2020年九年级中考数学专题专练：综合应用题(含答案)

2020中考数学冲刺专题应用几何知识解决实际问题专项（含答案）1. 如图①所示的是一种置于桌面上的简易台灯，将其结构简化成图②，灯杆AB 与CD交于点O(点O固定)，灯罩连杆CE始终保持与AB平行，灯罩下方FG处于水平位置，测得OC＝20 cm，∠COB＝70°，∠F＝40°，EF＝EG，点G到OB 的距离为12 cm.(1)求∠CEG的度数；(2)求灯罩的宽度FG的长．(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，sin70°≈0.940，cos70°≈0.342)第1题图解：(1)∵EF＝EG，∠F＝40°，∴∠G＝40°，∠FEG＝180°－∠F－∠G＝100°，∵灯罩连杆CE始终保持与AB平行，灯罩下方FG处于水平位置，∴∠CEG＝∠CEF＝360°－∠FEG2＝130°；第1题解图(2)如解图，延长FG交AB于点N，过点C作CM⊥AB于点M，延长CE交FG 于点H，如解图所示，∵CE∥AB，FG处于水平位置，CM⊥AB，∴四边形CHNM为矩形，CH⊥FG，∴CM＝NH.在Rt △OMC 中，OC ＝20 cm ，∠COM ＝70°，∠OMC ＝90°， ∴CM ＝OC ·sin ∠COM ≈20×0.940＝18.8 cm ， ∵GN ＝12 cm ，HN ＝CM ， ∴HG ＝CM －GN ＝6.8 cm ， ∵EF ＝EG ，CH ⊥FG ， ∴FH ＝HG ＝12FG ， ∴FG ＝2×6.8＝13.6 cm. 答：灯罩的宽度FG 长为13.6 cm.2. 现有一张宽为12 cm 的练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8 cm.调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上(如图)，测得∠α＝32°. (1)求矩形卡通图案的长和宽；(2)若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印(如图)，最多能印几个完整的矩形卡通图案？(参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6)第2题图解：(1)在Rt △BCE 中， ∵sin α＝CEBC ，∴BC ＝CE sin α≈0.80.5＝1.6 cm ， ∵在矩形ABCD 中，∠BCD ＝90°， ∴∠BCE ＋∠FCD ＝90°，∵在Rt △BCE 中，∠EBC ＋∠BCE ＝90°， ∴∠FCD ＝32°， 在Rt △FCD 中，∵cos ∠FCD ＝FCCD ， ∴CD ＝FC cos32°≈1.60.8＝2 cm ， ∴矩形卡通图案的长和宽分别为 2 cm 和1.6 cm ；(2)在Rt △ADH 中，∠DAH ＝32°， ∵cos ∠DAH ＝ADAH ， ∴AH ＝AD cos32°≈1.60.8＝2 cm ， 在Rt △CGH 中，∠GCH ＝32°， ∵tan ∠GCH ＝GHCG ，∴GH ＝CG ·tan32°≈0.8×0.6＝ 0.48 cm ，设能印x 个完整的矩形卡通图案， 根据题意得2x ＋0.48≤12，解得x ≤5.76， ∴最多能印5个完整的矩形卡通 图案．3. 图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图②，已知铁环的半径为25 cm ，设铁环中心为点O ，铁环钩与铁环相切点为点M ，铁环与地面接触点为点A ，∠MOA ＝α，且sin α＝35.第3题图(1)求点M 离地面AC 的高度BM ；(2)设人站立点C 与点A 的水平距离AC ＝55 cm ，求铁环钩MF 的长度． 解：(1)如解图，过点M 作MD ⊥OA 交OA 于点D ，第3题解图在Rt △ODM 中，sin α＝DM OM ＝35， ∴DM ＝15 cm ，∴OD ＝20 cm ， ∴AD ＝BM ＝5 cm ；(2)如解图，延长DM 交CF 于点E ， 易得：∠FME ＝∠AOM ＝α， ∵ME ＝AC －DM ＝55－15＝40 cm ， ∴cos α＝ME MF ＝45， ∴MF ＝50 cm ，∴铁环钩MF 的长为50 cm.4. 如图①，某利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯的灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图②，已知太阳能板的支架BC 垂直于灯杆OF ，路灯顶端E 距离地面6米，DE ＝1.8米，∠CDE ＝60°，且根据我市的地理位置设定太阳能板AB 的倾斜角为43°，AB ＝1.5米，CD ＝1米．为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，叶片与太阳能板顶端A 的最近距离不少于0.5米，求灯杆OF 至少要多高？(参考数据：sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果精确到0.01米)第4题图解：如解图，过点E 作EG ⊥地面于点G ， 过点D 作DH ⊥EG 于点H ，第4题解图∴DF ＝HG ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ·sin ∠ABC ＝1.5×sin43°≈1.5×0.6820＝ 1.023米， ∵∠CDE ＝60°， ∴∠EDH ＝30°， ∴EH ＝12DE ＝0.9米，∴DF ＝GH ＝EG －EH ＝6－0.9＝ 5.1米，由题意得，OA ≥1.5，∴OF ＝OA ＋AC ＋CD ＋DF ≥1.5＋1.023＋1＋5.1＝8.623≈8.62米． 答：灯杆OF 至少要8.62米高．5. 夏季为了防晒，居民常常在户外修建防晒棚，如图①，从房子顶部伸出的防晒棚与墙面的夹角为60°，房子的高AB 为3米．(1)如图②，防晒棚伸出的长度AC 为2米，太阳光线DC 与地面的夹角为60°，问太阳光是否会照进大门内，若不会，则求出光线DC 差多远会照射到墙脚B 点处？(2)如图③，太阳光线DC 与地面的夹角为30°时，太阳光线DC 恰好照进大门内1米处，求此时防晒棚AC 应为多长．(注：AB 为房子的高度也是大门所在的位置)第5题图解：(1)如解图①，过点C 作CF ⊥BE 于点F ，CH ⊥AB 于点H ，在Rt △AHC 中，∠HAC ＝60°，则AH ＝1米，CF ＝HB ＝3－1＝2米，BF ＝HC ＝22－12＝ 3 米，在Rt △CEF 中，EF ＝CF tan60°＝233 米，∴BE ＝3－233＝33 米． 答：光线DC 差33米会照射到墙角B 点处； (2)设AC ＝x 米，则BF ＝CH ＝32x 米，EF ＝(1＋32x )米． 在Rt △AHC 中，AH ＝12x 米， CF ＝BH ＝(3－12x )米， 在Rt △EFC 中，CFEF ＝tan30°， 即3－12x1＋32x＝33，解得x＝(3－33)米．答：防晒棚AC应为(3－33)米．第5题解图6. 如图①是景德镇市白鹭大桥，此桥为独斜塔无背索斜拉桥，是高度科学性和艺术性的完美结合．如图②是主桥段AN－NO－OB的一部分，其中NO部分是一段水平路段，西侧AN是落差高度约为1.2米的小斜坡(图中AH＝1.2米)，斜塔MN与水平线夹角为58°，为了测量斜塔，如图③，小敏在桥底河堤西岸上取点P 处并测得点A与塔顶M的仰角分别为45°与76°，已知PQ＝24.4米(点Q为M在桥底的投影，且点M、A、Q在同一条直线上)．(1)斜塔MN的顶部点M距离水平线的高度MH为多少？(2)斜塔MN的长度约为多少？(精确到0.1米)(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.0，sin58≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6)第6题图解：(1)依题意可知PQ＝24.4，∠APQ＝45°，∠MPQ＝76°，∴AQ＝24.4，MQ＝PQ·tan76°≈24.4×4＝97.6 m，∴AM＝MQ－AQ＝24.4×3＝73.2 m，MH＝AM－AH＝73.2－1.2＝72 m，即斜塔MN的顶部点M距离水平线的高度MH为72 m；(2)MN＝MHsin58°≈84.7 m，即斜塔MN的长度约为84.7 m.7. 如图①所示旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，图①中四边形ABCD为形如矩形的旅行箱一侧的示意图，F为AD的中点，EF∥CD，现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端靠在墙上点D处，点O为墙角，图②为箱子打开后的示意图，若箱子厚度AD＝30 cm，宽度AB＝50 cm.(1)图②中，EC的长为多少？当点D与点O重合时，求AO的长；(2)若∠CDO＝60°，求AO的长．(结果取整数值)(参考数据：sin60°≈0.87，cos60°＝0.5，tan60°＝3≈1.73)第7题图解：(1)∵EF∥AB∥CD，DF＝AF，∴EC＝EB＝12BC＝12AD＝15 cm，当点D与点O重合时，∵AB＝BO＝50 cm，∴AO＝50＋50＝100 cm；第2题解图(2)如解图，过点C作OA的平行线，分别交BE和OD于点H，G，∵EB⊥OA，OD⊥OA，∴HG＝HC＋CG＝OB，∵∠ECD＝90°，∠ECH＝60°，又∵CD＝50 cm，EC＝15 cm，∴HC ＝EC ·cos60°＝12EC ＝7.5 cm ， CG ＝CD ·sin60°≈50×0.87＝ 43.5 cm ，∴AO ＝AB ＋OB ＝AB ＋HC ＋CG ＝101 cm ， 即AO 的长约为101 cm.8. 如图①，小华家阳台上放置了一个有6级踏板的人字梯，如图②是人字梯的侧面示意图，梯梁AB 与CD 相交于点C ，现将人字梯完全稳固张开，B ，D 两点立于水平地面，从下至上，HK 是第1级，EF 是第6级，每级踏板均与水平地面平行，相邻两级踏板间的距离相等，最上面的踏板EF 恰好横于AB ，CD 之间，经测量：AB ＝2 m ，CD ＝1.75 m ，EF ＝0.2 m ，AC ＝CE ＝EG ＝HB ＝CF ＝0.25 m ． (1)求人字梯完全稳固张开时，梯子下端B ，D 间的距离；(2)小华家天花板距离地面3 m ，小华静止站立时伸直手臂摸到的最大高度为2 m ，那么，小华要摸到天花板，至少要站在人字梯的第几级踏板上？(参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，tan23.6°≈0.44)第8题图解：(1)由题意得CE ＝CF ＝0.25，CB ＝AB －AC ＝CD ＝1.75 m ， ∴CE CF ＝CBCD ＝1，∵∠ECF ＝∠BCD ， ∴△ECF ∽△BCD ， ∴CE CB ＝EF BD ，即0.251.75＝0.2BD ， ∴BD ＝1.4 m ，∴人字梯完全稳固张开时，梯子下端B 、D 间的距离为1.4 m ；第8题解图(2)如解图，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，由(1)中△ECF ∽△BCD 得∠CEF ＝∠CBD ，BD ＝1.4 m ， ∴BM ＝12BD ＝0.7 m ，∴cos ∠CEF ＝cos ∠CBD ＝BM CB ＝0.71.75＝0.4， ∴∠CEF ≈66.4°；设小华摸到天花板至少要站在人字梯的第x 级踏板上，得0.25x ·sin66.4°＋2≥3， ∴x ≥4.35，∵x 取整数，且5≤x ≤6， ∴x 可取5，6.∴小华要摸到天花板，至少要站在人字梯的第5级踏板上．9. 