考点测试8 二次函数与幂函数
高考概览
高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度
考纲研读
1．了解幂函数的概念
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12的图象，了解它们的变化情况
3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质
4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题
一、基础小题
1．若二次函数y＝2x2＋bx＋c关于y轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为( )
A．y＝2x2＋x＋3 B．y＝2x2＋3
C．y＝2x2＋x－3 D．y＝2x2－3
答案 B
解析 由题可知函数y＝f(x)为偶函数，则b＝0．又过点(0，3)，则c＝3，故解析式为y＝2x2＋3．故选B．
2．若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则f(8)的值为( )
A．4 B．2 C．22 D．1
答案 C
解析 设f(x)＝xα，由条件知f(4)＝2，所以2＝4α，α＝12，所以f(x)＝x12，f(8)＝812＝22．故选C．
3．已知函数f(x)＝x2－2x＋m，若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则fx1＋x22的值为( )
A．1 B．2 C．m－1 D．m
答案 C
解析 由题意知，函数的对称轴为直线x＝x1＋x22＝1，所以fx1＋x22＝f(1)＝m－1．故选C．
4．函数f(x)＝－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是( )
A．[－20，4] B．(－20，4)
C．－20，92 D．－20，92
答案 C
解析 由函数f(x)＝－2x2＋6x可知，该二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝32，当－2≤x<32时，函数f(x)单调递增，当32≤x≤2时，函数f(x)单调递减，
∴f(x)max＝f32＝－2×94＋6×32＝92，f(x)min＝min{f(－2)，f(2)}，又f(－2)＝－8－12＝－20，f(2)＝－8＋12＝4，∴函数f(x)的值域为－20，92，故选C．
第4节 幂函数与二次函数
最新考纲 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a
对称轴 x＝－b2a
顶点坐标 －b2a，4ac－b24a
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在－∞，－b2a上是减函数；
在－b2a，＋∞上是增函数 在－∞，－b2a上是增函数；
在－b2a，＋∞上是减函数
[微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a>0，Δ<0时恒有f(x)>0，当a<0，Δ<0时，恒有f(x)<0.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
第三节 幂函数与二次函数的性质
A组
1．若a>1且01的解集为________．
2．(2010年广东广州质检)下列图象中，表示y＝x32的是________．
3．(2010年江苏海门质检)若x∈(0,1)，则下列结论正确的是__________．
①2x>x21>lgx ②2x>lgx>x21 ③x21>2x>lgx ④lgx>x21>2x
4．(2010年东北三省模拟)函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝__________.
5．(原创题)方程x12＝logsin1x的实根个数是__________．
6．(2009年高考江苏卷)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；
(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．
B组
1．(2010年江苏无锡模拟)幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－18)，则满足f(x)＝27的x的值是__________．
2．(2010年安徽蚌埠质检)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x 1 12
f(x) 1 22
则不等式f(|x|)≤2的解集是__________．
3．(2010年广东江门质检)设k∈R，函数f(x)＝ 1x(x>0)，ex(x≤0)，F(x)＝f(x)＋kx，x∈R.当k＝1时，F(x)的值域为__________．
4．设函数f(x)＝ －2 (x>0)，x2＋bx＋c (x≤0)，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为__________． 5．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝ x2＋4x， x≥0，4x－x2， x<0.若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是__________．
1 二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.
(2)图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a
单调性 在－∞，－b2a上单调递减；
在－b2a，＋∞上单调递增 在－∞，－b2a上单调递增；
在－b2a，＋∞上单调递减 2 对称性
函数的图象关于x＝－b2a对称
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x12是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(
)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )
(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
(教材习题改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
