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小学奥数容斥原理教案【篇一：四年级奥数讲义：容斥原理(1)】四年级数学讲义奥数：容斥原理(1)教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。

2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。

3、培养学生良好的书写习惯。

一、教学衔接二、教学内容（一）知识介绍容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=na＋nb－nab。

（二）例题精讲 nanb例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。

这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。

所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。

例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。

又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。

所以，两题都答得不对的有36－33=3人。

例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。

點算的奧秘：容斥原理基本公式「容斥原理」(Principle of Inclusion and Exclusion)(亦作「排容原理」)是「點算組合學」中的一條重要原理。

但凡略為複雜、包含多種限制條件的點算問題，都要用到這條原理。

現在首先從一個點算問題說起。

例題1：設某班每名學生都要選修至少一種外語，其中選修英語的學生人數為25，選修法語的學生人數為18，選修德語的學生人數為20，同時選修英語和法語的學生人數為8，同時選修英語和德語的學生人數為13 ，同時選修法語和德語的學生人數為6，而同時選修上述三種外語的學生人數則為3，問該班共有多少名學生？答1：我們可以把上述問題表達為下圖：其中紅色、綠色和藍色圓圈分別代表選修英語、法語和德語的學生。

根據三個圓圈之間的交叉關係，可把上圖分為七個區域，分別標以A至G七個字母。

如果我們用這七個字母分別代表各字母所在區域的學生人數，那麼根據題意，我們有以下七條等式：(1) A+D+E+G = 25；(2) B+D+F+G = 18；(3) C+E+F+G = 20；(4) D+G = 8； (5) E+G = 13；(6) F+G = 6；(7) G = 3。

