第六章 光的衍射
6－1 求矩形夫琅和费衍射图样中，沿图样对角线方向第一个次极大和第二个次极大相对于图样中心的强度。
解：对角线上第一个次极大对应于πβα43.1==，其相对强度为： 0022.043.143.1sin sin sin 4
220=??? ??=???? ????? ??=ππββααI I 对角线上第二个次极大对应于πβα46.2==，其相对强度为： 00029.046.246.2sin sin sin 4
220=??? ??=???? ????
? ??=ππββααI I 6－2 由氩离子激光器发出波长488=λnm 的蓝色平面光，垂直照射在一不透明屏的水平矩形孔上，此矩形孔尺寸为0.75mm ×0.25mm 。在位于矩形孔附近正透镜（5.2=f m ）焦平面处的屏上观察衍射图样，试求中央亮斑的尺寸。
解：中央亮斑边缘的坐标为： 63.175
.010********
±=??±=±=-a f x λmm 26.32=x mm 88.425
.010********
±=??±=±=-b f y λmm 76.92=y mm ∴中央亮斑是尺寸为3.26mm ×9.76mm 的竖直矩形
6－3 一天文望远镜的物镜直径D ＝100mm ，人眼瞳孔的直径d ＝2mm ，求对于发射波长为5.0=λμm 光的物体的角分辨极限。为充分利用物镜的分辨本领，该望远镜的放大率应选多大？
解：当望远镜的角分辨率为： 636
101.610100105.022.122.1---?=???==D λ
θrad 人眼的最小分辨角为： 436
1005.3102105.022.122.1---?=???==d e λ
θrad ∴望远镜的放大率应为：50===d
D M e θθ 6－4 一个使用汞绿光（546=λnm ）的微缩制版照相物镜的相对孔径（f D /）为1:4，问
用分辨率为每毫米380条线的底片来记录物镜的像是否合适？
解：照相物镜的最大分辨本领为：
3754
11054622.1122.116=???==-f D N λ/mm ∵380>375
∴可以选用每毫米380条线的底片。
6－5 若要使照相机感光胶片能分辨2 m 的线距，问
（1） 光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线？
（2） 照相机镜头的相对孔径D /f 至少有多大？
解：（1）由于相机感光胶片能分辨2 m 的线距，则分辨本领至少为： 500002
.01＝=N 线/毫米 （2）可见光一般取中心波长550=λnm 计算，则相机的相对孔径至少为：
98.2:150********.122.16=???==-N f
D λ
6－6 借助于直径为2m 的反射式望远镜，将地球上的一束激光（600=λnm ）聚焦在月球上
某处。如果月球距地球4×105km 。忽略地球大气层的影响，试计算激光在月球上的光斑直径。
解：由于衍射效应，反射式望远镜对激光成像的爱里斑角半径为：
79
01066.321060022.122.1--?=??==D λ
θrad 由于角度很小，因此00tan θθ≈
∴激光在月球上的光斑直径为：4.1461066.3104780=???=='-θl D m
6－7 直径为2mm 的激光束（nm 8.632=λ）射向1km 远的接收器时，它的光斑直径有多大？如果离激光器150km 远有一长100m 的火箭，激光束能否把它全长照亮？
解：激光束的衍射角为：
36
10386.02108.63222.122.1--?=??==D λ
θrad ∴离激光束1km 远处的光斑直径为：
772.010386.010*******=???==-θl D m
离激光束150km 远处的光斑直径为：
8.11510386.010*********=????==-θl D m
2D 大于火箭的长度，因此激光束能把它全长照亮。
6－8 一透镜的直径D ＝2cm ，焦距f ＝50cm ，受波长500=λnm 的平行光照射，试计算在该透镜焦平面上衍射图象的爱里斑大小。
解：爱里斑直径为：
37
1005.32105005022.1222.12--?=????=?='D f D λ
cm 6－9 波长为550nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为60cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦平面上进行观察。求单缝衍射中央亮纹的半宽度。
解：单缝衍射中心亮纹的角半宽度为：
rad a 022.0025.0105506
=?==-λ
θ ∴条纹的半宽度为：32.160022.0=?==f e θcm
6－10 用波长630=λnm 的激光粗测一单缝缝宽。若观察屏上衍射条纹左右两个五级极小的距离是6.3cm ，屏和缝的距离是5m ，求缝宽。
解：衍射条纹第五个极小对应于： πθ5sin 2
±=ka ∴a
a a 3
61015.3106305arcsin 5arcsin --?±≈??±=±=λθrad 则左右两个五级极小的距离为： mm mm a
d l 6350001015.3223
=???==-θ ∴缝宽为：5.063
515.32=??=
a mm
6－11 波长500=λnm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求：（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。 解：（1）中央亮纹的半角宽度为： 02.0025.0105006
0=?==-a λ
θrad ∴中央亮纹的半宽度为：102.0500=?==θf e cm
（2）第一亮纹的位置对应于πα43.1±=，即：
πθ43.1sin 2
1±=ka ∴0286.00286.0arcsin 025
.01050043.1arcsin 43.1arcsin 6
1±≈±=??±=±=-a λθrad
∴第一亮纹到中央亮纹的距离为： 43.010286.05011=-?=-=e f q θcm
第二亮纹对应于πα46.2±= ∴0492.00492.0arcsin 025
.01050046.2arcsin 46.2arcsin 6
2±≈±=??±=±=-a λθrad ∴第二亮纹到中央亮纹的距离为： 46.110492.05022=-?=-=e f q θcm
