2018年必修一-函数图象地平移和翻折

高一数学必修一函数图像知识点总结高一数学必修一函数图像知识点总结高中数学因为知识点多，好多同学听课能听懂，但是做题却不会。

因此，经常性的复习是巩固数学知识点的很好的途径。

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高一数学必修一函数图像知识点总结 1知识点总结：本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。

函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。

所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。

一、函数的单调性1、函数单调性的定义2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法(4)图象法二、函数的奇偶性和周期性1、函数的奇偶性和周期性的定义2、函数的奇偶性的判定和证明方法3、函数的周期性的判定方法三、函数的图象1、函数图象的作法(1)描点法(2)图象变换法2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。

选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。

在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。

多考查函数的单调性、最值和图象等。

误区提醒1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。

3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。

4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。

5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

高一数学必修一函数图像知识点总结 2一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2;6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

高中数学函数图象的简单变换知识点总结高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。

一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到；1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。

②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。

1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。

【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。

二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象如：（i）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到；②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =-的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--=2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。

教学课题 第8讲人教版必修1第二章 函数的图像教学目标 知识目标：1、掌握描点作图；2、理解图像的变换规律；能力目标：通过函数的图像培养学生数形结合的能力，锻炼学生数学理性思维。

教学重点与难点重点：图像的平移和变换难点：对图像的平移和变换的基本技巧教学过程 课堂导学 知识点梳理1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )―――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )――――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ⑥y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)伸缩变换①y=f (x ) ――――――――――――――――――――→a>1，横坐标伸长为原来的a 倍，纵坐标不变0<a<1，横坐标缩短为原来的a 倍，纵坐标不变 y ＝f (ax ). ②y ＝f (x )――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )．答案 C5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的范围是 ．答案 (0,1]解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1. 考题分类【考点1】作函数图像★例1 作出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝x ＋2x －1；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1，作出图象如图1.(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1 (x <0).图象如图3.引申探究作函数y ＝|x 2－2x －1|的图象．解 y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1 (x ≥1＋2或x ≤1－2)－x 2＋2x ＋1 (1－2<x <1＋2)如下图点评 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋mx (m >0)的函数是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程．式训练1 作出下列函数的图象．(1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝x ＋2x ＋3.解 (1)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝(x －12)2－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－(x －12)2＋94.∴y ＝⎩⎨⎧(x －12)2－94，x ≥2，－(x －12)2＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x 向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如下图所示． 【考点2】识图与辨图例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()式训练3 已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4. f (x )的图象如图所示． (3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)由图象可知，f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4，∴由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)． 典型例题分析3．高考中的函数图象及应用问题一、已知函数解析式确定函数图象典例 (2015·北京海淀区期中测试)函数f (x )＝2x ＋sin x 的部分图象可能是( )思维点拨 从y ＝f (x )的图象可先得到y ＝－f (x )的图象，再得y ＝－f (x ＋1)的图象．解析 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确． 答案 C温馨提醒 (1)对图象的变换问题，从f (x )到f (ax ＋b )，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定． 三、函数图象的应用典例：(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 思维点拨 (1)画出函数f (x )的图象观察．(2)利用函数f (x )，g (x )图象的位置确定a 的范围． 解析 (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察得到，f (x )为奇函数，递减区间是(－1,1)． (2)如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案 (1)C (2)[－1，＋∞)温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2} 答案 C解析 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 6.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是．答案 (2,8]解析 当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]．7．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ． 答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值， f (4)＝6.8．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |， x ≠0，1， x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝ . 答案 0解析 方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，∴x 1＋x 2＋x 3＝0.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)9．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )答案 C解析由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以log12f(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y＝log12f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知，选C.10．(2015·安徽)函数f(x)＝ax＋b(x＋c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是() A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<0答案 C。

