二次函数应用题专题(带答案)0)时，可用交点式y=a(x-x1x-x2求其解析式。
4)根据问题要求，利用解析式求出所需的未知量。
三、练1、一枚炮弹在发射点上空爆炸，爆炸点离发射点水平距离1800米，爆炸高度为400米，求炮弹的初速度和仰角。
2、一架飞机以900km/h的速度飞行，飞行高度为2km，发现前方有一座山峰，山顶离飞机水平距离为10km，求飞机的爬升率和俯冲率。
3、一个人从距离地面20米的悬崖上抛出一个物体，物体抛出初速度为20m/s，抛出角度为60度，求物体落地点到悬崖的水平距离。
XXX：1、设炮弹飞行时间为t，初速度为v，仰角为θ，则可列出方程组：x=vtcosθy=vtsinθ-1/2gtx2y21800)2400)=xxxxxxx解得v600m/s，θ≈48.6°。
2、设飞机的爬升率和俯冲率分别为a和b，则可列出方程组：tan(θ-a)=4000/tan(θ+b)=2000/解得a≈2.5°，b≈1.4°。
3、设物体落地点到悬崖的水平距离为d，则可列出方程：d=vcosθtt=2vsinθ/g代入可得d≈40.8m。
评析：二次函数应用题需要学生熟练掌握建立坐标系、求解析式、利用解析式求未知量的方法，同时也需要学生对物理知识有一定的掌握，如抛物线运动、平抛运动等。
练中的例题和练题都体现了这些要点，可以帮助学生加深对二次函数应用的理解和掌握。
在教学过程中，可以引导学生多思考实际问题中的数学应用，提高他们的应用能力和解决问题的能力。
例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．1)求y与x之间的关系式；2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？解：(1)依题意设y=kx+b，则有 y= -30x+960 (16≤x≤32)．2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)=30(-x+32)(x-16)=-30+48x-512+1920．所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一次函数求最值．例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)1)求这个二次函数的解析式；2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米)解：(1)设二次函数的解析式为 y=ax^2+bx+c。
实际问题与二次函数之六大题型【考点导航】目录【典型例题】1【题型一拱桥问题】【题型二销售问题】【题型三投球问题】【题型四喷水问题】【题型五图形问题】【题型六图形运动问题】【典型例题】【题型一拱桥问题】1(2023·全国·九年级专题练习)郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋ACB 可视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度AB 为120米，与AB 中点O 相距30米处有一高度为27米的系杆EF ．以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆OC 的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米(不考虑系杆的粗细)，是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的13？请说明理由．【变式训练】1(2023秋·山西晋城·九年级校考期末)如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽AB 为8m ，拱顶内高8m ．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中(原点O 是AB 的中点)．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车是否可以通过？为什么？2(2023·河南郑州·校考三模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O 距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．3(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G、M在AD上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/m2．已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本．(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)【题型二销售问题】1(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)某超市以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x(元/千克)3035404550日销售量p(千克)604530150(1)请直接写出p与x之间的函数关系式；(2)超市应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)超市每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为243元，求a的值．【变式训练】1(2023秋·河南驻马店·九年级统考期末)“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．(1)若降价2元，则每天的销售利润是多少元？(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降低多少元？(其他成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？2(2023秋·湖南湘西·九年级统考期末)某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？3(2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中)2022年北京冬奥会期间，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人们的广泛欢迎．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；(2)预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，该网店需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，因此决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降低10元，每天可多卖出两套当销售单价降低m元时，每天的利润为W．求当m为何值时利润最大最大利润是多少？【题型三投球问题】1(2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中)掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y m 与水平距离x m 之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为95m ．当水平距离为4m 时，实心球行进至最高点5m 处．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)根据中考体育考试评分标准(男生版)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11.8m 时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．【变式训练】1(2023·河南安阳·统考一模)小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为0,1 的点P 处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线I ，其最高点的坐标为4,5 ．弹跳球落到倾斜角为45°的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线Ⅱ，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线Ⅰ的25．