現在我們要求的是A+B+C+D+E+F+G。

如何利用以上資料求得答案？把頭三條等式加起來，我們得到A+B+C+2D+2E+2F+3G = 63。

可是這結果包含了多餘的D、E、F和G，必須設法把多餘的部分減去。

由於等式(4)－(6)各有一個D、E和F，若從上述結果減去這三條等式，便可以把多餘的D、E和 F減去，得A+B+C+D+E+F = 36。

可是這麼一來，本來重覆重現的G卻變被完全減去了，所以最後還得把等式(7)加上去，得最終結果為A+B+C+D+E+F+G = 39，即該班共有39名學生。

□在以上例題中，給定的資料是三個集合的元素個數以及這些集合之間的交集的元素個數。

在該題的解答中，我們交替加上及減去這些給定的資料。

一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 知识结构容斥原理1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28291245+-=(人)．【答案】45人C BA 例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了．【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．如图，A 圆表示学画画的人，B 圆表示学钢琴的人，C 表示既学钢琴又学画画的人，图中A 圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．【答案】21人【例 2】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为1223530+-=(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是463016-=(人)．【答案】16人【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26221236+-=(人)，所以，两项比赛都没有参加的人数为：45369-=(人)．【答案】9人【例 3】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示全班人数，A 圆表示会游泳的人数，B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20251035+-=(人)，全班人数为：35944+= (人)．【答案】44人【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，A 圆表示参加象棋比赛的人，B 圆表示参加军棋比赛的人，A 与B 重合的部分表示同时参加两项比赛的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有321814-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有281810-=(人)．由此得到参加棋类比赛的人有14181042++=(人)．或者根据包含排除法直接得：32281842+-=(人)．【答案】42人【例 4】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示这47名学生，A 圆表示语文得分95分以上的人数，B 圆表示数学得95分以上的人数，A 与B 重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数．由图中可以看出，全体人数是至少一门在95分以上的人数与两门都不在95分以上的人数之和，则至少一门在95分以上的人数为：472225-=(人)．根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为：14212510+-=(人)．【答案】10人【巩固】 有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【关键词】第二届，迎春杯【解析】 方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315- 68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．【答案】68人BA 两门都不在95分以上的数学95分以上的两门95分以上的语文95分以上的【例 5】 一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 不妨用下图来表示：线段AB 表示全班人数，线段AC 表示做完语文作业的人数，线段DB 表示做完数学作业的人数，重叠部分DC 则表示语文、数学都做完的人数．根据题意，做完语文作业的有37人，即37AC =．做完数学作业的有42人，即42DB =．374279AC DB +=+=(人)①48AB =(人) ②①式减②式，就有794831DC =-=(人),所以，数学、语文作业都做完的有31人．【答案】31人【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因423476+=，7663>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63=．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．也可画图分析．【答案】13人【例 6】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如图，用A 圆表示手中有红旗的，B 圆表示手中有黄旗的，C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：342618943++-++-（）（） 6250⨯=(人)．【答案】50人【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人．根据包含排除法，4226171994=++-++（）（既爱打篮球又爱打排球的人数0+），得到既爱打篮球又爱打排球的人数为：49427-=(人)．【答案】7人【例 7】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参C BA加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A ，参加语文小组的学生组成集合B ，参加文艺小组的学生组成集合G ．三者都参加的学生有z 人．有=46，=24，=20，=3.5，=7，=2，=10． 因为，所以46=24+20+7x -10-2x -2x +x ，解得x =3， 即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有37=21人．【答案】21人【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数． 【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A ，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C ．=25，=35，=27，=12， =8，=9， =4.=.所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．【答案】62人A B C A B C A C A B C B C A B C A B A B C A B C A B A C B C A B C =++---+⨯C 语文B 美术A 自然ABC B C A B A C A B C A B C A B C A B A C B C A B C ++---+【例 8】 在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：⑴ 三种都带了的有几人？⑵ 只带了一种的有几个？【考点】三量重叠问题 【难度】4星【题型】解答【解析】 如图，用A 圆表示带汉堡的人，B 圆表示带鸡腿的人，C 圆表示带芝士蛋糕的人．⑴ 根据包含排除法，总人数=（带汉堡的人数+带鸡腿的人数+带芝士蛋糕的人数-）（带汉堡、鸡腿的人数+带汉堡、芝士蛋糕的人数+带鸡腿、芝士蛋糕的人数+）三种都带了的人数，即10664321-++-+++（）（）三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10100-=(人)．⑵ 求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数，即103214-++=（）(人)．只带了一种的有4人．【答案】（1）0人，（2）4人【巩固】 盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．【考点】三量重叠问题【难度】4星 【题型】解答 【解析】 略【答案】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数=(要可乐的人数+要雪碧的人数+要橙汁的人数)-(要可乐、雪碧的人数+要可乐、橙汁的人数+要雪碧、橙汁的人数)+三种都要的人数，即至B AC少要了一种饮料的人数为：55532219++-+++=（）（）(人)．1091-=(人)，所以其中有1人这三种饮料都没有要．【例 9】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B+圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ． =30，=6，=8，=5，=73， 而=. 有73=30×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所CBA10A B C ==A B B C A C A B C A B C A B C +--A B B C A C A B C --+AB C A B C以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 10】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】 阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次．所以三张纸重叠部分的面积60310040220=⨯--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】 如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】 设A 与C 公共部分的面积为x ，由包含与排除原理可得：⑴ 先“包含”：把图形A 、B 、C 的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵ 再“排除”：5687x ---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶ 再“包含”：56873x ---+，这就是三张纸片覆盖的面积． 根据上面的分析得：5687338x ---+=，解得：6x =．【答案】6【例 11】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有=200个，7的倍数有=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有=28个．所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个； B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】43【例 12】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星 【题型】填空10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 （法1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑自行车的有33人，而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27334812+-=人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有1240484+-=人.该情况可以用线段图来构造和示意：（法2）设三项运动都会的人有x 人，只会两项的有y 人，只会一项的有z 人， 那么根据在统计中会n 项运动的学生被统计n 次的规律有以下等式：3227334048,,0x y z x y z x y z ++=++⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩由第一条方程可得到10032z x y =--，将其代入第二条式子得到： 100248x y --≤，即252x y +≥①而第二条式子还能得到式子48x y +≤，即248x y x +≤+②联立①和②得到4852x +≥，即4x ≥．可行情况构造同上． 【答案】4【巩固】 某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人．【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】 根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071++=人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而712351÷=，所以至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科．那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215+-÷=人，参加语文、英语两科的共有281513-=人，参加数学、英语两科的共有20137-=人．也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人．（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）【答案】35【随练1】 四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人． ⑴ 问语文数学都写完的有多少人？ ⑵ 只写完语文作业的有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴ 由题意，有48642-=(人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：3020428+-=(人)．⑵ 只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30822-=(人)．【答案】22人【随练2】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】 根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，共是425533130++=人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：课堂检测130********-+++=（）(人)．或者根据学过的公式：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+，参加棋类比赛的总人数为：42553318109598++---+=(人)．【答案】98人【随练3】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【作业1】 四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有 人。

星系站备课教员：第二讲容斥原理一、教学目标： 1. 理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。

2. 培养逻辑思维和数学思考能力。

3. 培养良好的书写习惯。

二、教学重点：理解容斥原理，会画图分析其中关系。

三、教学难点：理解容斥原理，会画图分析其中关系。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（40分钟）一、外星游记（5分钟）师：一个家庭里有2个爸爸和2个儿子，同学们你们知道这个家庭有几个人吗？生1：4个啊，2+2=4啊。

