小学数学六年级奥数《容斥原理(1)》练习题(含答案)

六年级奥数题及答案-容斥原理问题学好奥数的小窍门有的人认为学习是一门苦差事，也有的人认为学习是一种很有意思的事，觉得学习很轻松很快乐。

其实人在智力上并没有多大的区别，主要是学习习惯或学习方法不对头，所以才导致很多人觉得学习很难，很怕学习。

所以我们就是要不断培养学习的兴趣和努力学习。

下面我们就一起来欣赏下奥数题吧。

容斥原理问题1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )A 43,25B 32,25 C32,15 D 43,11解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11最大值就是含铁的有43种2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )A，5 B，6 C，7 D，8解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。

分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③由（4）知：a1＝a2+a3……④再由②得a23＝a2－a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥然后将④⑤⑥代入①中，整理得到a2×4+a3＝26由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次； 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。

容斥原理练习题【练习 1】47 名学生参加数学和语文考试，其中语文得分 95 分以上的 14 人， 数学得分 95 分以上的 21 人，两门都不在 95 分以上的有 22 人．问：两门都在 95 分以上的有多少人？【解析】如图，用长方形表示这47 名学生， A 圆表示语文得分95 分以上的人数，B 圆表示数学得95 分以上的人数，A 与B 重合的部分表示两门都在95 分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95 分以上的人数．由图中可以看出，全体人数是至少一门在95 分以上的人数与两门都不在95 分以 上的人数之和，则至少一门在95 分以上的人数为： 47 - 22 = 25 (人)．根据包含排除法，两门都在95 分以上的人数为：14 + 21 - 25 = 10 (人)．【练习 2】某班有 42 人，其中 26 人爱打篮球，17 人爱打排球，19 人爱踢足球， 9 人既爱打篮球又爱踢足球，4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【解析】由于全班42 人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42 人．根据包含排除法， 42 =（26 + 17 + 19）-（9 + 4 + 既爱打篮球又爱打排球的人数）+ 0 ，得到既爱打篮球又爱打排球的人数为： 49 - 42 = 7 (人)．95分以上的 数学95分以上的 B不在两门95分以上的 语文95分以上的 A 两门都【练习 3】四(二)班有48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30 人，写完数学作业的有20 人，语文数学都没写完的有6 人．（1）问语文数学都写完的有多少人？（2）只写完语文作业的有多少人？【解析】（1）由题意，有48 - 6 = 42 (人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：30 + 20 - 42 = 8 (人)．（2）只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30 - 8 = 22 (人)【练习 4】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34 人，手中有黄旗的共有26 人，手中有蓝旗的共有18 人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6 人．而手中只有红、黄两种小旗的有9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有3 人，那么这个班共有多少人？【解析】如图，用A 圆表示手中有红旗的，B 圆表示手中有黄旗的，C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：（34+ 26 +18）-（9+ 4 + 3）- 6 ⨯ 2 = 50 (人)．A BC。

第5讲容斥原理知识网络我们经常会遇到这样一类问题，题目中涉及到包含与排除，也就是说有重叠部分。

解答此类问题的主要依据是容斥原理。

容斥原理一：设A、B是两类有重叠部分的量（如图1所示），若A对应的量为a，B对应的量为b，A与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b-ab容斥原理二：设A、B、C是三类有重叠部分的量（如图2所示），若A对应的量为a，B 对应的量为b，C以应的量为c，A与B重叠部分以应的量为ab，B与C重叠部分对应的量为bc，C与A重叠部分对应的量为ca，A、B、C三部分重叠部分对应的量为abc，则这三类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b+c-ab-bc-ca+abc重点·难点容斥原理的表述虽然简单，但涉及容斥原理的题型很多，范围很广。

