成绩．若将8拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为() 2 71 44 71 2A ．B ．C ．D ．、 是两个不同的平面， 、 是两条不同的直线，有下列命题： 9．（5 分）设 m n ①如果 ， ，，那么；m n m n / /②如果 ，，那么 ； n / / m nm；③如果 ， ，那么 / / m m / / ④如果平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，那么；/ /其中正确的命题是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．②③④10．（5 分）已知四棱锥 P ABC D 的顶点都在球O 的表面上，底面 ABC D 是矩形，侧面 PA D底面 AB C D ，PA D 为等腰直角三角形，PA D ， AB 2A D 4，则球 的表面积为( O 2 )A ． 20B ． 24C ．80D ．96x 2 y 211．（5 分）已知椭圆C : 16 41的左、右焦点分别为F ， F ，过点F 的直线l 与椭圆C122交于 ， 两点，且 A B A M M B， O F M 2 M O F，则直线 的斜率为( l)2 2 1 1 3434A ．B ．C ．D ．3 3 x 2 y 212．（5 分）已知双曲线C :9 16 1，其左、右焦点分别为 F ，F ，点 M 的坐标为(3,2) ， 1 2 F P F M F F F M双曲线 上的点 P(x ，y )(x 0 ，y0) 满足 ，则 P M F 与PM FC 1 1 | F P | 1 2 | F F |1 01 2 11 2面积的差 S A ． 2S( )P M F P M F 12B ．2C ．4D ．6二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.把正确答案写在答题卡相应题的横线 上.13．（5 分）某市共有 800 家企业，其中中外合资企业 160 家，私营企业 320 家，国有企业 240 家，其他性质的企业 80 家．为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这 800 家企业中抽取一个容量为n 的样本，已知从国有企业中抽取了 12 家，那么n ．1 2 14．（5 分）已知一组数据2 ， ， ， ，的平均数为1 2 14.8，那么数据， ，1 2 n 12， 的平均数为． nx 2y 215．（5 分）已知双曲线C : 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作 x 轴a2b2122的垂线与 交于 ， 两点， A B 与 y 轴相交于点 ，若 B F A D C ，则双曲线 的渐近线C F B 1D 1 方程为．16．（5 分）如图，一个圆柱被与其底面成30 角的平面所截，截口为椭圆，截面的上、下两 部分分别有球 和球 与之相切，切点分别为 、 ，且两球均与圆柱的侧面相切，若圆E F O O 1 2 柱的一条母线 与两个球的公共点分别为 、 ，与椭圆的公共点为 ，，则球 的 A B P AB 4 O l 1半径为 ；截口椭圆的离心率等于 ．三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.17．（10 分）在 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 ， b ， ，且 b a c ac ．a c2 2 2 （1）求角 B 的大小；（2）求 s in A s in B s in C的取值范围．18．（12 分）2020 年 12 月 1 日 23 时 11 分，我国探月工程嫦娥五号探测器降落在月球表面 预选着陆区．在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定的环月轨 道，并于 12 月 17 日1:59 分精准返回着陆．期间，历经 23 天、往返路程超过 76 万公里．嫦 娥五号任务的圆满完成，实现了我国航天史上的多项重大突破．为了进一步培养中学生对航空航天的兴趣和爱好，某校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作．前五天的报名情况如表： 时间（第 天）x 1 32 63 4 5 报名人数 y （人 )101318ˆ 数据分析表明，报名人数与报名时间具有线性相关关系 ˆ a ˆ ，据此请你解决以下问题：y bx （1）求 y 关于 的线性回归方程，并预测第 8 天的报名人数（结果四舍五入取整数）； x （2）为了更好地完成遴选任务，由专家和社团现有的部分成员组成评审组，已知现有社团 成员 6 人，其中女生 2 名，男生4 名，现欲从中任选2 人作为面试评委，求选出的2 人中恰 有一个男生和一个女生的概率．nn(xx)(y y)x ynx y ˆ i ii iˆ 参考公式：b， ˆ ．a y bxi 1i1n n(xx)2xnx 22ii i 1i 119．（12 分）已知{a }是公差不为 0 的等差数列，其前n 项和为 S ，a2 ，且a ，a ，ann1248成等比数列． （1）求 和 ；a S nn1m （2）若，数列{b }的前 项和为 ，且 T 对任意的 恒成立， n N *b ( 2) nT a n S nn n n n 1 n求实数 的取值范围．m20（．12 分）已知点 M (x ， 在抛物线 3)上，F 为抛物线C 的焦点， C : x 2 2py(p 0)．| MF | 4 0 （1）求抛物线 的方程； C （2）过点 且斜率为 0) 的直线l 交抛物线 于 A ， B 两点，过点 且与直线l 垂直F (CF 11 的直线 交抛物线 于 ， E 两点，求 | AB| | DE |的最小值． l C D 221．（12 分）如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A B C 中， D ， E 分别是 ，C C 的A C 1 1 112中点， AB BC AAA C ． 12（1）证明： B C / / 平面 A B D ；11（2）求二面角 D A B E 的余弦值．1x2y2122．（12分）已知椭圆C:a2b21(a b0)的离心率e，为椭圆的右焦点，为椭F P2圆上的动点，|P F|的最大值为3．（1）求椭圆的标准方程；C（2）A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，直线A M、M NC F C交于点，试探究点是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请TB N T说明理由．