S13Stat05 Hypothesis Testing I concept

冯胜群 湖北大学商学院 Spring2013《统计学》05推断统计基础（二）——假设检验III两总体均值之差的检验 - 17 - S13Stat05 Hypothesis Testing 第五章 推断统计基础（二）——假设检验 第一节 假设检验基本原理 一、假设检验的一般含义 1、统计假设 （1）Def.简称假设，指对总体未知状况的某种陈述。 （2）原假设与备择假设。形式上，任一统计假设总包括作为完备事件组的两个对立事件，一个称为原假设(hypothesis)或零假设，记为H0，另一个称为备择假设(alternative hypothesis)或对立假设，记为H1或Ha。 2、统计检验 （1）Def.简称检验，指根据样本信息对假设真伪作出判断的过程或方法，本质上是依据一定规则作决策。 任一统计检验都应先针对原假设作出结论，要么拒绝原假设，要么不拒绝原假设。拒绝原假设，必然接受备择假设。不拒绝原假设意指没有充分证据推翻原假设。 （2）单侧检验与双侧检验 按备择假设方向可以把检验分为双侧检验(two-tailed test)与单侧检验(one-tailed test)。双侧检验拒绝原假设的情形在分布的两边。单侧检验中拒绝原假设的情形只在分布某一边，进一步地分为左单侧检验和右单侧检验。 二、差异显著性与决策规则 1、抽样分布与假设检验（以正态总体均值双侧检验为例）

（1）如果H0成立，那么必有：0/21nPXz和0/2nPXz。 （2）它等价于一次抽样中必有：事件I(差异不超Δ)的概率为1-；事件II(差异超过Δ)的概率为。 （3）如果获得的样本使得事件II发生，就说差异超过必要限度，从而（承担较小风险）拒绝原假设；否则，不得拒绝原假设。 统计检验逻辑上采用了反证法，理论上依据了小概率原理。是检验中的小概率标准，称为假设检验中的显著性水平(level of significance)。拒绝原假设也可简略表述为具有统计显著性。 2、两种等价决策规则(decision rule) （1）临界值（critical value）决策规则

如果 （1）0||/2/||Xvaluenzz则拒绝原假设；（2）0||/2/||Xvaluenzz则不拒绝原假设。 可见，给定显著性水平，也就给定了临界值-z/2、+z/2，从而给定检验中的拒绝区域和不得拒绝区域。 （2）p值（p-value）决策规则 仿照，若H0成立，对于抽得的样本均值可计算双侧检验中Z统计量的如下概率值(probability-value)： 00

//||||1 |||| xxnnZzpZzpPP

和

称其中的概率值p为该样本计算或观测到的显著性水平，即允许由该样本均值拒绝原假设所需设定的最小显著性水平，统一地称作假设检验的p值（p-value)。 在H0：=0；H1：≠0的假设检验中，只要设定的>p 就会拒绝原假设，只要设定的≤p就不得拒绝原假设。因此，对应的等价p值决策规则是，若（1）p < ，则拒绝原假设；（2）p≥，则不拒绝原假设。 The p-value (probability value) of a test is the probability of observing a sample at least as “unlikely” as ours. In other words, it is the “minimum level” of significance that would allow us to reject H0.

三、两类错误 四、假设检验的基本步骤 1、提出原假设与备择假设。尽管检验中的假设是两个对立事件，但原假设的设立至关重要。第一，原假设“无据而立”，是检验推理的起点。第二，原假设是受检验的假设，是决策者有意推翻的假设。第三，参数原假设必须包冯胜群 湖北大学商学院 Spring2013《统计学》05推断统计基础（二）——假设检验III两总体均值之差的检验 - 18 - 含单值点，即含有等号。 2、规定检验的显著性水平。许多情况下默认或习惯的是0.10、0.05、0.01。 3、寻找适当的检验统计量。 4、抽取样本按规则进行统计决策。1）抽取样本；2）计算统计量的实际观测值和（或）p值；3）按临界值或p值规则作决策：拒绝原假设或者不拒绝原假设。

第二节 一个总体均值的假设检验（One-sample mean comparison test）

一、检验目的和统计假设 一个总体均值的检验有三种可能目的和对应假设： （1）总体均值等于某常数的双侧检验：0100: ;:HH （2）总体均值大于等于某常数的左单侧检验：0100: ;:HH （3）总体均值小于等于某常数的右单侧检验：0100: ;:HH 基于拒绝原假设充分性的要求，三种目的的原假设可以统一为H0：=0，检验中依备择假设方向确定拒绝区域

或计算p-value：010001000100:: :: ::HHHHHH，， 二、z 检验 z 检验就是以标准正态统计量作为检验统计量。 1、可以在以下三种情况下由一个样本均值构造检验总体均值假设的z统计量。 (1)已知总体方差的正态总体均值假设，(2)大样本，已知总体方差的（非正态）总体均值假设，(3)大样本，未知总体方差的（非正态）总体均值假设：

