高一数学(必修1)专题复习二函数的图像变换

（专题一）函数图像变换

函数图像画法的基本原理变换作图法

1 平移

)()(axfyxfy 方法：向右平移a个单位长度

bxfyxfy)()( 方法：向上平移b个单位长度

2 对称

)()(xfyxfy （关于y轴对称）

)()(xfyxfy （关于x轴对称）

)()(xfyxfy （关于原点对称）

3 其他

)()(xfyxfy 先画)(xfy图，保留x轴上方部分，再把x轴下方图沿x轴对折到上方

)()(xfyxfy 先画)(xfy图，保留y轴右方图像，再把y轴右方图像沿y轴对折

典型题型

1 做出822xxy的图像

变式练习，当m为怎样的实数时，方程822xxm有四个互不相等的实数根，三个互不相等的实数根，二个互不相等的实数根，没有实数根？

2 作出542xxy的图像

变式练习，当m为怎样的实数时，方程542xxm有四个互不相等的实数根，三个互不相等的实数根，二个互不相等的实数根，没有实数根？

直线1y与曲线axxy2有四个交点，求a的取值范围

有关双绝对值的图像问题（方法零点分段法）

典型题型

3 作出21xxy图像

通过作出图像观察值域可以得到,3

然后可以得到一个重要结论

babxax

变式练习

如果mxx23恒成立，求m的取值范围

4作出21xxy图像

通过作出图像观察值域可以得到3,3

然后可以得到一个重要结论

babxaxba

（1）如果mxx23恒成立，求m的取值范围

（2）如果mxx23解集是空集，求m的取值范围

典型习题

已知函数)1(2)(xxxf

（1） 作出)(xf的图像判断关于x的方程)1(2xxa的解的个数 函数图像变换习题

试讨论方程 |x2－x＋3|＝a的解的个数(a∈R).

高一数学函数图像知识点总结

一、函数图像知识点汇总

1．函数图象的变换

(1)平移变换

①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．

②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．

(2)对称变换

①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．

②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．

③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．

由对称变换可利用y＝f(x)的图象得到y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象．

①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；

②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．

(3)伸缩变换

①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)或缩(a＜1时)到原来的a倍，横坐标不变．

②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)或缩(a＞1时)到原来的倍，纵坐标不变．

(4)翻折变换

①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；

②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．

2．等价变换

可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图．

3．描点法作图

方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．

注意：

全国名校高一数学寒假优质学案、专题汇编（附详解）

1 函数图像的变换

一、知识梳理

1.水平平移：

函数)(axfy的图像是将函数)(xfy的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移a个单位得到.称之为函数图象的左、右平移变换.

2.竖直平移：

函数axfy)(的图像是将函数)(xfy的图像沿y轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移a个单位得到.称之为函数图象的上、下平移变换.

3.要作函数)(xfy的图象，只需将函数)(xfy的图象y轴右侧的部分对称到y轴左侧去，而y轴左侧的原来图象消失.称之为关于y轴的右到左对称变换（简称去左翻右）.

4.要作函数)(xfy的图象，只需将函数)(xfy的图象x轴下方的部分对折到x轴上方即可.叫做关于x轴的下部折上变换（简称去下翻上）.

5.要作)(xfy的图象，只需将函数)(xfy的图象以y轴为对折线，把ｙ轴右侧的部分折到y轴左侧去.同时，将y轴左侧的部分折到y轴右侧去.叫做关于y轴的翻转变换.

6.要作函数)(xfy的图象，只需将函数)(xfy的图象以x轴为对折线，把x轴上方的图形折到x轴下方去，同时又把x轴下方的图象折到x轴上方去即可.叫做关于x轴的翻转变换. 全国名校高一数学寒假优质学案、专题汇编（附详解）

2 7.要作函数)(axfy（a＞0）的图象，只需将函数)(xfy图象上所有点的横坐标缩短（a＞1）或伸长（0＜a＜1）到原来的a1倍（纵坐标不变）即可（若a＜0，还得同时进行关于y轴的翻转变换.这种变换叫做函数图象的横向伸缩变换.

8.要作函数)(xAfy（Ａ＞0）的图象，只需将函数)(xfy图象上所有点的纵坐标伸长（Ａ＞1）或缩短（0＜Ａ＜1）到原来的Ａ倍（横坐标不变）即可.这种变换叫做函数图象的纵向伸缩变换（若Ａ＜0，还要再进行关于x轴的翻转变换）.

9.要作函数)(xafy的图象，只需将函数)(xfy的图象发生关于直线x＝2a的翻转变换即可.

专题函数图象及其变换

考点精要

1. 理解指数函数的概念、图彖及性质.

2 •理解对数函数的概念图象和性质.

1 1

3•理解幕函数y三X, y=x2, y三？，尸一，y = x2的图象及其性质. x

4.掌握一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数的图象及其性质. 5•理解图象的平移变换、伸缩变换、对称变换.

热点分析

函数的图象是函数的一种重要表示方法，利用函数的图像可以帮助我们更好 地理解函数的重要性质.基本初等函数的图像及其变换，是考查的热点；利用变 换作图，也是考查的重点，利用形数结合的数学思想解题，看图想性质，数形转 化灵活解题.

知识梳理

函数的图象及其变换 基础矢口识・

1. 图W：就是用函数图象表示两个变量之间的关系 优点：能直观形象地表示出函数的变化情况.

体现：映射与反演、形数结合的数学思想.

2. 基本初等函数图象

y=xn y=a^ y=\og（lx y=siru: y=cos^ }?=taiLv 初等函数图像：

y=kx y=kx+b y=aX1-^-bx+c y = - y = ax+ - x x

3. 作图基本方法

（1） 利用描点法作图：

① 确定函数的定义域：图象沿兀轴展布范围及渐近线；

② 化简函数解析式：等价变形；

③ 讨论函数的性质：

奇偶性：关于图象对称性

单调性：关于图象升降性

周期性：关于图象重要性

极值、最值：关于图象最高点、最低点

截距：与x轴、y轴交点坐标

④ 画出函数的图象

（2） 利用基本初等函数的图象的变换作图：

① 平移变换

y=f（^ >y=f（皿

尸/⑴忌■驟〉y=f M

② 伸（放）缩变换：

③ 对称变换:

y=f (x) ——―> y= -f (x)

y-f (x) ―> y-f (-x)

冃(x) 冃(x)

y=f (兀)

y=f(^)

待三角函数的复习屮再集屮进行研究.

例题精讲：

例I作出函数尸欝的图像，并指出函数的单调区间，图象的对称中心.