2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高一年级)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科数学本试卷共22题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题）一、单选题 1．方程的一个根是A ．B ．C ．D ．2．命题“0R x Q ∃∈ð，”的否定是A ．0x ∃∉R Q ð，B ．0R x Q ∃∈ð，C ．x ∀∉R Q ð，D ．x ∀∈R Q ð，3．已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为A． B ． C ．D ．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．5．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012+a 能被13整除，则a =( ) A ．0 B ．1 C ．11D ．12()y f x =x 2π54332π2y x O第3题图6．设是正数，且，，，则A ．B ．C ．D ．7．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①； ②； ③； ④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为A 、① ②B 、③ ④C 、① ③D 、② ④8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．B ．C ．D ． 9．函数在区间上的零点个数为A ．4B ．5C ．6D ．710．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是A 、B ．． D ．第II 卷（非选择题）11．设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角． 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 .(,0)(0,)−∞+∞()f x {}n a {()}n f a ()f x (,0)(0,)−∞+∞2()f x x =()2x f x =()f x =()ln ||f x x =()f x 21π−112π−2π1πV d d ≈π =3.14159d ≈d d ≈d ≈ABC A B C a b c ()()a b c a b c ab +−++=C =s =13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则 （1）4位回文数有 个； （2）位回文数有 个．14．如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则（Ⅰ）双曲线的离心率 ；（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值.15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D 在的弦AB 上移动，，连接OD ，过点D 作的垂线交于点C ，则CD 的最大值为 .16．选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线与曲线（t 为参数）相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .O 4AB =OD O π4θ=21,(1)x t y t =+⎧⎨=−⎩CB ADO.第15题图三、解答题 17．（本小题满分12分）已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.18． 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和19．如图1，，，过动点A 作，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿将△折起，使（如图2所示）．（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．20．本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表： 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率.(cos sin ,sin )x x x ωωω=−a (cos sin ,23cos )x x x ωωω=−−b ()f x λ=⋅+a b ()x ∈R πx =ωλ1(,1)2ω∈()f x ()y f x =π(,0)4()f x 3π[0,]545ACB ∠=3BC =AD BC ⊥AD ABD 90BDC ∠=BD A BCD −A BCD −E M BC AC CD N EN ⊥BM EN BMN Y 300降水量X工期延误天数 0 2 6 10 300X <300700X ≤<700900X ≤<900X ≥Y DABCACDB图2图1M E. ·21．（本小题满分13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22．（1）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；（2）试用（1）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式.2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科数学(参考答案)1．A 【解析】本题考察复数的一元二次方程求根. 根据复数求根公式：，所以方程的一个根为答案为A. 2．D 【解析】本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别. 根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定．因此选D 3．B【解析】本题考察利用定积分求面积.根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为4．B 【解析】由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为.选B. 【详解】 由于2012201202012120112011120122012201251(521)5252521a a C C C a ⨯+=−+=−+⨯⨯−++,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a <13,所以a =12.故选：D . 6．C 【解析】本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 由于等号成立当且仅当则a="t" x b="t" y c="t" z ，所以由题知又，答案选C 。

