第一学期期中考试高一年级数学试题

北师大版一年级上册期中考试数学试卷一、解答题（共1小题，满分5分）1．（5分）看图写数。

二、按要求填空。

（共54分）497512．（8分）填一填。

一共有张卡片，其中，最大的数是，最小的数是。

把上面卡片中的数字按照从小到大的顺序排一排：＜＜＜＜3．（6分）在〇里填上“+”或“﹣”。

7〇5＝22〇4＝69〇1＝810〇2＝87〇1＝83〇6＝9 4．（8分）在〇里填上“＞”、“＜”或“＝”。

7〇58〇62〇95〇7 8﹣2〇87〇6+12+6〇97﹣3〇2 5．（17分）在□里填上适当的数。

（1）9﹣□□+3＝8□+0＝6□＞8＝34﹣□□+1＝8□+5＝10□＜7＝4（2）比4多2的数是□，□比8少1，5比6少□。

（3）找规律，填数：26109756．（10分）我会算。

4+3＝0+5＝7﹣4＝5+5＝9﹣2﹣4＝10﹣2＝4+5＝3﹣0＝10﹣10＝7﹣4+6＝7．（2分）数字8前面一个数是，后面一个数是。

8．（3分）按小朋友从高到矮的顺序编号（在□里分别填上1，2，3）。

三、比一比。

（6分）9．（2分）高的树下画△，矮的树下画〇。

10．（3分）长的笔下画√，短的画×。

11．（2分）最轻的画“√”，最重的画“〇”。

四、我会画。

（共8分）12．（2分）画〇和一样多。

13．（2分）画△，△比多2个。

14．（2分）画□，□比少3个。

15．（2分）画√比X多。

五、看图列式计算。

（1-4题各2分，5题8分，共16分）16．（16分）看图列式计算。

六、解决问题。

（1---3题各2分，第4题3分，共11分）17．（2分）小松鼠一共采了多少个？18．一共有8只蚂蚁，树叶下面有几只？19．小白兔和小灰兔一共拔了多少个萝卜？20．（8分）车上原来有7人，到站点下去2人，上来2人。

现在车上有几人？参考答案与试题解析一、解答题（共1小题，满分5分）1．【分析】正确数数并填空即可。

【解答】解：故答案为：3，10，6，8，5。

一年级数学第一册期中考试试题 一、口算
2-0= 1-0= 1+4= 1+3= 6－（ ）＝1 4-3= 0+3= 5-1= 1+1= （ ）－2＝3 2-1= 5-2= 2+1= 5-5= （ ）＋2＝5 3-2= 5-3= 3+1= 2+3= （ ）－3＝2 二、填空： 1、 △△△ ○○○○○ □□□ ■■ （ ）和（ ）一样多；○比△多（ ）个；（ ）比（ ）少3个；再画（ ）个○，○就
比□多5个。

2、 3
4、
5、按顺序填数
6、在〇里填上＜、＞或＝
5〇3 2-0〇0 5-2〇2+1
3〇2 4〇1+3 2+2〇3+0
7、3的后面一个数是（ ），前面一个数是（ ）。

8.和2相邻的两个数是( )和( )。

9.3和5中间的数是( )。

10.从1数到10，有( )个数，7是第( )个数，第4个数是( )。

11、画一画。

（1（23个
12、
13、在〇里填上“+”或“-”
5〇0=5 3〇2=5 2〇2=0
4〇2=2 3〇3=0 1〇1=2
三、当回小法官。

(对的打√，错的打×)
1. 4比3大，3比2大。

( )
2. 2和4是3的邻居。

( )
3. 比5小的数只有1个。

( )
4. 比1大比4小的数有3个。

( )
5. 正方体比圆柱体滚得快。

( )
6. 从0到5这些数中，排在前面的数总比后面的大。

( )
四、看图列式
小朋友，试卷答完了，你的心里一定甜甜的！可别忘了检查哟!
=。

最新部编教材一年级上册数学期中考试测试题(全10套)姓名得分一、填一填。

(8分)9+8=178+7=157+6=138+5=13二、填空(18分)1、比12多1的数是13，比12少1的数是11，19比18少1，比20多1.2、两个数都是8，合起来是16.3、小猴有10个桃，小鹿有4个桃，再给小鹿3个桃就和小猴同样多。

