高一年级期中考试数学试题卷

2024-2025学年上期高一年级期中考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上相应的位置。

2.作答时，全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3.考试结束后，只交答题卡，试卷由考生带走。

一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．若集合,集合,,则A ∪(C U B )=（ ）A ．B ．C ．D ．2．“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数，（ ）A ．B ．C ．D ．15．函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．6．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函{}1,2,3,4U ={}1,2A ={}2,3B ={}2{}1,3{}1,2,4{}1,2,302x <<13x -<<0a b >>d c <0ac bd >>ac bd >a c b d +>+0a cb d +>+>211,1()1,11x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩((2))f f =15-151-()()01f x x =-2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()2,11,3∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭s t数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t 为（ ）年．A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数f (x )={1, x ∈Q0, x ∈C R Q 被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是( )个.①函数偶函数；②函数的值域是；③若且为有理数，则对任意的恒成立；④在图象上存在不同的三个点，，，使得∆ABC 为等边角形. A ．1B ．2C ．3D ．4二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的有（ ）A ．命题“，”的否定是“，”B ．若，则C ．命题“，”是假命题D ．函数是偶函数，且在上单调递减.10．下列选项中正确的有（ ）A ．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为B ．与表示同一函数C ．函数的值域为224098s t t =-+-()()4f x x x =+()()2230f a f a +-<a ()3,0-()3,1-()1,1-()1,3-R Q ()f x ()f x ()f x {}0,10T ≠T ()()f x T f x +=x R ∈()f x A B C 1x ∀>20x x ->1x ∃≤20x x -≤a b >22ac bc ≥Z x ∀∈20x >21y x =()0,∞+()f x ()()98f f x x =+()f x ()34f x x =--||()x f x x =1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-≤⎩()2f x x =+(,4]-∞D ．定义在上的函数满足，则11．下列命题中正确的是（ ）A ．若，，，则B ．已知，，，则的最小值是C ．若，则的最小值为4D ．若，，，则的最小值为三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．已知集合，若，则实数13．已知函数，则的单调增区间为14．若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P .已知函数具有性质P ，则不等式的解集为 .四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合，．(1)当时，求，，A ∩(C R B )； (2)若，求实数m 的取值范围．16．已知关于x 的不等式的解集为．(1)求m ，n 的值；(2)正实数a ，b 满足，求的最小值．R ()f x 2()()1f x f x x --=+()13x f x =+0a >0b >21a b +=ab 0a >0b >32a b +=12a b a b+++20ab >4441a b ab ++0a >0b >31132a b a b+=++2+a b 165{}21,2,1A a a a =---1A -∈a =()2f x x x x =-+()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()f x ()f x 1x 2(0,)x ∈+∞12x x ≠x f x x f x x x -<-211212()()0()f x ()f x 2(4)(2)2f x f x x --<+{}27|A x x =-<<{}|121B x m x m =+≤≤-4m =A B ⋂A B A B B = 2200x mx --<{}2|x x n -<<2na mb +=115a b+17．已知幂函数为偶函数．(1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．18．已知函数.(1)证明：函数是奇函数；(2)用定义证明：函数在上是增函数；(3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.19．已知函数(1)证明：，并求函数的值域；(2)已知为非零实数，记函数的最大值为.①求；②求满足的所有实数.()()2157m f x m m x -=-+()f x ()()3g x f x ax =--[]1,3a ()31x f x x x =++()f x ()f x ()0,∞+x ()()2310f ax ax f ax ++-≥x a ()()f x g x ==()()222f x g x =+()f x a ()()()x x h f g x a =-()m a ()m a ()1m a m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭a。