Z=0/Xn~N(0,1)。Z=0/XnN(0,1)。Z=0/Xsn



N(0,1)。

2、抽取容量为n的样本，计算原假设成立时z统计量的观测值zvalue =00//XXnsn或 3、在显著性水平下，如果（1）|zvalue|>z/2，或Pr(|Z|﹥| zvalue |)<，则拒绝H0：=0；（2）zvaluezvalue )<，则拒绝H0：0；（3）zvalue>z，或Pr(Z> zvalue )<，则拒绝H0：0。 三、t 检验(用于检验未知总体方差的正态总体均值假设)

1、如果X~N(，2），2未知，则检验总体均值假设的统计量是T=0/Xsn~t(n-1)。

2、抽取容量为n的样本，计算原假设成立时t统计量的观测值tvalue =0/Xsn。 3、在显著性水平下，如果（1）|tvalue|>t/2，或Pr(|T|﹥| tvalue |)<，则拒绝H0：=0；（2）tvalue则拒绝H0：0；（3）tvalue>t，或Pr(T> tvalue )<，则拒绝H0：0。 小结

2/2/2/2/ ;;(1) ; (01) ;;(01) ;;(01)XsnXnXsnXnTtnZNZNZN



一个总体均值检验的统计量条件统计量分布正态总体未知小样本正态总体已知存在有限方差的总体未知大样本渐进存在有限方差的总体已知大样本渐进 冯胜群 湖北大学商学院 Spring2013《统计学》05推断统计基础（二）——假设检验III两总体均值之差的检验 - 19 - 00

101110/2/210 (1) Pr( ) Pr( )||(1)Pr(||||)||Pr(||||)(1)Pr( )PrHtzpvaluepvalueHttnTtzzZzHttnTtzzZzHttnTtzz临界值和拒绝域临界值和拒绝域不同检验目的的决策规则（显著性水平）：

检验检验备择假设

：：：( )Zz

ttest -- Mean comparison tests 1、One-sample mean comparison ttest varname == # [, level(#)] 2、Immediate form of one-sample mean comparison ttesti #obs #mean #sd #val [, level(#)]

第三节 两总体均值差值的检验(Two-sample mean comparison test)

一、检验目的和统计假设 两总体均值之差(difference)的检验目的是比较均值大小。原假设的通用形式是H0：1-2=d0。备择假设也有三种情形：双侧检验 H1：1-2≠d0。左单侧检验 H1：1-2d0。检验统计量由两样本均值

之差的抽样分布决定，典型形式是12012

()()XXdStdErrXX

。

其中最实用的是检验两总体均值相等的假设，即H0：1- 2 =0或H0：1=2 。检验统计量简化为两样本均值比较（Two-sample mean comparison）的形式：1212()XXStdErrXX。 依据总体已知信息和抽样设计、样本大小不同，实际使用的检验统计量，要么限定为在原假设成立时服从或近似标准正态分布，要么改造为服t分布从或近似t分布。 二、独立样本：z 检验 1、可以在以下三种情况下由两独立样本构造检验两总体均值之差的 z 统计量：(1)已知总体方差的两正态总体均值之差检验。(2)大样本，已知总体方差的两总体均值之差检验。(3)大样本，未知总体方差的两总体均值之差检验。

2、根据检验条件，抽取两独立样本，计算原假设成立时检验统计量的观测值z=120221122()//xxdnn或z=120221122()//xxdsnsn，在显著性水平下，依据临界值或p值规则作出决策。如果（1）|z|>z/2，或Pr(|Z|>|z|)<，则拒绝H0：1-2=d0；（2）zz，或Pr(Z>z)<，则拒绝H0：1-2d0。 三、独立样本：t 检验 在检验未知总体方差的两正态总体均值之差假设时，可由两独立样本构造t 统计量或近似t 统计量作为检验统计量（如何构造有赖于未知总体方差的信息或假定）。

1、如果2212，则检验的统计量是t统计量T=120212()(1/1/)pXXdsnn~t(n1+n2-2)，其中22112212(1)(1)22nsnspnns是两样本方差的加权平均数，称为样本的合并方差（pooled variance）。 抽取两独立样本，计算原假设成立时检验统计量的观测值, 在显著性水平下，依据临界值或p值规则作出决策。

2、如果2212，则检验统计量是近似t统计量T*=120221122()// XXdsnsn。T*并不真正服从t分布，只是幸运地可用某个修正后的t分布去近似。典型的三个方法是课本中采用的萨特思韦特近似(Satterthwaite’s approximation)和韦尔奇近似(Welch’s approximation)、科克伦-柯克斯近似(The Cochran-Cox approximation)。 四、匹配（成对）样本：t 检验 在两总体均值之差检验中，两独立样本可能包含其他条件不同而产生的非随机差异，比如由两组受试者检测两种药物疗效可能存在受试个体影响，这就需要使用匹配样本消除这种影响；也有些样本本来就是成对匹配所得，如