我们往往会遇到一些看似与容斥原理无关的问题，然而通过恰当的转化，便可利用容斥原理顺利求解。

如何分析题目，准确找到重叠部分，将问题转化成可用容斥原理解决的问题是本节的难点。

学法指导解决本节问题的最基本方法是示意图法，即通过示意图来表示题目中的数量关系，使分析、推理与计算结合起来，达到使题目的内容形象化，数量之间关系直观化的目的。

因此，这就要求我们在解题过程中，仔细分析，找出所需量并用示意图表示出来，进而通过观察示意图，确定几类量的重叠部分，然后运用容斥原理解决问题。

经典例题[例1]分母是1001的最简真分数，共有多少个？思路剖析分母是1001的真分数有共1000个，为了方便计算，增加一个分数在1001个分数中考虑问题。

由于1001=7×11×13，所心1~1001的分子里只要含有7、11、13的倍数的就一定能同分母约分，即不是最简真分数，应排除掉。

因此，首先应考虑1~1001中，有多少个7、11或13的倍数。

解答因为1001=7×11×13，所以在1~1001的自然数中，7的倍数共有（11×13）个，11的倍数共有（7×13）个，13的倍数共有（7×11）个；7、11年公倍数有13个，7、13的公倍数有11个，11、13的公倍数有7个；7、11、13的公倍数有1个（即1001）。

容斥原理1.一个俱乐部，会下象棋的有69人，会下围棋的有58人，两种棋都不会下的人有12人，两种棋都会下的有30人，问这个俱乐部一共有多少人？【答案】109人.2.一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.【答案】31人.3.调查一群小朋友最喜欢吃的水果中，有三种水果最喜欢（苹果、香蕉、草莓），每人都有自己喜欢吃的。

其中喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃香蕉的有25人，喜欢吃草莓的有30人，既喜欢苹果又喜欢香蕉的有8人，既喜欢苹果又喜欢草莓的有7人，既喜欢香蕉又喜欢草莓的有6人，三种都喜欢的有4人，请问一共有多少个小朋友？【答案】58个.4.对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的含有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种？【答案】4种.5.一次考试共有两题，第一题做对有20人，其中5人第二题错了；第二题总共30人做对，有3人一道题都没做对，请问一共有多少人报名参加？【答案】38人.6.光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？【答案】18幅.7.在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕。

2个人既带了汉堡又带了芝士蛋糕.问：（1）三种都带了的有几人？（2）只带了一种的有几个？【答案】（1）0人（2）4人.8.有100名学生，按照1-100编号，面对老师站成一排，第一次让编号是2的倍数的学生向后转，第二次让编号为5的学生向后转，那么最后面对老师的学生有多少名？【答案】50名.9.某学校五年二班参加语文、数学、英语三科考试，语文90分以上的有21人，数学有19人，英语有20人，语文数学都在90分以上的有9人，数学英语在90分以上的有7人，语文英语都在90分以上的有8人，另外有5人三科都在90分以下，这个班最多有多少人？【答案】48人.10.一小偷藏匿于某商场，三名警察甲、乙、丙分头行动搜查商场的100家商铺.已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，则三人都检查过的商铺至少有多少家？【答案】10家.。

容斥原理
1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

2、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？
3、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？
4、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。

这个文艺组一共有多少人？
5、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？
6、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加？
7、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。

两种报纸都没有订阅的有多少人？
8、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。

已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？。

容斥原埋在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。

例1、桌上有两张圆纸片A、B.假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式（1）可以算出为：｜A∪B｜=30＋20-10＝40（平方厘米）。

例2、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。

分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除.根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为14个，而其中被3和7都能整除的数有4个，因而得到解：设A=｛在1～100的自然数中能被3整除的数｝，B＝｛在1～100的自然数中能被7整除的数｝，则A∩B=｛在1～100的自然数中能被21整除的数｝。

∵100÷3＝33…1，∴｜A｜＝33。

∵100÷7＝14…2，∴｜B｜=14。

∵100÷21＝4…16，∴｜A∩B｜=4。

由容斥原理的公式（1）：｜A∪B｜＝33＋14-4=43。

答：在1～100的自然数中能被3或7整除的数有43个。

例3、求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析如果在1～100的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩下的数就既不是5的倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。

解：设A＝｛在1～100的自然数中5的倍数的数｝，B=｛在1～100的自然数中6的倍数的数｝，数.为此先求｜A∪B｜。

∵100÷50=20，∴｜A｜=20又∵100÷6＝16…4，∴｜B｜=16∵100÷30＝3…10，∴｜A∩B｜=3，｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=20＋16-3＝33。

1、先包含——A ＋B 重叠部分A ∩B 计算了2次，多加了1次；2、再排除——A ＋B －A ∩B小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习容斥原理1：两量重叠问题计算公式：A ∪B=A ＋B-A ∩B说明：A ∪B 读作：“A 并B ”，表示A 、B 情况的总和。

