高二上期末数学试卷(及答案)

2022-2023山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“∃x＞0，使2x＞3x”的否定是（）A．∀x＞0，使2x≤3x B．∃x＞0，使2x≤3x C．∀x≤0，使2x≤3x D．∃x ≤0，使2x≤3x2．（5分）双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“l1∥l2”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a ⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（5分）设点P为椭圆上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+28．（5分）已知圆O为Rt△ABC的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（）A．[﹣8，﹣1]B．[﹣8，0]C．[﹣16，﹣1]D．[﹣16，0]9．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．10．（5分）在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．24πD．6π11．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（）A．B．C．2 D．12．（5分）已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是面A1B1C1D1上的动点．给出以下四个结论中，正确的个数是（）①与点D距离为的点P形成一条曲线，则该曲线的长度是；②若DP∥面ACB1，则DP与面ACC1A1所成角的正切值取值范围是；③若，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）直线的倾斜角为．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为．15．（5分）已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l 上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围为．16．（5分）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t 取最小值时，m、n对应的点（m，n）是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程mx2﹣2x+1=0有实数解”．若“p∨q”为真，“￢q”为假，则实数m的取值范围．18．（12分）已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y﹣4）2=16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，（Ⅰ）试求M点的轨C2方程；（Ⅱ）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．19．（12分）如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB 的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG 的体积．20．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x 轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．21．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．22．（12分）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．2022-2023晋中市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“∃x＞0，使2x＞3x”的否定是（）A．∀x＞0，使2x≤3x B．∃x＞0，使2x≤3x C．∀x≤0，使2x≤3x D．∃x ≤0，使2x≤3x【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x＞0，使2x≤3x，故选：A2．（5分）双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：由题意，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，故选C．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，0），F（2，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，0，2），=（0，1，1），设直线BC1与EF所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴直线BC1与EF所成角的余弦值是．故选：B．4．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“l1∥l2”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，且l1∥l2，∴a2﹣a﹣2=0，解得：a=2或a=﹣1，故a=2或a=﹣1是a=﹣1的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a ⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，故①②不正确，若a∥b，b⊥c则a⊥c，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法，故③正确，综上可知有一个正确的说法，故选B．6．（5分）设点P为椭圆上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆，∴b=2，c=．又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°，F1、F2为左右焦点，∴|F1P|+|PF2|=2a，|F1F2|=2，∴|F1F2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°=4a2﹣3|F1P|•|PF2|=4a2﹣16，∴|F1P|•|PF2|=．∴=|F1P|•|PF2|sin60°=××=．故选：C．7．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+2【解答】解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|==故选C．8．（5分）已知圆O为Rt△ABC的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（）A．[﹣8，﹣1]B．[﹣8，0]C．[﹣16，﹣1]D．[﹣16，0]【解答】解：【解法一】以O为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示；在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，所以△ABC的外接圆圆心是BC的中点，半径为r=BC=2，所以A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），圆O的方程为：x2+y2=4；当直线PQ的斜率不存在时，有P（0，2），Q（0，﹣2），=（2，2），=（﹣2，﹣2），则•=﹣4﹣4=﹣8；当直线PQ的斜率存在时，设直线l为：y=kx，代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），则=（2﹣，﹣），=（﹣2，），所以•=（2﹣）（﹣2）+（﹣）=﹣8+，由1+k2≥1可得0＜≤8，所以﹣8＜﹣8+≤0；又题目中没有要求P、Q的具体位置，所以P、Q坐标互换时，比如，当k=0时，若P（2，0），Q（﹣2，0），则向量=（4，0），向量=（﹣4，0），所以•=﹣16．故选：D．【解法二】以O为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示；在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，所以△ABC的外接圆圆心是BC的中点，半径为r=BC=2，所以A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），圆O的方程为：x2+y2=4；设P（2sinθ，2cosθ），Q（﹣2sinθ，﹣2cosθ），把转化为三角函数计算更简单．9．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．10．（5分）在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．24πD．6π【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为AB=BC=，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，所以cos∠EDO=，OD=，所以BO==OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选：D．11．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，BD2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos∠DAB=1+4﹣2×1×2×（1﹣x）=1+4x，由双曲线的定义可得a1=，c1=1，e1=，由椭圆的定义可得a2=，c2=x，e2=，则e1+e2=+=+，令t=∈（0，﹣1），则e1+e2=（t+）在（0，﹣1）上单调递减，所以e1+e2＞×（﹣1+）=，故选：B．12．（5分）已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是面A1B1C1D1上的动点．给出以下四个结论中，正确的个数是（）①与点D距离为的点P形成一条曲线，则该曲线的长度是；②若DP∥面ACB1，则DP与面ACC1A1所成角的正切值取值范围是；③若，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：如图，①错误，与点D距离为的点P形成以D1为圆心，半径为的圆弧MN，长度为=；②错误，因为面A1DC1∥面ACB1，所以点P必须在面对角线A1C1上运动，当P 在A1（或C1）时，DP与面ACC1A1所成角∠DA1O（或∠DC1O）的正切值为最小，当P在O1时，DP与面ACC1A1所成角∠DO1O的正切值为最大，所以正切值取值范围是；③正确，设P（x，y，1），则x2+y2+1=3，即x2+y2=2，DP在前后、左右、上下面上的正投影长分别为，所以六个面上的正投影长度之和为，当且仅当P在O1时取等号．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）直线的倾斜角为150°．【解答】解：由题意化直线的方程为斜截式y=x﹣，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，则tanα=，可得α=150°故答案为：150°14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为16．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，∴OD=2，AB=DC=OC=2，做OE⊥CD，垂足是E，∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，∵△ODC的面积S==6，∴6=，得OE=，∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V==16，故答案为16．15．（5分）已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l 上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围为[1，5] ．【解答】解：如图，设点A的坐标为（x0，6﹣x0），圆心M到直线AC的距离为d，则d=|AM|sin30°，∵直线AC与⊙M有交点，∴d=|AM|sin30°≤2，∴（x0﹣1）2+（5﹣x0）2≤16，∴1≤x0≤5，故答案为[1，5]．16．（5分）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t 取最小值时，m、n对应的点（m，n）是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为x﹣2y+1=0．【解答】解：由已知得=，由于s+t的最小值是，因此，又m+n=2，所以m=n=1．设以点（m，n）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有①．又该两点在双曲线上，则有，，两式相减得②，把①代入②得，即所求直线的斜率是，所求直线的方程是，即x﹣2y+1=0．故答案为x﹣2y+1=0三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程mx2﹣2x+1=0有实数解”．若“p∨q”为真，“￢q”为假，则实数m的取值范围．【解答】解：∵直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交，∴（1，0）到x+y﹣m=0的距离小于1，即＜1，解得：1﹣＜1+，故p：m∈（1﹣，1+）；m=0时，方程mx2﹣2x+1=0有实数解，m≠0时，若方程mx2﹣2x+1=0有实数解，则△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，故q：m∈（﹣∞，1]，若“p∨q”为真，“￢q”为假，则p真q真或p假q真，故m∈（﹣∞，1]．18．（12分）已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y﹣4）2=16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，（Ⅰ）试求M点的轨C2方程；（Ⅱ）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），B（x′，y′），则由题意可得：，解得：，∵点B在圆C1：x2+（y﹣4）2=16上，∴（x′）2+（y′﹣4）2=16，∴（2x﹣4）2+（2y﹣4）2=16，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．∴轨迹C2方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；（Ⅱ）由方程组，解得直线CD的方程为x﹣y﹣1=0，圆C1的圆心C1（0，4）到直线CD的距离为，圆C1的半径为4，∴线段CD的长为．19．（12分）如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB 的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG 的体积．【解答】解：（1）取AC的中点P，连接DP，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP=，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；∵将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC∴DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，所以BD=，DC=，所以B到DC的距离h===，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，所以B到DC的距离h就是三棱锥B﹣DEG的高．三棱锥B﹣DEG的体积：V====．20．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x 轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），于是直线PF的斜率为，所以直线PF的方程为，即为mx+2y﹣m=0．（3分）（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0，所以，x1x2=1．于是．点D到直线mx+2y﹣m=0的距离，所以．因为m∈R且m≠0，于是S＞4，所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1，m﹣y1）=μ（x2+1，y2﹣m），于是，（x2≠±1）．所以．所以λ+μ为定值0．（14分）21．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP ⊥AB∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，∴直线BA，BP，BC两两垂直，以B为原点，分别以BA，BP，BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴M（1，1，），∴=（﹣1，0，），=（0，2，0）．∵BP⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的一个法向量，∵=﹣1×0+0×2+=0，∴⊥．又EM⊄平面ABCD，∴EM∥平面ABCD．（Ⅱ）解：当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为．理由如下：∵=（2，﹣2，1），=（2，0，0），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则．令y=1，得=（0，1，2）．假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于．设=λ=（2λ，﹣2λ，λ）（0≤λ≤1），∴=+=（2λ，2﹣2λ，λ）．∴|cos＜，＞|==．∴9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）．∴当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于．22．（12分）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P 到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得，，化简得3x2+4y2=12，所以，动点P的轨迹C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，，因为点A、B在椭圆C上，所以，，所以，=，化简得．①当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2=﹣y1，则，由，得，解得，，S=|AB|•|A1B|=4|x1||y1|=；②当x1≠x2时，直线AB的方向向量为，直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，原点O到直线AB的距离为，所以△AOB的面积，根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，所以，=，所以．所以，四边形ABA1B1的面积为定值．。