某市在一次检查中发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，政府现准备制作一批新的公交车候车亭，设计师画了两幅侧面示意图，AB 、FG 均为水平线段，CD ⊥AB ，PQ ⊥FG ，E ，H 为垂足，且AE ＝FH ，AB ＝FG ＝2 m ，图①中tan A ＝25，tan B ＝35，图②点P 在FG ︵上，且FG ︵所在圆的圆心点O 到FG ，PQ 的距离之比为5∶2.(1)求图①中的CE 长； (2)求图②中的PH 长．第9题图解：(1)∵tan A ＝CE AE ＝25，tan B ＝CE BE ＝35，∴CE ＝25AE ，CE ＝35BE ，∴25AE ＝35BE ，又∵AB ＝AE ＋BE ＝2 m ，∴AE ＝1.2 m ，∴CE ＝1.2×25＝0.48 m ；第9题解图(2)如解图，过点O 作FG 的垂线，垂足为点M ，过点O 作PQ 的垂线，垂足为点N ，则FM ＝1，MH ＝ON ＝1.2－1＝0.2 m ，∵点O 到FG ，PQ 的距离之比为5∶2，∴OM ＝NH ＝0.5 m ，连接OF 和OP ，在Rt △OFM 中，OF ＝12＋0.52＝52＝OP ， 在Rt △OPN 中，PN ＝OP 2－ON 2＝1.1 m ，∴PH ＝PN －HN ＝1.1－0.5＝0.6 m. 10. 如图①是一个创意半圆桌柜实物图，图②是其正面示意图，桌柜的上部是一个半圆，桌面AB 是半圆的直径，隔层CD 是半圆的弦，柜脚EG 、FH 所在的直线经过圆心，EG ＝FH ，且AB 、CD 均平行于水平地面GH ，测得AB ＝100 cm ，CD ＝11. 80 cm.(1)隔层CD 上能竖直放入高度为32 cm 的酒瓶吗？请说明理由；(2)若半圆桌柜的底部EF ︵长度为15π cm ，柜脚EG 长为20 cm ，求柜脚支点G ，H之间的距离．(精确到0.1 cm ，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891)第10题图解：(1)不能竖直放入高度为32 cm 的酒瓶；理由如下：如解图，延长GE ，HF 交AB 于点O ，点O 即为圆心，过点O 作OM ⊥GH ，垂足为M ，交CD 于点N .第10题解图∴OA ＝OB ＝12AB ＝12×100＝50 cm ，即⊙O 的半径为50 cm ，∵CD ∥GH ，∴OM ⊥CD ，∴CN ＝DN ＝12CD ＝12×80＝40 cm ，∴在Rt △OCN 中，ON ＝OC 2－CN 2＝502－402＝30 cm ，∵32＞30，∴不能竖直放入高度为32 cm 的酒瓶；(2)∵半圆桌柜的底部EF ︵长度为15π cm ，半圆的半径为50 cm ，∴lEF ︵＝50n π180＝15π，∴n ＝54，即∠EOF ＝54°，∵OE ＝OF ，EG ＝FH ，∴OG ＝OH ＝50＋20＝70 cm ，∵OM ⊥GH ，∴∠GOM ＝12∠EOF ＝12×54°＝27°，GM ＝MH ＝12GH ，在Rt △OMG 中，GM ＝OG ·sin ∠GOM ＝70×sin27°≈ 70×0.454＝31.78 cm ，∴GH ＝2GM ≈2×31.78＝63.56≈ 63.6 cm ，即柜脚支点G ，H 之间的距离约为63.6 cm.。

一次方程(组)及其应用1. )已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，bx ＋ay ＝－7的解，则代数式(a ＋b)(a －b)的值为( )A. －8.B. －6.C. －4.D. －2 2. 若53--y x +3y x -+=0，则x-y 的值为( ) A. －1. B. 1 C. 2. D. 33. 若2(a ＋3)的值与4互为相反数，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－72 C ．12 D. －54．设x ，y ，c 是实数，则正确的为( )A ．若x ＝y ，则x ＋c ＝y －cB ．若x ＝y ，则xc ＝ycC ．若x ＝y ，则x c ＝y cD ．若x 2c ＝y3c，则2x ＝3y5. 在解方程x －13＋x ＝3x ＋12时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是( )A ．2x －1＋6x ＝3(3x ＋1)B ．2(x －1)＋x ＝3(3x ＋1)C ．2(x －1)＋6x ＝3(3x ＋1)D ．(x －1)＋x ＝3(x ＋1)6. 二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝6，x －3y ＝－2的解是( )A.⎩⎨⎧x ＝5y ＝1B.⎩⎨⎧x ＝4y ＝2C.⎩⎨⎧x ＝－5y ＝－1D.⎩⎨⎧x ＝－4y ＝－27. 互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为( )A．120元 B．100元 C．80元 D．60元8. 某村原有林地120公顷，旱地60公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改造为林地，则可列方程为( )A．60－x＝20%(120＋x) B．60＋x＝20%×120C．180－x＝20%(60＋x) D．60－x＝20%×1209. 在如图的某年6月份的月历表中任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是( )A．27 B．51 C．69 D．7210. 如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是()A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝75y ＝3xB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝75x ＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝75y ＝3xD.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝75x ＝3y11. 已知x 5m-4+31=2是关于x 的一元一次方程，那么m=12. 若二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，3x －5y ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，则a －b ＝13. 若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －ay ＝5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b ，y ＝1，则a b 的值为____．14. 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝2，bx ＋ay ＝3的解，则a 2－b 2＝_________．15. 小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元．设每支铅笔x 元，每本笔记本y 元，则可列方程组_________．16. 某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则可列方程_________．17. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为________．18. 一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x 双，可列出方程_________．19. 小亮所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x 元，超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x 的方程_________．20. 某企业决定投资不超过20万元建造A ，B 两种类型的温室大棚，经测算，投资A 种类型的大棚6万元/个，B 种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有 ______种21. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为______里22. 解下列方程： (1)12x －45＝710；(2)x －x －12＝2－x ＋23；(3)7x －12[x －12(x －1)]＝23(x －1)；(4)3[2x －1－3(2x －1)]＝5.23. 解方程组：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x ＋3y ＝11.(2) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，x ＋y ＝2.24. 已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx －12ny ＝12，mx ＋ny ＝5的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，求m ，n 的值．25. 小力和小华同时解方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋y ＝5，2x －ny ＝13，小力看错了m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－2；小华看错了n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－7.你能求出原方程组的正确解吗？26. 某专卖店有A ，B 两种商品，已知在打折前，买60件A 商品和30件B 商品用了1080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元，A ，B 两种商品打相同折以后，某人买500件A 商品和450件B 商品一共比不打折少花1 960元，计算打了多少折？27. 如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连结而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度(如图①所示)：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图②所示)．图③是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4 cm.完全拉伸时，为了使相邻两节套管连结并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm.(1)请直接写出第5节套管的长度；(2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．28. 根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球水面升高____cm，放入一个大球水面升高____cm；(2)如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？解：(2)设应放入大球m个，小球n个，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝10，3m ＋2n ＝50－26，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝6. 