A ∩B 读作：“A 交B ”，表示A 、B 的公共部分。

容斥原理2：三量重叠问题计算公式： A ∪B ∪C= A ＋B ＋C －A ∩B －B ∩C －A ∩C －A ∩B ∩C说明：A ∪B ∪读作：“A 并B 并C ”，表示A 、B 、C 情况的总和。

A ∩B ∩C 读作：“A 交B 交C ”，表示A 、B 、C 的公共部分。

1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。

中间重叠部分长11厘米。

这两块木板各长多少厘米？3、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？4、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。

问两项比赛都参加的有几人？5、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。

这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？6、三（2）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三(1)班有学生多少人？7、校运动会上，四个年级共有118人参加跑步比赛。

其中一、二年级共有70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加。

问:四年级有多少学生参加跑步比赛？8、某校三年级共有三个班级128名学生，一班和二班共有89人，二班和三班共有87人。

三年级各班有多少名学生？A ∩C A ∩B ∩C B ∩C A ∩B 图中小圆表示A 的个数，中圆表示B 的个数，大圆表示C 的个数 1、先包含——A ＋B ＋C 重叠部分A ∩B 、 B ∩C 、 A ∩C 重叠了2次， A ∩B ∩C 重叠了3次。

奥数容斥原理练习题1、六（1）班54名学生都订了报纸，其中订阅《儿童报》的有34人，订阅《少年的》的有30人，有多少订阅了两种报纸？2、1～200中，能被3和5整除的数共有多少个？3、1～1000中不能被5和7整除的数共有多少个？4、五（1）班有58人参与三项课外活动小组，其中32人参与文学组，24人参与美术组，30人参与音乐组，既参与文学组又参与美术组的有13人，既参与美术组又参与音乐组的有12人，既参与文学组又参与音乐组的有11人，三项活动小组都参与的有几人？5、康大六校五年二班学生参与语文、数学、英语三科考试，90分以上的语文有21人，数学有19人，英语有20人，语文、数学都在90分以上的有9人，数学、英语在90分以上的有7人，语文、英语都在90分以上的有8人，另有5人三科都在90分以下，这个班最多能有多少人？6、两辆汽车从A、B两地同时动身相向而行，客车每小时行32千米，货车每小时行30千米，两车相遇后又离去。

已知动身5小时后两车相距93千米，求AB两地相距多少千米？7、100个学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂得两种外语的有几人？8、100个青年中，会骑自行车的83人，会游泳的75人，两样都不会的有10人，两样都会的有几人？9、康大学校第14届秋季运动会中，参与100米短跑的共156人，比参与200米短跑的少40人，比参与50米短跑的多26人，同时参与100米和50米短跑的有74人，同时参与200米和100米的有80人，是同时参与50米和200米人数的2倍，同时参与50米、100米和200米的有30人，求这届运动会中参与50、100米和200米的共有多少人？10、五（6）班有54人参与秋游活动其中35人喜爱玩“捉特务”，45人喜爱玩“老鹰捉小鸡”，40人喜爱踢足球，50人喜爱跳牛皮筋，你是否可以确定这个班至少有多少学生对这四项活动都喜爱。

小学数学题型归纳：容斥原理练习题（附答案）_
学习方法网小编为各位同学整理了小学数学题型归纳，是我们平时学习中的一大难点，希望能对各位同学有所帮助。

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小学数学题型归纳：容斥原理练习题（附答案）
【题目】
某大学的一间学生宿舍里居住着8名大学生，已知其中有6人会游泳，有5人会滑冰，有4人会打乒乓球.该宿舍内这两种运动都会的最多能有人。

【答案】
6+5+4=15，152=71，所以最多能有7人会两种。

今天就和大家就分享到这，祝各位同学学习愉快！。

第9讲容斥原理（一）森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。

”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有80种鸟类。

狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。

”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。

最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。

”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。

”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。

当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。

由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。

例如：请看下图，在长为30厘米，宽为20厘米的长方形铁板上钻了一个半径为5厘米的圆孔，请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？这个图形是一个不规则图形，如果我们直接计算很难，由上图容易看出阴影面积加圆面积恰好等于长方形面积，而长方形面积与圆的面积都很好计算，因而有：阴影面积=20×30-5×5×π=600-25π（平方厘米）。

由此我们得到排除法：两个分量之和等于总量，当计算一个分量时，可用总量减去另一个分量。

即若A＋B=C，则A=C-B。

请看下面的例题。

例1 一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。

已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？分析：两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。