山东省实验中学2024~2025学年第一学期期中高一数学试题2024.11（必修第一册阶段检测）说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为第1页至第2页，第II 卷为第2页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第I 卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.命题，，则命题的否定为（ ）A.， B.，C.， D.，3.若，函数最小值为（ ）B.2C. D.44.若幂函数为偶函数，则（ ）A.或4 B. C.2 D.45.“”的一个必要不充分条件为（ ）A. B. C. D.6.已知不等式的解集为或，则（ ）A. B.C. D.的解集为7.已知函数，对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.{2,1,0,1,2}A =--122x B x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭A B = {1}-{2,1}--{1}{1,0,1}-:2p x ∀>210x ->p 2x ∀>210x -≤2x ∀≤210x ->2x ∃>210x -≤2x ∃≤210x -≤0x >13y x x=+()2()19m f x m m x =+-m =5-5-3a ≥1a ≥1a <3a ≥3a >20ax bx c ++<{1x x <-}3x >0a >0c <0a b c ++<20cx bx a -+<113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2(31)4,1()6,1a x a x f x x ax x -+<⎧=⎨-+≥⎩1x 2x ∈R 12x x ≠()()12120f x f x x x ->-a [2,)+∞1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦[1,2]8.在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A ，B 均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）A. B.C. D.10.若，，且，则（ ）A. B.C. D.11.已知函数的定义域为，且，的图象关于对称.当时，，若，则（ ）A.的周期为4 B.的图象关于对称C. D.当时，第II 卷（非选择题 92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数的定义域为，则的定义域为_________.13.若正实数x ，y 满足，则的最小值为_________.14.已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设集合，.（1）当时，求与；M a b M ∈[2,3]ab∉M {}1,4,6,7{}1,2,,A B n = n (0,)x ∈+∞()f x =()||f x x =2()||f x x x =+()22xxf x -=-a 0b ≠||||a bc c >a b>11a b<||a b >||||a cbc >()f x R ()(2)f x f x =-(2)y f x =+(0,0)[0,1]x ∈()2xf x a b =⋅+(3)1f =-()f x ()y f x =(4,0)(2025)1f =[4,5]x ∈()21xf x =-(31)f x +[1,2]-()f x 32x y +=31x y+22,0()112,0x x x f x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩x ()2f x kx k =-k {}23100A x x x =--≤{}121B x m x m =-<<+4m =()A B R ðA B（2）当时，求实数的取值范围.16.（本小题满分15分）已知定义域为上的奇函数满足当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最大值和最小值及对应的值.17.（本小题满分15分）已知二次函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）当，时，求的最大值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）判断并证明在上的单调性；（3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.19.（本小题满分17分）已知函数，.（1）求函数的值域；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.A B A = m R ()f x (,0]x ∈-∞2()4f x x x =+()f x ()f x [1,3]-x 2()33f x x mx x m =+--m ∈R x ()0f x ≤2m =[],1x t t ∈+()f x ()g t 3()2||1xf x x x =++()f x ()f x [0,)+∞x ()()2310f ax ax f ax ++->x a 1()21x f x =+x ∈R ()f x ()y f x =1[1,]x n ∈2[1,2]x ∈m ()()11231f mx f x x -+=n。

