第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.4-4.5

02
大数定律
切比雪夫大数定律
定义
设${X_n}$是独立同分布的随机变量序列，若存在常 数$M$，使得$P( |X_n| > M ) leq frac{1}{n^2}$， 则对任意的$varepsilon > 0$，有$P( left| frac{X_1 + X_2 + cdots + X_n}{n} - E(X_1) right| < varepsilon ) to 1$，当$n to infty$。
相应的概率。
性质
03
数学期望具有可加性和线性性质，即E(aX+b)=a*E(X)+b。
方差
定义
方差是随机变量与其数学期望的差的平方的平均值，表示随机变 量取值与其数学期望的偏离程度。
计算方法
D(X) = Σ[(x-E(X))^2*p(x)]。
性质
方差具有可加性和线性性质，即D(aX+b)=a^2*D(X)。
矩与偏态
定义
矩是描述随机变量取值分布形状的数字特征，包括原点矩和中心矩。偏态是描述随机变量取值分布偏斜程度的数字特 征。
计算方法
原点矩包括原点均方、原点方差等；中心矩包括中心均方、中心方差等。偏态的计算公式为S=Σ[(x-μ)^n*p(x)]/n!，其中 μ为数学期望，n为正整数。
性质
偏态具有可加性和线性性质，即S(aX+b)=a^n*S(X)。
李雅普诺夫定理指出，对于任何正整数 n，如果一个随机变量的所有n阶矩都存 在，则其分布函数可以由其n阶原点矩 确定。
该定理是关于随机变量的数字特征的重要定 理，它表明随机变量的数字特征可以完全描 述其分布。
它对于研究随机变量的性质和分布 具有重要意义。

i1 j1
E(Z ) E(g(X ,Y ))
g(xi , y j ) pij
i1 j1
(2)设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当
g(x, y) f (x, y)dxdy
绝对收敛时，Z的数学期望存在，且
E(Z ) E(g(X ,Y ))
g(x, y) f (x, y)dxdy
此定理说明，在求随机变量X的函数Y=g(X)的期
望时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。
定理4.1.2设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(•,•)是 连续函数。
(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为
P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…
则当 g(xi , y j ) pij 绝对收敛时，Z的数学期望存在，且
解 设Xj为第j组的化验次数，j=1,2,…,10， X为1000人的化验次 数，则Xj的可能取值为1，101，且
Xj
1
101
Pj (99%)100 1-(99%)100
EX j 0.99100 (101)(1 0.99100 )
10
10
E(X ) E( X j ) E(X j )
j 1
第四章 随机变量的数字特征、极限定理
数学期望
几种重要分布的数学期望与方差 矩、协方差和相关系数 分位点、众数与其它数字特征
3.1数学期望
1.数学期望的定义 一、离散型随机变量的数学期望
例3.1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击 中命中环数与次数记录如下：
甲 环数 8 9 10
乙 环数 8 9 10
因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。

随机变量的概率分布完整地描述了随机变量统计规律，但是在实际问题中求得随机变量的概率分布并不容易，而且对某些问题来说，只需知道它的某些特征，我们把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征。

本章主要研究随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等数字特征。

4.1 随机变量的期望4.1.1 离散型随机变量的期望引例10人参加考试，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均分。

【答疑编号：10040101针对该题提问】解：平均分为：从本例看：平均分并不等于60、80、100的平均值80。

这是由于60分出现的机会多于100分，上面方法出现了60分出现的频率多。

100分的频率小，能正确计算平均值。

定义若X的分布律为P（X=x i）=p i，i=1，2…当级数绝对收敛时（即收敛）就说是离散型随机变量X的期望。

记作EX，即说明：（1）若X取值为有限个x1，x2，…，x n则（2）若X取值为可列无限多个x1，x2，…，x n…则这时才要求无穷级数绝对收敛。

很明显，X的期望EX体现随机变量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。

【例4-1】设随机变量X的分布律为求E（X）解E（X）=（-1）×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2【例4-2】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X，Y，它们的分布律分别为试比较他们成绩的好坏。

【答疑编号：10040102针对该题提问】 解 我们分别计算X 和Y 的数学期望： EX=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8（分）。

EY=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1（分）。

这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。

很明显乙的成绩远不如甲。

4.1.2 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。

1.两点分布随机变量X 的分布律为其中＜p ＜1，有 EX=0×（1-p ）+1×p=p 。

k
到最小值．此时得到最好的分组方法．
若 N 1000 ，此时以 k 4 分组，则按第二种方案平均只 需化验
1 4 1000 1 0.9 594 (次 )， 4
这样平均来说，可以减少 40%的工作量．
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§4.1 数学期望
解 : E ( X ) 1 p 0 (1 p ) p ．
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§4.1 数学期望
[ 例 1-3] 设 随 机 变 量 X ~ B (n, p ) ， 求 E ( X ) ．
解 由于随机变量 X 只取有限个值，所以 E ( X ) 一定存 在．而
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§4.1 数学期望
解 各人的血呈阴性反应的概率为 q 1 p ．因而 k 个人的混合血
k k q 1 q 呈阴性反应的概率为 ，而呈阳性反应的概率为 ．
设以 k 个人为一组时，组内每人化验的次数为 X ，则 X 是 一个随机变量，其分布律为
X
pk
1 x k p k ( 1) ln 2 虽然有 ，但是随机变量 X 的数学期 k k 1 k 1
k
望是不存在的．因为
| x k p k |
k 1

1 ． k 1 k

[例 1-1] 常数 C 数学期望等于它本身，即随机变量 X 是单点分 布， X C 的概率为 1，则 E (C ) C ． [ 例 1-2] 设 随 机 变 量 X 服 从 (0-1) 分 布 ， 求 E ( X ) ．
b
[ 例 1-7]
设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，求 E(X ) ．