（3）设中央亮纹的光强为0I ，则第一亮纹的强度为： 020201047.0)43.143.1sin ()sin (I I I I ===π
παα
第二亮纹的强度为： 020202016.0)46.246.2sin (
)sin (I I I I ===ππαα
6－12 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm ，所用透镜的焦距为300mm ，光波波长为632.8nm ，问细丝直径为多少？
解：设细丝的直径为D ，则由题意：
D D f 6
108.6323005.1-??==λ
∴127.05
.1108.6323006
=??=-D mm
6－13 在双缝的夫琅和费衍射实验中所用的光波的波长500=λnm ，透镜焦距100=f cm ，观察到两相邻亮条纹之间的距离5.2=e mm ，并且第四级亮纹缺级，试求双缝的缝距和缝宽。 解：双缝衍射两相邻亮条纹的距离为： d f e λ
=
∴缝距为：2.05.21050010006
=??==-e f d λ
mm ∵第四级缺级 ∴缝宽为：05.04
2.04===d a mm 6－14 考察缝宽3108.8-?=a cm ，双缝间隔2100.7-?=d cm ，波长为0.6328μm 时的双缝
衍射，在中央极大值两侧的衍射极小值间，将出现多少个干涉极小值？若屏离开双缝457.2cm ，计算条纹宽度。
解：中央极大值两侧的衍射极小值满足： λθ±=sin a
∴在中央极大值两侧的衍射极小值间的衍射角将满足：a λ
θ±≤sin 干涉极小满足：λθ)2
1(sin +=m d =m 0，±1，±2 ……
∴在中央极大值两侧的衍射极小值间，干涉极小满足： λλa
d m ≤+)21( ∵95.7108.8100.73
2
≡??=--a d ∴m 的取值可为0，±1，±2……±7，－8
∴出现的干涉极小值个数为16个
条纹宽度为：13.47.0106328.045723
=??==-d D e λ
mm
6－15 计算缝距是缝宽3倍的双缝的夫琅和费衍射第1，2，3，4级亮纹的相对强度。 解：由题意，3≡a
d ，因此第三级缺级 ∴第三级亮纹的相对强度为0
第1，2，4级亮纹分别对应于：λθ±=sin d ，λ2±，λ4±
既是：πθλπ
δ2sin 2±==d ，π4±，π8± 此时，3sin λ
θ±=a ，λ32±，λ3
4± ∴3sin πλθπα±==a ，32π±，34π± ∴第1，2，4级亮纹的相对强度分别为： %4.683
3sin 2cos sin 42
2201=?????? ??=??? ??=ππδααI I %173
232sin 4202=?????? ??=ππI I %3.43434sin 4204=?????? ??=ππI I
6－16 波长为500nm 的平行光垂直入射到一块衍射光栅上，有两个相邻的主极大分别出现在2.0sin =θ和3.0sin =θ的方向上，且第四级缺级，试求光栅的栅距和缝宽。
解：两个相邻的主极大分别出现在2.0sin =θ和3.0sin =θ的方向上，则：
λm d =2.0 λ)1(3.0+=m d 两式相减得：51.0==
λd μm ∵第四级缺级 ∴缝宽为：25.14==
d a μm
6－17 用波长为624nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽012.0=a mm ，不透明部分宽度029.0=b mm ，缝数N ＝1000条，试求：（1）中央极大值两侧的衍射极小值间，将出现多少个干涉主极大；（2）谱线的半角宽度。
解：（1）中央峰两侧的衍射极小值满足：λθ±=sin a ∴中央峰的衍射角满足a λ
θ±≤sin
干涉主极大满足：λθm d =sin =m 0，±1，±2 ……
∴在中央峰的干涉主极大满足： λλa
d m ≤ ∵
42.3012
.0041.0≡=a d ∴m 的取值可为0，±1，±2，±3 ∴出现的干涉极小值个数为7个
（2）谱线的角宽度为：
56
1052.1)
029.0012.0(10001062422--?=+???==?Nd λθrad
6－18 一块光栅的宽度为10cm ，每毫米有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500mm ，问：
（1）它产生的波长8.632=λnm 的单色光一级和二级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光是波长为632.8nm 和波长与之相差0.5nm 的两种单色光，它们的一级和二级谱线之间的距离是多少？
解：（1）一级谱线和二级谱线的位置分别为： ?=?==-46.185001108.632arcsin arcsin 6
1d
λ
θ ?=??==-26.39500
1108.6322arcsin 2arcsin 6
2d
λθ ∴一级谱线和二级谱线的半宽度为：
36
111034.346.18cos 100108.632500cos --?=????==θλ
Nd f e mm 36
2210086.426.39cos 100108.632500cos --?=????==θλ
Nd f e mm （2）一级谱线和二级谱线的线色散分别为： nm mm nm mm d mf d dl /26.046.18cos 10500
15001cos 611=????==??? ??θλ nm mm nm mm d mf d dl /64.026.39cos 10500
15002cos 622=????==??? ??θλ ∴波长差nm 5.0=?λ的两种单色光的一级谱线之间和二级谱线之间的距离分别为： 13.05.026.01
1=?=???? ??=?λλd dl l mm 32.05.064.022=?=????
??=?λλd dl l mm
6－19 钠黄光垂直照射一光栅，它的第一级光谱恰好分辨开钠双线（5891=λnm ，6.5892=λnm ），并测得589nm 的第一级光谱线所对应的衍射角为2°，第四级缺级，试求光栅的总缝数，光栅常数和缝宽。
解：光栅的分辨本领为：mN A =?=
λλ 其中3.5892
6.589589=+=λnm ∴光栅的总缝数为：982)
5896.589(13.589=-?=?=λλ
m N 第一级光谱满足：λθ=sin d ∴光栅常数为：017.02sin 103.589sin 6
=??==-θλ
d mm ∵第四级缺级 ∴缝宽为：00425.04==
d a mm