答：如果要使水面上升到50cm ，应放入大球4个，小球6个．1---10 ABDBC BCADB 11. 1 12. 7413. 1 14. 115. ⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ＝11030x ＋5y ＝8516. 2×22x＝16(27－x)17. ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝34x ＋5y ＝43518. (1＋10%)x ＝330 19. 5x ＋4(x ＋2)＝44 20. 3 21. 622. 解：(1)5x －8＝7，5x ＝8＋7，5x ＝15，∴x ＝3.(2)6x －3(x －1)＝12－2(x ＋2)，6x －3x ＋3＝12－2x －4，5x ＝5，∴x＝1. (3)7x －12(12x ＋12)＝23(x －1)，7x －14x －14＝23x －23，84x －3x －3＝8x －8，73x ＝－5，∴x ＝－573.(4)设y ＝2x －1，则3(y －3y)＝5，－6y ＝5，y ＝－56，即2x －1＝－56，x ＝112.23. (1) 解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5①，2x ＋3y ＝11②，①×3－②得x ＝4，把x ＝4代入①得y ＝1，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.(2) 解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，①x ＋y ＝2，②由①－②，得y ＝3.把y ＝3代入②，得x ＋3＝2，解得x ＝－1. ∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3.24. 解：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3代入⎩⎪⎨⎪⎧mx －12ny ＝12，mx ＋ny ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧2m －32n ＝12，①2m ＋3n ＝5，②由②－①，得92n ＝92，解得n ＝1，把n ＝1代入②，得m ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1.25. 解：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－2代入2x －ny ＝13得7＋2n ＝13，n ＝3；把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－7代入mx ＋y ＝5得3m －7＝5，m ＝4， ∴原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝5，2x －3y ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.26. 解：设打折前A 商品的单价为x 元/件，B 商品的单价为y 元/件，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋30y ＝1 080，50x ＋10y ＝840，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝4，500×16＋450×4＝9 800(元)，9 800－1 9609 800＝0.8.答：打了八折．27. 解：(1)第5节套管的长度为50－4×(5－1)＝34(cm)．(2)第10节套管的长度为：50－4×(10－1)＝14(cm)，根据题意，得(50＋46＋42＋…＋14)－9x ＝311，即320－9x ＝311， 解得x ＝1.答：每相邻两节套管间重叠的长度为1 cm. 28. 解：(1) 2 3(2)设应放入大球m 个，小球n 个，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝10，3m ＋2n ＝50－26，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝6. 答：如果要使水面上升到50cm ，应放入大球4个，小球6个．。

中考数学总复习《函数的综合应用》专项测试卷及答案题型解读｜模型构建｜通关试练本专题主要对初中阶段学习的几大函数的中招常考题型进行整理、分析，从出题人的角度分析下函数在中招考试中的定位．一次函数是初中阶段接触函数的基础，一次函数的图象和性质在考试中主要是以选择、填空题的基础题型形式出现，解答题中一次函数常与方程、不等式等结合，一般会涉及到结合函数性质进行讨论．反比例函数从表达式上较为简单，基础题型中反比例的几何意义是考试的重点，解答题中常与几何结合，主要是涉及到面积问题、动点问题等．二次函数具有一定的难度，二次函数的图形和性质是必考点，两种常考的表达形式需要学生灵活应用，二次函数的实际应用在近年的中招考试中出现次数较多，在实际应用题型中需要学生具有一定的基础运算能力．二函数的图象与性质探究，主要涉及到取值范围、交点问题、动点问题等讨论形式，本专题根据考试题型分类归纳总结． 模型01 一次函数的性质与应用 一、一次函数的图象与性质一次函数y=kx+b（k≠0）当b=0时为正比例函数，正比例函数是一次函数是一次函数的特殊形式，k>0时，图象过一三象限，k<0时图象过二四象限．二、一次函数的应用1．主要题型：（1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程（组）与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．3．方案最值问题：对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．4．方法技巧求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．显然，第（2）种方法更简单快捷．模型02 反比例函数的性质与应用一、反比例函数的图象与性质位于第一、三象限位于第二、四象限二、反比例函数(0)ky k x=≠的几何意义：2Rt AOP kS =△ AOBP S k =矩形三、反比例函数的应用：反比例函数的应用考查热点主要有：反比例函数的性质及其解析式的确定；反比例函数与一次函数交点的综合应用；反比例函数与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明．以实际情境为模型的反比例函数，自变量取值范围必须符合题目条件并且具有实际意义，因此，此时的图象可能是反比例函数图象的一部分． 模型03 二次函数的图象性质应用（最值问题、交点问题、存在性问题） 二次函数的图象与性质，主要总结两种常考的形式，一般式和顶点式； 1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点． 2．二次函数一般式2y ax bx c =++(0)a ≠的性质：配方：二次函数2224()b ac b y ax bx c a x -=++=++4．二次函数顶点式2()y a x h k =-+（0a ≠）的性质：模型04 二次函数的实际应用二次函数的实际应用以顶点式2()y a x h k =-+（0a ≠）为主，首先根据题意中的顶点坐标及其它点坐标求二次函数表达式是第一问经常考的题型，二次函数应用题型中有营销问题，球类运动问题，喷泉问题、拱形桥或桥洞问题等．在解题时除了要求学生对二次函数的性质真正的理解，解题中会涉及些计算，需要同学们认真、细致．模型01 一次函数的性质与应用 考｜向｜预｜测一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到．在解题时需要同学们对一次函数的图象与性质真正理解．所考题型难度中等，相对较容易得分． 答｜题｜技｜巧例（2023·广东）1．如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为11y k x =，22y k x =则关于1k 与2k 的关系，正确的是（ ）A ．10k > 20k <B ．10k < 20k >C ．12||||k k <D ．12||||k k >例（2023·新疆）2．表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数且0mn ≠）图象是（ ）A ．B ．C ．D ．例（2023·江苏）3．快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min ，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km /h ．两车之间的距离()km y与慢车行驶的时间()h x 的函数图像如图所示．(1)请解释图中点A 的实际意义；(2)求出图中线段AB 所表示的函数表达式；(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 模型02 反比例 函数的性质与应用 考｜向｜预｜测 反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容．每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分．从考点频率看，反比例函数中的K 值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点．从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右，难度系数较低，需要理解加以灵活应用！ 答｜题｜技｜巧例（2023·江苏） 4．反比例函数()0ky k x=<，当13x ≤≤时，函数y 的最大值和最小值之差为4，则k 的值为（ ） A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-例（2023·上海）5．如图是反比例函数1k y x =，2ky x=在x 轴上方的图像，平行四边形OABC 的面积是5，若点A 在x 轴上，点B 在1k y x =的图像上，点C 在2ky x=的图像上，则21k k -的值为 ．模型03 二次函数的图象性质应用 考｜向｜预｜测二次函数的图象性质应用该题型是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例 ．答｜题｜技｜巧例（2023·河南）6．对于二次函数)212y x ++的图象，下列说法错误的是（ ） A ．开口向上B ．顶点坐标是1,2C ．当1x >-时，y 随x 的增大而增大D ．对称轴是直线1x =例（2023·浙江）7．设函数)21(y x m =--，22()y x n =--直线1x =与函数12,y y 的图象分别交于点()11,A a 和()21,B a ，得（ ）A ．若1m n <<，则12a a <B ．若1m n <<，则12a a <C ．若1m n <<，则12a a <D ．若1m n <<，则21a a <例（2023·江苏） 8．已知二次函数2yx 的图象与直线2y x =+的图象如图所示．(1)判断2y x 的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)设直线2y x =+与抛物线2yx 的交点分别为A ，B ，如图所示，试确定A ，B 两点的坐标；(3)连接OA ，OB ，求AOB 的面积． 