2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷1. 已知经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的一个方向向量为(1,k)，那么k=( )D. 2A. −2B. −1C. −122. 圆C：(x−2)2+(y−2)2=4的圆心坐标和半径分别为( )A. (−2,−2)，2B. (2,2)，2C. (−2,−2)，4D. (2,2)，43. 有一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.1，则数据x1+2，x2+2，⋯，x n+2的方差为( )A. 0.1B. 0.2C. 1.1D. 2.14. 已知m，n是实数，若a⃗=(2,2m−3,2)，b⃗ =(4,2,3n−2)，且a⃗//b⃗ ，则m+n=( )A. −4B. 0C. 2D. 45. 记录并整理某车间10名工人一天生产的产品数量(单位：个)如表所示：工人赵甲钱乙孙丙李丁周戊吴己郑庚王辛冯壬陈癸产品数46485153535656565871量/个那么这10名工人一天生产的产品数量的第30百分位数为( )A. 49.5B. 51C. 52D. 536. 某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[6,26]，样本数据分组为[6,10),[10,14),[14,18),[18,22),[22,26],已知样本中产品净重小于14克的个数是36，则样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品的个数是( )A. 90B. 75C. 60D. 457. 已知生产某种产品需要两道工序，设事件A=“第一道工序加工合格”，事件B=“第二道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加工，那么事件“产品不合格”可以表示为( )A. A −B. ABC. AB −D. A −∪AB −8. 已知圆M ：x 2+y 2=1和N:(x −2√2)2+(y −2√2)2=m 2(m >0)存在公共点，则m 的值不可能为( )A. 3B. 3√2C. 5D. 4√29. 已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右支与圆x 2+y 2=a 2+b 2交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△OAB 为正三角形，则该双曲线的离心率为( )A. 23B. √63C. √2D. 210. 在平面直角坐标系xOy 中，方程√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13对应的曲线记为C ，给出下列结论：①(0,0)是曲线C 上的点； ②曲线C 是中心对称图形；③记A(−3,0)，B(3,0)，P 为曲线C 上任意一点，则△PAB 面积的最大值为6. 其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 双曲线x 2−y 2=4的渐近线方程为______.12. 甲、乙两人独立地破译某个密码，若两人独立译出密码的概率都是0.5，则密码被破译的概率为______.13. 写出过点A(2,3)且与圆(x −1)2+y 2=1相切的一条直线的方程______.14. 在空间直角坐标系O −xyz 中，已知过坐标原点O 的平面α的一个法向量是n ⃗ =(0,0,−1)，点P(3,−4,5)到平面α的距离为______.15. 棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中x ，y ，z ∈[0,1]，给出下列四个结论：①当x =0，z =1时，△BPD 1可能是等腰三角形； ②当x =0，y =1时，三棱锥P −BDD 1的体积恒为43； ③当z =1，且x +y =1时，△BPD 1的面积的最小值为√2； ④当z =1，且x +y =12时，∠BPD 1可能为直角． 其中所有正确结论的序号是______.16. 已知△OAB 的三个顶点分别是0(0,0)，A(2,0)，B(4,2).(Ⅰ)求△OAB 的外接圆C 的方程；(Ⅰ)求直线l ：4x +3y −8=0被圆C 截得的弦的长．17. 如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2，M是棱CC1上任意一点．(Ⅰ)求证：AM⊥BD；(Ⅰ)若M是棱CC1的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值．18. 某公司为了了解A，B两个地区用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取400名用户，从B地区随机抽取100名用户，通过问卷的形式对公司产品评分．该公司将收集的数据按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制成评分分布表如下：分组A地区B地区[20,40)4030[40,60)12020[60,80)16040[80,100]8010合计400100(Ⅰ)采取按组分层随机抽样的方法，从A地区抽取的400名用户中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有多少名？(Ⅰ)从(Ⅰ)中参加座谈的且评分不低于60分的用户中随机选取2名用户，求这2名用户的评分恰有1名低于80分的概率；(Ⅰ)若A地区用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B地区用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0和μ1+μ22的大小，并说明理由．19. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1,2).(Ⅰ)求抛物线C的方程及其焦点坐标；(Ⅰ)过点A的直线l与抛物线C的另一个交点为B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求点B的坐标．20. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//CD，∠ADC=90∘，且AD=CD= PD=2AB.(Ⅰ)求证：AB⊥平面PAD；(Ⅰ)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；(Ⅰ)在棱PB上是否存在点G(G与P，B不重合)，使得DG与平面PBC所成角的正弦值为23若存在，求PGPB的值，若不存在，说明理由．21. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，B(0,1)两点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅰ)过点P的直线l与椭圆E交于C，D两点．(i)若点P坐标为(2,1)，直线BC，BD分别与x轴交于M，N两点．求证：|AM|=|AN|；(ii)若点P坐标为(2,√33)，直线g的方程为√3x−6y−2√3=0，椭圆E上存在定点Q，使直线QC，QD分别与直线g交于M，N两点，且|AM|=|AN|.请直接写出点Q的坐标，结论不需证明．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由已知可得直线AB 的斜率为k =2−00−1=−2， 则k =−2， 故选：A.求出直线的斜率，由此即可求解．本题考查了直线的斜率以及方向向量的应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：圆C ：(x −2)2+(y −2)2=4的圆心坐标为(2,2)， 半径为：2. 故选：B.利用圆的定义和性质直接求解．本题考查圆的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x −， 则数据x 1+2，x 2+2，⋯，x n +2的平均数为x −+2，数据x 1，x 2，…，x n 的方差为S 2=1n [(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+...+(x n −x −)2]=0.1，又数据x 1+2，x 2+2，⋯，x n +2的方差为1n [(x 1+2−x −−2)2+(x 2+2−x −−2)2+...+(x n +2−x −−2)2]=1n [(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+...+(x n −x −)2]=0.1. 故选：A.设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x −，即可求出该数据的方差关系式，然后再求出数据x 1+2，x 2+2，⋯，x n +2的平均数以及方差关系式，化简即可求解．本题考查了数据的方差的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，若a ⃗ =(2,2m −3,2)，b ⃗ =(4,2,3n −2)，且a ⃗ //b ⃗ ， 设b ⃗ =k a ⃗ ，则有{4=2k 2=k(2m −3)3n −2=2k ，解可得m =2、n =2，则m +n =4；故选：D.根据题意，设b ⃗ =k a ⃗ ，则有{4=2k2=k(2m −3)3n −2=2k ，解可得m 、n 的值，计算可得答案．本题考查空间向量的平行，涉及向量的坐标计算，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：将10个数据按照从小到大的顺序排列为： 46，48，51，53，53，56，56，56，58，71， ∵10×30%=3，∴所给数据的第30百分位数为第3个数据与第4个数据的平均数，等于51+532=52.故选：C.将数据按照从小到大的顺序排列，然后由百分位数的定义求解即可．本题考查了百分位数的求解，解题的关键是掌握百分位数的定义，考查了运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由频率分布直方图可知样本中产品净重小于14克的频率为(0.025+0.05)×4=0.30， 设样本总体个数为n ，则36n =0.3，解得n =120，又样本中净重大于或等于10克并且小于22克的频率为(0.05+0.075+0.0625)×4=0.75， 所以样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品个数为120×0.75=90， 故选：A.根据频率分布直方图求出样本中产品净重小于14克的频率，然后设样本总体个数为n ，则即可建立方程求出n 的值，进而可以求解．本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生的识图能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意可知要使产品不合格，需第一道工序不合格或者第一道工序合格且第二道工序不合格， 则“产品不合格”可以表示为A −∪AB −， 故选：D.根据和事件以及积事件的性质即可求解． 本题考查了事件的关系与运算，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：圆M ：x 2+y 2=1的圆心M(0,0)，半径r 1=1，圆N:(x −2√2)2+(y −2√2)2=m 2(m >0)的圆心N(2√2,2√2)，半径r 2=m ， 若圆M 与圆N 存在公共点，则|m −1|≤|MN|≤m +1， 即{ |m −1|≤√(2√2)2+(2√2)2m +1≥√(2√2)2+(2√2)2，解得3≤m ≤5.结合选项可得，m 的值不可能为4√2. 故选：D.由两圆的方程可得圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系列式求得m 的范围，结合选项得答案．本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：如图所示，设a 2+b 2=c 2，c >0，联立{x 2+y 2=c 2x 2a2−y 2b2=1，解得x =a √b 2+c 2c，∵△OAB 为正三角形， ∴a √b 2+c 2c=c ⋅cos π6，a 2+b 2=c 2，化为3e 4−8e 2+4=0，e >1， 解得e 2=2，即e =√2， 故选：C.如图所示，设a 2+b 2=c 2，c >0，联立{x 2+y 2=c 2x 2a 2−y 2b2=1，解得x ，根据△OAB 为正三角形，利用边角关系可得关于a ，b ，c 的方程，进而得出离心率．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、圆的方程、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：对于①，把(0,0)代入√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13不成立，得(0,0)不是曲线C 上的点，故①错误；对于②，以−x 替换x ，以−y 替换y ，方程√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13不变，可知曲线C 是中心对称图形，故②正确；对于③，在方程√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13中，取x =0，可得9+y 2=13，即y =±2，∴△PAB面积的最大值为S=12×6×2=6，故③正确．∴正确结论的个数为2.故选：C.把原点的坐标代入切线方程判断①；由中心对称的概念判断②；取x=0求得y的最值，再由三角形面积公式求面积判断③．本题考查切线方程，考查推理论证能力与运算求解能力，是基础题．11.【答案】y=±x【解析】解：把双曲线x2−y2=4转化为标准方程：x 24−y24=1，∴双曲线x2−y2=4的渐近线方程为x2 4−y24=0，整理，得y=±x.故答案为：y=±x.把双曲线x2−y2=4转化为标准方程：x 24−y24=1，得到双曲线x2−y2=4的渐近线方程为x24−y24=0，由此能求出结果．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意把双曲线方程转化为标准方程．12.【答案】0.75【解析】解：密码被破译的概率为1−(1−0.5)(1−0.5)=0.75.故答案为：0.75.求得密码没有被破译的概率，用1减去没有被破译的概率，即为密码被破译的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．13.【答案】x=2或4x−3y+1=0【解析】解：根据题意，A(2,3)在圆(x−1)2+y2=1外，∴过点A(2,3)与圆(x−1)2+(y−2)2=1相切的直线有两条．当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y+3−2k=0，∴√k+1=1，∴k=43，∴切线方程为4x−3y+1=0，当斜率不存在时，切线方程为x=2.综上，所求的切线方程为x =2或4x −3y +1=0. 故答案为；x =2或4x −3y +1=0.根据题意，A(2,3)在圆(x −1)2+y 2=1外，过点A(2,3)与圆(x −1)2+y 2=1相切的直线有两条，考虑斜率存在和斜率不存在，分情况讨论即可．本题考查直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，属于基础题．14.【答案】5【解析】解：根据题意，点P(3,−4,5)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4,5)， 平面α的一个法向量是n ⃗ =(0,0,−1)， 则点P(3,−4,5)到平面α的距离d =|OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n⃗ |=|−5|1=5，故答案为：5.根据题意，求出向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由点到平面的距离公式计算可得答案． 本题考查空间向量的应用，涉及点到平面的距离计算，属于基础题．15.【答案】①②③【解析】解：对于①：当x =0，z =1时，点P 是线段B 1C 1上的动点，显然当P 是线段B 1C 1的中点时，BP =D 1P ，故①正确；对于②：当x =0，y =1时，点P 是线段CC 1上的动点，∵BB 1//CC 1，又BB 1⊂平面BDD 1，∴CC 1//平面BDD 1，∴P 到平面BDD 1的距离为定值12AC =√2，∴三棱锥P −BDD 1的体积V =13×12×2×2√2×√2=43，故②正确；对于③：当z =1，且x +y =1时，点P 在线段A 1C 1上的动点， 显然P 为A 1C 1与B 1D 1的交点时，△BPD 1的面积的最小，最小值为S △BB 1P −S △BB 1P =12×2×2√2−12×2×√2=√2，故③正确；对于④：当z =1，且x +y =12时，M ，N 为A 1B 1，B 1C 1的中点，点P 为直线MN 上的动点， 以B 为原点，BA ，BC ，BB 1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(x,y,1)，B(0,0,0)，D 1(1,1,1)， ∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,1)，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y −1,0)，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,1)⋅(x −1,y −1,0)=x 2−x +y 2−y =x 2−x +y 2−y =(x +y)2−2xy −(x +y)=14−12−2xy =−14−2xy <0， 故∠BPD 1不可能为直角，故④错误． 故答案为：①②③．利用空间几何的性质，逐项判断即可．本题考查空间几何体的体积问题，考查三角形形状的判断，考查空间角问题，属中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)设△OAB 的外接圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，D 2+E 2−4F >0，把0(0,0)，A(2,0)，B(4,2)代入可得{F =022+2D +F =042+22+4D +2E +F =0，解得D =−2，E =−6，F =0，∴△OAB 的外接圆C 的一般方程为x 2+y 2−2x −6y =0. (Ⅰ)由(I)可得：(x −1)2+(y −3)2=10， 圆心C(1,3)，半径r =√10，圆心C 到直线l 的距离d =|4+9−8|√42+32=1，∴直线l ：4x +3y −8=0被圆C 截得的弦的长=2×√10−1=6.【解析】(Ⅰ)设△OAB 的外接圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，D 2+E 2−4F >0，把0(0,0)，A(2,0)，B(4,2)代入可得关于D ，E ，F 方程组，解得D ，E ，F ，即可得出△OAB 的外接圆C 的一般方程．(Ⅰ)由(I)可得：(x −1)2+(y −3)2=10，可得圆心C(1,3)，半径r =√10，利用点到直线的距离公式可得圆心C 到直线l 的距离d ，即可得出直线l ：4x +3y −8=0被圆C 截得的弦的长=2√r 2−d 2.本题考查了圆的方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =2BC =2，M 是棱CC 1上任意一点，∴AC ⊥BD ，AA 1⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥AA 1，∵AC ∩AA 1=A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∵AM ⊂平面ACC 1A 1，∴AM ⊥BD ；(Ⅰ)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，∵M 是棱CC 1的中点，∴A(0,0,0)，M(1,1,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设异面直线AM 与BC 所成角为θ，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为：cosθ=|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3=√33.【解析】(Ⅰ)AC ⊥BD ，AA 1⊥平面ABCD ，从而BD ⊥AA 1，进而BD ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明AM ⊥BD ；(Ⅰ)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM 与BC 所成角的余弦值．本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成角的定义及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设从A 地区抽取的用户中抽取的10名用户参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有m 名，则m 10=240400，解得m =6；(Ⅰ)将从(Ⅰ)中参加座谈的且评分不低于60分的6名用户中，评分为[60,80)的4名编号为1，2，3，4，评分为[80,100)的两名用户编号为a ，b ，则从6人中随机选取2名用户的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b)}， 设M =“这两名用户的评分恰有一名低于80分“，则M ={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)}，则P(M)=n(M)n(Ω)=815；(Ⅰ)无法判断μ0和μ1+μ22的大小， 理由：因为样本的抽样具有随机性，样本不一定能完全代表总体，所以无法比较．【解析】(Ⅰ)按照分层抽样的规律，即抽样比相等，列出方程求解；(Ⅰ)利用列举法表示出所有的样本点，再求出要求事件包含的样本点的个数，套用公式求出结论； (Ⅰ)根据抽样具有随机性的特点，可得总体的μ0和μ1+μ22的大小关系无法确定．本题考查分层抽样的性质，古典概型的概率计算公式，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)把点A(1,2)代入抛物线C ：y 2=2px(p >0)方程，则4=2p ，解得p =2.∴抛物线C 的方程为y 2=4x ，焦点坐标为(1,0).(Ⅰ)设过点A 的直线l 方程为m(y −2)=x −1，B(x 0,y 0)，直线l 与x 轴相交于M(1−2m,0)，联立{m(y −2)=x −1y 2=4x，化为y 2−4my +8m −4=0， 则2+y 0=4m ，可得2m =2+y02，则△OAB 的面积2=12|1−2m|⋅|2−y 0|，∴|1−2+y 02|⋅|2−y 0|=4，化为：y 02−2y 0±8=0，y 02−2y 0+8=0，Δ=4−32=−28<0，无解，舍去．y 02−2y 0−8=0，解得y 0=−2，4，由y 0=−2，可得4=4x 0，解得x 0=1，∴B(1,−2)；由y 0=4，可得16=4x 0，解得x 0=4，∴B(4,4).综上可得：点B 的坐标为(1,−2)，(4,4).【解析】(Ⅰ)把点A(1,2)代入抛物线C ：y 2=2px(p >0)方程，解得p ，进而得出抛物线C 的方程及其焦点坐标．(Ⅰ)设过点A 的直线l 方程为m(y −2)=x −1，B(x 0,y 0)，直线l 与x 轴相交于M(1−2m,0)，把直线l 的方程代入抛物线方程化为y 2−4my +8m −4=0，利用根与系数的关系可得m 与y 0的关系，代入△OAB 的面积2=12|1−2m|⋅|2−y 0|，解得y 0，可得点B 的坐标．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵AB//CD ，∠ADC =90∘，∴AB ⊥AD ，∵PD ⊥平面ABCD.AB ⊂面ABCD ，∴PD ⊥AB ，∵PD ⊂面PAD ，AD ⊂面PAD ，AD ∩PD =D ，∴AB ⊥平面PAD ；(Ⅰ)以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD =CD =PD =2AB =2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，由AB ⊥平面PAD ，可得平面PAD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设平面PBC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x +y −2c =0−2x +y =0，则可取n ⃗ =(1,2,2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=21×√1+4+4=23，∴平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值为23；(Ⅰ)设G(x,y,z)，设GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0<λ<1)，∴(2−x,1−y,−z)=λ(2,1,−2)，可得x =2−2λ，y =1−λ，z =2λ，∴G(2−2λ,1−λ.2λ)，∴DG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ,1−λ.2λ)， ∴cos <DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1+4+4⋅√(2−2λ)+(1−λ)+4λ=23， 解得λ=19，∴PGPB =1−λ=89. 