行列式的性质

k
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a11 a12 a13 a14
k 0 0
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：
a11 a12 b12 a13 D a21 a22 b22 a23 a31 a32 b32 a33 a11 a12 a13 a11 b12 a13 D a21 a22 a23 a21 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则 行列式可按该行（列）拆成两个行列式的和。 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d a1 a2 0 1 xa a D a a
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
ri krj (ci kc j ).
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 , a31 a32 a33
则 D D1 .
a11 D1 a21 a31
a12 ka13 a22 ka23 a32 ka33
性质1
行列式与它的转置行列式相等,即 D D .
T
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立.
性质2
交换行列式的两行（列）,行列式变号.
注：交换第 i 行（列）和第j 行（列），记作 ri rj (ci c j ) .

§1.2 行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一种特殊的方阵，由一个方阵中的所有元素按照一定规则构成。

行列式具有一些重要的性质和计算方法，以下是关于行列式的性质与计算的介绍。

一、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的独立性。

即对于一个n阶行列式，它的行和列都是n个独立的元素，可以独立进行变换，而不影响其他元素的位置。

2.行列式的行和列具有相同的代数余子式。

即对于一个n阶行列式，它的行代数余子式和列代数余子式都是n阶行列式，可以通过伴随矩阵的方式求得。

3.行列式的行和列具有相同的转置矩阵。

即对于一个n阶行列式，它的行转置矩阵和列转置矩阵都是n阶矩阵，可以通过转置矩阵的方式求得。

4.行列式的行和列具有相同的逆矩阵。

即对于一个n阶行列式，它的行逆矩阵和列逆矩阵都是n阶矩阵，可以通过逆矩阵的方式求得。

5.行列式的行和列具有相同的特征值。

即对于一个n阶行列式，它的行特征值和列特征值都是n个独立的特征值，可以通过特征多项式的方式求得。

二、行列式的计算1.按照定义计算。

行列式的定义是一个由方阵中的元素按照一定规则构成的多项式，可以按照定义直接计算。

2.化简计算。

行列式中的元素可以进行化简和约分，使得计算更加简便。

3.公式计算。

行列式有一些常用的公式，可以通过这些公式进行计算。

4.软件计算。

现在有很多数学软件可以用来计算行列式，例如MATLAB、Mathematica等等。

三、特殊行列式的计算1.二阶行列式的计算。

二阶行列式只有两个元素，可以通过交叉相乘的方式计算。

2.三阶行列式的计算。

三阶行列式有六个元素，可以按照展开式的公式进行计算，也可以通过软件计算。

3.n阶行列式的计算。

对于n阶行列式，可以使用Laplace展开式进行计算，也可以使用软件进行计算。

四、行列式的应用1.在解线性方程组中的应用。

通过求解线性方程组的系数矩阵和常数向量，可以得到方程组的解。

而系数矩阵就是一个n阶行列式，因此行列式在解线性方程组中有着重要的应用。

=k
a21 …
a22 … a2n ………
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann
= (1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 (ka2 j2 )a3 j3 anjn
= k
(1) a a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2 3 j3
anjn
思考：
ka11 ka12 … ka1n
加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即
a11 a12 … a1n a11
a12
… a1n
… … …… … … ……
ai1 ai2 … ain = ai1+kaj1 ai2+kaj2 … ain+kajn . … … …… … … ……
aj1 aj2 … ajn aj1
aj2
… ajn
… … …… … … ……
a0
c1
a1
an )
c2 a2
b1 b2 10
01
cn 0 0 an
a0
n i =1
bi ci ai
0
0
c1
10
a1
= (a1a2 an )
c2
a2
01
cn
00
an
bn 0
0
1
0
0
0
=
(a1a2 an )(a0
n i =1
bi ci ai
)
1
2.2 行列式按行(列)展开
一、余子式与代数余子式
定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a ij 所在的第i行和第j列后,余 下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.

an1 ani ann an1 an i ann
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式值不变．
例如
a11 a1i a1 j a1n
a21
a2i
k

a2 j

a2 j




an1 ani anj anj
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如 D a21 a22 (a2i a2 i ) a2n



an1 an2 (ani an i ) ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a1i a1n a11 a1i a1n D a21 a2i a2n a21 a2i a2n
abbbb babbb 例3 计算阶行列式 D b b a b b bbbab bbbba
解
a 4b b b b b
a 4b a b b b
D c1 c2 c5 a 4b b a b b
a 4b b b a b
a 4b b b b a
a 4b b b b b
a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ci

kc j
a21

(a2i ka2 j )
a2 j
a2 j
an1 (ani kanj ) anj anj
三、应用举例
计算行列式常用方法 利用运算 ri krj 把行
列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的 值．

an1 an2 ann