2020-2021 学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.11．（5 分）已知集合 A {x | x }， { | (1 )}，则 A B ( B x y ln x) 2 1 2 1 A ．{x | x 2} B ．{x |1 x 2} ． C {x | 0 x ． D x |x 1} 2 1A {x | x },B {x | x 1} 【解答】解： A B {x |， 2 12x 1}． 故选： ．D2．（5 分）抛物线 y ax (a0) 的焦点 坐标为( 2 F )1a 1 aA ．(0, )2a B．( ，0) C．(0, ) 4aD ．( ，0)4 2 1 1【解答】解：当 时，整理抛物线方程得 ，a 0 x 2 y p a 2a 1焦点坐标为(0, ) ．4a1(0, ) 4a 当 时，同样可得焦点坐标为 a 0 ． 故选： ．C3．（5 分）已知a 2 ，b log 2c log 0.3 ， ，则 ， ， 的大小关系为( a b c )0.3 3 2 A ． a b cB ．b a cC ．c b aD ．c a b【解答】解： a 2 ， ， 2 1 0 log 1 b log 2 log 3 1 clog0.3log 1 0，0.3 0 3 3 3 2 2a b c ，故选： ．C4．（5 分）下列说法正确的是(0 ”是“函数 f (x) 是奇函数”的必要不充分条件 )A ．“ f (0)B ．若 p q 为假命题，则 p ， q 均为假命题C ．命题“x(0,) ，lnxx1”的否定是“x (0,)，lnx x 1”11D．“若【解答】解：是“函数，则”的否命题是“若s in，则”s in6262”推不出“函数f(0)0f(x)是奇函数”，反之也不成立，所以“”f(0)0是奇函数”的既不充分也不必要条件，所以不正确；Af(x)若p q为假命题，则p，q至少一个是假命题，所以不正确；B命题“，x(0,”的否定是“，”，所以不正确；x(0,)lnx x1C)lnx x100011若，则”的否命题是“若，则”，满足否命题的形式，所以s in s inD 6262正确；故选：．D5．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：的分组区间为，[1213)[1314)[1415)[1516)[1617]，，，，，，，，，kPa)将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6B．8C．12D．18【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：．C6．（5分）古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除2020-2021 学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.11．（5 分）已知集合 A {x | x }， { | (1 )}，则 A B ( B x y ln x ) 2 1 2 1A ．{x | x 2}B ．{x |1 x 2} ．C {x | 0 x ．D x |x 1} 2 1A {x | x },B {x | x 1} 【解答】解： A B {x |， 2 12x 1}． 故选： ．D2．（5 分）抛物线 y ax (a0) 的焦点 坐标为( 2 F )1a 1 aA ．(0, )2a B．( ，0) C．(0, ) 4aD ．( ，0)4 2 1 1【解答】解：当 时，整理抛物线方程得 ，a 0 x 2 y p a 2a 1焦点坐标为(0, ) ．4a1(0, ) 4a 当 时，同样可得焦点坐标为 a 0 ． 故选： ．C3．（5 分）已知a 2 ，b log 2c log 0.3 ， ，则 ， ， 的大小关系为( a b c )0.3 3 2 A ． a b cB ．b a cC ．c b aD ．c a b【解答】解： a 2 ， ， 2 1 0 log 1 b log 2 log 3 1 c log 0.3 log 1 0，0.3 0 3 3 3 2 2a b c ，故选： ．C4．（5 分）下列说法正确的是(0 ”是“函数 f (x) 是奇函数”的必要不充分条件 )A ．“ f (0)B ．若 p q 为假命题，则 p ， q 均为假命题C ．命题“x(0,) ，lnxx1”的否定是“x (0,)，lnx x 1”1 1D ．“若 【解答】解：是“函数 ，则 ”的否命题是“若 s in ，则 ”s in6 2 6 2 ”推不出“函数 f (0) 0 f (x) 是奇函数”，反之也不成立，所以“ ” f (0) 0是奇函数”的既不充分也不必要条件，所以 不正确；Af (x) 若 p q 为假命题，则 p ， q 至少一个是假命题，所以 不正确； B 命题“ ， x (0,”的否定是“ ， ”，所以 不正确； x (0, ) lnx x 1 C)lnx x 1 0 0 01 1若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，满足否命题的形式，所以 s in s inD6 2 6 2 正确； 故选： ．D 5．（5 分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压 数据（单位： 的分组区间为 ，[12 13) [13 14) [14 15) [15 16) [16 17]， ， ， ， ， ， ， ， ， kPa) 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ，第五组．如图是根据试验数据制 成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第 三组中有疗效的人数为()A ．6B ．8C ．12D ．18【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20 人，分布在区间第一组与第 二组的频率分别为 0.24，0.16，所以第一组有 12 人，第二组 8 人，第三组的频率为 0.36， 所以第三组的人数：18 人， 第三组中没有疗效的有 6 人， 第三组中有疗效的有 12 人．故选： ．C6．（5 分）古希腊数学家欧几里德在公元前300 年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除。