模型04 二次函数的实际应用 考｜向｜预｜测二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高．而考察的内容主要有：二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等．其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误． 答｜题｜技｜巧例（2024·江苏扬州·一模）9．冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从2m 高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为m x ，与跳台底部所在水平面的竖直高度为m y ，y 与x 的函数关系式为()2112016242y x x x =-++≤≤，当他与跳台边缘的水平距离为 m 时，竖直高度达到最大值．例（2024·贵州黔东南·一模）10．小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m ，小明从点()8,2A 处将球传出，其运动路线为抛物线()4?4C y a x =-+₁∶的一部分，小亮在B 处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线221510102n C y x x =-++∶的一部分．(1)求抛物线1C 的函数表达式；(2)设抛物线1C 的顶点为点M ，在x 轴上找一点P ，求使PA PM -的值最大的点P 的坐标；(3)若小明在x 轴上方2m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到球，求符合条件的n 的整数值．（2023·四川）11．在平面直角坐标系中，已知()0,2A ，()0,4B 若把直线2y x =-向上平移k 个单位长度后与线段AB 有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．46k ≤≤B ．46k <≤C ．35k ≤≤D ．13k ≤≤（2023·南京）12．已知点()11,A y -，()22,B y 和()33,C y 都在反比例函数(0)ky k x=<的图像上，则1y ，2y 和3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．312y y y << C ．321y y y << D ．231y y y <<（2023·贵州） 13．在反比例函数1k y x-=的图象的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整式24x kx -+可以用完全平方公式进行因式分解，则该反比例函数的表达式为（ ） A ．3y x=-B ．3y x=C ．5y x=-D ．1y x=（2023·湖南）14．二次函数()2y a x m k =--的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）A ．0m < 0k <B ．0m > 0k >C ．0m > 0k <D ．0m < 0k >（2023·安徽）15．如图，在四边形ABCD 中60A ∠=︒ CD AD ⊥ 90,BCD ∠=︒4AB BC == 动点P ，Q 同时从A 点出发，点Q 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动；点P 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x 秒，APQ △的面积为y 个平方单位，则y 随x 变化的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．（2023·辽宁）16．如图，在平面直角坐标系中，直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交于点()2,0-，与y 轴交于点()0,1，则不等式0kx b +>的解集为 ．（2023·甘肃）17．若点(),A a b 是正比例函数y kx =图象上的一点，且0a ≠，20a b +=则k 的值为 ．（2023·福建）18．已知()123m y m x-=-+是关于x 的一次函数，则m = ． （2023·上海）19．在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C …正方形1n n n n A B C C -，使得点1A 、2A 和3A …在直线l 上，点1C 、2C 和3C …在y 轴正半轴上，则202320242023A A B △的面积是 ．（2023·山东）20．如图，矩形OABC 的顶点A 在反比例函数(0)k y x x=<的图象上，顶点B 、C 在第一象限，对角线AC x ∥轴，交y 轴于点D ．若矩形OABC 的面积是16，3cos 4OAC ∠=，则k = ．（2023·江苏）21．函数222y x ax =--在14x -≤≤有最小值5-，则实数a 的值是 ．（2023·安徽）22．在平面直角坐标系xOy 中，点()3,2A -，()1,1B 和()0,4C ．(1)求直线AB 的解析式；(2)一次函数32y ax a =++（a 为常数）．①求证：一次函数32y ax a =++的图象一定经过点A ；①若一次函数32y ax a =++的图象与线段BC 有交点，直接写出a 的取值范围．（2023·黑龙江）23．在一条平坦笔直的道路上依次有A ，B ，C 三地，甲从B 地骑电瓶车到C 地，同时乙从B 地骑摩托车到A 地，到达A 地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C 地，结果乙比甲早2分钟到达C 地，两人均匀速运动，如图是两人距B 地路程y （米）与时间x （分钟）之间的函数图象．请解答下列问题：(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；(2)求图象中线段FG 所在直线表示的y （米）与时间x （分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．（2023·吉林）24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x=的图象(0)x >经过点(2,)A m ，过A 作x 轴的垂线AB ，垂足为B ，且OAB 的面积为1．(1)求m 和k 的值；(2)若点(,)C x y 也在这个函数的图象上，当13x ≤≤时，求y 取值范围（2023·广西）25．如图，一次函数()110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()220k y k x=≠的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为()2,1-，点B 的坐标为()1,n ．(1)求这两个函数的表达式；(2)根据图象，直接写出满足21k k x b x+>的取值范围； (3)求ABO 的面积；（2023·河南）26．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC ，上部近似为一条抛物线．已知10OA =米，1AB =米，高速隧道的最高点P （抛物线的顶点）离地面OA 的距离为10米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E ，F ，若平行线段EF 与BC 之间的距离为8米，则点E 与隧道左壁OC 之间的距离为多少米？（2024·广西桂林·一模）27．一次函数3y x =-的图象不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2024·辽宁葫芦岛·一模）28．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ）A ．0k > 0b <B ．方程0kx b +=的解是3x =-C ．当3x >-时 0y <D ．y 随x 的增大而减小（2024·湖南长沙·一模） 29．对于二次函数21242y x x =-+，有以下结论：①当5x >时，y 随x 的增大而增大；①当6x =时，y 有最小值6；①图像与x 轴有两个交点；①图像是由抛物线2y x 向左平移6个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的．其中结论错误的有（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①① （2024·广东东莞·一模）30．将抛物线22y x =+的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移1单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）A ．()223y x =++B ．()221y x =++ C ．()221y x =-+D ．()223y x =-+ （2024·甘肃天水·一模）31．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；①0a >；①当3x <时12y y <；①方程kx b x a +=+的解是3x =．其中正确的是 （把序号填写在横线上）32．如图所示，在同一个坐标系中一次函数11y k x b =+和y kx b =+的图象，分别与x 轴交于点A 、B ，两直线交于点C ．已知点A 坐标为()2,0-，点B 坐标为()5,0，观察图象并回答下列问题：(1)关于x 的方程110k x b +=的解是___；关于x 的不等式0kx b +<的解集是______．(2)直接写出关于x 的不等式组1100kx b k x b +>⎧⎨+>⎩解集是______． (3)若点C 坐标为()2,6①关于x 的不等式11k x b kx b +>+的解集是______；①ABC 的面积为______．①在y 轴上找-点P ，使得PB PC -的值最大，则P 点坐标为______．33．已知一次函数12125y x y x =-+=-，的图象如图所示，根据图象，解决下列问题：(1)求出函数11y x =-+与225y x =-交点P 坐标；(2)求出ABP 的面积．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）34．某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下：乙种水果的购进价格比甲种水果高2.5元/斤，如果水果经销店花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，则购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍．(1)求a的值；(2)水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）．①求出W与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润；①周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于320元，求m的最大值．（2023·吉林）35．每年的3月12日是我国的植树节，某市园林局在3月12日当天安排甲、乙两个小组共种植220棵株体较大的银杏树，要求在5小时内种植完毕．