4、4连续加4，4+4=8、8+4=12、12+4=16、16+4=20.10连续减4，10-4=6、6-4=2.5、4个一和6个一起来是10个一。

6、明明看一本书，已经看了7页，还要看10页就是17页。

7、9+158=167、141+8=149、8+3=11.8+3=11、25+59=84、100+9=109、10+103=113、6+1=7、5+4=9、10+5=15.10、6+7=13、9-7=2.三、在下面的○里填上“＞”、“＜”或“=”(9分)5+9＞1413＜15-106+49＞8914-4=109＜151+9＞7+516＜169+4＞123+8=11四、看图列算式(4分)1．2.4+5=97+2=9五、帮小蚂蚁过河。

(10分)9+5-4-5+2-1=6六、你知道下面金鱼各是哪个鱼缸里的吗？用线连一连。

(12分)图略]七、填一填。

(8分)914784963+7-5+4+8-7=102 4 5 7 6 10八、空格里应该填什么数(3分)无法回答，缺少信息。

九、把2、4、5、6、7、10分别填入下面的话号里，使两个算式都成立。

(每个数只能用一次6分)2+10=12;7-5=2.十、看图列式(4分)1．2.只16971097+10=1074598+9=4607十一、想想，填填(6分)无法回答，缺少信息。