2024学年第一学期嘉兴八校联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分（共58分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个合题目要求的．1．设集合{}{}21,2,1,0,1,2A x x B =-<<=--，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}0C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．已知1，12是方程20x bx a -+=的两个根，则a 的值为（）A ．12-B ．2C ．12D ．2-3．“1x =”是“21x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数ay x =的图象过点（9，3），则a 等于（）A ．3B ．2C ．32D ．125．已知0.20.50.23,3,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<6．方程2ln 50x x +-=的解所在区间为（）A ．（4，5）B ．（3，4）C ．（2，3）D ．（1，2）7．已知函数()22xf x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[0,1)为减函数，在[1,+)∞为增函数，且(2)0f =，则不等式(1)()0x f x +≥的解集为（）A ．(,2][0,1][2,)-∞-+∞B ．(,1][0,1][2,+)-∞-∞C ．(,2][1,0][1,)-∞--+∞ D ．(,2][1,0][2,)-∞--+∞ 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列叙述正确的是（）A ．2,230x R x x ∃∈-->B ．命题“,12x R y ∃∈<≤”的否定是“,1x R y ∀∈≤或2y >”C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件D ．命题“2,0x R x ∀∈>”的否定是真命题10．已知集合{}1,2,3A =，集合{},B x y x A y A =-∈∈，则（）A ．{}1,2,3AB = B ．{}1,0,1,2,3A B =-C ．0B∈D ．1B-∈11．下列说法不正确的是（）A ．函数1()f x x=在定义域内是减函数B ．若函数()g x 是奇函数，则一定有(0)0g =C ．已知函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[3,1]--D ．若函数()f x 的定义域为[2,2]-，则(21)f x -的定义域为13[,22-非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．函数22,1()23,1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，则((2))f f -的值是▲．13．计算：0ln 2lg 252lg 2eπ+-+=▲．14．x R ∀∈，用函数()m x 表示函数()f x 、()g x 中的最小者，记为{}()min (),()m x f x g x =．若()min m x ={}21,(1)x x -+--，则()m x 的最大值为▲．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本题满分13分）已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-．（1）当1m =-时，求A B ；（2）若A B ⊆．求实数m 的取值范围．16．（本题满分15分）已知函数2()23()f x x ax a R =-+∈．（1）若函数()f x 在(,2]-∞上是减函数，求a 的取值范围；（2）当[1,1]x ∈-时，讨论函数()f x 的最小值．17．（本题满分15分）已知函数()af x x x=+，且(1)2f =．（1）求a ；（2）根据定义证明函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增；（3）在区间(1,)+∞上，若函数()f x 满足(2)(21)f a f a +>-，求实数a 的取值范围．18．（本题满分17分）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，记集合A 为()f x 的定义域．（1）求集合A ；（2）判断函数()f x 的奇偶性；（3）当x A ∈时，求函数221()(2x xg x +=的值域．19．（本题满分17分）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当(0,14]t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，当[14,45]t ∈时，曲线是函数log (5)83a y t =-+，（0a >且1a ≠）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于80时听课效果最佳．（1）试求()p f t =的函数关系式；（2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．2024学年第一学期嘉兴八校联盟期中联考高一年级数学学科试题答案1234567891011A C A DBCBDABDCDABC12．713．114．015．解：（1）当{}1,22m B x x =-=-<<∵{}13A x x =<<∴{}23A B x x =-<< （2）∵A B⊆2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，122m m ⎧≤⎪⎨⎪≤-⎩∴2m ≤-∴(,2]m ∈-∞-16．