第3章(3.6)换元法高等数学微积分课件

微积分 极坐标及换元法
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
43

例14 设 f (sin2 x) cos2 x, 求 f ( x) .
解 令 u sin2 x cos2 x 1 u,
f (u) 1 u,
f
(u)
1
udu
u
1 2
u2
C
,
f (x) x 1 x2 C. 2
例15 求
1 4 x2 arcsin xdx.
2
解
4
1 x2 arcsin
三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需 根据被积函数的情况来定.
例19
求
x5 dx 1 x2
（三角代换很繁琐）
解 令 t 1 x2 x2 t 2 1, xdx tdt,
x5 dx
1 x2
t
2
t
1
2
tdt
t 4 2t 2 1 dt
1 t5 2 t3 t C 1 (8 4x2 3x4 ) 1 x2 C.
xdx
2
1
x
d
1
x 2
2
arcsin
x 2
2
1 arcsin
xd
(arcsin
x 2
)
ln arcsin x C. 2
2
二、第二类换元法 问题 x5 1 x2dx ?
解决方法 改变中间变量的设置方法.
过程 令 x sin t dx cos tdt,
x5 1 x2dx (sin t)5 1 sin2 t cos tdt
一、第一类换元法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx

sec xdx ln | sec x tan x | C csc xdx ln | csc x cot x | C
dx 1 ln | a x | C a2 x2 2a a x
dx x2 a2
1 ln | x a | C 2a x a
2 ud tanu u2
2u tan u 2 tan udu u2
2u tan u 2ln cosu u2 C
2 x tan x 2ln cos x x C
◆求不定积分方法小结
直接积分法——变形、用公式（24条）

2
(1
1 )du u2 1

2u
arctanu

C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
原式
3u2 du 3 u 1
( t )
对于
a2 x2 ,
2
2
令 x a tan t,则
a2 x2 asect
( t )
对于
x2 a2 ,
令
22
x asect,
则
x2 a2 a tan t
(0 t )
t 上式中，均假设 a 0, 为各2 对应反三角函数的主值区间。
ex (x2 2x 2) C
例3 求不定积分 x2 ln xdx
udv uv vdu
解 原式 1 ln xdx3 3
幂函数对数函数dx

a
a
14
换元积分法
a
2
1
x2
dx
1 a
arctan
x a
C
例
求
x2
1 8x
dx 25
解
x2
1 8x
dx 25
1 ( x 4)2
dx 9
1
d( x 4)
32 ( x 4)2 dx 32 ( x 4)2
1 arctan x 4 C
3
3
15
换元积分法
1 dx arcsinx C 1 x2
2 sin xd(sin x) u sin x 2 udu u2 C
sin x2 C
6
换元积分法
xdx x1 C
1
法三 sin 2 xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd(cos x) u cos x 2 udu
u2 C cos x2 C
注 同一个积分用不同的方法计算,可能 得到表面上不一致的结果,但是实际上都 表示同一族函数.
解
法一
csc
xdx
1 dx sinx
2 sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
lntan x C ln(csc x cot x) C
分 步 凑
2
（使用了三角函数恒等变形）
25
换元积分法
a2
1
x2 dx
(a
0)
10
注 不同角度的正弦、余弦之积的积分常用 积化和差公式来化简.