生2：一个家庭怎么会有2个爸爸呢？师：这问题问的太好了，同学们，你爸爸叫你爷爷叫什么？生：爸爸啊。

师：那你爷爷管你爸爸叫什么呢？生：儿子。

师：所以这个家庭有几个人啊？生：3个。

师：也就是说爸爸既是爸爸也是儿子对吗？生：是的。

师：所以对于重复的题，我们在计算的时候要排除。

也就是我们这节课所要学习的内容。

【板书课题：容斥原理】二、星海遨游（30分钟）（一）星海遨游1（10分钟）一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

师：同学们，最后班主任问了什么问题？生：谁语文、数学作业都没有做完？师：是的，但是有没有人举手啊？生：没有。

师：那说明什么？生：全班的人都至少做完一门作业。

师：至少做完一门作业都包括什么呢？生：只做完数学作业，只做完语文作业，语文、数学作业都做完。

师：现在我把我们班分成三组，第一组代表只做完语文作业的，第二组代表语文、数学都做完的，第三组代表只做完数学作业的，都明白自己都代表什么吗？生：明白。

师：那么我们班的人数怎么求？生：就等于三个组的人数和。

师：如果我问谁做完语文作业，那么哪些人会举手？生：第一组和第二组的人。

师：这些人有多少个？生：……（根据实际情况的人数）师：那如果我问谁做完数学作业呢？生：第二组和第三组的人。

容斥原理“我有森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有翅膀，我应该是属于鸟类的。

种鸟类。

狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象80”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。

“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见出森林中一共有60种兽类。

最后狮子大王问：”高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。

了仙鹤和大象的统计结果，这个统计正确吗？”这个故事说明了一个同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。

数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。

当需要计数的两类事物互相包含（有部：当两个计数分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。

由此我们得到逐步排除法（容斥原理）部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。

1容斥原理属+ A类元素个数两类，那么， A类B类元素个数总和= 属于、如果被计数的事物有AB B类的元素个数。

类元素个数—既是于BA类又是B B = A+B - A∩即A∪2容斥原理类元素个A类和B类和C类元素个数总和= 、如果被计数的事物有AB、C三类，那么，A类的元素B类的元素个数—既是A类又是C类元素个数数+ B+C类元素个数—既是A类又是类的元素个数。

类而且是C+个数—既是B类又是C类的元素个数既是A类又是B CC - C∩A + A ∩B∩B - BB即A∪∪C = A+B+C - A∩∩1容斥原理人语、人语文得满分，并且有4人数学得满分，有】【例1★一次期末考试，某班有1512数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？类元素”，【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类的元素”，BA类元素”，“语、数都是满分”称为“既是类又是“语文得满分”称为“B 类元素个数”的总和。

第35讲容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。

Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。

两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。

两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。

第七讲 容斥问题告诉你本讲的重点、难点当两个计数部分有重复时，为了不熏复计数，就要从它的和中减法重复部分，这就是简单的容斥原理，也叫做包含与排除原理．在解答容斥问题时，经常需要通过画集合圈的方法来帮助思考，找出解题的思路．看老师画龙点晴，教给你解题诀窍【例1】在1～100的自然数中，3的倍数和5的倍数的个数共是多少？分析与解 在1～100的自然数中，3的倍数有33个，5的倍数有20个，但并不能认为3的倍数和5的倍数的个数共有532033=+个，因为在这些倍数中还有像15，30，…这样的数，它们既是3的倍数，又是5的倍数，在统计3和5的倍数的总数时，这样的数就被计算了两次，所以还要减去15的倍数，经计算，在1～100的自然数中，15的倍数一共有6个．所以4762033=-+答：3的倍数和5的倍数的个数共是47．【例2】某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀．这部分学生达到优秀的项目、人数如下表： l 短跑 游泳 篮球 短跑、游泳 游泳、篮球 篮球、短跑 短跑、游泳、篮球117 18 15 6 6 5 2求这个班的学生人数．分析与解 如图，图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人数．只有篮球一项达到优秀的有625615=+--（人）；只有游泳一项达到优秀的有826618=+--（人）；只有短跑一项达到优秀的有825617=+--（人）．获得两项或者三项优秀的有1322566=⨯-++（人）．另有4人一项都没获优秀，所以，这个班学生人数是39488613=++++（人）．【例3】分母是385的最简真分数有多少个，并求这些真分数的和.分析与解 因为,1175385⨯⨯=所以在1～385这385个自然数中，5的倍数有：;775385=÷ 7的倍数有：11;557385=÷的倍数有：35,3575=⨯的倍数有：55,55115;1135385=⨯=÷的倍数有：;755385=÷77,77117=⨯的倍数有577385=÷（个）；385的倍数有1个，由容斥原理知，在1～385中能被5，7或11整除的数有=+++-++1)5711(355577145（个），而5，7，11互质的数有240145385=-（个），即分母为385的真分数有240个．若有一个真分数为,385a 则必还有另一个真分数,385385a -即以385为分母的最简真分数是成对出现的，而每一对之和恰为1．故以385为分母的240个最简分数可以分成120对，它们的和为.1201201=⨯【例4】某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人；同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人；三个小组都参加的有2人，问：这个年级参加课外学科小组的共有多少人？分析与解 设A ，B ，C 分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域Ⅶ表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2．区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为224=-（人）．区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为527=-（人）．区域V 表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为325=-（人）．区域I 表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为1452223=---（人）．同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为54235282014=++++++（人）． 答：这个年级参加课外学科小组的共有54人，做题也有小窍门噢!计算这类问题 ，关键是弄清楚计数时哪些是重复计数了，重复了几次，扣除时根据重复计数的次数扣除；防止漏扣和多扣。