（1）对称轴：x a =∵为减函数∴2a ≥∴[2,)a ∈+∞（2）①当1a <-时，在[1,1]-，则min ()(1)24f x f a =-=+②当11a -≤≤，在[1,1]-有最低点，2min ()()3f x f a a ==-+③1a >时，在[1,1]-，min ()(1)24f x f a ==-+17．（1）∵(1)2f =∴21a=+∴1a =（2）1()f x x x=+12,(1,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则12()()f x f x --121211x x x x =+--211212x x x x x x -=-+12121()(1)x x x x =--∵1212,(1,)x x x x <∈+∞∴121212110,01,10x x x x x x -<<<->∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <故()f x 在(1,)+∞（3）∵在(1,)+∞，(2)(1)f a f a +>-∴211121a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，12a a >-⎧⎪>⎨⎪⎩任意成立∴2a >18．（1）1010x x ->⎧⎨+>⎩，11x x <⎧⎨>-⎩，{}11A x x =-<<（2）1()ln()1xf x x-=+可知定义域关于原点对称111()ln(ln(ln ()111x x xf x f x x x x+---====-+++故()f x 为奇函数．（3）令22t x x =+，对称轴1x =-t 在(1,1)-上，故(1,3)t ∈-又1()2ty =在R 上递减故221()(2x xg x +=的值域是：1(,2)8．19．（1）当(0,14]t ∈，设2()f t at bt c =++代入顶点(12,82)1481（，，）可得：21()[12)824f t t =--+当[14,45]t ∈，由log (5)83(01)a y t a a =-+>≠且代入(14,81)，13a =，故：1()log (5)833f t t =-+综上2131(12)82,((0,14])4()log (5)83,([14,45])t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（2）当014t <≤，21()(12)82804f t t =--+>∴1214t -<≤当[14,45]t ∈，13()log (5)8380f t t =-+>∴1432t ≤<∴在(1232)-这段时间安排核心内容效果最佳．。

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。

3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。

1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。

江西省2024—2025学年上学期第一次模拟选科联考高一数学试卷共4页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.考查范围：必修第一册第一章至第三章第二节。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则A.{2,3,4,5}B.{1,3,4}C.{3,4}D.{3}2.已知命题，，则为A.， B.，C.， D.，3.已知为定义在R 上的奇函数，当时，，则A. B.C. D.4.已知是幂函数，若，则a =A.B.2C.4D.65.若A. B. C. D.6.已知定义在R 上的函数满足，且，且，，则A. B.C. D.7.若关于x 的不等式的解集为，且，则实数m 的值为}{1,2,3,4,5U =2}{1,M =}2,{3,4N =()U M N = ð:1p x ∃>320x ->p ⌝1x ∀…320x ->1x ∀…320x -…1x ∀>320x -<1x ∀>320x -…()f x 0x >31()1f x x x =-+(1)f -=12-1232-3292()(4)m f x m x -=-()2f a =121a <-=5(1)a -+5(1)a +6(1)a -+6(1)a +()f x (5)(5)f x f x +=-12,(5,)x x ∀∈+∞12x x ≠121[(()()x x x f --2]()0f x >(5.5)(4.5)f f >(2.7)(3.2)f f <(7.3)(7.9)f f >(2.7)(5.2)f f >220()21x m x m m +-+-<12(,)x x 12112x x +=A.-4B.-1C.1D.48.已知函数若存在实数x ，使，则实数a 的取值围为A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列计算中正确的是A.C. D.10.使成立的一个充分条件可以是A.且 B.且C.且 D.且11.已知函数的定义域为R ，且的图象关于原点对称，的图象关于y 轴对称，则A. B.C.函数是增函数D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则________.13.已知幂函数的图象过点，则________.14.对于任意实数x ，表示不小于x 的最小整数，例如(1.2)=2，，表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，.已知定义在R 上的函数，若集合，则集合A 中所有元素的和为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数在上单调递减，其中，且.（1）求的解析式；（2）求函数，的值域.16.