【复习专题】中考数学复习：圆的认识

中考考点突破之圆的专题复习

考点精讲

1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；

2.探索并证明垂径定理；

3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；

考点解读

考点1：垂径定理及其运用

①与圆有关的概念和性质：

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.

（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

（6）弦心距：圆心到弦的距离.

②垂径定理及其推论：

（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：

① 弧AC=弧AD; ②弧BD=弧CB；③CE=DE; ④AB⊥CD; ⑤AB是直径.

只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.

考点2：圆周角定理及其运用

①圆心角、弧、弦的关系：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

②圆周角定理及其推论：

（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,

∠A=1/2∠O.

图a 图b 图c

( 2 )推论：

① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.

第 1 页 共 12 页 第3讲 圆

知识点1 圆周角定理

1. 圆的有关概念

（1）圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” ．

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．

（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．

（3）直径：经过圆心的弦叫做直径．

（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

（5）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．

2. 圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”．

3. 圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

典例剖析

例 （1）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（ ）

A．20° B．70° C．30° D．90°

（例（1）图）（例（2）图）

中考数学知识点：圆

中考数学知识点：圆1

我们学习的圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线，所以是无数条对称轴。

圆及有关概念

1 到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆(circle).这个定点叫做圆的圆心。

2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径(radius)。

3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径(diameter)。

4 连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord). 最长的弦是直径。

5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc).大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧

6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形(sector)。

7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。

8 顶点在圆心上的角叫做圆心角(central angle)。

9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

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圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个超越数，通常用π表示，π=3.1415926535……。在实际应用中，一般取π≈3.14。

11 圆周角等于弧所对的圆心角的一半。 字母表示

圆—⊙ ; 半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母); 弧—⌒ ;

直径—d ;

扇形弧长—L ; 周长—C ; 面积—S。

圆的表示方法要求很严格，需要用到相应的知识要求。

中考数学知识点：圆2

圆的初步认识

一、圆及圆的相关量的定义(28个)

1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

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基础知识

知识点一、圆的有关概念

1. 圆的定义①（动态定义）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记做“⊙O”.

②（静态定义）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．即：圆上各点到圆心的距离都等于定长（半径），反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上；

2.等圆：能够完全重合的圆叫等圆．同圆或等圆的半径相等．

3.确定圆的条件

确定一个圆有两个基本条件

①圆心（定点）——用来确定圆的位置；②半径（定长）——用来确定圆的大小．

经过不在同一直线上的三点确定一个圆．

知识点二、弦、弧、圆心角等相关概念

1. 弦与直径：

①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，记做：弦AB，弦CD等．

②直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍．直径是圆中最长的弦.

2. 弧与半圆

①弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，如以A、B为端点的弧记做AB，

②半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中的每条弧都叫做半圆．

③劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用弧上的两点表示；大于半圆的弧叫做优弧，用弧上三点表示．

④等弧：能够完全重合的弧叫等弧.

知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系

1. 圆的旋转不变性 - 2 - / 14 把圆绕着圆心旋转任意一个角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.

2. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.

知识点四、垂径定理

1. 圆的轴对称性：

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．

2. 垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．