【解析】(Ⅰ)证明PD ⊥AB ，说明AD ⊥CD ，AD ⊥AB.即可证明AB ⊥平面PAD ；(Ⅰ)以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz.求出平面PBC 的法向量，平面PAD 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可；(Ⅰ)设G(x,y,z)，设GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据DG 与平面PBC 所成角的正弦值为23，即可求出λ的值，可得答案．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意得a =2，b =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；证明：(Ⅰ)(i)设过点P(2,1)的直线l 的方程为y −1=k(x −2)，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，不妨令−2≤x 1<x 2<2，由{y −1=k(x −2)x 2+4y 2−4=0， 整理得(1+4k 2)x 2+(8k −16k 2)x +16k 2−16k =0，所以Δ=(8k −16k 2)2−4(1+4k 2)(16k 2−16k)>0，解得k >0， 所以x 1+x 2=16k 2−8k1+4k 2,x 1x 2=16k 2−16k1+4k 2；①当x 1x 2≠0时，直线BC 的方程为y −1=y 1−1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11−y 1， 直线BD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，令y =0，解得x N =x21−y 2， 所以x N +x M =x 21−y 2+x 11−y 1=x 21−[k(x 2−2)+1]+x 11−[k(x 1−2)+1]=x 2−k(x 2−2)+x 1−k(x 1−2)=−2x 1x 2−2(x 1+x 2)k(x 1x 2−2(x 1+x 2)+4) =−2×16k 2−16k 1+4k 2−2×(16k 2−8k 1+4k 2)k(16k 2−16k 1+4k 2−2×(16k 2−8k 1+4k 2)+4)=4，所以|AM|=|AN|；②当x 1x 2=0时，得C(0,−1),D(85,35)，此时直线BC 的方程为x =0，直线BD 的方程为y =−x 4+1，所以M(0,0)，N(4,0)，符合题意；综上，|AM|=|AN|；(ii)由题意可得Q(1,√32).【解析】(Ⅰ)由题意得a =2，b =1，即可求解椭圆E 的方程；(Ⅰ)(i)设过点P(2,1)的直线l 的方程为y −1=k(x −2)，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，令−2≤x 1<x 2<2，由{y −1=k(x −2)x 2+4y 2−4=0，利用韦达定理得到x 1+x 2=16k 2−8k 1+4k 2,x 1x 2=16k 2−16k 1+4k 2，再分x 1x 2≠0和x 1x 2=0两种情况即可得证；(ii)根据题意直接写出Q 点坐标即可．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.在三棱柱中，D为棱的中点．设，用基底表示向量，则()A. B. C. D.3.两条直线与之间的距离是()A.5B.1C.D.4.设直线l的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，下列叙述中错误的是()A.平面PCDB.C. D.平面平面ABCD6.已知M为抛物线上一点，M到C的焦点F的距离为6，到x轴的距离为4，则()A.6B.4C.2D.17.下列双曲线中以为渐近线的是()A. B. C.D.8.已知点，若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是()A. B.C.D.9.已知双曲线Q 与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为P ，是以为底边的等腰三角形，则双曲线Q 的标准方程为()A.B.C.D.10.如图，在棱长为2的正方体中，P 为线段的中点，Q 为线段上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点Q ，使得B.存在点Q ，使得平面C.三棱锥的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

11.若直线与直线垂直，则a 的值为__________.12.复数的实部为__________.13.已知圆则圆的圆心坐标为__________；若圆与圆内切，则__________.14.如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为__________；平面ABCD 与平面夹角的余弦值为__________.15.已知直线，则与的交点坐标为__________；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值__________.16.已知曲线，给出下列四个命题：①曲线关于x轴、y轴和原点对称；②当时，曲线共有四个交点；②当时，③当时，曲线围成的区域内含边界两点之间的距离的最大值是3；④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．其中所有真命题的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

2023-2024学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．椭圆y 22+x 2=1的焦点坐标为（ ） A ．（﹣1，0），（1，0）B ．（0，﹣1），（0，1）C ．（−√3，0），（√3，0）D ．(0，−√3)，(0，√3) 2．抛物线y 2＝x 的准线方程是（ ）A ．x =−12B ．x =−14C ．y =−12D ．y =−143．直线3x +√3y +1=0的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°4．已知点P 与A （0，2），B （﹣1，0）共线，则点P 的坐标可以为（ ）A ．（1，﹣1）B ．（1，4）C ．(−12，−1)D ．（﹣2，1） 5．已知P 为椭圆C ：x 24+y 2b 2=1上的动点，A （﹣1，0），B （1，0），且|P A |+|PB |＝4，则b 2＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，则“CB ⊥BB 1”是“CB ⊥AB “的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点P （﹣2，3，1）到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．3C ．√5D ．√10 8．已知双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，以A 1F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点P ，Q ．若线段PF 的垂直平分线过A 2，则b 2的数值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．910．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且∠A ＝60°，E ，F 分别为棱AB ，DC 中点．将△BCF 和△ADE 分别沿BF ，DE 折叠，若满足AC ∥平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（ ）A ．[√3，2√3）B ．[√3，2√3]C ．[2，2√3)D ．[2，2√3]二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在空间直角坐标系O−xyz 中，点(1,1,2)到坐标原点O 的距离为( )A.2B.3C.6D.112.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )A. 4 B. 5C. 9D. 203.椭圆x 29+y 24=1的长轴长是( )A. 2B. 3C. 4D. 64.已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X 表示取得次品的件数，则P(X =1)=( )A. C 12C 310B. C 12C 28C 310C. C 23C 18C 310D. C 12C 13C 3105.圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x−3)2+y 2=9的位置关系是( )A. 外切B. 内含C. 相交D. 外离6.已知m =(1,2,4)，n =(2,1,x)分别为直线a ，b 的一个方向向量，且a ⊥b ，则x =( )A. 1B. −1C. 2D. −27.设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为( )A. 0.78B. 0.82C. 0.87D. 0.498.已知点P(3,4)，A ，B 是圆C ：x 2+y 2=4上的两个动点，且满足|AB|=2，M 为线段AB 的中点，则|PM|的最大值为( )A. 5−3B. 5+3C. 3D. 7二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某服装公司对1−5月份的服装销量进行了统计，结果如下： 月份编号x12345销量y(万件)5096142185227若y 与x 线性相关，其线性回归方程为y =bx +7.1，则下列说法正确的是( )A. 线性回归方程必过(3,140)B. b=44.3C. 相关系数r<0D. 6月份的服装销量一定为272.9万件10.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X～N(3.5,0.25)，则下列结论正确的是( )A. 该正态分布的均值为3.5B. P(X>3.5)=12C. P(4<X≤4.5)≥12D. P(X>4.5)=P(X≤3)11.已知双曲线M：x24−y29=1，则下列说法正确的是( )A. M的离心率e=132B. M的渐近线方程为3x±2y=0C. M的焦距为6D. M的焦点到渐近线的距离为312.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则下列选项正确的是( )A. 直线FC1与直线AE平行B. 直线FC1与底面ABCD所成的角为30°C. 直线FC1与直线AE的距离为2305D. 直线FC1到平面AB1E的距离为23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期末练习数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为()A. B. C. D.2.已知数列的前n项和为，且，，则()A. B. C.1 D.33.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上.若，则()A.2B.3C.4D.54.已知椭圆的焦点在x轴上，则m的取值范围是()A. B. C. D.5.如图，在四面体OABC中，，，点M在OC上，且，N为AB 的中点，则()A. B.C. D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上.若，则的面积为()A.2B.4C.8D.97.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，且表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即已知的第1项到第5项是公比为q的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则()A.40B.80C.96D.1128.已知点P在由直线，和所围成的区域内含边界运动，点Q在x轴上运动.设点，则的最小值为()A. B. C. D.9.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱上一动点.给出下列四个结论：①存在点F，使得平面；②直线EF与所成角的最大值为；③点到平面的距离为；④点到直线的距离为其中所有正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.410.过双曲线的右焦点F引圆的切线，切点为P，延长FP交双曲线C的左支于点若，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知向量，，若与共线，则__________.12.双曲线的渐近线方程为__________.13.已知等差数列的前n项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为__________.14.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点Q在圆上运动，当取最大值时，PQ 的长为__________.15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且给出下列四个结论：①；②各项中的最大值为2；③，使得；④，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。

石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像是：A. 一个开口向上的抛物线，顶点在(1, 0)B. 一个开口向下的抛物线，顶点在(1, 0)C. 一个开口向上的抛物线，顶点在(0, 1)D. 一个开口向下的抛物线，顶点在(0, 1)2. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 12，a + c = 8，则b的值为：A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°4. 下列哪个方程的解集是空集：A. x^2 + 1 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 + 2x + 1 = 05. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是：A. 以(0, 0)为圆心，1为半径的圆B. 以(0, 0)为圆心，2为半径的圆C. x = 0的直线D. y = 0的直线6. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^47. 若等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第5项an是：A. 24B. 27C. 81D. 2438. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点是：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 下列哪个数是等差数列1, 3, 5, ...的第10项：A. 19B. 20C. 21D. 2210. 若log2x + log2(4x) = 3，则x的值是：A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = ________。

2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列1,53,52，…的通项公式可能是a n =( )A. n 2+1n +1B. n +1n 2+1C. n 22n−1D. n 2+12n−12.圆(x +1)2+y 2=1和圆(x−2)2+(y−4)2=16的位置关系为( )A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为( )A. 12B. 30C. 34D. 604.已知F 是抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点，点A(1,14)在C 上，则|AF|=( )A. 38B. 58C. 54D. 945.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4=6，S 8=18，则S 16=( )A. 48B. 90C. 96D. 1626.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，直线l 经过点T(1,12)与C 交于A ，B 两点.若T 是线段AB 的中点，则l 的方程为( )A. 4x−6y−1=0 B. 3x−2y−1=0 C. 4x +6y−7=0 D. 3x +2y−4=07.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，BD =4，AD 1⋅DC−AB 1⋅BC =5，则cos <AA 1，BD >=( )A. 512B. −512C. 415D. −4158.已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线y = 52b 与C 交于A ，B 两点.若△ABF 的周长为7a ，则C 的离心率为( )A. 43 B. 65 C. 2 105二、多选题：本题共4小题，共20分。

2022-2023学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷1. 已知{a n }为等差数列，a 5=4，则a 4+a 6=( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 102. 已知点M(a,2)(a >0)到直线l ：x −y +3=0的距离为1，则实数a =( ) A. √2−1 B. √2C. 2−√2D. √2+1 3. 设函数f(x)=x +lnx ，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )A. x −y −1=0B. 2x −y −1=0C. x −y −2=0D. 2x −y −2=0 4. 已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点P(3,y 0)在抛物线C 上，则|PF|=( )A. 2√3B. 2√3+1C. 3D. 45. 已知直线l 1：x +ay +1=0，直线l 2：(a +2)x +3y −1=0，则“a =1”是“l 1//l 2”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，在四面体OABC 中，G 是BC 的中点，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. a ⃗ −12b ⃗ −12c ⃗B. −a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ C. −12a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ D. 12a ⃗ −b ⃗ −c ⃗7. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+x +1(a ∈R)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( ) A. a <−√3或a >√3 B. x 1是f(x)的极小值点 C. x 1+x 2=13 D. x 1x 2=−138. 在平面直角坐标系xOy 中，设F 1，F 2是双曲线C:x2−y 22=1的两个焦点，点M 在C 上，且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则△F 1F 2M 的面积为( )A. √3B. 2C. √5D. 49. 如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ，B 是直线l 上的两点，C ，D 是平面β内的两点，且DA ⊥l ，CB ⊥l ，DA =4，AB =6，CB =8，若平面α内的动点P 满足∠APD =∠BPC ，则四棱锥P −ABCD 的体积的最大值为( )A. 24B. 24√3C. 48D. 48√310. 斐波那契数列{F n }(n ∈N ∗)在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：F 1=F 2=1，当n >2时，F n =F n−1+F n−2.若F 100=F 12+F 22+F 32+⋯+F m2F m，则m=( )A. 98B. 99C. 100D. 10111. 函数f(x)=x ⋅e x 的导函数f′(x)=______.12. 已知平面α的法向量为n ⃗ =(1,2,−2)，直线l 的方向向量为u ⃗ =(−2,m,4)，且l ⊥α，则实数m =______.13. 过圆C ：(x +1)2+y 2=1的圆心且与直线x −y =0平行的直线的方程是______.14. 设点F 1，F 2分别为椭圆C:x 22+y 2=1的左、右焦点，则椭圆C 的离心率为______；经过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.15. 已知{a n }是首项为负数，公比为q 的等比数列，若对任意的正整数n ，2a 2n−1+a 2n >0恒成立，则q 的值可以是______.(只需写出一个)16. 数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线D 在平面直角坐标系xOy 中的方程为x 3+y 3−3axy =0.当a =1时，给出下列四个结论： ①曲线D 不经过第三象限； ②曲线D 关于直线y =x 轴对称；③对任意k ∈R ，曲线D 与直线y =−x +k 一定有公共点； ④对任意k ∈R ，曲线D 与直线y =k 一定有公共点． 其中所有正确结论的序号是______.17. 设函数f(x)=13x 3−x 2−3x +1.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅰ)当x ∈[0,4]时，求f(x)的最大值与最小值．18. 已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n(n∈N∗)，a1=1，a5=9.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n；(Ⅰ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列{b n}的前n项和T n.