三角函数的诱导公式(二)(附答案)

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三角函数的诱导公式（二）

[学习目标] 1.掌握诱导公式五、六的推导 ，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．

知识点一 诱导公式五～六

(1)公式五：sinπ2－α＝cos α；cosπ2－α＝sin α.

以－α替代公式五中的α，可得公式六．

(2)公式六：sinπ2＋α＝cos α；cosπ2＋α＝－sin α.

思考1 根据任意角α与π2－α的终边关于直线y＝x对称，推导诱导公式五．

思考2 根据π2＋α＝π－(π2－α)这一等式，利用诱导公式四和诱导公式五推导诱导公式六．

知识点二 诱导公式的理解、记忆与灵活应用

公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．

公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．

六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．

思考 请你根据上述规律，完成下列等式．

sin(32π－α)＝－cos α，cos(32π－α)＝－sin α

sin(32π＋α)＝－cos α，cos(32π＋α)＝sin α. 2

题型一 利用诱导公式求值

例1 已知cosα＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sinα＋2π3的值．

解 ∵α＋2π3＝α＋π6＋π2，

∴sin(α＋2π3)＝sinα＋π6＋π2＝cosα＋π6＝35.

跟踪训练1 已知sinπ6＋α＝33，求cosα－π3的值．

解 ∵cosα－π3＝cosπ3－α＝cosπ2－π6＋α

＝sinπ6＋α＝33.

题型二 利用诱导公式证明恒等式

例2 求证：tan2π－αsin－2π－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝－tan α.

证明 左边＝tan－α·sin－α·cos－αsin2π－π2－α·cos2π－π2－α

＝－tan α·－sin α·cos αsin－π2－αcos－π2－α

＝sin2α－sinπ2－αcosπ2－α

＝sin2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．

∴原等式成立．

跟踪训练2 求证：2sinθ－3π2cosθ＋π2－11－2sin2 π＋θ 3 ＝tan9π＋θ＋1tanπ＋θ－1.

证明 左边＝－2sin3π2－θ·－sin θ－11－2sin2θ

＝2sinπ＋π2－θsin θ－11－2sin2θ

＝－2sinπ2－θsin θ－11－2sin2θ＝－2cos θsin θ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ

＝sin θ＋cos θ2sin2θ－cos2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.

右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.

∴左边＝右边，故原等式成立．

题型三 诱导公式的综合应用

例3 已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.

(1)化简f(α)；

(2)若α是第三象限的角，且cos α－3π2＝15，求f(α)的值；

(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．

解 (1)f(α)＝－sin α·cos α·－cos α－cos αsin α＝－cos α.

(2)∵cosα－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，

又α是第三象限的角，

∴cos α＝－1－－152＝－265，∴f(α)＝265.

(3)f－31π3＝－cos－31π3＝－cos－6×2π＋5π3

＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.

跟踪训练3 已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．

解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，

∴α－75°是第三象限角． 4 ∴sin(α－75°)＝－1－cos2α－75°

＝－1－－132＝－223.

∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]

＝－sin(α－75°)＝223.

诱导公式的应用

例4 已知cosπ2＋α＝2sinα－π2，

求sin3π－α＋cosα＋π5cos5π2－α＋3sin7π2－α的值．

解 ∵cosπ2＋α＝2sinα－π2，

－sin α＝－2sin(π2－α)，

∴sin α＝2cos α，∴tan α＝2.

∴sin3π－α＋cosα＋π5cos5π2－α＋3sin7π2－α

＝sin3α－cos α5cosπ2－α－3sinπ2＋α＝sin3α－cos α5sin α－3cos α

＝sin2α·tan

α－15tan α－3

＝2sin2α－110－3＝2sin2α－17

＝2sin2α－sin2α＋cos2α7sin2α＋cos2α

＝sin2α－cos2α7sin2α＋cos2α

＝tan2α－17tan2α＋1

＝4－17×4＋1＝335.

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1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )

A.12 B.32 C．－12 D．－32

2．已知sinα－π6＝13，则cosα＋π3的值为( )

A．－233 B.233 C.13 D．－13

3．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是 ．

4．已知sin(π＋α)＝－13.

计算：(1)cosα－3π2；

(2)sinπ2＋α；

(3)tan(5π－α)．

5．已知sin(5π－θ)＋sin52π－θ＝72，求sin4π2－θ＋cos432π＋θ的值．

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一、选择题

1．已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( )

A．－25 B．－15 C.15 D.25

2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )

A．－12 B.12 C.32 D．－32

3．已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值等于( )

A．－13 B.13 C．－223 D.223

4．若sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－m，则cos32π－α＋2sin(2π－α)的值为(

)

A．－2m3 B.2m3 C．－3m2 D.3m2

5．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|

A．－33 B.33 C．－3 D.3

6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )

A.13 B.23 C．－13 D．－23

二、填空题

7．式子cos2(π4－α)＋cos2(π4＋α)＝ .

8．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝ .

9．已知f(α)＝tanπ－α·cos2π－α·sinπ2＋αcos－α－π，化简f(α)＝ .

10．已知tan(3π＋α)＝2，则 7 sinα－3π＋cosπ－α＋sinπ2－α－2cosπ2＋α－sin－α＋cosπ＋α

＝ .

三、解答题

11．已知角α终边经过点P(－4,3)，求

cosπ2＋αsin－π－αcos11π2－αsin9π2＋α的值．

12．已知sin(θ－32π)＋cos(32π＋θ)＝35，求sin3(π2＋θ)－cos3(3π2－θ)．

当堂检测答案

1．答案 C

解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.

2．答案 D

解析 cosα＋π3＝cosπ2＋α－π6