十二、想一想,列算式(12分)1.树上有x只猴，地上有y只猴，一共有x+y只猴。

x+y=？2．左边有x颗糖，右边有y颗糖，一共有x+y颗糖。

x+y=？3．明明剪了7个星星，红红剪的和他同样多。

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试数学（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1A =-，{}0,1,2B a =-且A B ⊆，则a 等于（）A.1B.1- C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】根据集合间的基本关系求参.【详解】因为{}0,1A =-，{}0,1,2B a =-且A B ⊆，则12a -=-,所以3a =.故选：D.2.设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，12i z =-，则12z z =（）A.34i 55- B.34i 55+C.41i5+ D.41i5-【答案】A 【解析】【分析】先根据复数关于实轴对称得出22i z =+,再应用复数的除法及乘法计算化简即可.【详解】复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，故21z z =.所以()2221111222211112i 34i 34i 21555z z z z z z z z z --======-+.故选：A.3.若命题“x ∃∈R ，220x x a ++<成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≤B.1a <C.1a ≥D.1a >【答案】B 【解析】【分析】利用判别式法求解.【详解】解：因为x ∃∈R ，220x x a ++<成立，所以440a ∆=->，解得1a <，故选：B4.在ABC V 中，D 是BC 上一点，满足2BD DC =，M 是AD 的中点，若BM BA BC λμ=+ ，则λμ+=（）A.54B.78C.56D.58【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【详解】由题可知，11122222AM AD BM BA BD BA BM BA BD =⇒-=-⇒=+，()2322BD DC BC BD BD BC ==-⇒= ,所以有11122213BM BA BD BA BC =+=+ ，所以11,23λμ==，得56λμ+=.故选：C5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为π的半圆，则该圆锥的高为（）A.2B.2C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】首先根据侧面展开图面积等于半圆面积，求得底面半径与母线长，再利用勾股定理算得圆锥高.【详解】设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ，因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，圆锥的侧面展开图是一个面积为π的半圆，则π2π12ππ2l r l r =⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得2,2r l ==，则该圆锥的高为62h ==.故选：A.6.函数()()sin 20y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，直线12y =与其交于A ，B 两点，若π3AB =，则ω=（）A.4B.3C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】首先解方程()1sin 22x ωϕ+=，结合图象，求得方程的实数根，即可求解ω的值.【详解】令()1sin 22x ωϕ+=，则5π22π6A x k ωϕ+=+，13π22π6B x k ωϕ+=+，Z k ∈，则()2π3B A x x ω-=，且π3B A AB x x =-=，所以2ω=.故选：C7.已知函数()e e xxf x -=+，若3log 0.6a =，0.013b =，5log 3c =，则有（）A.()()()f a f b f c >>B.()()()f b f c f a >>C.()()()f b f a f c >>D.()()()f c f a f b >>【答案】B 【解析】【分析】由已知可得()f x 为偶函数，则()335log 0.6log 3f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用对数函数的性质和指数函数的性质，可得3510log 32<<，1b >，112c <<，又当0x >时，由′>0，可得()f x 为单调递增函数，即可得到答案.【详解】因为函数()e e xxf x -=+且定义域为R ，则()()ee xx f x f x --=+=，所以()f x 为偶函数，因为333log 0.6log 05a ==<，则()()333335log 0.6log 0.6log log 53f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又3351log log 32<=，335log log 103>=，0.010331b =>=，551log 3log 2c =>=，55log 3log 51c =<=，则112c <<，所以0.015353log 3log 3>>，当0x >时，因为()e e0xxf x -=->'，所以()f x 为单调递增函数，所以()()()f b f c f a >>.故选：B.8.已知函数()()221f x a x bx a =-+-+（a ，b ∈R 且2a ≠）在区间[]1,2上有零点，则22a b +的最小值为（）A.32 B.12C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得22a b +的最小值.【详解】依题意()()2210f x a x bx a =-+-+=在区间[]1,2上有零点，整理得()221120x a xb x -++-=在[]1,2上有解，(),a b 表示坐标系aOb 中，直线()221120x a xb x -++-=（x 看成参数）上的点，所以22a b +表示原点到直线()221120x a xb x -++-=上的点的距离的平方，设4222424224413344111324x x d d x x x x x -+===-=--+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，由于212,14x x ≤≤≤≤，所以当1x =时，2d 取得最小值为431-=，所以22a b +的最小值为1.故选：D【点睛】关键点点睛：主参变量的转换：将原始代数问题转化为几何问题，利用几何性质进行求解，是解题的关键步骤，确保每一个几何量的合理转换，能够有效简化求解过程.距离公式的合理运用：通过距离公式来计算直线与原点的最小距离，确保了推导过程的逻辑严密性和计算的准确性.