条件①：b n=2a n；条件②：b n=2n+a n；条件③b n=1a n⋅a n+1.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC=π2，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，点O是AB的中点．(Ⅰ)求证：PO⊥CD；(Ⅰ)求二面角A−PO−D的余弦值；(Ⅰ)在棱PC上是否存在点M，使得BM//平面POD？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由．20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，且点P(1,√32)在椭圆C上．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅰ)过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且y1y2≠0.问：x轴上是否存在点N，使得直线NA，直线NB与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．21. 在无穷数列{a n}中，a1=√2，a2=1，a n+2=|a n+1−a n|，n∈N∗.(Ⅰ)求a4a1与a7a4的值；(Ⅰ)证明：数列{a n}中有无穷多项不为0；(Ⅰ)证明：数列{a n}中的所有项都不为0.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵{a n}为等差数列，a5=4，∴a4+a6=2a5=8.故选：C.利用等差数列的通项公式直接求解．本题考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由题意得√2=1，因为a>0，解得a=−1+√2或a=−1−√2(舍).故选：A.由已知结合点到直线的距离公式即可求解．本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：f′(x)=1+1x，则f′(1)=2，又f(1)=1，则由点斜式可得，所求切线方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0.故选：B.先对函数f(x)求导，进而利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式得解．本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵抛物线C的方程为：y2=4x，∴抛物线的焦点F到准线的距离p=2，又P(3,y0)在抛物线C上，∴|PF|=p2+3=4.故选：D.根据抛物线的几何性质即可求解．本题考查抛物线的几何性质，属基础题．5.【答案】C【解析】解：a =1时，直线l 1：x +y +1=0，直线l 2：3x +3y −1=0，所以l 1//l 2，充分性成立；直线l 1//l 2时，a(a +2)−3=0，解得a =1或a =−3， 因为a =−3时，l 1与l 2重合，所以l 1//l 2时a =1，必要性成立； 所以“a =1”是“l 1//l 2”的充分必要条件． 故选：C.分别判断充分性和必要性是否成立即可．本题考查了充分必要条件的判断问题，也考查了两直线平行的判断问题，是基础题．6.【答案】B【解析】解：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(c ⃗ −a ⃗ +b ⃗ −a ⃗ )=−a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ .故选：B.根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解． 本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：若函数f(x)=x 3+ax 2+x +1(a ∈R)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)， 则f′(x)=3x 2+2ax +1有2个不同零点，则Δ=4a 2−12>0，解得a >√3或a <−√3，故A 正确， 由于3>0，则函数f′(x)的图像开口向上， 则x 1是f(x)的极大值点，故B 错误， 由x 1⋅x 2=13，x 1+x 2=−2a3，则CD 错误， 故选：A.求出函数的导数，结合二次函数的性质对各个选项分别判断即可． 本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由双曲线的定义知：||MF 1|−|MF 2||=2， 因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以MF 1⊥MF 2，利用勾股定理可得，MF 12+MF 22=F 1F 22=12，即(MF 1−MF 2)2+2MF 1⋅MF 2=12，所以MF 1⋅MF 2=4，三角形的面积S =12MF 1⋅MF 2=2， 故选：B.由双曲线的定义知：||MF 1|−|MF 2||=2，结合MF 1⊥MF 2，利用勾股定理可得，MF 12+MF 22=F 1F 22=12，结合三角形的面积S =12MF 1⋅MF 2，从而可求．本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：在平面β内，由DA ⊥l ，CB ⊥l ，可得DA//BC ， 又DA =4，CB =8，∴四边形ADCB 为直角梯形， S ADCB =12×(AD +BC)×AB =12×(4+8)×6=36，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只要四棱锥P −ABCD 的高h 取最大值即可， ∵平面α⊥平面β，α∩β=l ，过点P 向l 作垂线交l 于E ，根据面面垂直的性质得PE ⊥α，则PE =ℎ，∵PE 是△PAB 的高，且由DA ⊥l ，CB ⊥l ，知DA ⊥α，CB ⊥α， ∵AP ⊂α，PB ⊂β，∴DA ⊥AP ，BC ⊥PB ， 在Rt △PAD 中，tan∠APD =ADAP，在Rt △PBC 中，tan∠BPC =BC BP， ∵∠APD =∠BPC ，∴ADAP =BCBP ，∴APBP =ADBC =48=12，∴BP =2AP ， 设∠APB =θ，AP =m ，在△APB 中，由余弦定理得cosθ=AP 2+BP 2−AB 22AP⋅BP=5m 2−364m 2， ∵sinθ>0，∴sinθ=√1−cos 2θ=√1−(5m 2−364m 2)2=34m 2√−(m 2−20)2+256， 则S △APB =12PA ⋅PBsinθ=34√−(m 2−20)2+256，∵S △APB =12AB ⋅ℎ=3ℎ， ∴ℎ=14√−(m 2−20)2+256，根据三角形三边关系可得{PA +PB >AB =6|PA −PB|<AB =6，∴{3m >6m <6，解得2<m <6，4<m 2<36，∴当m 2=20时，ℎ=14√−(m 2−20)2+256有最大值为14√256=4，∵四棱锥P −ABCD 的体积为V =12×S ADCB ⋅ℎ≤13×36×4=48， ∴四棱锥P −ABCD 的体积的最大值为48. 故选：C.根据已知可得S ABCD =36，则当四棱锥的高h 最大，即△PAB 的高PE 最大即可，根据面面垂直的性质得出线线垂直关系，结合∠APD =∠BPC ，可得BP =2AP ，设∠APB =θ，AP =m ，在△APB 中根据余弦定理结合面积公式得到ℎ=14√−(m 2−20)2+256，由三边关系得到2<m <6，即可得到ℎ<4，代入体积公式能求出四棱锥P −ABCD 的体积的最大值．本题考查四棱锥结构特征、余弦定理、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：由已知得F 12=F 2⋅F 1，且F n−1=F n −F n−2， 所以F 22=F 2⋅(F 3−F 1)=F 2⋅F 3−F 2⋅F 1， F 32=F 3⋅(F 4−F 2)=F 4⋅F 3−F 3⋅F 2，........F m 2=F m ⋅(F m+1−F m−1)=F m ⋅F m+1−F 3⋅F m−1， 累加整理可得F 12+F 22+.....+F m 2=F m ⋅F m+1；又因为F 100=F 12+F 22+F 32+⋯+F m2F m=F m+1.即F m+1是该数列的第100项，所以m =99，所以B 选项正确． 故选：B.利用累加法即可求解．本题主要考查递推式求通项公式以及累加法的应用，属于中档题．11.【答案】(1+x)e x【解析】解：函数的导数f′(x)=e x +xe x =(1+x)e x ， 故答案为：(1+x)e x根据函数的导数运算公式即可得到结论．本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．12.【答案】−4【解析】解：根据题意，若l ⊥α，则n ⃗ //u ⃗ ， 必有1−2=2m =−24，解可得m =−4， 故答案为：−4.根据题意，分析可得n ⃗ //u ⃗ ，由此分析可得答案．本题考查空间向量的应用，涉及线面垂直的判断方法，属于基础题．13.【答案】x −y +1=0【解析】解：因为圆C ：(x +1)2+y 2=1的圆心为(−1,0)，故过圆心(−1,0)且与直线x −y =0平行的直线为y =x +1，即x −y +1=0. 故答案为：x −y +1=0.先求出圆心C 的坐标，然后结合直线平行的斜率关系即可求解直线方程． 本题主要考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题．14.【答案】√22 0【解析】解：由椭圆C:x 22+y 2=1可得，a =√2,b =1，所以c =1，则离心率e =c a=√22.根据椭圆的对称性可得，P ，Q 点关于原点对称， 设P(x 0,y 0)，Q(−x 0,−y 0).且S PF 1QF 2=2S △PF 1F 2=2×12|F 1F 2||y 0|=2|y 0|， 当|y 0|最大时，面积最大，则此时P ，Q 为短轴顶点， 不妨设P(0,1)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)， 所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)， 所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1×1+(−1)×(−1)=0. 故答案为：√22;0.根据已知求出a ，b ，c 的值，即可得到离心率；根据对称性可得，S PF 1QF 2=2S △PF 1F 2=2|y 0|，所以P ，Q 为短轴顶点写出P ，F 1，F 2的坐标，即可得到结果． 本题考查了椭圆的性质，属于基础题．15.【答案】−3(答案不唯一)【解析】解：依题意，2a 1q 2n−2+a 1q 2n−1=a 1q 2n−2(2+q)>0， 又a 1<0,q 2n−2=(q n−1)2>0， 则2+q <0，即q <−2， 所以q 的值可以是−3. 故答案为：−3(答案不唯一).根据题意可建立关于q 的不等式，解不等式可得q 的范围，进而得解．本题主要考查等比数列的通项公式以及不等式的性质，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：当a =1时，方程为x 3+y 3−3xy =0，当x ，y <0时，x 3+y 3−3xy <0，故第三象限内的点不可能在曲线上，①正确； 将点(y,x)代入曲线方程，得x 3+y 3−3xy =0，故曲线关于直线y =x 对称，②正确； 当k =−1，联立{x 3+y 3−3xy =0x +y =−1，其中x 3+y 3−3xy =(x +y)(x 2+y 2−xy)−3xy =0，将x +y =−1代入，得−(x +y)2=0，即x +y =0，则方程组无解， 故曲线D 与直线x +y =−1无公共点，③错误； 联立{x 3+y 3−3xy =0y =k，可得x 3+k 3−3xk =0有解，设t(x)=x 3+k 3−3xk ，则t′(x)=3x 2−3k =3(x −√k)(x +√k)， 当k >0时，t(x)在(−∞,−√k),(√k,+∞)单调递增， (−√k,√k)单调递减，值域为R ，所以t(x)=0成立， 当k =0时，t(0)=0成立；当k <0时，t′(x)=3x 2−3k >0，t(x)单调递增， t(−k)=−k 3+k 3+3k 2>0，t(k)=k 3+k 3−3k 2<0， 所以∃x 0∈(k,−k)，t(x 0)=0成立，所以曲线D 与直线y =k 一定有公共点，故④选项正确． 故答案为：①②④．当x ，y <0时，判断x 3+y 3−3xy =0是否成立；将点(y,x)代入方程，判断与原方程是否相同；联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解，再逐一判断结论即可．本题主要考查曲线与方程和命题的真假判断与应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)定义域为R ，f′(x)=x 2−2x −3=(x +1)(x −3)，f′(x)>0⇒x <−1或x >3，f′(x)<0⇒−1<x <3，故f(x)的单调递减区间为(−1,3)，单调递增区间为(−∞,−1)，(3,+∞)； (Ⅰ)由(Ⅰ)知f(x)在[0,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，故f(x)min =f(3)=−8，由f(0)=1>f(4)=−173，故f(x)max =1. 【解析】(Ⅰ)求出导数，判断导数的符号解决问题； (Ⅰ)求出当x ∈[0,4]时f(x)的单调性，即可求出结论． 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则d=a5−a15−1=9−14=2，∴a n=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N∗，S n=n⋅1+n(n−1)2⋅2=n2.(Ⅰ)方案一：选择条件①由(Ⅰ)，可得b n=2a n=22n−1=2⋅4n−1，则数列{b n}是以2为首项，4为公比的等比数列，∴T n=2(1−4n)1−4=2(4n−1)3.方案二：选择条件②由(Ⅰ)，可得b n=2n+a n=2n+(2n−1)，则T n=b1+b2+⋅⋅⋅+b n=(21+a1)+(22+a2)+⋅⋅⋅+(2n+a n)=(21+22+⋅⋅⋅+2n)+(a1+a2+⋅⋅⋅+a n)=21−2n+11−2+S n=2n+1−2+n2=2n+1+n2−2.方案三：选择条件③由(Ⅰ)，可得b n=1a n⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12⋅(12n−1−12n+1)，则T n=b1+b2+⋅⋅⋅+b n=12⋅(1−13)+12⋅(13−15)+⋅⋅⋅+12⋅(12n−1−12n+1)=12⋅(1−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1)=12⋅(1−12n+1)=n2n+1.【解析】(Ⅰ)先设等差数列{a n}的公差为d，再根据等差数列的定义计算出公差d的值，即可计算出等差数列{a n}的通项公式及S n；(Ⅰ)在选择条件①的情况下，先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{b n}的通项公式并进行转化，即可发现数列{b n}是以2为首项，4为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式即可计算出前n项和T n；在选择条件②的情况下，先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前n项和T n；在选择条件③的情况下，先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和T n.本题主要考查数列求通项公式，以及求前n 项和问题．考查了转化与化归思想，等差数列和等比数列求和公式的运用，分组求和法，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵PA =PB =3，点O 为AB 的中点，∴PO ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，PO ⊂平面PAB ， ∴PO ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥CD.(Ⅰ)取线段CD 的中点E ，OE =2，OE//BC ，∵∠ABC =90∘，∴AB ⊥BC ，AB ⊥OE ，由(1)知，PO ⊥平面ABCD.以O 为原点，射线OB ，OE ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，则O(0,0,0)，A(−1,0,0)，P(0,0,2√2)，D(−1,3,0)， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2√2)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3,0)， 设平面POD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +3y =0，令x =3，得m ⃗⃗⃗ =(3,1,0)，取平面APO 的法向量为n ⃗ =(0,1,0)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√10×1=√1010，因为二面角A −PO −D 的平面角为锐角，所以二面角A −PO −D 的余弦值为√1010.(Ⅰ)设侧棱PC 上存在点M ，使得BM//平面POD ，此时CM CP=λ，因为C(1,1,0)，所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−2√2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−λ,2√2λ)，所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−λ+1,2√2λ)， 因为BM//平面POD ，m ⃗⃗⃗ =(3,1,0)为平面POD 的一个法向量，所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−3λ−λ+1=0，解得λ=14，因此侧棱PC 上存在点M ，当CM CP =14时，满足BM//平面POD.【解析】(Ⅰ)根据点O 为AB 的中点，得到PO ⊥AB ，结合平面PAB ⊥平面ABCD ，得到PO ⊥平面ABCD ，由此证明PO ⊥CD ；(Ⅰ)取线段CD 的中点E ，以O 为原点，射线OB ，OE ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法求出二面角A −PO −D 的余弦值；(Ⅰ)设侧棱PC 上存在点M 且CMCP =λ，使得BM//平面POD ，求出BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据平面的平行向量与其法向量互相垂直，得到BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，解出λ，由此即可得到在侧棱PC 上存在点M ，当CMCP=14时，满足BM//平面POD.本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究面面角、线面平行等知识，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得2a =4，即a =2，将P 点的坐标代入椭圆的方程可得14+34b2=1，解得b 2=1，所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(Ⅰ)由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my +4，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由题意可得A ，B 的纵坐标同号， 假设存在N(t,0)，t ≠0，联立{x =my +4x 2+4y 2=4，整理可得：(4+m 2)y 2+8my +12=0， 可得Δ=64m 2−4×12×(4+m 2)>0，即m 2>12， 且y 1+y 2=−8m4+m 2，y 1y 2=124+m 2， 设直线NA ，直线NB 与y 轴的交点分别为P ，Q ，设直线NA 的方程为：y =y 1x 1−t (x −t)，令x =0，可得y P =−ty1x 1−t ，同理可得直线NB 与y 轴的交点Q 的纵坐标为y Q =−ty2x 2−t ，由题意可得y P +y Q =0，即=−ty1x1−t+(−ty2x2−t)=0，整理可得：ty1(my2+4−t)+ty2(my1+t−4)，因为t≠0，即2my1y2+(4−t)(y1+y2)=0，即24m4+m2+(4−t)⋅(−8m)4+m2=0，整理可得：m(t−1)=0，t=1时不论m为何值，等式恒成立，即N(1,0)，所以存在N(1,0)满足条件．【解析】(Ⅰ)由题意可得a的值，再将点P的坐标代入椭圆的方程，可得b的值，进而求出椭圆的方程；(Ⅰ)由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，设直线AN，BN的方程，令x=0，可得两条直线与y轴的交点的纵坐标，由题意可得所得的纵坐标之和为0，可得N点的坐标．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由a1=√2,a2=1,a n+2=|a n+1−a n|,n∈N∗可得，a3=|a2−a1|=√2−1,a4=|a3−a2|=2−√2,a5=|a4−a3|=3−2√2，a6=|a5−a4|=√2−1,a7=|a6−a5|=3√2−4，所以a4a1=√2√2=√2−1，a7a4=√2−42−√2=√2−1；证明：(Ⅰ)假设数列{a n}中有限个项不为0，则会存在一个数m，当n≥m时，a n=0，则a m=0，a m+1=0，由a m+1=|a m−a m−1|可得a m−1=0；由a m=|a m−1−a m−2|可得a m−2=0…由a3=|a2−a1|可得a1=0，与题意矛盾，故假设不成立，所以数列{a n}中有无穷多项不为0；证明：(Ⅰ)由(Ⅰ)可得在无穷处能找到一个a n≠0，因为a n=|a n−1−a n−2|，所以a n−1≠a n−2，所以由a n−1=|a n−2−a n−3|可得a n−3≠0，同理可得a n−6，a n−9，a n−12，⋯，a n−3k≠0(n−3k>0,k∈N)，当n−3k=1即n=1+3k时，因为k∈N，且a1≠0，所以数列{a3k+1}所有项都不为0，当n−3k=2即n=2+3k时，因为k∈N，且a2≠0，所以数列{a3k+2}所有项都不为0，当n−3k=3即n=3+3k时，因为k∈N，且a3≠0，所以数列{a3k+3}所有项都不为0，综上可得数列{a n}中的所有项都不为0.【解析】(Ⅰ)利用递推公式求a4，a7的值即可；(Ⅰ)假设数列{a n}中有限个项不为0，然后推出与题意矛盾即可求证；(Ⅰ)由(Ⅰ)可得在无穷处能找到一个a n≠0，利用递推公式可得数列{a n}呈周期变化，a n+3,a n+6,a n+9,a n+12,⋯,a n+3k≠0(k∈N2)，令n−3k=1，2，3即可证明．本题考查了数列递推式的应用，属于中档题．。