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

原理一：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

（A∪B = A+B - A∩B)原理二：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C 类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）两根完全相同的木条，各长100厘米，将两根木条中间钉在一起后成了一根长木条，中间钉在一起的重叠部分长10厘米，现在这根长木条的长度是多少？（思维潜能P86）（中环杯培训题）解析：两根木条钉在一起，其中一根木条10厘米的部分将另一根木条10厘米的部分遮住了，那么在统计总长时这遮住的10厘米需要扣除。

步骤：100+100－10=190（厘米）难度系数：A某班共有36人，参加书法小组的有12人，参加折纸小组的有14人，有5人两个小组都参加。

这个班既没参加书法小组，也没参加折纸小组的有多少人？（思维潜能P86）（中环杯培训题）解析：图中长方形的覆盖面积表示全班的人数，即36人。

图中两个圆形分别表示折纸小组的人数与书法小组的人数，则两个圆圈的覆盖面积表示至少参加一个小组的总人数，其余部分则表示即没有参加书法小组也没有参加折纸小组的人数。

步骤：12+14－5=21（人）36－21=15（人）植树节某校除一年级外，其他四个年级共有120人参加了植树活动。

第9讲 容斥原理【学习目标】1、理解容斥原理的研究的范围；2、掌握容斥原理的分析方法；3、学会利用相关分析方法解题。

【知识梳理】1、容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。

2、常用工具：韦恩图，线段图，方程，高斯记号3、常见题型：数论，几何。

【典例精析】【例1】五年级的学生一共有42人，参加奥数补习的有30人，参加语文补习的有25人，所有五年级学生都至少补习奥数和语文中的一门。

请问五年级中两门都补习的学生有多少人？30+25-42=13（人）【趁热打铁-1】实验小学五年级一班共有40名同学采集标本，每个同学至少要采集一种标本。

采集昆虫标本的有28人，采集植物标本的有19人，两种都采集的有多少人？28+19-40=7（人）【例2】星星艺术团有32名同学，其中有14人会拉小提琴，有21人会弹钢琴，小提琴和钢Nab NbNa琴都会的8人，既不会小提琴又不会弹钢琴的有多少人？32-（14+21-8）=5（人）【趁热打铁-2】学校组织100名家长去香港旅游，其中有10人既不懂英语又不懂粤语，有75人懂英语，83人懂粤语。

既懂英语又懂粤语的有多少人？（75+83）-（100-10）=68（人）【例3】在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？5的倍数：100÷5=20(个)6的倍数：100÷6≈16(个）.5和6的倍数：100÷30≈3(个）100-(20+16-3)=67(个）【趁热打铁-3】在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？5的倍数：200÷5=40(个)8的倍数：200÷8=25(个）5和8的倍数：200÷40=5(个）200-(40+25-5)=140(个）【例4】奥斑马、小美、欧欧给100盆花浇水．奥斑马浇了78盆，小美浇了68盆，欧欧浇了85盆．那么，至少有______盆花被浇了三次水。