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知函数()sin()f x x 是定义在R 上的偶函数，则cos(2) 的值为 ． 答案：0．解：由于()sin()f x x 是偶函数，故()2k kZ ，所以 cos(2)cos cos sin 02k k． 2．若关于z 的复系数一元二次方程2i 0()z z R 的一个根为11z =，则另一个根2z ．答案：i 12． 解：由题意得201i 1 ，解得i 12．因此12i 12i z z ，所以2i 12z ． 3．设数列{}n a 的通项公式为2[log ]n a n n ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为 ．答案：631．解：事实上，22[log ][log ]n a n n n n ．而当1n 时，2[log ]0n ；当2,3n 时，2[log ]1n ；当4,5,6,7n 时，2[log ]2n ；当8,9,,15n 时，2[log ]3n ；当16,17,,31n 时，2[log ]4n ；当32n 时，2[log ]5n ，因此{}n a 的前32项和为321232102142831645631S ．4．已知向量,a b的最小值为 ．答案：2．解：设向量,a b的夹角为 ，其中(0,) ，则． 令254()((1,1))1x f x x x ，则222(2)(21)()(1)x x f x x ．因此()f x 在11,2 单调递减，1,12单调递增，所以()f x 的最小值为142f ．2，此时1cos 2 ． 5．在梯形ABCD 中，,2260A D C A B B ，M 为CD 边点Q （异于的中点，动点P 在BC 边上，ABP 与CMP 的外接圆交于点P ），则BQ 的最小值为 ．1．解：由熟知的结论，,,ABP CMP AME 的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在AME 的外接圆上，如图所示．而AME 是直角三角形，故其外接圆半径1R AD ．在ABD中，由余弦定理，BD ，所以BQ1，此时P 在线段BC 上，且CP ．6．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，过 的右焦点F 且斜率为3的直线与 交于,A B 两点，与 的渐近线交于,C D 两点．若||5AB ，则||CD ．答案：．7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90 的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2 ，则该圆台体积的取值范围是 ．答案：．解：设圆台上底面为圆1O ，半径为1R ，下底面为圆2O ，半径为2R ，圆台母线为l ．由圆台的侧面积为2 可得21(222)π2lR R ，故212l R R ①．由侧面展开是圆心角为90 的扇形所截得的扇环，可得 11122222l R l l R，故2144l R R ②．因此圆台的高21)h R R ，圆台的体积2222121212211(()3)V R R h R R R R R R ．结合①②可得222112R R．由于210R R，故21R R．令21x R R ，则12124124x R x x R x，进而可得3134V x x ．令31()34f x x x x ，则43()304f x x ．因此()f x在 上单调递增，故()f x f ．所以V ，即圆台体积的取值范围是 ． 8．用 表示11元集合{1,2,3,,10,2024}A 的三元子集的全体．对 中任意一个三元子集{,,}()T x y z x y z ，定义()m T y ，则()T m T的值为 ．答案：990．解：不妨将集合A 视为{}1,2,3,,10,11 （这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个()()m T T 的值）．对每个T ，定义*{12|}T t t T ，则*T ，且*)12()(T m T m ． 由于当T 遍历 的所有三元子集时，*T 也遍历 的所有三元子集，所以**311()666C 990()()(2)T T T T m T m T m T m T ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）已知,,0a b c ，二次函数2()f x ax bx c 存在零点，求a b cb c a的最小值．解：令,b c m n a a ，则,0m n 且1a b c mn b c a m n．由题意得240b ac ，即24m n，故m ．考虑11()f m m m n，则()f m在) 上单调递增．所以()a b c f m n f n n b c a，当n m 时等号成立．因此a b c b c a． 10．（本题满分20分）在ABC 中，,30AB AC BAC ．在AB 边上取五等分点12345,,,,T T T T T （12345,,,,,,A T T T T T B 顺次排列）．记(1,2,3,4)k k BT C k ，求31141tan tan tan tan tan tan k k k A B 的值．解：在AB 延长线上任取一点D ，记05,A DBC B ，则所求式子即为410tan tan kk k．为方便，记05,T A T B ．作CH AB 于点H ，则tan (04)k k CH k T H（这里及以下，有向线段的方向约定为AB方向）．注意到,30AB AC BAC ，有111112tan tan 555k k k k k k AC T H T H T T ABCH CHCH CH ， 故115tan tan (tan tan (04))2k k k k k ．进而4411500055tan tan (ta )n tan (tan tan 22)k k k kk k575tan tan (252126211．（本题满分20分）已知A 是抛物线22(0)y px p 上一点（异于原点），斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A （1l 与x 轴不平行），斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于,B C两点．若ABC 是正三角形，求12k k 的取值范围．解：设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y ．设直线):(A A AB y y t x x −=−，代入抛物线22y px 得2220A A y p y y p x t t ，故2B A p y y t． 设直线):(A A AC y y s x x ，同理可得2C A py y s． 由AB AC 知2222111)(1()B A C A y y y y t s． 不妨设,,A B C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的，则由3BAC知s t ，代入化简得)2A A p t y t p y t．结合t 0t 时B A y y 与C A y y 同号可知A py ， 又22B C B C B C y y p k x x y y，进而121112B C AA y y k p k y t s y ，代入化简得1211k k0,t ． 因此121111,,00,227k k．当t时，易知AC x 轴，B 位于坐标原点，此时12122B C A y y k k y．而0,t 均不符合题意．k k 的取值范围是1(1,0)0,7．因此，12。

2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合{}2|560S x x x =--<，{}|2|3T x x =+≤，则S T ⋂=（ ） A 、{|51}x x -≤<- B 、{|55}x x -≤< C 、{|11}x x -<≤ D 、{|15}x x ≤< 2、正方体1111ABCD A B C D -中1BC 与截面11BB D D 所成的角是（ ） A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π3、已知2()23f x x x =-+，()1g x kx =-，则“||2k ≤”是“()()f x g x ≥在R 上恒成立”的（ ）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4、设正三角形1∆的面积为1S ，作1∆的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为2∆，面积为2S ，如此下去作一系列的正三角形34,,∆∆，其面积相应为34,,S S ，设11S =,12n n T S S S =+++，则lim n n T →+∞=（ ）A 、65 B 、43 C 、32D 、2 5、设抛物线24y x =的焦点为F ，顶点为O ，M 是抛物线上的动点，则||||MO MF 的最大值为（ ）ABC 、43D6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）A 、rB 、r 2C 、r 312D 、r 315二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的 中点，AE 与BD 相交于F ，则FD DE ⋅的值是 ．