(1)求抛物线I 的解析式；(2)若斜面被坐标平面截得的截图与x 轴的交点M 的坐标为7,0 ，求抛物线Ⅱ的对称轴．2(2023·河北·统考中考真题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点A (6,1)处将沙包(看成点)抛出，并运动路线为抛物线C 1:y =a (x -3)2+2的一部分，淇淇恰在点B (0，c )处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C 2:y =-18x 2+n8x +c +1的一部分．(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．3(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y(单位：cm)，乒乓球运行的水平距离记为x(单位：cm)．测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点x,y，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是cm；②求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值(乒乓球大小忽略不计)．4(2023·河南信阳·校考三模)实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y(m)，实心球距出手点的水平距离为x(m)．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．(2)若实心球投掷成绩(即出手点与着陆点的水平距离)达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．(3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.08x-52+3.8．记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d1，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d2，则d1 d2(填“>”“<”“=”)．【题型四喷水问题】1(2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测)某公司为城市广场上一雕塑AB安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面3m，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹BC上，任意一点与支柱AB的水平距离x(单位：m)与广场地面的垂直高度为y(单位：m)满足关系式y=-328x2+b1x+c1，且点D2,367在抛物线BC上(1)求该抛物线的表达式；(2)求水柱落地点与雕塑AB的水平距离；(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为y2=-328x2+b2x+c2，把水柱喷水的半径(动态喷水时，点C到AB的距离)控制在7m到14m之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度【变式训练】1(2023·甘肃兰州·统考中考真题)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y m与离起跳点A的水平距离x m之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．(1)求y关于x的函数表达式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．2(2023·山东临沂·统考一模)如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h=1.5米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3米，竖直高度EF=0.5米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；(2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．3(2023·江西抚州·校联考三模)如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线x=10．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离x(单位：米)之间的函数关系式为y=ax2+bx+c，其图像如图②所示．已知坡地OB所在直线经过点(10,1)．(1)c的值为；(2)若a=-120，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；(3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为；(4)若a=-120时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．【题型五图形问题】1(2023·全国·九年级专题练习)2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段(五象火车站-龙岗站)已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长27m的砖墙，然后打算用长60m的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏(平行于AB)的长方形施工区域．(1)设施工区域的一边AB为xm，施工区域的面积为Sm2．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当围成的施工区域面积为288m2时，AB的长是多少？(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/m2，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用．【变式训练】1(2023春·浙江宁波·八年级校联考期中)某景区要建一个游乐场(如图所示)，其中AD、CD分别靠现有墙DM、DN(墙DM长为27米，墙DN足够长)，其余用篱笆围成．篱笆DE将游乐场隔成等腰直角△CED和长方形ADEB两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设AB的长为x米．(1)则BE的长为米(用含x的代数式表达)；(2)当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？(3)直接写出当AB为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？2(2023·广东深圳·统考中考真题)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED的顶点E0,4，求抛物线的解析式；(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．【题型六图形运动问题】1(2023·江苏·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t(s)．(1)当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；(2)求四边形PQCA面积的最小值．【变式训练】1(2023秋·四川宜宾·九年级统考期中)如图，等腰三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿射线BC运动，PQ的连线与直线AC相交于点D．设点P运动的时间为ts，△PCQ的面积为S．(1)求S关于的函数关系式．(2)当t为多少时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等？(3)当点P在边AB上运动时，过点P作PE⊥AC于点E．在点P，Q运动过程中，线段DE的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．