（15分）已知集合，，且.23,2,(),2,x ax a x f x a x ⎧-++>⎪=…()0f x <(,1)-∞-(,2)(6,)-∞-+∞(,6)(1,)-∞--+∞(,1)(6,)-∞-+∞ 1144-=2=±23(8)4-=23184-=3a b c ->a c >2b c >-2a c >b c >-2a c >b c>-3a c >2b c>()f x (2)4y f x =+-(4)4y f x x =++(2)4f =(6)12f =-()f x (8)(4)824f x f x x -+-=-30,()()1,0,x f x g x x x x ==-<⎪⎩…((1))g f -=()m f x x =3(3,33[(2)]f =()x (0.2)0-=[]x 0.21[]-=-()(2)[3]f x x x =⋅4|(),23A y y f x x ⎧⎫==-<-⎨⎬⎩⎭…()af x b x=+(0,)+∞24a =(1)1f =()f x 2()2()[()]g x f x f x =+[1,4]x ∈(4,29]A m =+{|2233}B x m x m =-+……12B ∈（1）当时，求实数m 的取值范围；（2）设；，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.17.（15分）已知定义在R 上的奇函数与偶函数满足，若.（1）求的解析式；（2）求关于x 的不等式的解集.18.（17分）某糕点连锁店现有五家分店，出售A ，B 两款糕点，A 为特价糕点，为吸引顾客，按进价销售.已知用16000元购进A 糕点与用22000元购进B 糕点的重量相同，且B 糕点每斤的进价比A 糕点每斤的进价多6元.（1）求A ，B 两种糕点每斤的进价；（2）经市场调查发现，B 糕点每斤售价30元时，每月可售出3120斤，售价每提高1元，则每月少售出120斤，售价每降低1元，则每月多售出120斤，糕点店不会低于进价销售.则B 糕点每斤定价为多少元时，糕点店通过卖B 糕点获得的月利润最大？最大是多少？（3）因为使用进价销售的A 糕点物美价廉，所以深受顾客青睐，五个分店每月的总销量为10000斤.今年年初该连锁店用50万购进一批设备，用于生产A 糕点.已知每斤糕点的原材料价格为8元，若生产A 糕点n 个月（）所用的原材料之外的各种费用总计为万元，若只考虑A 糕点，记该连锁店前n 个月的月平均利润为z 万元，求z 的最大值.19.（17分）对非空数集A 及实数k ，定义，，已知.（1）当时，若集合A 为单元素集，求A ；（2）当时，若集合，求ab 的所有取值构成的集合；（3）若A 中有3个元素，求实数k 的取值范围.16A ∉:p t A ∈:q t B ∈()f x ()g x ()()2||2f x g x x x +=++()()()h x f x g x =⋅()h x 2(3)(3)0h x tx h x t -+-<*n ∈N 211324n n +2{|,}A k x x a k a A ==-∈ {|,}A k x x k a a A ⊗==-∈A k A k =⊗ 1k =3k ={,}A a b =江西省2024—2025学年上学期第一次模拟选科联考高一数学参考答案及评分细则1.【答案】A【解析】，故选A.2.【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，得，.故选D.3.【答案】B【解析】因为为定义在R 上的奇函数，所以.故选B.4.【答案】C【解析】因为是幂函数，所以，得，故时，.故选C.5.【答案】C【解析】当时，.故选C.6.【答案】D【解析】由题意得函数在上单调递减，在上单调递增.对选项A ，，A 错误；对选项B ，因为函数在上单调递减，所以，B 错误；对选项C ，因为函数在上单调递增，所以，C 错误；对选项D ，因为，函数在上单调递减，故，D 正确.故选D.7.【答案】B【解析】因为关于x 的不等式的解集为，所以关于x 的方程有两个不相等的实数根，所以，解得，且，，所以，解得.故选B.8.【答案】D【解析】当时，，即，因为，所以，故有解，{3,4,5}{2,3,4}{2,3,4,5}()U M N == ð:1p x ⌝∀>320x -…()f x 311(1)(1)1112f f ⎛⎫-=-=--= ⎪+⎝⎭92()(4)m f x m x-=-41m -=5m =12()f x x ==2=4a =1a <-10a +<3(1)a =--3(1)a =+=336(1)(1)(1)a a a --+=-+()f x (,5)-∞(5,)+∞(5.5)(50.5)f f =+=(50.5)(4.5)f f -=()f x (,5)-∞(2.7)(3.2)f f <()f x (5,)+∞(7.3)(7.9)f f >(5.2)(5f f =+0.2)(50.2)(4.8)f f =-=()f x (,5)-∞(2.7)(4.8)(5.2)f f f >=220()21x m x m m +-+-<12(,)x x 220()21x m x m m +-+-=12,x x 22[2(1)]41()440m m m m ∆=--⨯⋅-=-+>1m <122(1)x x m +=--212x x m m =-1221212112(1)2x x m x x x x m m+--+===-1m =-2x >230x ax a -++<23(1)x a x +<-2x >11x ->231x a x +>-即，因为，当且仅当，即时等号成立，故；当时，有解，即有解，也即，因为单调递增，故时，取最大值-1，故.综上，实数a的取值范围为.故选D.9.【答案】ACD （每选对1个得2分）【解析】对于A ，，A 正确；对于B，B 错误；对于C ，，C 正确；对于D ，，D 正确.故选ACD.10.【答案】AC （每选对1个得3分）【解析】充分性成立，即选项能推出，对于A ，，又，同向不等式相加得，A 成立；对于B ，令，，，满足且，但，B 不成立；对于C ，，又，同向不等式相加得，，C 成立；对于D ，令，，，满足且，但，D 不成立.故选AC.11.