已知第1个小时两个小组共植树35棵，甲组植树过程中由于起重机出故障，中途停工1个小时进行维修，然后提高工作效率，直到与乙组共同完成任务为止，设甲、乙两个小组植树的时间为x（小时），甲组植树数量为y甲（棵），乙组植树数量为y乙（棵），y甲和y乙与x之间的函数关系图象如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；乙(2)求m、n的值；(3)直接写出甲、乙两个小组经过多长时间共植树165棵？（2024·河南漯河·一模）36．某二手车管理站，用一种一氧化碳（CO）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻R（Ω）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量β（g/km）变化的关系图象如图2所示，0R（Ω）为定值电阻，电源电压恒定不变．(1)请根据图2，判断气敏电阻R （Ω）与尾气中一氧化碳的含量β（g /km ）之间成________函数，它的函数解析式为________；(2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于1.0g /km ．若某辆小轿车的尾气检测阻值为0.5Ω，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准；(3)该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至0.1g /km ，此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？（2024·湖南长沙·一模）37．如图，在直角坐标系中，A ，B ，C ，D 四点在反比例函数k y x=，线段AC BD ，都过原点O ，()4,2A 点B 点纵坐标为4，连接AB CD DA ，，．(1)求该反比例函数的解析式；(2)当-2y ≥时，写出x 的取值范围；(3)求四边形ABCD 的面积．（2024·贵州遵义·一模）38．已知点(),P m n 在抛物线()213y a x =-+（a 为常数，0a ≠）上． (1)若2m = 4n =①求抛物线的解析式；①若点()11,A t y -，()2,B t y 在该二次函数的图象上，且点A 在对称轴左侧、点B 在对称轴右侧，若12y y <，求t 的取值范围；(2)若10m -≤≤时，总有2n ≥-，且当34m ≤<时总有2n ≤-，求a 的值．（2023·河南郑州·三模）39．如图，已知抛物线()230y ax bx a =++≠经过()3,0A -，()1,0B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)求证：直线35y x =-+与该抛物线没有交点(3)若()1,C m y ，()2,D n y 为抛物线()230y ax bx a =++≠上两点()m n <，M 为抛物线上点C 和点D 之间的动点（含点C ，D ），点M 的纵坐标的取值范围为934M y -≤≤，求m n +的值． （2024·山东德州·一模）40．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400 元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x 元，小明一天通过乙灯笼获得利润y 元． ①求出y 与x 之间的函数解析式；①乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？（2024·山东威海·一模）41．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中E 点为抛物线的拱顶且高4m 3m AB = 4m BC =取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E ，若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．解决下列问题：(1)如图，求抛物线的解析式；(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT SMNR ，若0.75m FL NR ==，求两个正方形装置的间距GM 的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线（太阳光线为平行线）透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为，求BK 的长．参考答案例（2023·广东）1．如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为11y k x =，22y k x =则关于1k 与2k 的关系，正确的是（ ）A ．10k > 20k <B ．10k < 20k >C ．12||||k k <D ．12||||k k >例（2023·新疆）2．表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数且0mn ≠）图象是（ ）A ．B ．C ．D ．例（2023·江苏）3．快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min ，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km /h ．两车之间的距离()km y 与慢车行驶的时间()h x 的函数图像如图所示．(1)请解释图中点A 的实际意义；(2)求出图中线段AB 所表示的函数表达式；(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 模型02 反比例 函数的性质与应用考｜向｜预｜测 反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容．每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分．从考点频率看，反比例函数中的K 值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点．从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右，难度系数较低，需要理解加以灵活应用！ 答｜题｜技｜巧例（2023·江苏） 4．反比例函数()0ky k x=<，当13x ≤≤时，函数y 的最大值和最小值之差为4，则k 的值为（ ） A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-例（2023·上海） 5．如图是反比例函数1k y x =，2ky x=在x 轴上方的图像，平行四边形OABC 的面积是5，若点A 在x 轴上，点B 在1k y x =的图像上，点C 在2ky x=的图像上，则21k k -的值为 ．模型03 二次函数的图象性质应用 考｜向｜预｜测二次函数的图象性质应用该题型是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例答｜题｜技｜巧例（2023·河南）6．对于二次函数)212y x ++的图象，下列说法错误的是（ ） A ．开口向上B ．顶点坐标是1,2C ．当1x >-时，y 随x 的增大而增大D ．对称轴是直线1x =例（2023·浙江）7．设函数)21(y x m =--，22()y x n =--直线1x =与函数12,y y 的图象分别交于点()11,A a 和()21,B a ，得（ ）A ．若1m n <<，则12a a <B ．若1m n <<，则12a a <C ．若1m n <<，则12a a <D ．若1m n <<，则21a a <例（2023·江苏） 8．已知二次函数2yx 的图象与直线2y x =+的图象如图所示．(1)判断2y x 的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)设直线2y x =+与抛物线2yx 的交点分别为A ，B ，如图所示，试确定A ，B 两点的坐标；(3)连接OA ，OB ，求AOB 的面积．模型04 二次函数的实际应用 考｜向｜预｜测二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高．而考察的内容主要有：二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等．其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误． 答｜题｜技｜巧例（2024·江苏扬州·一模）9．冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从2m 高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为m x ，与跳台底部所在水平面的竖直高度为m y ，y 与x 的函数关系式为()2112016242y x x x =-++≤≤，当他与跳台边缘的水平距离为 m 时，竖直高度达到最大值．例（2024·贵州黔东南·一模）10．小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m ，小明从点()8,2A 处将球传出，其运动路线为抛物线()4?4C y a x =-+₁∶的一部分，小亮在B 处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线221510102n C y x x =-++∶的一部分．(1)求抛物线1C 的函数表达式；(2)设抛物线1C 的顶点为点M ，在x 轴上找一点P ，求使PA PM -的值最大的点P 的坐标；(3)若小明在x 轴上方2m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到球，求符合条件的n 的整数值．（2023·四川）11．在平面直角坐标系中，已知()0,2A 和()0,4B ，若把直线2y x =-向上平移k 个单位长度后与线段AB 有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．46k ≤≤ B ．46k <≤ C ．35k ≤≤ D ．13k ≤≤（2023·南京）12．已知点()11,A y -，()22,B y 和()33,C y 都在反比例函数(0)ky k x=<的图像上，则1y ，2y 和3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．312y y y << C ．321y y y << D ．231y y y <<（2023·贵州） 13．在反比例函数1k y x-=的图象的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整式24x kx -+可以用完全平方公式进行因式分解，则该反比例函数的表达式为（ ） A ．3y x=-B ．3y x=C ．5y x=-D ．1y x=（2023·湖南）14．二次函数()2y a x m k =--的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）。