第三十五周容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。

Nab NbNa例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。

这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。

所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。

练习一1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。

这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。

又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识点说明一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：知识精讲教学目标 7-7 容斥原理1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．板块一、两量重叠问题【例 1】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？图32厘米4厘米【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【巩固】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【例 2】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 【解析】 如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．C B A方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28291245+-=(人)．【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．如图，A 圆表示学画画的人，B 圆表示学钢琴的人，C 表示既学钢琴又学画画的人，图中A 圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．【例 3】 一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【解析】 不妨用下图来表示：线段AB 表示全班人数，线段AC 表示做完语文作业的人数，线段DB 表示做完数学作业的人数，重叠部分DC 则表示语文、数学都做完的人数．根据题意，做完语文作业的有37人，即37AC =．做完数学作业的有42人，即42DB =．374279AC DB +=+=(人)① 48AB =(人)② ①式减②式，就有794831DC =-=(人)所以，数学、语文作业都做完的有31人．【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】 因423476+=，7663>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63=．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．也可画图分析．【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【解析】 根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：1018721+-=(人)．【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【解析】 如图，A 圆表示参加象棋比赛的人，B 圆表示参加军棋比赛的人，A 与B 重合的部分表示同时参加两项比赛的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有321814-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有C B A 两项比赛都参加的只参加军棋比赛的只参加象棋比赛的281810-=(人)．由此得到参加棋类比赛的人有14181042++=(人)．或者根据包含排除法直接得：32281842+-=(人)．【例 4】 (第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】 方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315-68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．【巩固】 名学生参47加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？【解析】 如图，用长方形表示这47名学生，A 圆表示语文得分95分以上的人数，B 圆表示数学得95分以上的人数，A 与B 重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数． 由图中可以看出，全体人数是至少一门在95分以上的人数与两门都不在95分以上的人数之和，则至少一门在95分以上的人数为：472225-=(人)．根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为：14212510+-=(人)．【巩固】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【解析】 已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为1223530+-=(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是463016-=(人)．【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【解析】 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26221236+-=(人)，所以，两项比赛都没有参加的人数为：45369-=(人)．【巩固】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？【解析】 如图，用长方形表示参加考试的人数，A 圆表示第一部分对的人数．B 圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数． 已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：251213-=(人)．又因为第二部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的19136-=(人)必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人．【巩固】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【解析】 如图，用长方形表示全班人数，A 圆表示会游泳的人数，B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数． 由图中可以看出，全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数，两门都不在95分以上的数学95分以上的语文95分以上的两门95分以上的A B 两部分全对的两部分都有错的只做对第二部分的只做对第一部分的会打篮球会游泳两项都会至少会一项的人数为：20251035+-=(人)，全班人数为：35944+= (人)．【例 5】 在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？【解析】 如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A 圆表示采了樱桃的人数，B 圆表示采了杏的人数．长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46640-=(人)，而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：4018715--=(人)．【例 6】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？【解析】 68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的．如图，用圆A 表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B 圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃．因甲乙两组共擦了60块玻璃，那么68526060+-=(块)，这是两个丙组擦的玻璃数．60230÷=(块)．丙组擦了30块玻璃．乙组擦了：683038-=(块)玻璃，甲组擦了：523022-=(块)玻璃．【巩固】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？【解析】 通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16，通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15，那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12幅，那么久可以求出其他年级的画作共有3幅．【例 7】 一次数学测验，甲答错题目总数的14，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的16。

容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。

”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。

狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。

”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。

最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。

”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。

”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。

当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。

由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。

容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。

即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。

即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。

容斥原理“我有森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有翅膀，我应该是属于鸟类的。

种鸟类。

狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象80”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。

“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见出森林中一共有60种兽类。

最后狮子大王问：”高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。

了仙鹤和大象的统计结果，这个统计正确吗？”这个故事说明了一个同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。

数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。

当需要计数的两类事物互相包含（有部：当两个计数分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。

由此我们得到逐步排除法（容斥原理）部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。

1容斥原理属+ A类元素个数两类，那么， A类B类元素个数总和= 属于、如果被计数的事物有AB B类的元素个数。

类元素个数—既是于BA类又是B B = A+B - A∩即A∪2容斥原理类元素个A类和B类和C类元素个数总和= 、如果被计数的事物有AB、C三类，那么，A类的元素B类的元素个数—既是A类又是C类元素个数数+ B+C类元素个数—既是A类又是类的元素个数。

类而且是C+个数—既是B类又是C类的元素个数既是A类又是B CC - C∩A + A ∩B∩B - BB即A∪∪C = A+B+C - A∩∩1容斥原理人语、人语文得满分，并且有4人数学得满分，有】【例1★一次期末考试，某班有1512数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？类元素”，【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类的元素”，BA类元素”，“语、数都是满分”称为“既是类又是“语文得满分”称为“B 类元素个数”的总和。