高考数学理科基础班训练题公开课课件第三章 导数 2

第一节导数的概念及运算考点一导数及其几何意义1．(2014·大纲全国，7)曲线y＝x e x－1在点(1，1)处切线的斜率等于()A．2e B．e C．2 D．1解析由题意可得y′＝e x－1＋x e x－1，所以曲线在点(1，1)处切线的斜率等于2，故选C.答案 C2．(2014·新课标全国Ⅱ，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0 B．1 C．2 D．3解析y′＝a－1x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.答案 D3．(2011·江西，4)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为() A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1，0)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝2x－2－4x＝2（x－2）（x＋1）x>0，解得－1<x<0(舍)或x>2，所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．答案 C4．(2011·大纲全国，8)曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.13 B.12 C.23D．1解析y′＝－2e－2x，曲线在点(0，2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标为(1，0)，所以三角形面积S ＝12×1×23＝13，故选A.答案 A5．(2014·江西，13)若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析 由题意有y ′＝－e －x ，设P (m ，n )，直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e －m ＝－2，解得m ＝－ln 2，所以n ＝e －(－ln 2)＝2. 答案 (－ln 2，2)6．(2013·江西，13)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________． 解析 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ， ∴f ′(t )＝1t ＋1，∴f ′(1)＝2. 答案 27．(2015·陕西，15)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________． 解析 ∵(e x )′|x ＝0＝e 0＝1，设P (x 0，y 0)，有⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′x ＝x 0＝－1x 20＝－1，又∵x 0＞0，∴x 0＝1，故x P (1，1)． 答案 (1，1)8．(2013·北京，18)设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．(1)解 设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln xx 2.所以f ′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明 令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0， 所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0， 所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方． 考点二 定积分与微积分基本定理1．(2014·陕西，3)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C.答案 C2．(2014·江西，8)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析 因为⎠⎛01f (x )d x 是常数，所以f ′(x )＝2x ，所以可设f (x )＝x 2＋c (c 为常数)，所以x 2＋c ＝x 2＋2⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋cx 10，解得c ＝－23，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋c )d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－23x |10＝－13. 答案 B3．(2014·山东，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝4. 答案 D4．(2014·湖南，9)已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且f (x )d x ＝0，则函数f (x )的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝5π6B ．x ＝7π12 C ．x ＝π3 D ．x ＝π6解析 由定积分sin(x －φ)d x ＝－cos(x －φ) 0＝12cos φ－32sin φ＋cos φ＝0，得tan φ＝3，所以φ＝π3＋k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－k π(k ∈Z )，由正弦函数的性质知y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－k π与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象的对称轴相同，令x －π3＝k π＋π2，则x ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π＋56π(k ∈Z )，当k ＝0，得x ＝5π6，选A. 答案 A5．(2014·湖北，6)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析 对于①，⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝⎠⎛－1112sin x d x ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛－11(x 2－1)d x ≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，⎠⎛－11x ·x 2d x＝⎠⎛－11x 3d x ＝0，所以③是一组正交函数．选C. 答案 C6．(2013·北京，7)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43B ．2C.83D.1623解析 由题意可知，l 的方程为y ＝1. 如图，B 点坐标为(2，1)，∴所求面积S ＝4－2⎠⎛02x24d x ＝4－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 312⎪⎪⎪2＝83，故选C.答案 C7．(2013·江西，6)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝73，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)>e>73＞ln 2，所以S 2<S 1<S 3，故选B.答案 B8．(2013·湖北，7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析 由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32t 2＋7t ＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝ 4＋25ln 5. 答案 C9．(2012·湖北，3)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 C.32D.π2解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)，因为f (x )的图象过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1，所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.它与x 轴所围图形的面积为⎠⎛－11f (x )d x ＝2⎠⎛01f (x )d x ＝2⎠⎛01(－x 2＋1)d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x ⎪⎪⎪10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝43.故选B. 答案 B10．(2015·湖南，11)∫20(x －1)d x ＝________．解析 ⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫12x 2－x 20＝12×22－2＝0.答案 011．(2015·天津，11)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1，1)， 面积S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 2d x＝12x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪10－13x 210＝12－13＝16.答案 1612．(2011·陕西，11)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________．解析 ∵1>0，∴f (1)＝lg 1＝0， ∴f (f (1))＝f (0)．又∵0≤0，∴f (f (1))＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a0＝a 3＝1，∴a ＝1. 答案 113．(2015·陕西，16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析 由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，将点(5，2)代入抛物线方程得a ＝225， 故抛物线方程为y ＝225x 2，抛物线的横截面面积为 S 1＝2⎠⎛05⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －275x 3⎪⎪⎪5＝403(m 2)， 而原梯形上底为10－2tan 45°×2＝6(m)，故原梯形面积为S 2＝12(10＋6)×2＝16，S 2S 1＝16403＝1.2.答案 1.2。

1 由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x， 3 5 知f′(1)＝－4－a＝－2，解得a＝4.
x2－4x－5 x 5 3 所以f(x)＝4＋4x－ln x－2，则f′(x)＝ ， 4x2 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5， 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增 函数． 所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区 间为(0,5)．
值对不等式解集的影响进行分类讨论．
求函数的单调区间
[例2] x a 3 已知函数f(x)＝ 4 ＋ x －ln x－ 2 ，其中a∈R，且曲
1 线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x，求函数f(x) 的单调区间．
[解]
1 a 1 对f(x)求导得f′(x)＝4－x2－x，
第二节 导数与 函数的 单调性
本节主要包括2个知识点： 1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间； 2．利用导数解决函数单调性的应用问题.
突破点(一)
基础联通
利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
证明或讨论函数的单调性
判断函数单调性的三种方法

可导函数求极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定 义域分成若干个小开区间，并形成表格． (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的 符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不 可缺少，f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．

第三章 导数及其应用
第二节 导数的应用 第4课时 利用导数解决不等式 恒成立或有解问题
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课 堂 ·考 点 突 破 1
目
导
航
2 课 时 ·跟 踪 检 测
1
课 堂 ·考 点 突 破
考点一 分离参数法求参数 【例 1】 已知 f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若对任意 x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2 恒成立，求实数 a 的取值范围．
|跟踪训练| 1．已知函数 f(x)＝ex＋ax2－e2x. (1)若曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线平行于 x 轴，求函数 f(x)的单调区间； (2)若 x＞0 时，总有 f(x)＞－e2x，求实数 a 的取值范围．
解：(1)由 f′(x)＝ex＋2ax－e2，得 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率 k＝4a＝0，则 a ＝0.
[解] (1)因为函数 f(x)＝xln x 的定义域为(0，＋∞)，所以 f′(x)＝ln x＋1.令 f′(x)＜0， 即 ln x＋1＜0，得 0＜x＜1e，所以 f(x)的单调递减区间是0，1e.令 f′(x)＞0，得 ln x＋1＞ 0，解得 x＞1e，所以 f(x)的单调递增区间是1e，＋∞.综上，f(x)的单调递减区间是0，1e， 单调递增区间是1e，＋∞.
(2)因为 g′(x)＝3x2＋2ax－1，由题意得，2xln x≤3x2＋2ax＋1 恒成立．因为 x＞0，所 以 a≥ln x－32x－21x在 x∈(0，＋∞)上恒成立．设 h(x)＝ln x－32x－21x(x＞0)，则 h′(x)＝1x－ 32＋21x2＝－（x－1）2（x2 3x＋1）.令 h′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝－13(舍)．