(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。

（工 W R ）7Tcos 卯=。

=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。

5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。

函数的图像(1)平移变换①水平平移：y ＝f (x )的图象向左平移a (a ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x －a )(a ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移a 个单位长度而得到．②竖直平移：y ＝f (x )的图象向上平移b (b ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x )－b (b ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移b 个单位长度而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”． (2)对称变换①y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )三个函数的图象与y ＝f (x )的图象分别关于 、 、 对称；②若对定义域内的一切x 均有f (m ＋x )＝f (m －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线 对称． (3)伸缩变换①要得到y ＝Af (x )(A >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的纵坐标伸(A >1时)或缩(A <1时)到原来的__________；②要得到y ＝f (ax )(a >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a <1时)或缩(a >1时)到原来的__________．(4)翻折变换①y ＝|f (x )|的图象作法：作出y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，上方的部分不变；②y ＝f (|x |)的图象作法：作出y ＝f (x )在y 轴右边的图象，以y 轴为对称轴将其翻折到左边得y ＝f (|x |)在y 轴左边的图象，右边的部分不变．（5）有关对称①类奇函数 ②类偶函数 y=f(x)关于（a,0）对称 y=f(x)关于x=a 对称⟺y=f(x+a)为奇函数 ⟺y=f(x+a)为偶函数 ⟺f(a+x)= -f(a-x) ⟺f(a+x)= f(a-x) ⟺f(x)=-f(2a-x) ⟺f(x)= f(2a-x)③对于函数)(x f y =(R x ∈),()()f a+x f b -x =恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数()f a+x 与)(x b f y -= 的图象关于直线x=2b a- 对称. ④对于函数)(x f y =(R x ∈), ()()f a+x f b -x =-恒成立,则函数)(x f 的对称中心是（2a b +，0），两个函数()f a+x 与()y f b -x =-的图象关于直线（2b a -，0）对称.练习题1.函数y ＝1－1x －1的图象是( )2.为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度3.若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1，1)对称，则实数a ＝________4．(2013·北京)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1D ．e－x －15.若将函数y ＝f (x )的图象向左平移2个单位，再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则f (x )＝________.6.下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图像重合的函数是( )A.y ＝2xB.y ＝log 12x C.y ＝4x2D.y ＝log 21x＋17．把函数y ＝log 2(x －1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的函数式为( )A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝log 2(2x ＋2)C ．y ＝log 2(2x －1)D ．y ＝log 2(2x －2)8.（1）已知函数)(x f 是R 上的增函数，A(0 ，-1) ，B （3，1）是其图象上的两点，那么|)1( x f |<1的解集的补集是（ ）A ．（-1 ，2）B ．（1 ，4）C ．（-∞，-1）∪[4 ，+∞)D ．（-∞，-1] ∪[2 ，+∞)（2）. 若直线y=2a 与函数y=|a x -1|（a ＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是______．9．已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2c D ．1＜2a ＋2c ＜210.已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数可能为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)11..已知a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( )12. 若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域R ，如方程)(,)(R k k x f ∈=最多只有两个根，则实数a 、b 、c 满足（ ）A ．,042≥-ac b B ．042≤-ac b C ．,02b c R a∈-≥ D ．,2bc R a ∈-≤0 13．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m14．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．15.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，则函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点个数最多时，所有零点之和为 ．16、已知函数满足，关于轴对称，当时，，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 17.(2015·安徽)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜018.已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________．19．已知y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象如右图：则F(x)＝f(x)·g(x)的图象可能是下图中的( )20．(2013·四川)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )()f x )2()2(-=+x f x f (2)y f x =-y )2,0(∈x 22()log f x x =(4.5)(7)(6.5)f f f <<(7)(4.5)(6.5)f f f <<(7)(6.5)(4.5)f f f <<(4.5)(6.5)(7)f f f <<21.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数f(|x|)的图像大致是()log x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像22.(湖南高考题)函数y＝ax2＋bx与y＝ba可能是()答案 D23．(2016·全国乙卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()24.已知函数21(0)2x f(x)x e x =+-< 与2()ln()g x x x+a =+的图象上存在关于y 轴对称的点 ，则a 的取值范围（ ）A ． 1(,)e -∞ B ．(,)e -∞ C ．1(,)e e- D ．1(,)e e - 25.关于x 的方程x ＋lgx ＝3，x ＋10x ＝3的根分别为α，β，则α＋β是( ) A.3 B.4 C.5D.626.（1）若不等式2x －log a x<0在x ∈(0，12)时恒成立，则实数a 的取值范围是（2） 当时，不等式（其中且）恒成立，则的取值范围为A. B. C. D.（3）当1(0,)2x ∈时，不等式4log xa x <恒成立，则实数a 的取值范围是27.(海南高考题)用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值.设f(x)＝min{2x ，x ＋2，10－x}(x ≥0)，则f(x)的最大值为( )A.4B.5C.6D.728. 设表示三者中较小的一个，若函数，则当时，的值域是（ ） A. B.C.D.。