8、261()x x x+-的展开式中的常数项是 ．（用具体数字作答）9、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2(1)4n n a S +=，则20S 的值为 ．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．11、已知锐角,A B 满足tan()2tan A B A +=，则tan B 的最大值是 ． 12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde ，满足条件“a b c d e <><>”的概率是 ．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设函数()sin 1f x x x =+， （I ）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值；（II ）若实数c b a ,,使得1)()(=-+c x bf x af 对任意R x ∈恒成立，求acb cos 的值．14、已知,,a b c R +∈，满足()1abc a b c ++=，（I ）求()()S a c b c =++的最小值； （II ）当S 取最小值时，求c 的最大值．15、直线1y kx =+与双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 经过点(2,0)-和AB的中点，求直线l 在y 轴的截距b 的取值范围．16、设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a （1,2,3,n =）．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求证：对任何正整数(2)n n ≥，都有21(2)n a n ≤+成立；（III ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：对任意正整数n ，都有716n S <成立．2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、C2、A3、A4、B5、B6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、32-8、5- 9、0 10、14 11、4 12、215三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13、解：（I ）由条件知()2sin()13f x x π=++， （5分）由02x π≤≤知，5336x πππ≤+≤，于是1sin()123x π≤+≤所以2x π=时，()f x 有最小值12122⨯+=；当6x π=时，()f x 有最大值2113⨯+=． （10分）（II ）由条件可知2sin()2sin()133a xb xc a b ππ+++-++=对任意的x R ∈恒成立， ∴2sin()2sin()cos 2cos()sin (1)0333a xb xc b x c a b πππ+++⋅-+⋅++-= ∴2(cos )sin()2sin cos()(1)033a b c x b c x a b ππ+⋅+-⋅+++-=∴ cos 0sin 010a b c b c a b +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩, （15分）由sin 0b c =知0b =或sin 0c =。

2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

） 1．计算：sin ²10º+sin ²20º+sin ²30º+…+sin ²90º=? 5 ．2．设等差数列﹛an ﹜的前n 项和为Sn ，已知S12=21，则a3+a4+a9+a10＝____7____．3．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足PA ﹙→﹚+PB ﹙→﹚+2PC ﹙→﹚=3AB ﹙→﹚，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2．4．111(1)(1)(1)121231232011---+++++++ ＝6712011．5．满足方程x ²+8xsin ﹙xy ﹚+16=0（x ∈R,y ∈[0,2π﹚）的实数对﹙x,y ﹚的个数为 8 ． 6．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]a b （其中a b <），值域为[2,2]a b ，则符合条件的数组(,)a b 为1(,22+．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++. ------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分 注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.------------------------------------------16分10．已知a,b ∈R ，关于x 的方程x^4+ax^3+2x ²+bx+1=0有一个实根，求a ²+b ²的最小值． 解 设r 为方程432210x ax x bx ++++=的实根，则有432210r ar r br ++++=，即222(1)()0r r ar b +++=.显然0r ≠. ------------------------------------------5分 容易证明22224()()(1)ar b a b r +≤++，于是222224422222442424()(1)1(1)(21)[]11(1)(1)ar b r r r r a b r r r r r r r ++++++≥=-⋅==++++42244422424(1)4(1)414448(1)1r r r r r r r r r r +++++==++≥=++. ------------------------------------------15分当且仅当4224141r r r r +=+且2a r b =时等号成立，此时21r =，a b =.结合222(1)()0r r ar b +++=可求得2,1,a b r ==-⎧⎨=⎩或2,1.a b r ==⎧⎨=-⎩因此22a b +的最小值为8. ------------------------------------------20分11．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-．解 （1）显然，0n a >，所以212nn n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <. 因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. ------------------------------------------10分 （2）显然111113424a =>=-. 由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+， ------------------------------------------15分 所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++. ------------------------------------------20分。