高一必修一 函数图像及其应用

第五讲 函数的表示方法1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。

例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x =≥等等都是用解析式表示函数关系的。

特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。

中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。

解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。

2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。

例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。

我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

这种表格常常应用到实际生产和生活中。

列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。

3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。

例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。

特别提醒：图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。

图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。

二、函数图像：1、判断一个图像是不是函数图像的方法：要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x 轴垂直的直线，当该直线保持与x 轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。

第九讲函数图像及其应用 题型一：平移问题例1.将函数)3lg ()(x x f -=的图像向左平移3个单位得到的函数)(x g 为_______________练习为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象()A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度 练习为了得到函数3lg 10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点() A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 练习若函数)0)(1(>+-=a b a y x 的图像经过第一、三、四象限，则一定有()A.11>>b a 且B.010<<<b a 且C.010><<b a 且 D.01>>b a 且题型二：翻折问题 例2.作出下列函数图像. ⑴1-=xy ⑵342+-=x x y ⑶342+-=x x y⑷||2x y = ⑸|2|21+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y ⑹()1lg -==x x f y题型三：对称问题)(x f y =)(x f y -=)(x f y -=_______；)(x f y =的象是______；)(x f y =的图象是_______.题型四：数形结合问题例4.已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是)(A.(1,)+∞B.[1,)+∞C.(2,)+∞D.[2,)+∞练习下列区间中，函数)2ln()(x x f -=在其上为增函数的是)(A.]1,(-∞B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,1C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,0 D.[)2,1练习函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤<=10,621100|,lg |)(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是_______ 例5.函数2)(--=x e x f x 有______个零点练习方程x x 3|)4(log |2=+的实根个数为__________个.例6.若m x f x -=--12)(有零点,则实数m 的取值范围是_______练习直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 例7.用{}b a ,min 表示a,b 两数中的最小值,若函数{}|||,|min )(t x x x f +=的图像关于直线x=12-对称,则t=)(选做：例1.对于定义域为D 的函数()y f x =，同时满足下列条件：①()f x 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆,使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么把()()y f x x D =∈叫闭函数.若2++=x k y 是闭函数，则常数k 是的取值范围_________。

第1页共7页函数)0(a x ax y 的图像、性质及其应用在高中数学中，我们常常会碰到形如“)0(a x ax y ”的函数，我们称这样的函数为“双勾函数”。

“双勾函数”是重要的函数之一，它的性质及图象有十分鲜明的特征和规律性，在实际问题中有着广泛的应用。

考虑到上海版高一数学新教材对这类函数的图像与性质的处理比较零星分散，为了帮助学生较系统地掌握这个知识点，同时进一步巩固学生研究函数的方法，提高学生自主探究数学问题的能力，故设计并实施了本节课教学的进程，提出了本课例的教学反思. 一、案例背景：本节课安排在《函数》一章中，前有《二次函数在给定区间上的最值问题》作知识准备，后为学习《幂、指、对函数的图象和性质》作铺垫，有承上启下的作用。

本节课的教学目标是掌握函数)0(a x ax y 的图像和性质；初步应用函数)0(a x ax y 的图像和性质解决函数的最值；并在师生共同运用已学知识研究新知识的过程中，有机渗透数形结合、分类讨论、转化的数学思想，培养学生探究数学问题的意识与能力. 二、教学设计思路：三、教学过程：（一）知识引入阶段师：前段时间，我们学习了函数的概念、性质，并研究了“二次函数在给定区间上的最值问题”。

今天，我们将研究一类新的函数。

现在，先请大家解决下面这个问题. 问题：求函数)0(1x x x y 的最值；若求它在3,2x 上的最值呢？生1：由基本不等式求得函数的最小值是2，无最大值.研究x x y 1的图像性质应用)0(a x a x y 的图像性质求最值归纳)0(a x ax y 的图像性质拓展)0,0(b a x bax y 的图像性质。

对数函数图象的应用对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质.为研究它的数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径.能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想.一、求函数的单调区间例1画出函数y ＝log 2x 2的图像，并根据图像指出它的单调区间.解析：当x≠0时，函数y ＝log 2x 2满足f(－x)＝log 2(－x)2＝log 2x 2＝f(x)，所以y ＝log 2x 2是偶函数，它的图象关于y 轴对称.当x ＞0时，y ＝log 2x 2＝2log 2x ，因此先画出y ＝2log 2x ，(x ＞0)的图象为c 1，再作出c 1关于y 轴对称c 2，c 1与c 2构成函数y ＝log 2x 2的图像，如图：由图象可以知道函数y ＝log 2x 2的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞).点评：作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题是.作图主要有两种方法：描点法、图象变换法，本题采用的是图象变法中的对称变换.二、利用图像求参数的值例2若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a ＞0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于()A.13B. 2C.22D.2 解析：当a ＞1时，f(x)＝log a (x ＋1)的图象如图所示，f(x)在[0,1]上是单调增函数，且值域为[0,1]，所以f(1)＝1，即log a (1＋1)＝1，所以a ＝2，当0＜a ＜1时，其图象与题意不符，故a 的值为2，故选D.点评：①本题在作图可以利用平移法；②当对数的底数不确定时要注意讨论；③注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域).三、利用图像比较实数的大小例3已知log m 2＜log n 2，m ，n ＞1，试确定实数m 和n 的大小关系.解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝log m x 与y ＝log n x 的图象，再作x ＝2的直线，可得m ＞n.点评：不同底的对数函数图象的规律是：①底都大于1时，底大图低（即在x ＞1的部分底越大图象就越接近x 轴）②底都小于1时，底大图高（即在0＜x ＜1的部分底越大图象就越远离x 轴）四、利用图像解有关的不等式例4解关于x 的不等式log 2(x ＋6)＜x ＋1解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝log 2(x ＋6)与y ＝x ＋1的图象，如图，两图象交点的横坐标为2，所以原不等式的解集为{x|x ＞2}点评：利用函数图象解不等式的基本方法是将不等式等价转化为不等式两端为相应的两个比较熟悉的基本函数形式，再将不等式两端对应的函数分别在同一坐标系中画出，然后把握一个原则：上方的图象上的点对应的函数值大于下方图象对应点的函数值，从而可解得不等式.五、利用图像判断方程根的个数例5已知关于x 的的方程|log 3x|＝a ，讨论a 的值来确定方程根的个数.解：因为y ＝|log 3x|⎩⎨⎧ log 3x (x ＞1)－log 3x (0＜x ＜1)，在同一直角坐标系中作出函数与y ＝a 的图象，如图可知：①当a ＜0时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；②当a ＝0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；③当a ＞0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。