(新)高中数学第三章空间向量与立体几何3_2_5距离选学学案新人教B版选修2-1

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 1 3.2.5 距离(选学) 学习目标 掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离．

知识点一 点到平面的距离 思考 任何平面外一点到平面的距离都可利用向量法解决吗？

梳理 (1)图形与图形的距离 一个图形内的__________与另一图形内的__________的距离中的__________，叫做图形与图形的距离． (2)点到平面的距离 一点到它在一个平面内__________的距离，叫做点到这个平面的距离． 知识点二 直线到平面的距离 思考 直线与平面平行时，直线到平面的距离是指直线上任意一点到平面的距离吗？

梳理 (1)直线与它的平行平面的距离 一条直线上的__________，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离． (2)两个平行平面的距离 ①和两个平行平面同时________的直线，叫做两个平面的公垂线． ②__________夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段． ③两平行平面的____________________，叫做两平行平面的距离． 知识点三 四种距离的关系

类型一 点线距离 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 2 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．

反思与感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量． (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影． (4)利用勾股定理求点到直线的距离． 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 跟踪训练1 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．

类型二 点面距离 例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．

反思与感悟 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求出该平面的一个法向量． (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量． (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离． 跟踪训练2 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2. (1)求证：A1C∥平面AB1D； (2)求点C1到平面AB1D的距离． 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 3 类型三 线面距离与面面距离 例3 在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝3，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离．

反思与感悟 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． 跟踪训练3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．

1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为( )

A．10 B．3 C.83 D.103 2．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为( ) A.2 B．2 C.22 D.322 3．若O为坐标原点，OA→＝(1，1，－2)，OB→＝(3，2，8)，OC→＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )

A.1652 B．214 C.53 D.532 4．已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为________． 5．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________．

1．两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得． 2．点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得，线面距、面面距可转化为点面距计算．

提醒：完成作业 第三章 3.2.5 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 4 答案精析 问题导学 知识点一 思考 可以，可依据点到平面的距离公式求解． 梳理 (1)任一点 任一点 最小值 (2)正射影 知识点二 思考 是的．当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离相等，故线面距可以利用点面距来处理． 梳理 (1)任一点 (2)①垂直 ②公垂线 ③公垂线段的长度 题型探究 例1 解 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．

设DA＝2， 则A(2，0，0)，

E(0，2，1)，F(1，0，2)，EF→＝(1，－2，1)，FA→＝(1，0，－2)．

∴|EF→|＝12＋－22＋12＝6， FA→·EF→＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，

∴FA→在EF→上的投影为|FA→·EF→||EF→|＝16. ∴点A到直线EF的距离 d＝ |FA|2－162＝296＝1746.

跟踪训练1 解 ∵AB＝1，BC＝2， AA′＝3，

∴A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)， 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 5 ∴A′C――→＝(1，2，－3)．又∵BC→＝(0，2，0)， ∴BC→在A′C――→上的投影为 |BC→·A′C→||A′C――→|＝414.

∴点B到直线A′C的距离 d＝ |BC→|2－BC―→·A′C―→ |A′C―→|2

＝ 4－1614＝2357. 例2 解 建立如图所示的空间直角坐标系，

则G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)， ∴GE→＝(4，－2，－2)，GF→＝(2，－4，－2)，BE→＝(0，－2，0)． 设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)．

由 GE→·n＝0，GF→·n＝0，得 2x－y－z＝0，x－2y－z＝0， ∴x＝－y，z＝－3y. 取y＝1，则n＝(－1，1，－3)． ∴点B到平面EFG的距离

d＝|BE→·n||n|＝211＝21111.

跟踪训练2 (1)证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴，y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，

则D(0，0，0)，C(1，0，0)，B1(－1，0，2)，A1(0，3，2)，A(0，3，0)，C1(1，0，2)，所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 6 A1C→＝(1，－3，－2)，AB1→＝(－1，－3，2)，AD→＝(0，－3，0)．

设平面AB1D的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则 AB1→·n＝0，AD→·n＝0，即 －x－3y＋2z＝0，－3y＝0. 令z＝1，则y＝0，x＝2，∴n＝(2，0，1)． ∵A1C→·n＝1×2＋(－3)×0＋(－2)×1＝0， ∴A1C→⊥n. ∵A1C⊄平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D.

(2)解 由(1)知平面AB1D的一个法向量n＝(2，0，1)，且C1A→＝(－1，3，－2)， ∴点C1到平面AB1D的距离

d＝|C1A→·n||n|＝45＝455.

例3 解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，3，1)，C(0，3，0)．过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝3，∴B(1，23，0)， ∴AB→＝(0，23，0)，BE→＝(－1，－3，1)．

设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 n·AB→＝0，n·BE→＝0，即 23y＝0，－x－3y＋z＝0， ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)． ∵AA1→＝(0，0，2)， ∴直线A1B1与平面ABE的距离

d＝|AA1→·n||n|＝22＝2.

跟踪训练3 解 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立