2(2023·吉林松原·校联考三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，点P从点A 出发以2cm/s的速度向点C运动，到点C停止，过点P作PQ⊥BC交AB点Q，以线段PQ的中点为对称中心将△APQ旋转180°得到△DQP，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为t(s)(t>0)，△DQP与Rt△ABC重合部分的面积为S(cm2)．(1)求当点D落在BC边上时t的值；(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；(3)直接写出当△ADC是等腰三角形时t的值．实际问题与二次函数之六大题型【考点导航】目录【典型例题】1【题型一拱桥问题】【题型二销售问题】【题型三投球问题】【题型四喷水问题】【题型五图形问题】【题型六图形运动问题】【典型例题】【题型一拱桥问题】1(2023·全国·九年级专题练习)郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋ACB 可视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度AB 为120米，与AB 中点O 相距30米处有一高度为27米的系杆EF ．以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆OC 的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米(不考虑系杆的粗细)，是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的13？请说明理由．【答案】(1)y =-1100x 2+36(2)正中间系杆OC 的长度是36米，不存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的13，理由见解析【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)先求出正中间系杆OC 的长度是36米，再建立方程求解即可．【详解】(1)结合图象由题意可知：B 60,0 ，E 30,27 ，设该抛物线解析式为：y =ax 2+c ，则：3600a +c =0900a +c =27 ，解得：a=-1100 c=36，∴y=-1100x2+36．(2)当x=0时，y=36，∴正中间系杆OC的长度是36米．设存在一根系杆的长度是OC的13，即这根系杆的长度是12米，则12=-1100x2+36，解得x=±206．∵相邻系杆之间的间距均为3米，最中间系标OC在y轴上，∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．∴x=±206与实际不符．∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的13．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及到了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程等知识，解题关键是读懂题意，找出数量关系，列出方程，并根据实际意义求解．【变式训练】1(2023秋·山西晋城·九年级校考期末)如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽AB为8m，拱顶内高8m．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中(原点O是AB的中点)．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车是否可以通过？为什么？【答案】(1)y=-12x2+8(2)一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车可以通过，理由见解析【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)求出当y=4时，x的值，再根据车辆宽2.5m且只能在中心的两侧行驶进行求解即可．【详解】(1)解：由题意得，点C的坐标为0，8，点A和点B的坐标分别为-4，0，4，0，设抛物线解析式为y=a x+4x-4，把C0，8代入得a0+40-4=8，解得a=-1 2，∴抛物线解析式为y=-12x+4x-4=-12x2+8；(2)解：一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车可以通过，理由如下：在y =-12x 2+8中，当y =-12x 2+8=4时，解得x =±22，∵22 2=8>2.52=6.25，∴22>2.5，∴一辆宽2.5m ，高4m 的大型货运卡车可以通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．2(2023·河南郑州·校考三模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB 为20米时，拱顶点O 距离水面的高度为4米．如图，以点O 为坐标原点，以桥面所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．【答案】(1)该抛物线的解析式y =-125x 2；(2)水面宽度为513米．【分析】(1)由题意可以写出A 点坐标，设抛物线解析式为y =ax 2，把点A 的坐标代入求出a ，c 的值即可；(2)把x =2.5代入抛物线解析式，求出对应函数值y ，再把y =-3.25代入计算即可求解．【详解】(1)解：设抛物线解析式为y =ax 2，∴桥下水面宽度AB 为20米，拱顶距离水面高度OC 为4米，∴点A (-10，-4)，∴-4=100a ，解得：a =-125，∴该抛物线的解析式y =-125x 2；(2)解：∵船宽5米，∴当x =2.5时，y =-125×2.52=0.25，若该渔船能安全通过，此时水面高为3+0.25 米，∴当y =-3.25时，-3.25=-125x 2，解得x =5213，∴水面宽度为513米．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，运用二次函数解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．3(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)某公司生产A 型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD =4m ，宽AB =3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ．(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；(2)现将A 型活动板房改造成为B 型活动板房．如图2，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G 、M 在AD 上，点F 、N 在抛物线上，窗户的成本为150元/m 2．已知GM =2m ，求每个B 型活动板房的成本．(每个B 型活动板房的成本=每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本)【答案】(1)y =-14x 2+1(2)每个B 型活动板房的成本为3725元【分析】(1)根据题意得出E 0,1 ,D 2,0 ，设该抛物线的函数表达式为y =kx 2+1，利用待定系数法求解即可；(2)根据题意得出N 1,34，继而求出矩形FGMN 的面积，列式求解即可．【详解】(1)∵长方形的长AD =4m ，宽AB =3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ，∴OH =AB =3m ，∴OE =EH -OH =4-3=1m ，∴E 0,1 ,D 2,0 ，设该抛物线的函数表达式为y =kx 2+1，把D 2,0 代入，得0=4k +1，解得k =-14，∴该抛物线的函数表达式为y =-14x 2+1；(2)∵GM =2m ，∴OM =OG =1m ，当x =1时，y =-14×1+1=34，∴N 1,34 ，MN =34m ，∴S 矩形FGMN =MN ⋅GM =34×2=32m 2，∴3500+32×150=3725(元)，所以，每个B 型活动板房的成本为3725元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【题型二销售问题】1(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)某超市以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p (千克)与销售价格x (元/千克)之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x (元/千克)3035404550日销售量p (千克)604530150(1)请直接写出p 与x 之间的函数关系式；(2)超市应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)超市每销售1千克这种农产品需支出a 元(a >0)的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为243元，求a 的值．