2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：一次函数一．选择题（共10小题）1．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（）A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（2+2，2）2．如图，△ABC顶点坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（1，4），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4B．8C．D．163．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．则过B、C两点直线的解析式为（）A．y＝x+3B．y＝x+3C．y＝x+3D．y＝x+34．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点E，F．将菱形ABCD沿x轴向左平移k个单位，当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的值可能是（）A．2B．3C．4D．55．如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD 是长方形，且AB：AD＝1：2，则k的值是（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．当S△BCD＝时，t的值为（）A．2或2+3B．2或2+3C．3或3+5D．3或3+57．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+D．y＝x+8．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A 坐标是（）A．（，）B．（，11）C．（2，2）D．（，）9．如图，直线AB：y＝﹣x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y 轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转120°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE 长度最小时，线段CD的长为（）A．B．C．2D．510．如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝﹣5与x轴交于点D，直线y＝﹣x﹣与x轴及直线x＝﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．①C（﹣13，0），E（﹣5，﹣3）；②直线AB的解析式为：y＝x+5；③设面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO，则S＝32；④在求面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO时，琪琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，即S＝S△CDE+S四边形ABDO ＝S△AOC”．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为．12．如图，点M是直线y＝2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标．13．如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC＝3．在直线AB上有一点P，若满足∠CPB＞∠ACB，则点P横坐标x的取值范围是．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y ＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝．15．如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为．16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），连结AB，点P是线段AB上的一个动点（包括两端点），直线y＝﹣x上有一动点Q，连结OP，PQ，已知△OPQ的面积为，则点Q的坐标为．17．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为．18．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B、C两点，与直线x＝4交于点D，直线x＝4与x轴交于点A，点M（3，0），点E为直线x＝4上一动点，点F 为直线y＝﹣x﹣1上一动点，ME+EF最小值为，此时点F的坐标为．19．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，∠CPD＝90°，PC＝PD，过点D作线段AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则Q点的坐标是．20．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x 轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是．三．解答题（共10小题）21．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）点，B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P在直线AB的左侧，且∠APB＝45°．（1）求a、b的值；（2）若点P在x轴上，求点P的坐标；（3）若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．23．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x 交于点C．（1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1．①求点C的坐标；②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．24．如图1，已知直线y＝2x+4与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证BE＝DE；（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，a）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图（a），直线l1：y＝kx+b经过点A、B，OA＝OB＝3，直线12：y＝x﹣2交y轴于点C，且与直线l1交于点D，连接OD．（1）求直线11的表达式；（2）求△OCD的面积；（3）如图（b），点P是直线11上的一动点；连接CP交线段OD于点E，当△COE与△DEP的面积相等时，求点P的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线OA相交于点A（3，4）．（1）求点B和点C的坐标；（2）求△OAC的面积；（3）在线段OA或射线AC上是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；（4）若点N是线段OC上一点，若将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在x轴负半轴上的点D处，求BN所在直线的函数关系式．27．如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（﹣2，0），且2OA＝OB．（1）求直线AB解析式；（2）如图，将△AOB向右平移6个单位长度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；（3）求（2）中△AOB扫过的面积．28．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y ＝x+2上任意一点，点T（x，y）是点D和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为；（2）求点T（x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．29．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．30．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB ＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：在y＝﹣x+2中令x＝0，解得：y＝2；令y＝0，解得：x＝2．则OA＝2，OB＝2．∴在直角△ABO中，AB＝＝4，∠BAO＝30°，又∵∠BAB′＝60°，∴∠OAB′＝90°，∴B′的坐标是（2，4）．故选：B．2．【解答】解：如图所示，当△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y＝2x﹣6上，∵C（1，4），∴FD＝CA＝4，将y＝4代入y＝2x﹣6中得：x＝5，即OD＝5，∵A（1，0），即OA＝1，∴AD＝CF＝OD﹣OA＝5﹣1＝4，则线段BC扫过的面积S＝S平行四边形BCFE＝CF•FD＝16．故选：D．3．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+3中，令x＝0得：y＝3；令y＝0，解得x＝4，∴B的坐标是（0，3），A的坐标是（4，0）．如图，作CD⊥x轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO与△CAD中，，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．则C的坐标是（7，4）．设直线BC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴直线BC的解析式是y＝x+3．故选：A．4．【解答】解：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，∵菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，∴CQ＝AQ＝1，CM＝2，即AC＝2AQ＝2，∴C（2，2），当C与M重合时，k＝CM＝2；当C与N重合时，把y＝2代入y＝x+4中得：x＝﹣2，即k＝CN＝CM+MN＝4，∴当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2＜k＜4，则k的值可能是3，故选：B．5．【解答】解：设长方形的AB边的长为a，则BC边的长度为2a，B点的纵坐标是a，把点B的纵坐标代入直线y＝2x的解析式得：x＝，则点B的坐标为（，a），点C的坐标为（+2a，a），把点C的坐标代入y＝kx中得，a＝k（+2a），解得：k＝．故选：B．6．【解答】解：根据题意得：∠BAC＝90°，∴∠CAO+∠BAE＝90°，∵BE⊥x轴，∴∠AEB＝90°＝∠AOC，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠CAO＝∠ABE．∴△CAO∽△ABE．∴＝，∵M是AC的中点，AB＝AM，∴CA＝2AB，∴＝，∴BE＝t，AE＝2．分两种情况：①当0＜t＜8时，如图1所示：S＝CD•BD＝（2+t）（4﹣）＝解得：t1＝t2＝3．②当t＞8时，如图2所示，S＝CD•BD＝（2+t）（﹣4）＝．