大兴区2023~2024学年度第一学期高二期末检测数学（答案在最后）1.本试卷共4页，共两部分，21道小题.满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称､班级､姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.椭圆22194x y +=的长轴长为（）A.4B.5C.6D.9【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的方程即可得出答案.【详解】由22194x y +=可得29a =，则26a =.故选：C .2.双曲线22142x y -=的渐近线方程为（）A.y x =±B.22y x =±C.y =D.12y x =±【答案】B 【解析】【分析】直接由渐近线的定义即可得解.【详解】由题意双曲线22142x y -=的渐近线方程为22042x y -=，即2y x =±.故选：B.3.若直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，则m =（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由l α⊥可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，列方程组求解即可.【详解】∵直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，则存在实数λ使()12,1,1,,22m λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴21122m λλλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得2,4m λ==，故选：D.4.两条平行直线0x y -=与10x y --=间的距离等于（）A.2B.1C.D.2【答案】A 【解析】【分析】直接利用两平行线间的距离公式求解.【详解】两条平行直线0x y -=与10x y --=，由两平行线间的距离公式可知，所求距离为22d ==．故选：A ．5.过点()1,0且被圆22(2)1x y ++=截得的弦长最大的直线方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=【答案】B【解析】【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解.【详解】由题意可知：圆22(2)1x y ++=的圆心为()0,2-，显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线，可得直线方程为112x y +=-，即220x y --=.故选：B.6.圆221:2C x y +=与圆222:(2)(2)2C x y -+-=的位置关系是（）A.相交B.相离C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两个圆的圆心距即可判断得解.【详解】圆221:2C x y +=的圆心1(0,0)C ，半径1r =，圆222:(2)(2)2C x y -+-=的圆心2(2,2)C ，半径2r =显然1212||C C r r ==+，所以圆1C 与2C 外切.故选：D7.采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：907966181925271932812458569683431257393027556488730113537989根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（）A.310B.720C.25 D.920【答案】B 【解析】【分析】根据所给数据计数至少击中两次的次数后计算概率．【详解】所给数据中有181，271，932，812，431，393，113共7个数据表示至少击中两次，所以概率为720P =．故选：B ．8.若方程221343x y m m+=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为（）A.()4,3,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ B.4,33⎛⎫⎪⎝⎭C.()4,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.4,33⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意得到()()3430m m --<，再解不等式即可.【详解】依题意，()()3430m m --<，则43<m 或3m >.故选：A9.已知12,F F 是双曲线221:18y C x -=与椭圆2C 的左､右公共焦点，A 是12,C C 在第一象限内的公共点，若121F F F A =，则2C 的离心率是（）A.35B.25 C.13D.23【答案】A 【解析】【分析】由双曲线定义、椭圆定义以及离心率公式，结合已知条件运算即可得解.【详解】由221:18y C x -=知1,3a b c ====，所以12126F F F A c ===，∵12||||22F A F A a -==，∴24F A =，∴1210F A F A +=，∵12||6F F =，∴2C 的离心率是63105e ==.故选：A.10.平面内与定点()()12,0,,0F a F a -距离之积等于2(0)a a >的动点的轨迹称为双纽线.曲线C 是当a =P 是曲线C 上的一个动点，则下列结论不正确的是（）A.曲线C 关于原点对称B.满足12PF PF =的点P 有且只有一个C.4OP ≤D.若直线y kx =与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为()1,1-【答案】D 【解析】【分析】由题意得当a =()()2222216x y x y +=-，对于A ，用(,)x y --替换方程中的(,)x y 即可判断；对于B ，令12PF PF =，求出点P 的坐标即可验证；对于C ，由()2222221616x y x y x y -+=≤+即可判断；对于D ，由方程()()22221161k x k +=-无零解，即可得解.2a =，当a =C 8，即()()2422228864y y x x +++-=，整理，得()()2222216x y x y +=-，对于A ，用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以曲线C 关于原点中心对称，故A 正确；对于B ，若12PF PF =，=所以0x =，此时288y +=，即0y =，所以满足12PF PF =的点P 有且只有一个，即()0,0，故B 正确；对于C ，由()()2222216x yx y+=-，得()2222221616x y x y x y -+=≤+，所以曲线C 上任意一点到原点的距离，即都不超过4，故C 正确；对于D ，直线与曲线C 一定有公共点()0,0，若直线与曲线C 只有一个交点，将y kx =代入方程()()2222216x y x y +=-中，得()()224221161kx k x +=-，当0x ≠时，方程()()22221161k x k +=-无零解，则210k -≤，解得1k ≥或1k ≤-，故D 错误.故选：D.【点睛】关键点睛：判断D 选项的关键是首先一定有公共点()0,0，然后通过化简方程组得方程()()22221161k x k +=-无零解，由此即可顺利得解.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.如果事件A 与事件B 互斥，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ＝．【答案】0.5【解析】【分析】()P A B 表示事件A 与事件B 满足其中之一占整体的占比．所以根据互斥事件概率公式求解．【详解】()()0.20.3)0.5(P A P B P A B =+=+= 【点睛】此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目．12.经过原点()0,0且与直线3450x y ++=垂直的直线方程为__________.【答案】430x y -=【解析】【分析】与直线3450x y ++=垂直的直线方程可设为：430x y b -+=，再将()0,0代入即可得出答案.【详解】与直线3450x y ++=垂直的直线方程可设为：430x y b -+=，又因为经过原点()0,0，所以0b =.所求方程为430x y -=故答案为：430x y -=.13.已知双曲线222:1(0)y C x m m-=>是等轴双曲线，则C 的右焦点坐标为__________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】①.)②.1【解析】【分析】根据等轴双曲线的概念求得m ，即可得焦点，再根据点到直线的距离可得结果．【详解】双曲线222:1(0)y C x m m-=>是等轴双曲线，则21m =，1m =，222112c a b =+=+=，则c =C 的右焦点坐标为)，双曲线的渐近线方程为y x =±，即0x y ±=，则焦点()到渐近线的距离1d ==，故答案为：)，1．14.探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线2:8C y x =，一条光线经过()8,6M -，与x 轴平行射到抛物线C 上，经过两次反射后经过()08,N y 射出，则0y =________，光线从点M 到N 经过的总路程为________．【答案】①.83②.20【解析】【分析】由点N 与点Q 的纵坐标相同和韦达定理可得0y ，利用抛物线的定义可求得总路程.【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为P ，第二次射到抛物线上的点记为Q ，易得9,62P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()2,0F ，所以直线PF 的方程为125240x y +-=．联立28125240y xx y ⎧=⎨+-=⎩消去x 整理得2310480y y +-=，可设()00,Q x y ，显然6-和0y 是该方程的两个根，则0616y -=-，所以083y =．（方法一）光线从点M 到N 经过的总路程为()()()||||||4420M P P Q N Q M N MP PQ QN x x x x x x x x ++=-++++-=++=．（方法二）设抛物线的准线为l ，则其方程为2x =-，分别过点P ，Q 做准线l 的垂线，垂足分别为G ，H ，则PF PG =，QF QH =，所以PQ PF QF PG QH =+=+，故光线从点M 到N 经过的总路程为828220MP PQ QN MG NH ++=+=+++=．故答案为：83；20.15.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,,2F F 分别为椭圆的左､右焦点，,A B 为椭圆上两个动点.直线l 的方程为220bx ay a b +--=.给出下列四个结论：①C 的蒙日圆的方程为2223x y b +=；②在直线l 上存在点P ，椭圆C 上存在,A B ，使得PA PB ⊥；③记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -的最小值为3b ；④若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为26b .其中所有正确结论的序号为__________.【答案】①②④【解析】【分析】由(),Q a b 在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得,a b 关系，由此可知①正确；由l 过(),P b a 且(),P b a 在蒙日圆上，可知当,A B 恰为切点时，PA PB ⊥，知②正确；根据椭圆定义可将2||d AF -转化为12d AF a +-，可知1F A l ⊥时，1||d AF +取得最小值，由点到直线距离公式可求得1||d AF +最小值，代入可得2||d AF -的最小值，知③错误；由题意知，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系22212x y b +=，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知④正确．【详解】对于①，过(),Q a b 可作椭圆的两条互相垂直的切线：,x a y b ==，∴(),Q a b 在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为2222x y a b +=+，由2c e a ==，得222a b =，∴C 的蒙日圆方程为2223x y b +=，故①正确；对于②，由l 方程知：l 过(),P b a ，又(),P b a 满足蒙日圆方程，∴(),P b a 在圆2223x y b +=上，当,A B 恰为过P 作椭圆两条互相垂直切线的切点时，PA PB ⊥，故②正确；对于③，∵A 在椭圆上，∴12||||2AF AF a +=，∴211||(2||)||2d AF d a AF d AF a -=--=+-，当1F A l ⊥时，1||d AF +取得最小值，最小值为1F 到直线l 的距离，又1F 到直线l 的距离2222213d b ==，∴2min (||)23d AF a -=-，故③错误；对于④，当矩形MNGH 的四条边均与C 相切时，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，∴矩形MNGH 的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH 的长和宽分别为,m n ，则22212m n b +=，∴矩形MNGH 的面积22262m n S mn b +=≤=，当且仅当m n ==时取等号，即矩形MNGH 面积的最大值为26b ，故④正确.故答案为：①②④．【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点(),a b 在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项．三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知两直线1l ：80mx y n ++=和2l ：210x my +-=，（1）若1l 与2l 交于点(,1)P m -，求,m n 的值；（2）若12l l //，试确定,m n 需要满足的条件．【答案】（1）1,7m n ==（2）当4,2m n =≠-或4,2m n =-≠时，【解析】【分析】（1）将点代入则得到方程，解出即可；（2）根据平行列出方程，解出4m =±，再排除重合的情况即可.【小问1详解】将点(,1)P m -代入两直线方程得：280m n -+=和210m m --=，解得1,7m n ==.【小问2详解】由12l l //得：28204m m -⨯=⇒=±，又两直线不能重合，所以有8(1)0nm ⨯--≠，对应得2n ≠±，所以当4,2m n =≠-或4,2m n =-≠时，12l l //．17.已知椭圆22:143x y C +=与经过左焦点1F 的一条直线交于,A B 两点.（1）若2F 为右焦点，求2ABF △的周长；（2）若直线AB 的倾斜角为π4，求线段AB 的长.【答案】（1）8（2）247【解析】【分析】（1）直接画出图形结合椭圆的定义即可求解.（2）由题意结合左焦点1F 的坐标以及直线AB 的倾斜角为π4，可得直线AB 的方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意2a =，由椭圆定义有121224,24AF AF a BF BF a +==+==，所以2ABF △的周长为221212448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意直线AB 的斜率为πtan 14k ==，1c ===，即()11,0F -，所以直线AB 的方程为1y x =+，将它与椭圆方程22143x y +=联立得221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并化简整理得27880x x +-=，显然0∆>，由韦达定理得121288,77x x x x +=-=-，所以线段AB的长为12247AB x =-===.18.已知圆C 经过点A （2，0），与直线x +y ＝2相切，且圆心C 在直线2x +y ﹣1＝0上.（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论.【小问1详解】因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.则点C到直线x+y＝2的距离d=.据题意，d＝|AC|=解得a＝1.所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d=则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.【小问2详解】k不存在时，x＝0符合题意；k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0=1，∴k34=-，∴直线方程为3x+4y﹣4＝0.综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0.19.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点M为棱AB的中点，2,2 AB AC BC AD====.（1）证明：AC BD ⊥；（2）求平面BCD 和平面DCM 夹角的余弦值；（3）在线段BD 上是否存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为66？若存在，求BP BD 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）23（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得AB AC ⊥，由AD ⊥平面ABC 得AD AC ⊥，从而AC ⊥平面ABD ，进而得出结论；（2）以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCD 与平面DCM 的法向量，利用向量夹角公式求解；（3）设()01BP BD λλ=≤≤，则BP BD λ= ，求得22,0(,2)P λλ-，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅== ，列式求解即可.【小问1详解】∵2,2AB AC BC ===，∴222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥，∵AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AD AC ⊥，∵AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，∴AC ⊥平面ABD ，∵BD ⊂平面ABD ，∴AC BD ⊥.【小问2详解】以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0)A B C D M ，(2,2,0),(0,2,2),(1,2,0)BC CD CM =-=-=- ,设平面BCD 的法向量为111(,,)m x y z = ，由1111220220m BC x y m CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，则111,1==y z ，(1,1,1)m = ，设平面DCM 的法向量为222(,,)n x y z = ，由222222020n CD y z n CM x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，则222,1x z ==，(2,1,1)n = ，∴cos ,3m n m n m n ⋅=== ，∴平面BCD 和平面DCM夹角的余弦值为3.【小问3详解】设()01BP BDλλ=≤≤，则BP BD λ= ，设(,,)P x y z ，则()()2,,2,0,2x y z λ-=-，得22,0,2x y z λλ-=-==，∴22,0(,2)P λλ-，()22,2,2PC λλ=-- ，平面DCM 的法向量为(2,1,1)n = ，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意，sin cos ,6PC n PC n PC n θ⋅==== ，∴210λ+=，此方程无解，∴在线段BD 上是不存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为6.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交C 于不同的两点,P Q ，且4PQ =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()0,2M 的直线l 与C 相交于不同的两点,,A B N 为线段AB 的中点，O 是坐标原点，且AOB与MON △:1，求直线l 的方程.【答案】（1）24y x=（2）123=+y x 或2y x =-+【解析】【分析】（1）由题意可得直线,P Q 方程，进而可得2PQ p =，可求得p 值，即可得答案.（2）设直线l 的方程为2(0)y kx k =+≠，联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式求得点N 的横坐标N x ，AB ，求出O 到直线l 距离d ，由AOB 与MON △的面积的关系列式求出k ，可得答案.【小问1详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,P Q 两点所在的直线方程为：2p x =，代入抛物线2:2(0)C y px p =>，得22y p =，y p =±，则||24PQ p ==，故2p =，∴抛物线C 的方程为24.y x =【小问2详解】由题意，设直线l 的方程为2(0)y kx k =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，联立224y kx y x=+⎧⎨=⎩，得22(44)40k x k x +-+=，∴22(44)1632160k k k ∆=--=-+>，解得12k <且0k ≠，121222444,k x x x x k k -+==，∴点N 的横坐标为122222N x x k x k +-==，∴A B =O 到直线l 距离d =，∴AOB 的面积21122AOB S d k AB =⋅=△，MON △的面积22112222222M N ON k k S OM x k k --=⋅=⨯=⨯△，由题意AOB MON S =，∴2222kk k =-，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，∴直线l 的方程为123=+y x 或2y x =-+.