必修一函数)(x f y 图象变换（教师版）教学目标1．掌握绘制函数图象的一般方法． 2．掌握函数图象变化的一般规律． 3．能利用函数图象研究函数的性质．解题指导：1．画函数图象的一般步骤是： （1）确定函数的定义域；（2）化简函数的表达式（如含绝对值的函数应化成分段函数）；（3）讨论函数的图象性质（如奇偶性、单调性、周期性等图象特征及图象上特殊点位置等）；（4）利用基本函数画出所需的图象．2．函数图象形象地显示函数性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．应当重视数形结合解题的思想方法．3．函数图象变换主要有：平移、伸缩、对称三种基本变换：一．平移变换个单位b 个单位向左平移a 个单位向右a 平移个单位y=f x ()y=f x+a ()y=f x ()-by=f x ()+b y=f x-a ()二．对称变换①y ＝f （－x ）与y ＝f （x ）关于y 轴对称； ②y ＝－f （x ）与y ＝f （x ）关于x 轴对称； ③y ＝－f （－x ）与y ＝f （x ）关于原点对称；④y ＝f －1（x ）与y ＝f （x ）关于直线y ＝x 对称；⑤y ＝|f （x ）|的图象可将y ＝f （x ）的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变． ⑥y ＝f （|x |）的图象：可将y ＝f （x ），x ≥0的部分作出，再利用偶函数关于y 轴的对称性．三、伸缩变换①y ＝Af （x ）（A ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）图象上每一点的纵坐标伸（A ＞1）缩（0＜A ＜1）到原来的A 倍，横坐标不变而得到． ②y ＝f （ax ）（a ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a ＜1）缩（a ＞1）到原来的a1，纵坐标不变而得到． 四、函数及图象(大致图象)典型例题精讲例1：已知y ＝f （x ）的图象如图2—7所示，则下列式子中能作为f （x ）的解析式是（A）A ．1||22+-x x B ．x 2－2|x |＋1 C ．|x 2－1| D ．122+-x x解析：当f （x ）＝1||22+-x x 时， =-=-=|1|||)1|(|)(2x x x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<≤-+<≤-≥-)1( )1()01(1)10( 1)1(1x x x x x x x x其图象恰好是上图．例2：画出函数y ＝lg|x ＋1|的图象．解析：y ＝lg|x ＋1|⎩⎨⎧-<--->+=)1( )1lg()1( )1lg(x x x x ．例3：要将函数y ＝12--x x 的图象通过平移变换得到y ＝x1的图象，需经过怎样的变换？解析：y ＝11-x －1，先沿x 轴方向向左平移1个单位，再沿y 轴方向向上平移1个单位，即可得到y ＝x1的图象． 例4：方程kx ＝2)2(1--x 有两个不相等的实根，求实数k 的取值范围．解析：设y 1＝kx①y 2＝2)2(1--x②方程①表示过原点的直线，方程②表示半圆，其圆心（2，0），半径为1，如图2—9．易知当OA 与半圆相切时，33=OA k ，故当0≤k ＜33时，直线与半圆有两个交点，即0≤k ＜33时，原方程有两个不相等的实根．例5：作函数f （x ）＝x ＋x1的图象．分析：f （x ）＝x ＋x1不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f （x ）的性质进行研究．解析：函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），∵f （－x ）＝－f （x ），∴f （x ）是（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数， 又|f （x ）|＝|x ＋x1|＝|x |＋||1x ≥2，当且仅当|x |＝1时等号成立，∴当x >0时y ≥2；当x <0时，y ≤－2；当x ∈（0，1）时函数为减函数，且急剧递减；当x ∈［1，＋∞）时函数为增函数，且缓慢递增，又x ≠0，y ≠0，∴图象与坐标轴无交点，且y 轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象， 再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图2—10所示．评述：（1）熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性．（2）与图象有关的“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量的作用．例6：f（x）是定义在区间［－c，c］上的奇函数，其图象如图所示．令g（x）＝af（x）＋b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（B）A．若a<0，则函数g（x）的图象关于原点对称B．若a＝－1，－2<b<0，则方程g（x）＝0有大于2的实根C．若a≠0，b＝2，则方程g（x）＝0有两个实根D．若a≥1，b<2，则方程g（x）＝0有三个实根解析：将f（x）图象上每点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，再将所得图象向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位，得g（x）＝af（x）＋b的图象．例6：(2007．全国Ⅱ)把函数y＝ex的图象按向量a＝(2，3)平移，得到y＝f(x)的图象，则f(x)＝ ( C )(A)e x－3＋2 (B)e x＋3－2 (C)e x－2＋3 (D)e x＋2－3例7：(2008·菏泽模拟)如图为函数y＝m＋logx的图象，其中m，nn为常数，则下列结论正确的是 ( D )(A)m<0，n>1 (B)m>O，n>l (C)m>O，0<n<1 (D)m<0，0<n<1例8：(2008．