【答案】(1)p =-3x +150(2)40元/千克(3)2【分析】(1)由题意知，销售价格每增加5元，销售量减少15千克，设p 与x 之间的函数关系式为p =kx +b ，待定系数法求得p =-3x +150，然后作答即可；(2)设日销售利润为w 元，由题意得：w =-3x +150 x -30 ，根据二次函数的图象与性质进行判断求解即可；(3)设日获利为w 元，由题意得：w =p x -30-a =-3x 2+240+3a x -150a +4500 ，则对称轴为直线x =-240+3a 2×-3 =40+12a ，①若a ≥10，则当x =45时，w 有最大值，最大值为：w =-3×452+240+3a ×45-150a +4500 =225-15a <243，即x =45不符合题意，舍去；②若0<a <10，则当x =40+12a 时，w 有最大值，将x =40+12a 代入，得：w =314a 2-10a +100 ，当w =243时，243=314a 2-10a +100 ，解得a 1=2，a 2=38(舍去)．【详解】(1)解：由题意知，销售价格每增加5元，销售量减少15千克，所以p 与x 之间的函数关系为一次函数关系；设p 与x 之间的函数关系式为p =kx +b ，将30,60 ，50,0 代入得，30k +b =6050k +b =0 ，解得k =-3b =150 ，∴p =-3x +150，故答案为：p =-3x +150；(2)解：设日销售利润为w 元，由题意得：w =p x -30 =-3x +150 x -30 =-3x -40 2+300，∵a =-3<0，抛物线开口向下，∴当x =40时，w 有最大值300．∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；(3)解：设日获利为w 元，由题意得：w =p x -30-a =-3x +150 x -30-a =-3x 2+240+3a x -150a +4500 ，∴对称轴为直线x=-240+3a2×-3=40+12a，①若a≥10，则当x=45时，w 有最大值，最大值为：w =-3×452+240+3a×45-150a+4500=225-15a<243，∴x=45不符合题意，舍去；②若0<a<10，则当x=40+12a时，w 有最大值，将x=40+12a代入，得：w =314a2-10a+100，当w =243时，243=314a2-10a+100 ，解得a1=2，a2=38(舍去)，综上所述，a的值为2．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练】1(2023秋·河南驻马店·九年级统考期末)“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．(1)若降价2元，则每天的销售利润是多少元？(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降低多少元？(其他成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？【答案】(1)若降价2元，则每天的销售利润是1040元；(2)应降低5元；(3)将商品的销售单价定为25.5元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是1102.5元．【分析】(1)根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低2元，则可增加20斤，再根据每斤利润×销量可得解；(2)根据每天盈利1100元列方程，解出x的值即可求解；(3)设每天盈利y元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得．【详解】(1)解：根据题意，降价2元则销售量为60+2×10=80(斤)，销售利润为：30-15-2×80=1040(元)，答：若降价2元，则每天的销售利润是1040元；(2)解：设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价x元，根据题意得：30-15-x60+10x=1100，整理得：x2-9x+20=0，解得x1=4，x2=5，∵为了尽快减少库存，∴x=5，此时30-x=25，答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元；。
- -初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）一、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1） 设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。
解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧-（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米），根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值， 即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。
点评：如果设养鸡场的宽为x ，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。
二次函数的应用案例总结二次函数是一种常见的数学函数形式，它的形式为：y = ax^2 + bx + c。
在现实生活中，二次函数可以用于解决各种问题，包括物理、经济、工程等领域。
本文将总结几个常见的二次函数应用案例，以展示二次函数的实际应用。
案例一：物体自由落体的高度模型假设一个物体从高处自由落体，忽略空气阻力，我们可以用二次函数来表示物体的高度与时间之间的关系。
设物体初始高度为H，加速度为g，时间为t。
根据物理定律，物体的高度可以表示为：h(t) = -0.5gt^2 + H。
这个二次函数模型可以帮助我们计算物体在任意时间点的高度，并可以用于预测物体何时落地。
案例二：销售收入和定价策略假设一个公司生产和销售某种产品，销售价格为p（单位：元），销售量为q（单位：件）。
二次函数可以用于建立销售收入与定价策略之间的模型。
设定售价的二次函数为：R(p) = -ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
我们可以通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，确定最佳售价，以使得销售收入最大化。
案例三：桥梁设计中的弧线形状在桥梁设计中，常常需要确定桥梁的弧线形状，以使得车辆在桥上行驶时感到平稳。
二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
设桥梁的弧线形状为y = ax^2 + bx，其中x表示桥梁长度的一半，y表示桥梁的高度。
通过调整参数a和b，可以得到不同形状的弧线，以满足设计要求。
案例四：市场需求和价格关系分析在经济学中，二次函数可以用于建立市场需求与价格之间的关系模型。
设市场需求量为D，价格为p。
根据经济理论，市场需求可以表示为：D(p) = ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，可以研究市场需求和价格之间的关系，得出不同价格下的市场需求量。
综上所述，二次函数在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
通过建立二次函数模型，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