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上､下顶点为21,B B ，左､右焦点为12,F F ，四边形1122B F B F 是面积为2的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 是椭圆C 上异于12,B B 的点，判断直线1PB 和直线2PB 的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由；（3）已知圆2223x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,D E 两点，判断以DE 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）是定值，定值为12-（3）过定点，定点为(0,0)【解析】【分析】（1）根据题意列式求,,a b c ，即可得椭圆方程；（2）设()000,,0P x y x ≠，根据斜率公式结合椭圆方程分析求解；（3）取特例3x =±可知定点应为()0,0，再对一般情况，利用韦达定理可得0OC OD ⋅= ，即可得结果.【小问1详解】由题意可得22212222b c b c a b c=⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】是定值，理由如下：设()000,,0P x y x ≠，则220012x y +=，可得()220021x y =-，由（1）可知：()()120,1,0,1B B -，则()1222000022000011111221PB PB y y y y k k x x x y +---⋅=⋅===--，所以直线1PB 和直线2PB 的斜率之积是定值12-.【小问3详解】由题意可知：圆2223x y +=的圆心为()0,0，半径为3，因为13<，可知圆2223x y +=在椭圆内，可知切线l 与椭圆C 相交，①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆M相切，故切线方程为3x =±，若切线方程为3x =代入椭圆方程可得，可得,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,33D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则以CD为直径的圆的方程为22233x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭；若切线方程为3x =-代入椭圆方程可得，可得,33C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,33D ⎛-- ⎝⎭，则以CD 为直径的圆的方程为226233x y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭；联立方程2222233233x y x y ⎧⎛⎫⎪-+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得00x y ==⎧⎨⎩，即两圆只有一个交点()0,0，若存在定点，则定点应为()0,0；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，则3d ==，整理得222(1)3m k =+，联立方程2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(21)4220k x kmx m +++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，所以22221212121222()()()21m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，所以()2222121222212232202121k k m k OC OD x x y y k k +----⋅=+===++ 即0OC OD ⋅=，所以以CD 为直径的圆经过定点(0,0)O ；综上可知，以CD 为直径的圆过定点(0,0)．【点睛】方法点睛：1．过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y kx t =+，由题设条件将t 用k 表示为t mk n =+，得()y k x m n =++，故动直线过定点(),m n -；（2）动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点；2．求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．。

2022-2023学年天津市河东区高二（上）期末数学试卷1. 双曲线x 23−y 22=1的焦点坐标是( )A. (±1,0)B. (±√5,0)C. (0,±1)D. (0,±√5)2. 抛物线y 2=−2x 的准线方程为( ) A. x =−1B. x =1C. x =−12 D. x =12 3. 等轴双曲线的一个焦点是F 1(−6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29−y 29=1B.y 29−x 29=1C. y 218−x 218=1D. x 218−y 218=14. 已知抛物线x 2=2py(p >0)上一点M(m,1)到焦点的距离为32，则其焦点坐标为( ) A. (0,12)B. (12,0)C. (14,0)D. (0,14)5. 若点P(1,2)在双曲线x 2a 2−y 2=1(a >0))的一条渐近线上，则它的离心率为( ) A. √52 B. 2 C. √5 D. 2√56. 下列四个数中，哪个是数列{n(n +1)}中的一项( )A. 380B. 392C. 321D. 2327. 已知等比数列{a n }，满足log 2a 2+log 2a 13=1，且a 5a 6a 8a 9=16，则数列{a n }的公比为( )A. 2B. 12C. ±2D. ±128. 已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，若a 82−a 7−a 9=3，则S 15−a 8的值为( )A. 3B. 14C. 28D. 429. 九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周邦彦也留下内关于九连环的名句“纵妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记a n (3≤n ≤9,n ∈N ∗)为解下n 个圆环需要移动圆环的最少次数，且a n =a n−2+2n−1，则解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为( )A. 30B. 90C. 170D. 34110. 设F 1，F 2为双曲线C ：x 29−y 24=1的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且|PF 1|=4，则|PF 2|=______.11. 已知数列{a n }满足2a n =a n−1+a n+1(n ≥2,n ∈N ∗)，a 2+a 4+a 6=12，a 1+a 3+a 5=9，则a 2+a 5等于______.12. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n+1=2S n +1(n ∈N ∗)，则a 5=______. 13. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +3n (n ∈N ∗)，则{a n }的通项公式a n =______. 14. 设等差数列{a n }满足a 1=1，a n >0(n ∈N ∗)，其前n 项和为S n ，若数列{√S n }也为等差数列，则a n =______；S n+10a n2的最大值是______. 15. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)与圆O ：x 2+y 2=5交于A ，B 两点，且|AB|=4，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，给出下列命题： ①若直线l 的斜率为√33，则|MN|=8；②|MF|+2|NF|的最小值为3+2√2； ③若以MF 为直径的圆与y 轴的公共点为(0,√62)，则点M 的横坐标为32；④若点G(2,2)，则△GFM 周长的最小值为4+√5.其中真命题的序号为______(把所有正确命题的序号都填在横线上).16. 已知双曲线的方程为4x 2−y 2=4，写出它的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程．17. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别是F 1、F 2，左右顶点分别是A ，B.(1)若椭圆C 上的点M(1,32)到F 1，F 2两点的距离之和等于4，求此椭圆C 的方程；(2)若P 是椭圆C 上异于A ，B 的任一点，记直线PA 与PB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1⋅k 2=−12，试求椭圆C 的离心率．18. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，数列{b n }是公比为2的等比数列，a 2是a 1，a 5的等比中项，b 3−a 3=3，b 1=2a 1. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .19. 已知P(23,2√63)是椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)与抛物线E ：y 2=2px(p >0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F. (1)求椭圆C 及抛物线E 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为−34(注：O 为坐标原点)，点M 是线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求|BM||MN|的值．20. 已知数列{a n}满足：a1=2，na n+1+(n+1)=(n+2)a n+(n+1)3.}是等差数列；(Ⅰ)证明：数列{a nn(n+1)(Ⅰ)设b n=n(n+2)，求数列{b n}的前n项和S n.2n+1a n答案和解析1.【答案】B【解析】解：由双曲线x 23−y22=1，可得c=√3+2=√5，∴焦点坐标是(±√5,0)，故选：B.由双曲线x 23−y22=1，可得c=√3+2，即可得出焦点坐标．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵抛物线y2=−2x，∴抛物线的焦点在x轴上，开口向左，且p=1，∴准线方程是x=12故选：D.先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得准线方程．本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查根据抛物线的标准方程求准线方程，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：设等轴双曲线方程为x2−y2=a(a>0)，化成标准方程：x 2a −y2a=1，由标准方程得：c=√2a=6，∴a=18，∴所求的等轴双曲线方程为x2−y2=18，故选：D.设出等轴双曲线的方程，把双曲线经过的点的坐标代入方程，求出待定系数，进而得到所求的双曲线的方程．本题考查利用待定系数法求双曲线的方程、考查双曲线三参数的关系c2=a2+b2.4.【答案】A【解析】解：∵抛物线C：x2=2py(p>0)上的一点M(m,1)到焦点F的距离为32，∴1+p2=32，∴p=1，∴抛物线的焦点坐标为：(0,12).故选：A.根据抛物线的定义，可得1+p2=32，求出p，即可求抛物线C的焦点坐标；本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积是计算，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：双曲线x 2a2−y2=1的渐近线方程y=±xa，因为点P(1,2)在双曲线x 2a2−y2=1的一条渐近线上，所以2=1a ，所以a=12，它的离心率为ca =√(12)2+112=√5.故选：C.求出双曲线的渐近线方程，代入点的坐标，求解a，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．6.【答案】A【解析】解：由题意，令n(n+1)=380，解得n=19，故A正确，再令n(n+1)=392，n(n+1)=321，n(n+1)=232，均无整数解，故BCD都错误．故选：A.分别令选项中的数值为n(n+1)，求出n是自然数时的这一项，即可得到答案．本题考查数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：设{a n}公比为q，∵log2a2+log2a13=log2(a2a13)=1=log22，∴a2a13=2且a2，a13>0，∴a13=a2q11>0，则q>0，∵a2a13=a6a9=2，a5a6a8a9=16，∴a5a8=8，∴a6a9 a5a8=a5q×a8qa5a8=q2=14，解得q=12.故选：B.根据已知条件，结合对数运算性质，以及等比数列性质，即可求解．本题主要考查对数运算性质，以及等比数列性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：正项等差数列{a n}，则a n>0，若a82−a7−a9=3，则a82=a7+a9+3=2a8+3，解得a8=3或a8=−1(舍)，则S15−a8=(a1+a15)×152−a8=2a8×152−a8=14a8=42.故选：D.根据等差数列的性质得a7+a9=2a8，则可由已知等式求a8的值，从而利用求和公式和等差数列性质求S15−a8得值．本题主要考查等差数列的前n项和，等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意知：a8=a6+27，a6=a4+25，a4=a2+23=2+23=10，所以a8=2+23+25+27=170.故选：C.直接利用数列的递推关系式求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．10.【答案】10【解析】解：双曲线C：x 29−y24=1，可得a=√9=3，∵P为双曲线C上一点，且|PF1|=4<2a=6，∴P为双曲线C左支上一点，则|PF2|=|PF1|+2a=4+6=10，故答案为：10.双曲线C：x 29−y24=1，可得a=√9=3，根据P为双曲线C上一点，且|PF1|=4<2a=6，即可判断出点P的位置，再根据双曲线的定义即可得出结论．本题考查了双曲线的定义与标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】7【解析】解：∵数列{a n }满足2a n =a n−1+a n+1(n ≥2,n ∈N ∗)， ∴数列{a n }是等差数列， ∴a 6+a 1=a 3+a 4=a 2+a 5， ∵a 2+a 4+a 6=12，a 1+a 3+a 5=9， ∴3(a 2+a 5)=12+9，解得a 2+a 5=7. 故答案为：7.数列{a n }满足2a n =a n−1+a n+1(n ≥2,n ∈N ∗)，可得数列{a n }是等差数列，利用性质可得a 6+a 1=a 3+a 4=a 2+a 5，结合已知条件即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】81【解析】解：∵a n+1=2S n +1(n ∈N ∗)，∴n ≥2时，a n =2S n−1+1，相减可得a n+1−a n =2(S n −S n−1)=2a n ， ∴a n+1=3a n ，∵数列{a n }是等比数列，因此n =1时也成立． ∴n =1时，a 2=3a 1=2a 1+1，解得a 1=1， 则a 5=34=81. 故答案为：81.a n+1=2S n +1(n ∈N ∗)，n ≥2时，a n =2S n−1+1，相减可得a n+1=3a n ，根据数列{a n }是等比数列，n =1时也成立．即可得出a 1，进而得出a 5.本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】3n −12【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +3n (n ∈N ∗)，即n ≥2时，a n −a n−1=3n−1， ∴a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+…+(a 2−a 1)+a 1 =3n−1+3n−2+…+32+3+1 =1−3n 1−3=3n −12， 故答案为：3n −12. 数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +3n (n ∈N ∗)，即n ≥2时，a n −a n−1=3n−1，利用a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+…+(a 2−a 1)+a 1，及其等比数列的求和公式即可得出结论．本题考查了数列的递推关系、等比数列的求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】2n−1121【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a n>0，∴d≥0，∴S1=1，S2=2+d，S3=3+3d，∵数列{√S n}也为等差数列，∴2√S2=√S1+√S3，即2√2+d=1+√3+3d，两边同时平方得，4(2+d)=1+3+3d+2√3+3d，即d+4=2√3+3d，两边同时平方得，d2+8d+16=4(3+3d)，即(d−2)2=0，故d=2；故a n=a1+(n−1)d=2n−1，S n+10=(n+10)(1+2(n+10)−1)2=(n+10)2，a n2=(2n−1)2，故S n+10a n2=(n+102n−1)2=(12+212(2n−1))2，故当n=1时，12+212(2n−1)取得最大值11，故S n+10a n2的最大值是121，故答案为：2n−1，121.设等差数列{a n}的公差为d，从而可得2√2+d=1+√3+3d，从而解得d=2；再代入化简即可求解．本题考查了等差数列的性质的应用，属于中档题．15.【答案】②③【解析】解：由圆和抛物线的对称性可知点(1,2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，所以4=2p，解得p=2，所以抛物线C：y2=4x，F(1,0)，设直线l：x=my+1，与y2=4x联立得y2−4my−4=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，所以|MN|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2√(y1+y2)2−4y1y2=4(1+m2)，当m=√3时，|MN|=16，①错误；1|MF|+1|NF|=1x 1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2x 1x 2+x 1+x 2+1=4(y 1+y 2)+4(y 1y 2)216+m(y 1+y 2)+3=4m 2+44m 2+4=1，则|MF|+2|NF|=(|MF|+2|NF|)(1|MF|+1|NF|)=3+2|NF||MF|+|MF||NF|≥3+2√2，当且仅当|MF|=1+√2，|NF|=1+√22时等号成立，②正确；如图，过M 作准线的垂线，垂足为M′，交y 轴于M 1，取MF 中点为D ，过D 作y 轴的垂线，垂足为D 1， 则MM 1//OF ，DD 1为梯形OFMM 1的中位线，由抛物线的定义可得|MM 1|=|MM′|−|M 1M′|=|MF|−1， 所以|DD 1|=|OF|+|MM 1|2=1+|MF|−12=|MF|2，所以点(0,√62)为直径的圆与y 轴相切，所以点(0,√62)为圆与y 轴的切点，所以D 点的纵坐标为√62， 又D 为MF 中点，所以M 点纵坐标为√6，又点M 在抛物线上，所以M 点横坐标为32，③正确； 过G 作DH 垂直于准线，垂足为H ，所以△GFM 的周长为|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM′|+√5≥|GH|+√5=3+√5， 当且仅当点M 的坐标为(1,2)时取等号，④错误． 故答案为：②③．首先求出抛物线的解析式，设出M ，N 的坐标，联立进行求解，当m =√3时，|MN|=16进而判断①错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断②；画出大致图像，过点M 作准线的垂线，垂足为M′，交y 轴于M 1，结合抛物线的定义判断③；过G 作GH 垂直于准线，垂足为H ，利用抛物线的性质判断④即可．本题主要考查了直线与抛物线相交的问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：双曲线的方程为4x 2−y 2=4，化为x 2−y 24=1，可得a =1，b 2=4，(b >0)，c =√a 2+b 2， 解得a =1，b =2，c =√5，∴顶点坐标为(±1,0)，焦点坐标为(±√5,0)，实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程为y =±2x. 【解析】双曲线的方程为4x 2−y 2=4，化为x 2−y 24=1，可得a =1，b 2=4，(b >0)，c =√a 2+b 2，解得a ，b ，c ，即可得出结论．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】(1)解：椭圆C 上的点M(1,32)到F 1，F 2两点的距离之和等于4，由椭圆的定义可知，2a =4，所以a =2， 将点M(1,32)坐标代入方程x 24+y 2b2=1，得b 2=3，所以所求方程为x 24+y 23=1；(2)解：设点P 坐标为(x 0,y 0)，则x 02a 2+y 02b2=1，所以y 02=b2a 2(a 2−x 2)，又A(−a,0)，B(a,0)， ∴k 1⋅k 2=y 0x 0+a ⋅yx 0−a=y 02x 02−a 2=b 2a 2(a 2−x 2)x 022−a 2=−b2a2， 又k 1⋅k 2=−12，所以b 2a2=12，即a =√2b ，又a 2=b 2+c 2，所以c =b ， 所以椭圆的离心率e =ca =√2b=√22.