小学奥数知识点汇编大全之五(容斥原理)

容斥原理知识纵横：容斥原理：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这种计数方法叫做容斥原理，也叫包含与排除。

例题求解：【例1】、在1～2003的自然数中，能被2整除或能被5整除的数共有多少个？【例2】、在1～500中，不能被2整除，也不能被3整除，又不能被7整除的数有多少个？【例3】、六年级的160名学生参加期末考试，其中数学得满分的有58名，语文得满分的有53分，英语得满分的有59名，数学、语文都得满分的有17名，数学、英语都得满分的有22名，语文、英语都得满分的有20名，数学、语文、英语都得满分的有10名。

问六年级三科考试都没有得满分的有多少名？【例4】、如图所示，A 、B 、C 分别代表面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们放在一起盖住的面积为38，且A 与B ，B 与C ，C 与A 公共部分面积为8，7，6，求A 、B 、C 三个图形公共部分的面积。

【例5】、星期日小丰骑自行车去同学A 、B 、C 三家玩，他如果从A 出发经过B 到C ，共行10千米，如果从B 出发经C 达A ，共行13千米，如果从C 出发经过A 到达B ，共行11千米。

问：哪两个同学家之间的距离最短？最短的距离是多少千米？【例5】、如图，在长方形ABCD 中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG 的面积是9平方厘米，求阴影部分的总面积。

A B C基础夯实1、50以内5的倍数和7的倍数的自然数共有多少个？2、在1至100的全部自然数中，既不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少？3、在从1到60的整数中，能被3或4或5整除的数有多少个？4、四（一）班50个学生，每人至少参加了一个兴趣小组，其中37人参加科技组，25人参加美术组，求同时参加两个兴趣小组的人数是多少？5、六（一）班全体同学在期末测试中，语文、数学这两科至少有一门获得优秀，其中有30人语文获得优秀，有32人数学获得优秀，两科都获得优秀的学生有17人。

點算的奧秘：容斥原理基本公式「容斥原理」(Principle of Inclusion and Exclusion)(亦作「排容原理」)是「點算組合學」中的一條重要原理。

但凡略為複雜、包含多種限制條件的點算問題，都要用到這條原理。

現在首先從一個點算問題說起。

例題1：設某班每名學生都要選修至少一種外語，其中選修英語的學生人數為25，選修法語的學生人數為18，選修德語的學生人數為20，同時選修英語和法語的學生人數為8，同時選修英語和德語的學生人數為13 ，同時選修法語和德語的學生人數為6，而同時選修上述三種外語的學生人數則為3，問該班共有多少名學生？答1：我們可以把上述問題表達為下圖：其中紅色、綠色和藍色圓圈分別代表選修英語、法語和德語的學生。

根據三個圓圈之間的交叉關係，可把上圖分為七個區域，分別標以A至G七個字母。

如果我們用這七個字母分別代表各字母所在區域的學生人數，那麼根據題意，我們有以下七條等式：(1) A+D+E+G = 25；(2) B+D+F+G = 18；(3) C+E+F+G = 20；(4) D+G = 8； (5) E+G = 13；(6) F+G = 6；(7) G = 3。

現在我們要求的是A+B+C+D+E+F+G。

如何利用以上資料求得答案？把頭三條等式加起來，我們得到A+B+C+2D+2E+2F+3G = 63。

可是這結果包含了多餘的D、E、F和G，必須設法把多餘的部分減去。

由於等式(4)－(6)各有一個D、E和F，若從上述結果減去這三條等式，便可以把多餘的D、E和 F減去，得A+B+C+D+E+F = 36。

可是這麼一來，本來重覆重現的G卻變被完全減去了，所以最後還得把等式(7)加上去，得最終結果為A+B+C+D+E+F+G = 39，即該班共有39名學生。

□在以上例題中，給定的資料是三個集合的元素個數以及這些集合之間的交集的元素個數。

在該題的解答中，我們交替加上及減去這些給定的資料。

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设三科都得满分者为x 全班人数 20 20 20 7 8 9 x 3 整理后：全班人数＝39＋x 39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数 就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。x是数 学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人 数一定不超过两科得满分的人数，即 x 7，x 8 且 x 9 ，由此我们得到 x 7 ，另一方面x最小可 能是0，即没有三科都得满分的。 当x取最大值7时，全班有(39 7 )46 人，当x取最小 值0时，全班有39人。 答：这个班最多有46人，最少有39人。
小学数学
容斥原理
在计数时，为了使重叠部分不被重复计
算，人们研究出一种新的计数方法，这 种方法的基本思想是：先不考虑重叠的 情况，把包含于某内容中的所有对象的 数目先计算出来，然后再把计数时重复 计算的数目排斥出去，使得计算的结果 既无遗漏又无重复，这种计数的方法称 为容斥原理。
容斥原理（第一讲）

5、全班有50人，不会骑车的有23人，不会 滑旱冰的有35人，两样都会的有5人。问： 两样都不会的有多少人？ 50-5=45人 23+35-45=15人 6、六年级（2）班有48名学生，其中会骑自 行车的有27个，会游泳的有18人，既会骑自 行车又会游泳的有10人。问两样都不会的有 多少人？ 27+18-10=35人 48-35=13人
容斥原理
试一试：
某班学生每人家里至少有空调和电脑
两种电器中的一种，已知家中有空调 的有41人，有电脑的有34人，二者都 有的有27人，这个班有学生多少人？ 41+34-27=48人

41
27
34

35＋34=69人， 但是，两种语言都懂的21人被统计过两
次，应该从69里去掉一个21才能得出这 个地区外语教师的总人数：
69－21=48人。
实战演练2
1，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。 已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动， 其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少 人？
84＋86－25=144人， 所以，这两个小组都不参加的人数是： 250－144=106人。
实战演练3
1，五年级有250人，其中参加象棋组的有83人，参 加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。 两个小组都不参加的有多少人？
2，五（1）班有50人，在一次测试中，语文90分以 上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都 在90分以上的有20人。两科都在90分以下的有多少 人？
3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是 红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
在100个外语教师中，懂英语的有75人， 懂日语的有45人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计 过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此， 75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两 种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 75－20=55人。
64＋48=112人， 比总人数多112－96=16人， 这16人就是两种报刊都订的人数。
实战演练1
1，一个班的52人都在做语文和数学作业。有32人 做完了语文作业，有35人做完了数学作业。语文、 数学作业都做完的有多少人？