解得：t1＝3+5，t2＝3﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t＝3或3+5时，S＝；故选：D．7．【解答】解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC ⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB＝3，∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴三角形ABP面积是8÷2+1＝5，∴BP•AB＝5，∴AB＝2.5，∴OA＝3﹣2.5＝0.5，由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）设直线方程为y＝kx+b，则，解得．∴直线l解析式为y＝x+．故选：A．8．【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，∵点M（﹣3，4），∴4＝﹣3k，∴k＝﹣，∵四边形ABCO是正方形，∴直线AC⊥直线OM，∴k′为，∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠AOD+∠COE＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°∴∠COE＝∠OAD，在△COE和△OAD中，∴△COE≌△OAD（AAS），∴CE＝OD，OE＝AD，设A（a，b），则C（﹣b，a），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∴解得m＝，∴＝，整理得，b＝7a，∵正方形面积为128，∴OA2＝128，在RT△AOD中，AD2+OD2＝OA2，即（7a）2+a2＝128，解得，a＝，∴b＝7a＝7×＝，∴A（，），故选：D．9．【解答】解：如图，设D（0，m）．由题意：B（5，0）．在BD的下方作等边三角形△BDQ，延长DQ到M，使得QM＝DQ，连接BM，DE，DE 交BQ于点N，作MH⊥x轴于H．∵△BDQ是等边三角形，∴∠DQB＝∠DBQ＝60°，∵QM＝BQ，∴∠QMB＝∠QBM，∵∠DQB＝∠QMB+∠BQM，∴∠QMB＝∠QBM＝30°，∴∠DBM＝90°，∴BM＝BD，∵∠DBO+∠ODB＝90°，∠DBO+∠MBH＝90°，∴∠MBH＝∠BDO，∵∠DOB＝∠MHB＝90°，∴△DOB∽△BHM，∴＝＝＝，∵OD＝m，OB＝5，∴BH＝m，MH＝5，∴M（5﹣m，﹣5），∵MQ＝DQ，∴Q（，），∵∠DBE＝120°，∴∠DBN＝∠EBN＝60°，∴DE⊥BQ，DN＝NE，QN＝BN，∴N（，），E（，），∴CE2＝（）2+（）2＝m2﹣6m+91，∴当m＝﹣＝3时，CE的值最小，此时D（0，3），∴CD＝＝2，故选：C．10．【解答】解：∵在直线y＝﹣x﹣中，令y＝0，则有0＝﹣x﹣，∴x＝﹣13，∴C（﹣13，0），令x＝﹣5，则有y＝﹣×（﹣5）﹣＝﹣3，∴E（﹣5，﹣3），故①正确；∵点B，E关于x轴对称，∴B（﹣5，3），∵A（0，5），∴设直线AB的解析式为y＝kx+5，∴﹣5k+5＝3，∴k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+5．故②错误；由①知，E（﹣5，﹣3），∴DE＝3，∵C（﹣13，0），∴CD＝﹣5﹣（﹣13）＝8，∴S△CDE＝CD×DE＝12，由题意知，OA＝5，OD＝5，BD＝3，∴S四边形ABDO＝（BD+OA）×OD＝20，∴S＝S△CDE+S四边形ABDO＝12+20＝32，故③正确；④由③知，S＝32，在△AOC中，OA＝5，OC＝13，∴S△AOC＝OA×OC＝32.5，∴S△CDE+S四边形ABDO＝12+20≠S△AOC．故④错误．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．二．填空题（共10小题）11．【解答】解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，∵∠EAB＝∠ABO，∴AE∥OB，∵A（0，8），∴E点纵坐标为8，又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，∴E点坐标为（4，8）；当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，把A、E坐标代入可得，解得，∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，∴C点坐标为（，0），∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，∵B（4，0），∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，∵∠EAB＝∠ABO，∴AC＝BC，∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．方法二：设C（m，0），∵∠ACB＝∠CBA，∴AC＝BC，∴（4﹣m）2＝m2+82，解得m＝﹣6，∴直线AE的解析式为y＝x+8，由，解得．∴E（﹣12，﹣8）．综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．12．【解答】解：当M运动到（﹣1，1）时，ON＝1，MN＝1，∵MN⊥x轴，所以由ON＝MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；又∵当M运动到第三象限时，要MN＝MP，且PM⊥MN，设点M（x，2x+3），则有﹣x＝﹣（2x+3），解得x＝﹣3，所以点P坐标为（0，﹣3）．如若MN为斜边时，则∠ONP＝45°，所以ON＝OP，设点M（x，2x+3），则有﹣x＝﹣（2x+3），化简得﹣2x＝﹣2x﹣3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；又∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P＝M′P，∠M′N′P＝45°，设点M′（x，2x+3），则OP＝ON′，而OP＝M′N′，∴有﹣x＝（2x+3），解得x＝﹣，这时点P的坐标为（0，）．综上，符合条件的点P坐标是（0，0），（0，），（0，﹣3），（0，1）．故答案为：（0，0），（0，1），（0，），（0，﹣3）．13．【解答】解：如图所示：过点P1作P1E⊥x轴于点E，∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC＝3，∴AO＝BO＝1，则BC＝2，AC＝，AB＝，当∠CP1B＝∠ACB时，又∵∠CAB＝∠CAP1，∴△CAB∽△P1AC，∴＝，则＝，解得：AP1＝5，则AE＝P1E＝5，故P1（﹣4，5），当∠CPB＞∠ACB时，则点P横坐标x满足：﹣4＜x，同理可得：当∠CP2B＝∠ACB时，又∵∠ABC＝∠P2BC，∴△CAB∽△P2CB，∴＝，则＝，解得：BP2＝2，可得P2（2，﹣1），故当∠CPB＞∠ACB时，则点P横坐标x满足：2＞x，综上所述：﹣4＜x＜2且x≠0．故答案为：﹣4＜x＜2且x≠0．14．【解答】解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分∴直线必经过正方形的中心∵点B的坐标为（4，4）∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝215．【解答】解：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．∵AB⊥OB，∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，∴四边形EOBF是矩形，∵P（2，2），∴OE＝PE＝BF＝2，∵∠CPD＝90°，∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，∴∠ECP＝∠DPF，在△CPE和△PDF中，，∴△CPE≌△PDF（AAS），∴DF＝PE＝2，∴BD＝BF+DF＝4，∵BD＝4AD，∴AD＝1，AB＝OB＝5，∴CE＝PF＝3，∴D（5，4），C（0，5），设直线CD的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+5，由解得，∴点Q的坐标为（，）．故答案为（，）．16．【解答】解：方法一：∵点Q在直线y＝﹣x上，∴设点Q的坐标为（m，﹣m）．∵点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），∴△AOB为等腰直角三角形，点O（0，0）到AB的距离h＝OA＝．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵点A（0，2），点B（2，0）在直线AB上，∴有，解得．即直线AB的解析式为y＝﹣x+2，∵直线y＝﹣x+2与y＝﹣x平行，∴点P到底OQ的距离为（平行线间距离处处相等）．∵△OPQ的面积S△OPQ＝OQ•h＝OQ＝，∴OQ＝2．由两点间的距离公式可知OQ＝＝2，解得：m＝±，∴点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．故答案为：（，﹣）或（﹣，）．方法二：当P点与A重合时，则△OPQ底OP为2，∵△OPQ的面积为，∴△OPQ的高为，即点Q的横坐标为﹣，∵点Q在直线y＝﹣x上，∴点Q的坐标为（﹣，）；当P点与B重合时，同理可求出点Q的坐标为（，﹣）．综上即可得出点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．17．【解答】方法一：解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A（0，2），B（3，4）代入得：，解得：k＝，b＝2，∴直线AB的解析式为：y＝x+2；∵点B与B′关于直线AP对称，设B′坐标为（a，0）∴线段BB′的中点坐标为（，2）∵线段BB′的中点在直线AP上，且A点坐标为（0，2）∴A点为线段BB′的中点，即A、B、B′三点共线∴AP⊥AB，∴设直线AP的解析式为：y＝﹣x+c，把点A（0，2）代入得：c＝2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．方法二：解：如图，连接AB、AB′∵A（0，2），B（3，4）∴AB＝＝∵点B与B′关于直线AP对称∴AB′＝AB＝，在Rt△AOB′中，B′O＝＝3∴B′点坐标为（﹣3，0）设直线BB′方程为y＝kx+b将B（3，4），B′（﹣3，0）代入得：，解得k＝，b＝2∴直线BB′的解析式为：y＝x+2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y AP＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．18．【解答】解：①如图，作M点关于直线x＝4的对称点M′，然后作M′F⊥直线y＝﹣x﹣1于F，交直线x ＝4于E，此时ME+EF有最小值，最小值为M′F；∵y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B、C两点，令x＝0，可得y＝﹣1，令y＝0，可得x＝﹣2，∴B（﹣2，0），C（0，﹣1），∴OB＝2，OC＝1，∴BC＝＝，∵M（3，0），∴M′（5，0），∴BM′＝5+2＝7，∵M′F⊥直线BC，∴∠BFM′＝90°＝∠BOC，∵∠OBC＝∠FBM′∴△BOC∽△BFM′，∴，即，解得：M′F＝，∴ME+EF的最小值为；②∵直线M′F与直线y＝﹣x﹣1互相垂直，∴直线M′F与直线y＝﹣x﹣1的k互为负倒数，∴设直线M′F的关系式为：y＝2x+b，将M′（5，0），代入y＝2x+b，可得：b＝﹣10，∴直线M′F的关系式为：y＝2x﹣10，将直线y＝2x﹣10与直线y＝﹣x﹣1联立方程组得：，解得：，∴点F的坐标为（，﹣）．