安庆模拟)函数y ＝e －｜x －1｜的图象大致是( D )例9：在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x ＝0，y＝0，2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（B）A ．95B ．91C ．88D ．75解析：画出图象，补形做出长方形AOBC ，共有整点数11×16＝176，而六点（0，10），（3，8），（6，6），（9，4），（12，2），（15，0）在长方形的对角线上，所以符合题意的点数为（176＋6）×21＝91．例10：将函数y ＝log21x 的图象沿x 轴方向向右平移一个单位，得到图象C ，图象C 1与C 关于原点对称，图象C 2与C 1关于直线y ＝x 对称，那么C 2对应的函数解析式是_____．解析：C :y ＝log21（x －1）；由－y ＝log 21（－x －1）得C 1:y ＝log 2（－x －1）；求C 1的反函数得y ＝－1－2x ．例11：若函数y ＝｜－x 2＋4x －3｜的图象C 与直线y ＝kx 相交于点M （2，1），那么曲线C 与该直线有 个交点．解析：（数形结合法）作y ＝｜－x 2＋4x －3｜的图象，知其顶点在M （2，1）．过原点与点M （2，1）作直线y ＝kx ，如图．∴曲线C 与直线y ＝kx 有四个交点．例12：作函数y＝（21）|x －1|的图象．解析:（1）y ＝⎩⎨⎧<≥---).1( 2),1( 21)1(x x x x 故它在区间［1，＋∞）上的图象，可由y ＝2－x （x ≥0）的图象沿x 轴方向向右平移1个单位得到在区间（－∞，1）上的图象，可由y ＝2x （x <0）的图象沿x 轴方向向右平移1个单位得到．例13：已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ）满足f （a ＋x ）＝f （a －x ），求证y ＝f（x ）的图象关于直线x ＝a 对称．证明:设p （x 0，y 0）是y ＝f （x ）图象上的任一点，则有y 0＝f （x 0），设点P 关于直线x ＝a 的对称点为p ′（x ′，y ′），则有⎩⎨⎧='-='002y y x a x ，即⎩⎨⎧'='-=y y x a x 002 由y 0＝f （x 0）⎭⎬⎫-=+'-+='-='⇒)()()]([)2(x a f x a f x a a f x a f y 又⇒ y ′＝f ［a －（a －x ′）］＝f （x ′）． 即点p ′（x ′，y ′）也在y ＝f （x ）的图象上．∴y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝a 对称．例14：画出函数y ＝12+x 的图象，并利用此图象判定方程12+x ＝x ＋a有两个不同的实数解时，实数a 所满足的条件．解析：图象是抛物线y 2＝2x ＋1在y ≥0上的部分．把y ＝x ＋a 代入y 2＝2x ＋1，得（x ＋a ）2＝2x ＋1，即x 2＋2（a －1）x ＋a 2－1＝0，由Δ＝0得a ＝1， 此时直线与抛物线相切．又因抛物线顶点是（－21，0）， 可知当直线过点（－21，0）时，即a ＝21时直线与抛物线有两交点， 故当21≤a ＜1时直线与此抛物线有两个交点，即原方程有两不同实数解．学生训练1．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象是（A）2．若函数f （x －1）＝x 2－2x ＋3（x ≤1）则函数f －1（x ）的草图是（C）解析：f （x －1）＝（x －1）2＋2①⇒f （x ）＝x 2＋2②又∵①式中x ≤1，∴x －1≤0，故②式中函数自变量x ≤0，由②式得：x ＝－2-y ，即f －1（x ）＝－2-x （x ≥2）． 3．已知函数f （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋ｄ的图象如图2—6，则（A）A ．b ∈（－∞，0）B ．b ∈（0，1）C ．b ∈（1，2）D ．b ∈（2，＋∞）解析：由题知f （x ）＝0有三个根0，1，2．∴f （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝ax （x －1）（x －2）＝ax 3－3ax 2＋2ax ． ∴b ＝－3a ，∵a ＞0，∴b ＜0．4．若函数y ＝f （x ）的图象过点（1，0），则它的反函数的图象必经过点_____．解析：点（1，0）关于直线y ＝x 的对称点是（0，1）．5．要得到y ＝lg （3－x ）的图象，只需作y ＝lg x 关于_____轴对称的图象，再向_____平移3个单位而得到．解析：由y ＝lg x 的图象关于y 轴对称得y ＝lg （－x ）的图象，要得y ＝lg （3－x ）即y ＝lg ［－（x －3）］的图象， 需将y ＝lg （－x ）的图象向右平移3个单位．。

函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。

以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。

同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。

沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。

同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。

据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。