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X 服从二项分布()~20,X B p ，且()8E X =，则() 4.8D X =C.X 和Y 是分类变量，若()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++值越大，则判断“X 与Y 独立”的把握性越大D.若随机变量X 服从正态分布()2~2,X N σ，且()50.2P X >=，则()150.6P X -<<=【答案】BD 【解析】【分析】根据极差和众数的概念即可判断A ；根据二项分布的性质即可判断B ；根据独立性检验的思想即可判断C ；根据正态曲线的性质即可判断D.【详解】A ：该组数据的极差为4，众数为2，所以该组数据的极差与众数之和为6，故A 错误；B ：由(20,),()8X B p E X = ，得()208E X np p ===，解得25p =，所以23()(1)20 4.855D X np p =-=⨯⨯=，故B 正确；C ：2χ值越大，X 和Y 有关系的可能性就越大，则“X 与Y 独立”的把握越小，故C 错误；D ：由2(2,),(5)0.2X N P X σ>= ，得(1)(5)0.2P X P X <-=>=，所以(15)1(1)(5)0.6P X P X P X -<<=-<-->=，故D 正确.故选：BD10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足13a =，且()()*1310n n n a na n ++-=∈N ，则下列结论中正确的是（）A.{}n na 为等比数列B.n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列C.3nn a n =⋅ D.()1213344n n n S +-=⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】由题设得{}na n是首项、公比为3的等比数列，即可判断A 、B 、C ；应用错位相减法、等比数列前n 项和判断D.【详解】由题设113n n a a n n +⋅=+，且131a =，故{}n a n 是首项、公比为3的等比数列，所以3n na n=，则3n n a n =⋅，故{}n na 不是等比数列，A 错，B 、C 对；由1213233nn S n =⨯+⨯++⋅ ，则23131323(1)33n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，所以112113(13)(12)33233333132n n nn n n n S n n +++----=+++-⋅=-⋅=- ，所以1(21)334n n n S +-+=，D 对.故选：BCD11.已知曲线C 的方程为：()()2222104340x y y x y y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=<⎩，()1,0M -，()1,0N ，过M 的直线交曲线C 于A 、B 两点（A 在B 的上方），已知AMN α∠=，ANM β∠=，下列命题正确的是（）A.()sin sin 2sin αβαβ+=+B.tan3tan 22αβ+的最小值是2C.ABN周长的最大值是4+D .若π3α=，将AMN 沿MN 翻折，使面AMN ⊥面MNB ，则折后3132AB +=【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，利用正弦定理，结合椭圆概念，即可判断；对于B ，由()sin 1sin sin 2αβαβ+=+，利用三角恒等变换可得1tantan 223αβ⋅=，再由基本不等式可得tan 3tan 22αβ+的最小值；对于C ，由ABN 周长4BM NB =++，对于BM NB +=，利用基本不等式即可得到ABN 周长的最大值；对于D，由直曲联立可得A y =，又224B B x y +=，则折后AB ==D.【详解】由已知，在AMN 中，已知AMN α∠=，ANM β∠=，由正弦定理得()sin sin sin MN AM AN αβαβ+=++，又2122MN c AM ANa ==+，即()sin 1sin sin 2αβαβ+=+，所以()sin sin 2sin αβαβ+=+，故A 正确；由()2sincos sin 22sin sin sin sin 2222αβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+-+-+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sincos cos 2222sin cos cos222αβαβαβαβαβαβ+++==+--coscos sin sin 1tan tan 12222222cos cos sin sin 1tan tan222222αβαβαβαβαβαβ--===++，得：1tan tan 223αβ⋅=，在AMN 中，0π,0παβ<<<<，则ππ0,02222αβ<<<<，所以tan 0,tan 022αβ>>，故tan3tan 222αβ+≥=，当且仅当tan12α=，1tan 23=β时取到最小值是2，故B 正确；ABN 周长4BM MA AN NB BM NB =+++=++，设s ，22x -<<，又()1,0M -，()1,0N ，则BM NB +==≤==，即0x =时，等号成立，故ABN周长的最大值是4+C 正确；设AB 的方程是：13x y +=与22143x y +=联立得：2590y --=，解得：5A y =-（舍去）或A y =，则点A 为椭圆上顶点，A AO y ==，又B 在圆224x y +=上，所以2224B B OB x y =+=，又沿MN 翻折后，平面AMN ⊥平面MNB ，平面AMN ⋂平面MNB MN =，AO MN ⊥，则AO ⊥平面MNB ，又BO ⊂平面MNB ，则AOBO ⊥，所以AB ===D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：B 选项中利用三角恒等变换弦化切，再利用基本不等式求最值；C 选项先利用椭圆定义和两点间距离公式，再利用基本不等式求最值.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线221425y x -=的渐近线方程为______.【答案】25y x =±【解析】【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案.【详解】由220425y x -=得224,25a b ==，即2,5a b ==，焦点在y 轴上，所以渐近线方程为25y x =±.故答案为：25y x =±13.已知212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-展开式的二项式系数之和为64，则展开式中3x 项的系数为______.（用数字作答）【答案】160-【解析】【分析】根据二项式系数之和可得6n =，结合展开式的通项运算求解即可.【详解】由题意可知：264n =，解得6n =，则6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()612316662C C ,0,12121,,6r r rr r rr r T x r x x ---+⎛⎫-=-⋅⋅ =⋅=⋅⎭⋅⋅⎪⎝，令1233r -=，解得3r =，所以展开式中3x 项的系数为()3336C 21601=--⋅⋅.