【解析】(1)根据椭圆的定义先确定a 的值，再将点M 坐标代入方程得b 2，即可得到椭圆的标准方程；(2)设点P 坐标为(x 0,y 0)，化简得y 02=b 2a2(a 2−x2)，得到b2a 2=12，从而求出离心率．本题考查了椭圆的方程和离心率的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)根据题意可得{a 22=a 1a 5b 3−a 3=3b 1=2a 1，∴{(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)4b 1−a 1−2d =3b 1=2a 1，解得{a 1=1b 1=2d =2，∴a n =1+(n −1)×2=2n −1，b n =2n ；(2)由(1)知a n b n =(2n −1)2n ，∴S n =1⋅2+3⋅22+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅2n ，∴2S n =1⋅22+3⋅23+⋅⋅+(2n −3)⋅2n +(2n −1)⋅2n+1，两式相减可得−S n =2+2⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+2⋅2n −(2n −1)⋅2n+1，∴−S n =2+2[22(1−2n−1)1−2]−(2n −1)⋅2n+1=(3−2n)⋅2n+1−6，∴S n =(2n −3)⋅2n+1+6.【解析】(1)先根据题意建立方程组，从而解得a 1，d ，b 1，再根据等差数列与等比数列的通项公式即可求解；(2)根据错位相减法即可求解．本题考查方程思想，等差数列与等比数列的通项公式的应用，错位相减法求和，属中档题．19.【答案】解：(1)∵P(23,2√63)是抛物线E ：y 2=2px(p >0)上的点， ∴(2√63)2=2p ×23， ∴p =2，故抛物线E 的方程为y 2=4x ，F(1,0)，∴在椭圆C 中，a 2−b 2=1，又∵P(23,2√63)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1上，∴49a 2+83b 2=1，即49(1+b 2)+83b 2=1，解得b 2=3，所以a 2=4，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，N(x 3,y 3)，|BN||BM|=λ(λ>0)，∵点M 是线段OA 的中点，∴M(x 12,y 12)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 12−x 2,y 12−y 2)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3−x 2,y 3−y 2)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(x 3−x 2,y 3−y 2)=λ(x 12−x 2,y12−y 2)，即{x 3=λ2x 1+(1−λ)x 2y 3=λ2y 1+(1−λ)y 2，所以N(λ2x 1+(1−λ)x 2,λ2y 1+(1−λ)y 2)， ∵点N(x 3,y 3)在椭圆C 上，∴[λ2x 1+(1−λ)x 2]24+[λ2y 1+(1−λ)y 2]23=1 ∴λ24(x 124+y 123)+(1−λ)2(x 224+y 223)+λ(1−λ)(x 1x 24+y 1y 23)=1，又点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在椭圆C 上，OA ，OB 斜率之积为−34，∴x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，x 1x 24+y 1y 23=0， ∴λ24+(1−λ)2=1，∴5λ2−8λ=0，∴λ=85或λ=0(舍)， ∴|BN||BM|=85，∴|BM||MN|=53. 【解析】(1)将P 点坐标代入抛物线的方程，求出p 的值，即可求出抛物线方程，求其焦点即可得c 的值，然后可得a 2−b 2=1，再将点P 代入椭圆方程即可求解；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),N(x 3,y 3),|BN||BM|=λ(λ>0)，然后利用向量用A 和B 点坐标表示出N 点坐标，并将N 点代入椭圆方程并化简整理，再结合OA ，OB 斜率之积为−34即可求解． 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20.【答案】(Ⅰ)证明：依题意，由na n+1+(n +1)=(n +2)a n +(n +1)3，可得na n+1−(n +2)a n =(n +1)3−(n +1)=n(n +1)(n +2)，两边同时乘以1n(n+1)(n+2)， 可得a n+1(n+1)(n+2)−a n n(n+1)=1，∵a 11⋅2=22=1，∴数列{a n n(n+1)}是以1为首项，1为公差的等差数列． (Ⅰ)解：由(Ⅰ)，可得a n n(n+1)=1+1⋅(n −1)=n ，则a n =n 2(n +1)，故b n =n(n+2)2n+1a n =n(n+2)2n+1⋅n 2(n+1)=n+2n(n+1)⋅2n+1=1n⋅2n −1(n+1)⋅2n+1，∴S n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n=11⋅21−12⋅22+12⋅22−13⋅23+⋅⋅⋅+1n ⋅2n −1(n +1)⋅2n+1 =11⋅21−1(n +1)⋅2n+1=12−1(n+1)⋅2n+1.【解析】(Ⅰ)先将题干中的递推公式进行转化，再将等式两边同时乘以1n(n+1)(n+2)，进一步推导即可发现数列{a nn(n+1)}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而证明结论成立；(Ⅰ)先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{a nn(n+1)}的通项公式，以及数列{a n}的通项公式，再计算出数列{b n}的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前n项和S n.本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．。

2022-2023学年河北省张家口市高二（上）期末数学试卷1. 已知两条直线l 1：5x −2y +1=0和l 2：ax +3y +2=0相互垂直，则a =( ) A. −152 B. 215 C. −65 D. 65 2. 若点(2,4)在抛物线y 2=2px(p >0)上，则抛物线的准线方程为( )A. x =−4B. x =−2C. x =−1D. y =−43. 椭圆C ：x 250+y 230=1的离心率为( ) A.√105B. √22C. √55D.2√254. 已知圆C 1：x 2+y 2−4x −6y +9=0与圆C 2：(x +1)2+(y +1)2=9，则圆C 1与圆C 2的位置关系为( )A. 相交B. 外切C. 外离D. 内含5. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为3，E ，F 分别在DB ，AB 1上，且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1，则|EF|=( )A. 3B. 2√2C. 2√3D. 46. 已知三角形数表：现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列{a n }，则a 100=( )A. 37B. 38C. 39D. 3107. 已知x +y =0，则√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −2)2+y 2的最小值为( ) A. √5 B. 2√2 C. √10 D. 2√58. 已知{a n }为等比数列，a 5+a 8=−3，a 6a 7=−18，则a 2+a 11=( ) A. 3 B. −9 C. 212 D. −2129. 下列选项正确的有( )A. x−x0y−y 0=2表示过点P(x 0,y 0)，且斜率为2的直线B. a =(2,1)是直线x −2y −4=0的一个方向向量C. 以A(4,1)，B(1,−2)为直径的圆的方程为(x −4)(x −1)+(y −1)(y +2)=0D. 直线(m +1)x +(2m −1)y −1−4m =0(m ∈R)恒过点(2,1)10. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 9+a 10+a 11>0，a 9+a 12<0，则下列选项正确的有( )A. 数列{a n }是单调递增数列B. 当n =10时，S n 最大C. S 19⋅S 20<0D. S 20⋅S 21<0 11. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为34，F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆C 上的动点，△F 1PF 2的周长为14，则下列选项正确的有( )A. 椭圆C 的方程为x 216+y 27=1B. |PF 1|⋅|PF 2|≤16C. △F 1PF 2内切圆的面积S 的最大值为πD. cos∠F 1PF 2≥−1812. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2√2，AB =AD =2，M 为棱DC 的中点，点P满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列结论正确的有( )A. 当λ=12，μ=12时，异面直线AP 与DB 1所成角的余弦值为3√714 B. 当μ=12时，AP ⊥D 1CC. 当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得AP ⊥D 1PD. 当λ=1时，存在点P ，使得AP ⊥MC 113. 已知空间向量a ⃗ =(3,2,λ)，b ⃗ =(λ−2,λ,8)，a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =______.14. 已知点F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点，过点F 作倾斜角为60∘的直线l ，直线l 与双曲线C 有唯一交点P ，且|FP|=6，则双曲线C 的方程为______.15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n =1n 2+3n+2(n ≥2)，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n <λ恒成立，则λ的最小值为______.16. 过点P(2,−1)作圆E ：x 2+y 2−2x −4y −1=0的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______.17. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 8=6，S 21=0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前50项和T 50.18. 已知直线l ：y =kx −1与圆E ：(x −2)2+(y −3)2=9交于A ，B 两点．(1)当|AB|最大时，求直线l 的方程； (2)若D(0,−1)，证明：DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值． 19. “十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用．下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米． (1)求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)；(2)已知直线m 是抛物线的对称轴，Q 为直线m 与水面的交点，P 为抛物线上一点，O ，F 分别为抛物线的顶点和焦点．若PF ⊥m ，PO ⊥PQ ，求桥面与水面的距离．20. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1={a n +2,n 为奇数,2a n ,n 为偶数,b n =a 2n−1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{nb n }的前n 项和S n .21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，平面ADP ⊥平面ABCD ，PD =2，PB =2√7. (1)求证：AP ⊥平面CDP ；(2)若点E 在线段AC 上，直线PE 与直线DC 所成的角为π4，求平面PDE 与平面PAC 夹角的余弦值．22. 已知一动圆与圆E ：(x +3)2+y 2=18外切，与圆F ：(x −3)2+y 2=2内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程；(2)已知点P 在曲线C 上，斜率为k 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点P)，记直线PA 和直线PB 的斜率分别为k 1，k 2，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．①P(4,1)；②k 1+k 2=0；③k =−12.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为两条直线l1：5x−2y+1=0和l2：ax+3y+2=0相互垂直，所以5a+3×(−2)=0，则a=65.故选：D.由已知结合两直线垂直的条件建立关于a的方程，可求．本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵点(2,4)在抛物线y2=2px(p>0)上，∴42=2p×2，解得p=4，∴抛物线的方程为y2=8x，∴准线方程为x=−2.故选：B.由已知可求p，进而可求抛物线方程，可得抛物线的准线方程．本题考查抛物线的方程的求法，考查抛物线的几何性质，属基础题．3.【答案】A【解析】解：椭圆C：x 250+y230=1，可得a2=50，b2=30，∴离心率e=ca =√1−b2a2=√1−3050=√105，故选：A.利用离心率e=ca =√1−b2a2即可得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：圆C1：x2+y2−4x−6y+9=0的圆心为C1(2,3)，半径为2，圆C2：(x+1)2+(y+1)2=9的圆心为C2(−1,−1)，半径为3，而|C1C2|=√(2+1)2+(3+1)2=5=2+3，所以圆C1与圆C2的位置关系为外切．故选：B.判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论． 本题考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为3，则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，B 1(3,3,3)， 因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(1,1,0)，F(3,2,2)， 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2)，故|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+4=3， 故选：A.根据题意，建立空间直角坐标系，结合条件求得E ，F 的坐标，再利用空间向量的模的坐标表示即可得解．本题考查了空间中两点间距离的计算问题，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，在数表中，第n 行，有n 个数， 而a 100为按从上到下、从左到右的顺序的第100个数， 又由1+2+3+ (13)13×142=91，则a 100为第14行的第9个数，故a 100=38， 故选：B.根据题意，归纳可得在数表中，第n 行，有n 个数，由此可得a 100为第14行的第9个数，分析可得答案．本题考查归纳推理的应用，注意分析数表的规律，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：因为√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −2)2+y 2=√(x −1)2+(y −1)2+√(x −2)2+y 2，表示点(x,y)到点(1,1)，(2,0)的距离之和， 又因为x +y =0，所以上述式子表示直线x +y =0上的点(x,y)到点A(1,1)，点B(2,0)的距离之和的最小值． 设A(1,1)关于直线x +y =0的对称点为C(a,b)，则有{b−1a−1=1a+12+b+12=0，解得{a =−1b =−1，所以|BC|=√(2+1)2+12=√10，所以直线x +y =0上的点(x,y)到点A(1,1)，点B(2,0)的距离之和的最小值为|BC|=√10. 故选：C.将原式化简为√(x −1)2+(y −1)2+√(x −2)2+y 2，表示直线x +y =0上的点(x,y)到点A(1,1)，点B(2,0)的距离之和的最小值，求出A(1,1)关于直线x +y =0的对称点C(−1,1)，再由两点间的距离公式求出|BC|的长度即得答案．本题考查了代数式的几何意义、转化思想、数形结合思想，难点是将代数式转化为几何意义，作出图象是关键，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：{a n }为等比数列，a 5+a 8=−3，a 6a 7=−18， ∴a 5a 8=a 6a 7=−18，∴a 5，a 8是方程x 2+3x −18=0的两个根， 解方程得{a 5=−6a 8=3或{a 5=3a 8=−6，当{a 5=−6a 8=3时，q 3=a 8a 5=−12，a 2+a 11=a 5q 3+a 8q 3=−6−12+3×(−12)=212；当{a 5=3a 8=−6时，q 3=a 8a 5=−2，a 2+a 11=a 5q 3+a 8q 3=3−2+(−6)×(−2)=212. 故选：C.由等比数列性质得a 5a 8=a 6a 7=−18，a 5，a 8是方程x 2+3x −18=0的两个根，解方程得{a 5=−6a 8=3或{a 5=3a 8=−6，再利用等比数列的通项公式能求出结果． 本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】BCD【解析】解：x−x0y−y 0=2表示过点P(x 0,y 0)且斜率为2的直线方程不正确，不含点P(x 0,y 0)，选项A错误；直线x −2y −4=0的斜率为12，则该直线的一个方向向量a ⃗ =(2,1)，故B 正确； 设圆上任一点为P(x,y)，则有PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，代人坐标即可得以A(4,1)，B(1,−2)为直径的圆的方程为(x −4)(x −1)+(y −1)(y +2)=0，故C 正确；(m +1)x +(2m −1)y −1−4m =0(m ∈R)即m(x +2y −4)+x −y −1=0， 令{x +2y −4=0x −y −1=0，解得x =2，y =1，恒过定点(2,1)，故D 正确， 故选：BCD.由直线方程的点斜式判断A ；由方向向量的定义可判断B ，点P(2,3)，Q(−4,1)，设圆上任一点为P(x,y)，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可以判断C ；对于A ，将直线变形m(x +2y)−x −y −3=0，即可判断D. 本题主要考查直线系过定点的求法，以及圆的方程的求法，直线的点斜式方程，直线的方向向量，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 9+a 10+a 11>0，a 9+a 12<0， ∴{a 1+8d +a 1+9d +a 1+10d >0a 1+8d +a 1+11d <0，∴{a 1+9d >02a 1+19d <0，∴a 1>0，d <0， ∴数列{a n }是单调递减数列，故A 错误；a 10>0，a 11<0，∴当n =10时，S n 最大，故B 正确；S 19=192(a 1+a 19)=19a 10>0，S 20=202(a 1+a 20)=10(a 9+a 12)<0， ∴S 19⋅S 20<0，故C 正确；S 20=202(a 1+a 20)=10(a 9+a 12)<0，数列{a n }是单调递减数列， ∴S 21<0，∴S 20⋅S 21>0，故D 错误． 故选：BC.推导出{a 1+9d >02a 1+19d <0，从而a 1>0，d <0，进而数列{a n }是单调递减数列，a 10>0，a 11<0，S 19=192(a 1+a 19)=19a 10>0，S 20=202(a 1+a 20)=10(a 9+a 12)<0，S 21<0，由此能求出结果．本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】ABD【解析】解：设|F 1P|=m ，|PF 2|=n ，由题意可得ca =34，2a +2c =14，a 2=b 2+c 2，解得a =4，c =3，b 2=7，∴椭圆C 的方程为x 216+y 27=1，因此A 正确；∵m +n =2a =8，∴8≥2√mn ，化为mn ≤16，当且仅当m =n 时取等号，因此B 正确； 设△F 1PF 2内切圆的半径为r ，则12r(2a +2c)=12×2c ×|y P |≤3×√7，∴r ≤3√77，∴△F 1PF 2内切圆的面积的最大值为πr 2=9π7，因此C 不正确； cosF 1PF 2=m 2+n 2−(2c)22mn=(m+n)2−2mn−4c 22mn=14m⋅n−1≥14(m+n2)2−1=−18.当且仅当m =n =4时取等号，因此D 正确． 故选：ABD.由题意可得c a=34，2a +2c =14，a 2=b 2+c 2，解得a ，c ，b 2，可得椭圆C 的方程，结合基本不等式、三角形内切圆的面积计算公式、三角形面积计算公式、余弦定理即可判断出结论． 本题考查了椭圆的定义与标准方程及其性质、基本不等式、三角形内切圆的面积计算公式、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：对于A.