一.练习故本练习所以志愿练习练习练习练习60-练习所以财政练习则有人。

二.练习阴影∩A 练习A+250-练习集合两种三.两个元素的习1.【解析本题正确答习2.【解析以有10+17-愿者的有17习3.【解析习4.【解析习5.【解析习 6.【解析-12=29+34-习7.【解析解法如下以既不是会政局共有17习8.【解析有88-15=73用集合图三个元素的习1. 影面积为A A +A∩B∩C 习2.2B+3T=40+3-48=2人。

习3.合问题。

63种考试参加画图法 的公式析】考查容斥答案为D。

析】本题属-20=7人既7-7=10人。

析】集合问题析】设两种乐析】由题意可析】可看成-x，解得x=析】集合问题下：会计处也不是71+41=212析】本题答案3人是既有形求解如下的公式A∩B∩C，C，290=6436+30=106所以选B.3+89+47-46的”不包括第六斥原理|A∪于集合问题既是奥运会志所以选择题，489+60乐器都会的可知俱乐部成集合问题=15，所以选题。

是宣传处的人，故应选案为D。

有有手机又有电下：？=76-所以根据公4+180+1606,B+3T=286-24×2+15括“准备选六节 容斥B|=|A|+|B 题。

由题干志愿者也是择C 选项。

06-x=750，的人为x，则部一共有69。

设既穿黑选C。

的人共有（2选D。

有手机的88电脑的人。

-73=3。

公式A∪B -24-70-36+26+24=785=120。

故本选择三种考试斥原理B|-|A∩B|=可知，有5是全运会志愿得到 x=34则62-4+x＝9+58+12-30黑上衣又穿206+177-41人中有15故有电脑没∪C = A+B 6+X，得出8,A+B+T=2本题选A。

试参加的人=27+108-（450-30=20人愿者，所以45。

＝56+11，解0＝109（人穿黑裤子的有）÷2=171人只有手机没手机的人B+C - A∩B X=16，选28+20=48,注：在这里人数”。

容斥原理(一）【例题分析】例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。

如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？分析与解：阴影部分是直角三角形,是两个图形的重叠部分，它的面积是：（平方厘米)方法一：（平方厘米）方法二:（平方厘米）方法三：(平方厘米）答：盖住桌面的面积是67平方厘米。

例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。

也可以这样解：(人）或(人）答：两组都参加的有5人。

例3。

六一班有学生46人,其中会骑自行车的有19人,会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人,从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。

（人)（人）答：既不会骑车又不会游泳的有9人。

例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组,参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人,参加手工小组有31人,同时参加美术和音乐两个小组有5人,同时参加音乐和手工两个小组有6人,同时参加美术和手工两个小组的有7人,三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分.（人）答：这个年级参加课外小组的有60人。

例5。

某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀,其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况,请你算出全班人数.短跑投掷跳远跑跳跑投跳投三项19 21 20 9 10 6 3分析与解:根据题意画出如下图要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数,加上三项都未达到优秀的,就是全班人数。

容斥原理在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。

试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。

）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数1、某艺术团的小演奏家们每人都至少会演奏小提琴和钢琴中的一种。

他们中有32人会拉小提琴，27人会弹钢琴，小提琴和钢琴都能演奏的有11人。

这个团共有多少个小演奏家？2、一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且全班每人至少参加一个队。

问：这个班两队都参加的有多少人？3、京华小学五年级学生采集标本。

采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人。

全班学生共有40人，没有采集标本的有多少人？4、有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂日语，有75人懂英语，83人懂日语。

奥数计数问题容斥原理练习题一1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有多少人.2．三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组，其中参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有多少人?3.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为多少人.4.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有多少人.5.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有多少人,最多有多少人.6.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有多少人.7.某班学生中，参加语文小组的有20人，参加数学小组的有22人，既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学的有15人。

问：该班学生共有多少人？8.某班学生参加数，理，化三科考试，数，理，化优秀的学生分别有30人，28人，25人，数理，理化，数化都优秀的学生分别有20人，16人，17人，三科全优秀的有10人。

问：数，理，化三科至少有一科优秀的有多少人？10.有两块木板，一块长72厘米，另一块长56厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块木板，重叠部分是20厘米。

求钉成后的木板长多少厘米?奥数计数问题容斥原理练习题二知识要点：排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。

[ 例1 ] 洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？分析：两块手帕有一边重叠，用3个夹子。