故答案为：160-.14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.【答案】512【解析】【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果.【详解】标有数字的4只球排序共有44A 24=种情况.要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有33A 6=种情况.②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有222A 4=种情况.故所求概率为6452412+=.故答案为：512.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos sin 0a C a C b c +--=.（1）求角A ；（2）若4a =，ABC V 的面积为2，求sin sin B C 的值.【答案】（1）π2A =（2）sin sin 16B C =【解析】【分析】（1）利用边化角及和差公式、辅助角公式即可求解；（2）由面积公式和正弦定理即可求解.【小问1详解】由条件得cos sin a C a C b c +=+，从而()cos sin cos cos cos cos a C a C b c a C c A c a C c A c +=+=++=++.所以sin cos a C c A c =+，由正弦定理得sin sin sin cos sin A C C A C =+，故sin cos 1A A =+.从而()222211sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos A A A A A A A A ==-=+-=-，得sin cos 0A A =，故cos 0A =.所以π2A =.【小问2详解】设ABC 的面积为S ，则22sin sin sin 1sin 2sin sin ·16161616B C A bc bc A S B C bc bc bc b c a a ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16.已知函数2()2ln f x x ax x =-+，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线20x y +=，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）72a =；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出a 值.（2）分类讨论判断()f x '值的正负情况，求出函数的单调区间.【小问1详解】函数2()2ln f x x ax x =-+，求导得2()2f x x a x'=-+，由曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线20x y +=，得1(1)222f a '=-+=，所以72a =.【小问2详解】函数2()2ln f x x ax x =-+的定义域为(0,)+∞，222()x ax f x x'-+=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，方程2220x ax -+=中，216a ∆=-，若04a <≤，则0∆≤，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；若4a >，则0∆>，关于x 的方程2220x ax -+=有两个正根，14a x =，24a x +=，当10x x <<或2x x >时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<，因此函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，所以当4a ≤时，函数()f x 的递增区间是(0,)+∞；当4a >时，函数()f x 的递增区间是0,,44a a ∞⎛⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，递减区间是,44a a ⎛+ ⎝⎭.17.如图，三棱锥P ABC -中，CP CA CB ==，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PBC ⊥平面ABC .（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）若ACB ∠为钝角，且二面角B PA C --的大小为45︒，求cos ACB ∠.【答案】（1）证明见解析（2）1cos 3ACB ∠=-【解析】【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得OM ⊥平面PAC ，利用线面垂直的性质可得OM PC ⊥、ON PC ⊥，结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）法一：如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得BH ⊥平面PAC ，得45BQH ︒∠=，设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则2sin ,BH QH θ==，根据BH QH =建立方程，解之即可求解.法二：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角建立关于θ的方程，结合三角恒等变换的化简计算即可求解.【小问1详解】如图，在平面ABC 内取点O ，过O 作OM AC ⊥于M ，过O 作ON BC ⊥于N ，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，OM ⊂平面ABC ，OM ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，OM PC ∴⊥，同理可证ON PC ⊥，又ON OM O = ，ON OM ⊂、平面ABC ，PC ∴⊥平面ABC ；【小问2详解】法一：如图，过点B 作BH AC ⊥于点H ，过H 作HQ PA ⊥于点Q ，连接BQ ，PC ⊥ 平面ABC ，BH ⊂平面ABC ，PC BH ∴⊥，又AC PC C ⋂= ，、⊂AC PC 平面PAC ，BH ∴⊥平面PAC ，则BQH ∠为二面角B PA C --的平面角，即45BQH ︒∠=设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则sin 2sin BH BC θθ==，cos(π)2cos CH CB θθ=-=-，所以22cos AH AC CH θ=+=-，又PC AC =，所以45PAC ︒∠=，所以QH ==，由BH QH =2sin θ=，cos 1θθ+=，又22sin cos 1θθ+=，解得1cos 3θ=-或cos 1θ=（舍去），综上1cos 3θ=-.