当λ=12，μ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时点P 是BC 1与CB 1的交点，如图，建立空间直角坐标系，A(2,0,0)，P(1,2,√2)，D(0,0,0)，B 1(2,2,2√2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,√2)，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,2√2)，所以|cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√7×4=3√714，故A 正确；对于B.当μ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时，点P 在线段EF 上，(E,F 分别是棱BB 1，CC 1的中点)，此时D 1(0,0,2√2)，C(0,2,0)，P(x,2,√2)，0≤x ≤2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2,√2)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2√2)，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2)×0+2×2−√2×2√2=0恒成立，所以当μ=12时，有AP ⊥D 1C ，故B 正确；对于C.当λ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时点P 在线段HS 上，(H,S 分别B 1C 1是BC 的中点)， P(1,2,z)，0≤z ≤2√2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,z −2√2)，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,z −2√2)，当AP ⊥D 1P 时，有AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+4+z(z −2√2)=0，即z 2−2√2z +3=0，Δ<0，所以方程无解，不存在点P 使AP ⊥D 1P ，故C 错误；对于D.当λ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时点P 在线段CC 1上，P(0,2,z)，M(0,1,0)， C 1(0,2,2√2)，MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2√2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,z)，0≤z ≤2√2，若AP ⊥MC 1，则MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2√2)⋅(−2,2,z)=2+2√2z =0，解得：z =−√22，不成立，所以不存在点P ，使得AP ⊥MC 1，故D 错误．故选：AB.首先根据λ，μ的值，确定点P 的位置，再利用空间向量的垂直和线线角的坐标运算，即可判断选项．本题考查异面直线所成的角，考查线线垂直的判断，属中档题．13.【答案】−58【解析】解：∵空间向量a ⃗ =(3,2,λ)，b ⃗ =(λ−2,λ,8)，a ⃗ //b ⃗ ， ∴λ−23=λ2=8λ，可得λ=−4，∴向量a ⃗ =(3,2,−4)，b ⃗ =(−6,−4,8)，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =3×(−6)+2×(−4)+(−4)×8=−58.故答案为：−58.直接根据向量共线求得λ，再代入数量积求解即可．本题主要考查空间向量的应用，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】x 216−y 248=1【解析】解：因为点F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点，过点F 作倾斜角为60∘的直线l ，直线l 与双曲线C 有唯一交点P ， 所以直线l 与渐近线平行，所以ba =tan60∘=√3，即b =√3a,c =2a ，所以双曲线为x 2a 2−y 23a 2=1，因为|FP|=6，所以x P =3−c,y P =3√3，即P(3−2a,3√3)，代入双曲线方程可得(3−2a)2a 2−273a 2=1，解得a =4，或a =0(舍去)，所以b =4√3,c =8，所以双曲线C 的方程为x 216−y 248=1，故答案为：x 216−y 248=1.根据题意得b =√3a,c =2a ，由|FP|=6，得P(3−2a,3√3)，代入方程解决即可． 本题考查了双曲线的方程和性质，属于中档题．15.【答案】43【解析】解：∵a n =1n 2+3n+2=1n+1−1n+2，(n ≥2)， ∴当n ≥2时，S n =1+(13−14)+(14−15)+⋅⋅⋅+(1n+1−1n+2) =1+13−1n+2<43，当n =1时，S 1=a 1=1<43， ∴S n <43，∵S n <λ恒成立， ∴λ≥43， ∴λ的最小值为43. 故答案为：43.根据裂项求和法，恒成立问题化为最值，即可求解． 本题考查裂项求和法的应用，恒成立问题的求解，属中档题．16.【答案】x −3y −1=0【解析】解：圆E ：x 2+y 2−2x −4y −1=0，配方为(x −1)2+(y −2)2=6， ∴圆心E(1,2)，线段EP 的中点(32,12)，|EP|2=(2−1)2+(−1−2)2=10，∴以线段EP 为直径的圆的方程为：(x −32)2+(y −12)2=(12|EP|)2=52， 与圆E ：x 2+y 2−2x −4y −1=0相减可得直线AB 的方程为：x −3y −1=0. 故答案为：x −3y −1=0.求出以线段EP 为直径的圆的方程，与圆E ：x 2+y 2−2x −4y −1=0相减可得直线AB 的方程． 本题考查了直线与圆相切的性质、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)根据题意可得{a 8=a 1+7d =6S 21=21a 1+210d =0，解得{a 1=20d =−2，∴a n =22−2n ；(2)根据(1)可知a n =22−2n ，S n =n(21−n)， 令a n =22−2n ≥0，可得n ≤11，∴T 50=a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 11−(a 12+a 13+⋅⋅⋅+a 50)=2S 11−S 50=1670.【解析】(1)根据等差数列的通项公式及求和公式，方程思想，即可求解； (2)先去掉绝对值，再根据等差数列的求和公式，即可求解．本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，方程思想，属基础题．18.【答案】解：(1)直线l ：y =kx −1过定点(0,−1)，圆E ：(x −2)2+(y −3)2=9的圆心坐标为(2,3)，当|AB|最大时，直线l 过圆心，则k =3−(−1)2−0=2， 直线l 的方程为y =2x −1；证明：(2)联立{y =kx −1(x −2)2+(y −3)2=9，得(1+k 2)x 2−(8k +4)x +11=0. 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，Δ=(8k +4)2−44(1+k 2)>0，即5k 2+16k −7>0， x 1+x 2=8k+41+k2，x 1x 2=111+k2，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1+1)⋅(x 2,y 2+1)=x 1x 2+k 2x 1x 2=(1+k 2)⋅111+k2=11.即DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值． 【解析】(1)求出直线所过定点及圆心坐标，可得|AB|最大时的k 值，则直线方程可求； (2)联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系及数量积的坐标运算证明．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系，AB 为桥面，CD 为水面，设对应抛物线的方程为x 2=2py(p <0)，又点(32,−32)在抛物线上，所以322=2p ×(−32)，解得p =−16， 该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距为|p|=16； (2)由题意得|OF|=8米，|FP|=16米， 所以tan∠POF =|FP||OF|=168=2，又PO ⊥PQ ，所以tan∠QPF =tan∠POF =2， 所以|QF||PF|=|QF|16=2，所以|QF|=32米，又拱形最高点与桥面的距离为32米，所以桥面与水面的距离d =|OF|=8米， 所以桥面与水面的距离为8米．【解析】(1)以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系，设对应抛物线的方程为x 2=2py(p <0)，又点(32,−32)在抛物线上，代入求解即可；(2)由题意得|OF|=8米，|FP|=16米，从而可得tan∠POF =|FP||OF|=2，进而由已知可得tan∠QPF =tan∠POF =2，从而可得|QF|=32米，进而可得桥面与水面的距离．本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．20.【答案】解：(1)∵a n+1={a n +2,n 为奇数,2a n ,n 为偶数,，又b n =a 2n−1，∴b n+1=a 2n+1=2a 2n =2a (2n−1)+1=2(a 2n−1+2)=2(b n +2)， ∴b n+1+4=2(b n +4)，又b 1+4=a 1+4=6， ∴数列{b n +4}是以首项为6，公比为2的等比数列， ∴b n +4=6⋅2n−1=3⋅2n ， ∴b n =3⋅2n −4；(2)由(1)可知nb n =3n ⋅2n −4n ， 设数列{n ⋅2n }的前n 项和为T n ， 则T n =1⋅21+2⋅22+⋅⋅⋅+n ⋅2n ，∴2T n =1⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1，∴−T n =21+22+⋅⋅⋅+2n −n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，∴T n =(n −1)⋅2n+1+2，∴S n =3T n −4[(1+n)n2] =3(n −1)⋅2n+1+6−2n 2−2n.【解析】(1)根据等比数列的定义及通项公式即可求解； (2)根据分组求和法与错位相减求和法即可求解．本题考查等比数列的定义及通项公式的应用，分组求和法与错位相减求和法的应用，属中档题．21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥AD ，又平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD =AD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB ⊥平面ADP ，又AP ⊂平面ADP ，∴AB ⊥AP ， ∴AP =√PB 2−AB 2=2√3， ∴AP 2+PD 2=AD 2，∴AP ⊥PD ，∵AB//CD ，∴AP ⊥CD ，又PD ∩CD =D ，PD ，CD ⊂平面CDP ， ∴AP ⊥平面CDP.(2)解：过P 作PO ⊥AD 于O ，作OF//CD 交BC 于F ，∵平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面ADP ， ∴PO ⊥平面ABCD ，由(1)知：AP ⊥CD,AP =2√3,PD =2，∴∠PAD =π6，∴PO =12AP =√3,AO =√32AP =3，∴OD =1，以O 为坐标原点，OA ，OF ，OP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则P(0,0,√3),D(−1,0,0),C(−1,4,0),A(3,0,0)，∴DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,−√3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)， 设AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4λ,4λ,0)，∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−4λ,4λ,−√3)， ∵直线PE 与直线DC 所成的角为π4，∴|cos <PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|PE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√(3−4λ)+16λ+3=√22，解得：λ=12，∴PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3)， 设平面PDE 的法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +√3z =0PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +2y −√3z =0，令z =1，解得：x =−√3,y =√3， ∴n ⃗ =(−√3,√3,1)，设平面PAC 的法向量m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)，则{PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3a −√3c =0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−4a +4b =0，令a =1，解得：b =1,c =√3，∴m ⃗⃗⃗ =(1,1,√3)； 设平面PDE 与平面PAC 夹角为θ， ∴cosθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√3√7×√5=√10535，即平面PDE 与平面PAC 夹角的余弦值为√10535.【解析】(1)根据面面垂直性质可证得AB ⊥平面ADP ，则AB ⊥AP ，利用勾股定理可证得AP ⊥PD ，结合AP ⊥CD ，由线面垂直的判定可得结论；(2)作PO ⊥AD ，垂足为O ，作OF//CD ，则以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，根据线线角的向量求法可构造方程求得λ=12，利用面面角的向量求法可求得结果．本题考查了线面垂直的证明以及两平面夹角的计算，属于中档题．22.【答案】解：(1)设动圆的圆心为P(x,y)，半径为r ，圆E ：(x +3)2+y 2=18的圆心E(−3,0)，半径r 1=3√2， 圆F ：(x −3)2+y 2=2的圆心F(3,0)，半径r 2=√2， 由题意可得{|PE|=r +r 1|PF|=r −r 2，即|PE|−|PF|=4√2<|EF|，而E ，F 为定点，由双曲线的定义可得P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a =4√2，c =3，可得a =2√2，b 2=c 2−a 2=9−8=1，所以曲线C 的方程为x 28−y 2=1(x ≥2√2)； (2)证明：将①②作为条件，由题意可得直线l 的方程为：y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 2−8y 2=8，整理可得：(1−8k 2)x 2−16kmx −8m 2−8=0， Δ=162k 2m 2+4(1−8k 2)[8m 2+8]>0，可得m 2>8k 2−1， 且x 1+x 2=16km 1−8k2，x 1x 2=−8m 2−81−8k2，由题意k 1+k 2=y 1−1x 1−4+y 2−1x 2−4=(y 1−1)(x 2−4)+(y 2−1)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)， 因为k 1+k 2=0，所以(y 1−1)(x 2−4)+(y 2−1)(x 1−4)=0，即(kx 1+m −1)(x 2−4)+(kx 2+m −1)(x 1−4)=0， 整理可得：2kx 1x 2+(m −1−4k)(x 1+x 2)−8(m −1)=0， 即2k ⋅−8m 2−81−8k2+(m −1−4k)⋅16km 1−8k2−8(m −1)=0，即整理可得：8k 2+2k −1+m(1+2k)=0， 即(1+2k)(m +4k −1)=0， 解得k =−12或m =1−4k ，当m =1−4k 时，直线l 的方程为y =kx +1−4k =k(x −4)+1恒过定点P(4,1)，(舍)， 所以k =−12， 即证明①②⇒③；若选①③，则直线l 的方程为y =−12x +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =−12x +m x 2−8y 2=8，整理可得：x 2−8mx +8m 2+8=0，Δ=64m 2−4(8m 2+8)>0，即m 2>1，且x 1+x 2=8m ，x 1x 2=8m 2+8， k 1+k 2=y 1−1x 1−4+y 2−1x 2−4=(y 1−1)(x 2−4)+(y 2−1)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)， 因为(y 1−1)(x 2−4)+(y 2−1)(x 1−4)=(12x 1+m −1)(x 2−4)+(−12x 2+m −1)(x 1−4)=−x 1x 2+(m +1)(x 1+x 2)−8(m −1)=−(8m 2+8)+(m +1)⋅8m −8(m −1)=0， 所以②成立；若②③成立时，设直线l 的方程为：y =−12x +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设双曲线上点P(x 0,y 0)， 联立{y =−12x +m x 2−8y 2=8，整理可得：x 2−8mx +8m 2+8=0，Δ=64m 2−4×(8m 2+8)>0，可得m 2>1，x 1+x 2=8m >0，x 1x 2=8m 2+8， 则意k 1+k 2=y 1−y 0x 1−x 0+y 2−y 0x 2−x 0=(−12x 1+m−y 0)(x 2−x 0)+(−12x 2+m−y 0)(x 1−x 0)(x 1−x 0)(x 2−x 0)，因为k 1+k 2=0，所以(−12x 1+m −y 0)(x 2−x 0)+(−12x 2+m −y 0)(x 1−x 0)=0， 即−x 1x 2+(12x 0+m −y 0)(x 1+x 2)−2x 0(m −y 0)=0， 即−(8m 2+8)++(12x 0+m −y 0)⋅8m −2x 0(m −y 0)=0， 整理可得：2m(x 0−4y 0)+2x 0y 0−8=0， 可得{x 0−4y 0=02x 0y 0−8=0x 028−y 02=1，解得x 0=4，y 0=1，即P 点的坐标(4,1)， 即证得②③⇒①成立；【解析】(1)设动圆的圆心的坐标及半径，由题意及双曲线的定义可得曲线C 为双曲线的右支，并可得双曲线的方程；(2)若①②作为条件时，设直线l 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线PA ，PB 的斜率之和，将两根之和及两根之积代入整理可得直线l 的斜率的值，可证得③成立；若①③成立，设直线l 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线PA ，PB 的斜率之和，代入整理可得斜率之和为0，即证得②成立；若②③成立，设直线l 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线PA ，PB 的斜率之和，令斜率之和为0，可得点P 的坐标，即证得①成立．本题考查点的轨迹方程的求法及直线与双曲线的综合应用，属于中档题．。

杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

2023-2024学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．直线x −√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°2．已知空间中直线l 的一个方向向量a →=(1，2，4)，平面α的一个法向量n →=(2，4，8)，则（ ） A ．直线l 与平面α平行 B ．直线l 在平面α内C ．直线l 与平面α垂直D ．直线l 与平面α不相交3．抛物线y 2＝4x 的焦点到其准线的距离是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n =n 2+2n ，则a 2＝（ ） A ．1B ．3C ．5D ．85．双曲线x 23−y 2=1的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±√33x D ．y =±√3x6．线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A ，B 两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如表：从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（ ） A ．56B ．12C ．13D ．167．哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名．已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（ ） A ．2041年～2042年 B ．2061年～2062年C ．2081年～2082年D ．2101年～2102年8．在平面直角坐标系中，M ，N 分别是x ，y 轴正半轴上的动点，若以MN 为直径的圆与直线3x +4y ﹣10＝0相切，则该圆半径的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．29．已知a ，b ∈R ，则“﹣1，a ，b ，2为等比数列”是“ab ＝﹣2”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．曲线C ：x m +y n ＝1，其中m ，n 均为正数，则下列命题错误的是（ ） A ．当m ＝3，n ＝1时，曲线C 关于（0，1）中心对称 B ．当m =12，n =12时，曲线C 是轴对称图形C ．当m ＝4，n ＝2时，曲线C 所围成的面积小于πD ．当m ＝3，n ＝2时，曲线C 上的点与（0，0）距离的最小值等于1 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。