故答案为：；（，﹣）．19．【解答】解：解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，∴∠MCP＝∠DPN，∵P（1，1），∴OM＝BN＝1，PM＝1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN＝PM，PN＝CM，∵BD＝2AD，∴设AD＝a，BD＝2a，∵P（1，1），∴BN＝2a﹣1，则2a﹣1＝1，∴a＝1，即BD＝2．∵直线y＝x，∴AB＝OB＝3，∴点D（3，2）∴PC＝PD＝＝＝，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝＝2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入得：k＝﹣，即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，∴组成方程组解得：∴点Q（，），故答案为：（，）．20．【解答】解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，∴A（0，4）；当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，∴C（﹣2，0）．∴OA＝4，OC＝2，∴AC＝＝2．如图所示．过点B作BD⊥x轴于点D．∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，∴∠CAO＝∠BCD．在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，OD＝OC+CD＝6，∴点B的坐标为（﹣6，2）．如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，∵∠AOC＝90°，AC＝2，∴OE＝CE＝AC＝，∵BC⊥AC，BC＝2，∴BE＝＝5，若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5+．若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5+，∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，故答案为：5+．三．解答题（共10小题）21．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线l的表达式为：；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝AB2＝；（3）连接BP，PO，P A，则：①若点P在第一象限时，如图1：∵S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得；②若点P在第四象限时，如图2：∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得a＝﹣3；故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．22．【解答】解：（1）∵a2﹣4a+4+|2a+b|＝0，∴（a﹣2）2+|2a+b|＝0，∴a＝2，b＝4．（2）由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4．∵点P在直线AB的左侧，且在x轴上，∠APB＝45°∴OP＝OB＝4，∴B（4，0）．（3）由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4）∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如图，①当∠ABP＝90°时，∵∠BAP＝45°，∴∠APB＝∠BAP＝45°．∴AB＝PB．过点P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BPC．在△AOB和△BCP中，∠AOB＝∠BCP＝90°，∠ABO＝∠BPC，AB＝PB，∴△AOB≌△BCP（AAS）．∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2．∴OC＝OB﹣BC＝2．∴P（﹣4，2）．②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA于D，同①的方法得，△ADP'≌△BOA（AAS）．∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4．∴OD＝AD﹣OA＝2．∴P'（﹣2，2））．即：满足条件的点P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．23．【解答】解：（1）①由題意，，解得：，所以C（4，4）．②观察图象可知x＞4时，直线AB位于直线OC的下方，即x＞4时，﹣x+10＜x．（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，∵ON平分∠AOC，∴∠AOQ＝∠COQ，又OQ＝OQ．∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，当A、Q、M在同一直銭上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；∴AB⊥ON，∴∠AEO＝∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝6，∵△OAC的面积为9，∴OC•AM＝9，∴AM＝3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．24．【解答】解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OBA+∠QBC＝90°，∴∠OAB＝∠QBC，又∵AB＝BC，∠AOB＝∠Q＝90°，∴△ABO≌△BCQ（AAS），∴BQ＝AO＝4，OQ＝BQ+BO＝6，CQ＝OB＝2，∴C（﹣6，2），由A（0，4），C（﹣6，2）可知，直线AC：y＝x+4；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC＝AD，AB⊥CB，∴BC＝BD，∴△BCH≌△BDF（AAS），∴BF＝BH＝4，∴OF＝OB＝2，∴DG＝OB，∴△BOE≌△DGE（AAS），∴BE＝DE；（3）如图3，直线BC：y＝﹣x﹣1，P（﹣，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y＝x+4知M（﹣12，0），∴BM＝10，则S△BCM＝10．设点N（n，0），则BN＝|n+2|，假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN•y C＝×10，n＝或﹣，故点N的坐标为：（，0）或（﹣，0）．25．【解答】解：（1）OA＝OB＝3，则点A、B的坐标分别为：（3，0）、（0，3），将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线11的表达式为：y＝﹣x+3…①；（2）联立l1、l2的表达式得：，解得：，故点D（2，1）；△OCD的面积＝×OA•y D＝3×1＝；（3）△COE与△DEP的面积相等，则S△CDO＝S△CDE+S△OCE＝S△PED+S△CED＝S△PCD，则点P、O到CD的距离相等，故OP所在的直线与CD平行，则直线OP的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：x＝，则点P（，）．26．【解答】解：（1）设y＝0，则x＝6；设点x＝0，则y＝6，故点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8）；（2）S△OAC＝×CO×x A＝×8×3＝12；（3）存在点M使S△OMC＝S△OAC，设M的坐标为（x，y）；OA的解析式是y＝mx，则3m＝4，解得：，则直线OA的解析式是：，∵当S△OMC＝S△OAC时，即，又∵OC＝8，∴，当M在线段OA上时，x＞0，所以时，y＝1，则M的坐标是；当M在射线上时，则y＝7，则M的坐标是；则y＝9，则M的坐标是，综上所述：M的坐标是：或或；（4）在Rt△OBC中，∠COB＝90°，OB＝6，OC＝8，∴，∵△BCN沿直线BN折叠后，所得三角形为△BDN，∴CN＝DN，BD＝BC＝10，∴OD＝4在Rt△ODN中，设ON＝x，则DN＝8﹣x，∴42+x2＝（8﹣x）2∴x＝3，故点N（0，3），设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0）代入A（6，0），N（0，3）得：，解得，∴直线AM的解析式为．27．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，∵OB＝2OA＝4，∴B（0，4），把A（﹣2，0）和B（0，4）代入y＝kx+b中得：，解得：，∴直线AB解析式为：y＝2x+4；（2）∵∠AOB＝90°，∴∠AO1B1＝90°，由平移得：OO1＝6，O1B1＝OB＝4，由勾股定理得：OB1＝＝2，即线段OB1的长是2；（3）△AOB扫过的面积＝+4×6＝28．28．【解答】解：（1）∵点E是直线y＝x+2上一点，点E的纵坐标是6，∴x+2＝6，解得，x＝4，∴点E的坐标是（4，6），∵点T（x，y）是点D和E的融合点，∴x＝＝，y＝＝2，∴点T的坐标为（，2），故答案为：（，2）；（2）设点E的坐标为（a，a+2），∵点T（x，y）是点D和E的融合点，∴x＝，y＝，解得，a＝3x﹣3，a＝3y﹣2，∴3x﹣3＝3y﹣2，整理得，y＝x﹣；（3）设点E的坐标为（a，a+2），则点T的坐标为（，），当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，∴＝a，解得，a＝，此时点E的坐标为（，），当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，∴＝3，解得，a＝6，此时点E的坐标为（6，8），当∠DTH＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）．29．【解答】解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；（3）点E（4+m，m﹣3），则点E在直线l：y＝x﹣7上，设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，OC是常数，△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y＝﹣x+联立，解得：，故：．30．【解答】解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S△BCD＝BF（x C﹣x D）＝＝4；（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．。