法二：如图，以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()2cos ,2sin ,0B θθ，()002P ,,，易知平面PAC 的法向量为()0,1,0m =，设面PAB 的法向量为(),,n x y z =r，则()()()()()2,0,2,,2202cos 2,2sin ,0,,2cos 22sin 0PA n x y z x z AC n x y z x y θθθθ⎧⋅=-⋅=-=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩ ，22cos 1,,12sin n θθ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ，则cos ,2m n m n m n⋅==⋅，整理得222sin 4cos 4cos 0θθθ-+=，由22sin 1cos θθ=-，得23cos 2cos 10θθ--=，解得1cos 3θ=-或cos 1θ=（舍），综上，1cos 3θ=-.18.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为：()22116x y ++=，定点()10F ,，B 是圆C 上任意一点，线段BF 的垂直平分线l 和半径BC 相交于点T .（1）求点T 的轨迹W 的方程；（2）已知点()2,0A -，过点F 的一条直线，斜率不为0，交曲线W 于P 、Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线3x =交于M ，N 两点，求证：直线FM 与直线FN 的斜率之积为常数.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T 的轨迹为椭圆，然后求得,a c ，即可得到标准方程；（2）根据题意，设直线:1PQ x my =+，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到,M N 的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明.【小问1详解】由题意：点T 在线段BF 的垂直平分线上，则TB TF =，可得42TC TF TC TB CB CF +=+==>=.由椭圆定义可得，点T 的轨迹是以()1,0C -，1,0为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为24a =，焦距为22c =，2413b =-=，所以点T 的轨迹W 的方程为22143x y +=【小问2详解】由（1）知−2,0，1,0，设直线:1PQ x my =+，1,1，2,2，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得()2234690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+根据题意可设()3,M M y ，()3,N N y ，则由11322M y yx =++，可得11115523M y y y x my ==++，同理可得2253N y y my =+，所以直线FM 与直线FN 的斜率之积，()()()12122121212002525113131433439N M FM FN y y y y y y k k my my m y y m y y --=⋅=⋅=⋅--+++++22222229251125925925349644918273643616393434m m m m m m m m m ⎛⎫- ⎪-⨯⨯+⎝⎭=⋅=⋅=-=---++⨯⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.所以直线FM 与直线FN 的斜率之积为定值2516-.19.一般地，任何一个复数i a b +（a ，b ∈R ）可以写成()cos isin r θθ+，其中r 是复数的模，θ是以x 轴非负半轴为始边，射线OZ 为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在02πθ≤<范围内的辅角称为辅角主值，通常记作arg z ，如arg10=，πarg i2=，()πarg 13=.发现()()()()12111222121212cos cos cos z z r isin r isin r r isin θθθθθθθθ⎡⎤⋅=+⋅+=+++⎣⎦，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n 为正整数，重复n 次上述操作，可得到n 个复数，将它们的乘积记为n z .（1）写出一次操作后所有可能的复数；（2）当2n =，记n z 的取值为X ，求X 的分布列；（3）求2n z 为实数的概率n Q .【答案】（1）1，i ，，1i +（2）答案见解析（3）1111323n n Q -⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意，直接得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的取值为12，3，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列；（3）根据题意，由条件可得()2arg 0n z =或π，分别得到一次操作后得到的复数的辅角主值，然后在n 次操作中，分别设得到i 的次数为n a ，1+的次数为n b i +的次数为n c ，即可得到()0023n n n b c t k a +=+-，然后得到1n Q +与n Q 之间的关系，即可得到结果.【小问1详解】一次操作后可能的复数为：1，i ，1+i +，【小问2详解】一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，12，2由1212z z z z ⋅=⋅，故X 的取值为12，3，4()119P X ==，(29P X ==，()229P X ==.()139P X ==，(29P X ==，()149P X ==，所以X 的分布列为【小问3详解】若2n z 为实数，则()2arg 0n z =或π.而1，i ，1+i +的辅角主值分别是0，π2，0，π2，π3，π6，设在n 次操作中，得到i 的次数为n a ，得到1+的次数为n b i +的次数为n c ，于是()200π222a ππππrg 363n n n n n n nb c z a b c k a k +⎛⎫=⋅+⋅+⋅-=+- ⎪⎝⎭，从而{}0020,13n nn b c a k t ++-=∈，即()0023n n n b c t k a +=+-因此，所有的概率n Q 即为2n n b c +是3的倍数的概率，下面研究1n Q +与n Q 之间的关系.（ⅰ）2n n b c +是3的倍数，且第1n +次操作得到的复数是1，i （概率为23）；（ⅱ）2n n b c +被3除余1，且第1n +次操作得到的复数是1+（概率为16）；（ⅲ）2n n b c +被3除余2，且第1n +i +（概率为16）；因此由全概率公式可以得到：()1211113626n n n n Q Q Q Q +=+-=+变形得1111326n n Q Q +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中123Q =，故1111323n n Q -⎛⎫=+⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题主要考查了复数与离散型随机变量以及数列的综合应用，难度较大，结合数列的递推关系式从而得到1n Q +与n Q 之间的关系.。