【答案】ABD （每选对1个得2分）【解析】A 选项，的定义域为R ，因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，故，令，得，A 正确；B 选项，由的图象关于y 轴对称，得为偶函数，所以，即，令，得，得，B 正确；C 选项，因为，C 错误；D 选项，因为，所以，因为，令，得，即，故，，D 正确.故选ABD.12.【答案】-8【解析】，.13.【答案】64【解析】由，所以.14.【答案】67【解析】当时，；当时，，，2min31x ax ⎛⎫+>⎪-⎝⎭223(11)341226111x x x x x x +-++==-+++=--- (4)11x x -=-3x =6a >2x …0a +<a <max (a <y =2x =y =1a <-(,1)(6,)-∞-+∞ 1144-=2=23(8)4-==232311848-===3a b c ->22b c b c <-⇒->a c >3a b c ->3a =7b =1c =-2a c >b c >-433a b c -=-<-=b c b c <-⇒->2a c >3a b c ->5a =8b =1c =-3a c >2b c >33a b c -=-=()f x (2)4y f x =+-(2)4y f x =+-(2)4(2)40f x f x --++-=(2)(2)8f x f x -++=0x =(2)4f =(4)4y f x x =++(4)4y f x x =++(4)4(4)4f x x f x x --=++(4)(4)8f x f x x -=++2x =4(2)(6)16f f ==+(6)12f =-(2)(6)f f >(2)(2)8f x f x -++=()8(4)f x f x =--(4)(4)8f x f x x -=++4x t -=()(8)328f t f t t =-+-()(8)328f x f x x =-+-8(4)(8)328f x f x x --=-+-(8)(4)824f x f x x -+-=-(1)112f -=--=-3((1))(2)(2)8g f g -=-=-=-333m =3m =-3()f x x =333(3(36[(2)](22264f ⨯====2x =-()(4)[6](4)(6)24f x =-⋅-=-⨯-=523x -<<-10423x -<<-(2)3x =-，，；当时，，，，，；当时，，，，，.综上，，集合A 中所有元素的和为67.15.解：（1）由得，（2分）因为函数在上单调递减，所以，故.（5分）由得，所以.（7分）（2），（10分）当时，，，，所以函数，的值域为.（13分）【评分细则】值域写成集合或区间形式均给分.16.解：（1）因为，所以，得，（2分）又因为，所以，即，（5分）故当时，m 的取值范围是.（7分）（2）因为，所以，，若p 是q 的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，（10分）故（12分）解得.故实数m 的取值范围是.（15分）【评分细则】结果写成集合或区间或不等式形式均给分.17.解：（1）因为，即，又，得，，（4分）635x -<<-[3]6x =-()(2)[3](3)(6)18f x x x =⋅=-⨯-=5332x -- (10)233x --……(2)3x =-9532x --……[3]5x =-()(2)[3](3)(5)15f x x x =⋅=-⨯-=3423x -<<-8323x -<<-(2)2x =-9342x -<<-[3]5x =-()(2)[3](2)(5)10f x x x =⋅=-⨯-={24,18,15,10}A =24a =2a =±()af x b x=+(0,)+∞0a >2a =(1)21f b =+=1b =-2()1f x x=-222424()2()[()]211g x f x f x x x x ⎛⎫=+=-+-=- ⎪⎝⎭[1,4]x ∈2[1,16]x ∈241,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2131,34x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦2()2()[()]g x f x f x =+[1,4]x ∈3,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12B ∈221233m m -+……37m ……16A ∉2916m +<72m <16A ∉73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭37m ……A O ≠B O ≠224,3329,m m m ->⎧⎨++⎩…36m <…(3,6]()()2||2f x g x x x -+-=-+-+()()2||2f x g x x x -+=-++()()2||2f x g x x x +=++()2f x x =()||2g x x =+所以.（5分）（2）因为，所以为奇函数，（7分）又当时，单调递增，故函数在R 上单调递增.（9分）则不等式，可化为，即，即，（11分）①若，即时，；②若，即时，不等式无解；③若，即时，，综上，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.（15分）【评分细则】1.第一问求出和的解析式分别给2分；2.第一问结果写成分段函数形式不扣分；3.第二间结果不写成集合或区间形式扣1分，未总结，但结果正确均给满分，三种情况每少一种情况扣1分.18.解：（1）设A 糕点每斤的进价为a 元，B 糕点每斤的进价为元，所以，解得，所以A 糕点每斤的进价为16元，B 糕点每斤的进价为22元.（4分）（2）设B 糕点每斤涨价元，蛋糕店通过B 糕点获得的月利润为y 元.由题意，（6分）当时，y 有最大值.（8分）所以B 糕点每斤定价为39元时，月利润最大，最大为34680元.（9分）（3）设前n 个月的总利润为w ，因为A 糕点每斤售价为16元，每月可售出10000斤，故每月可收入16万元，其中原材料为8万元，则，（12分）月平均利润万元，（15分）()()()2(||2)h x f x g x x x =⋅=+()2()(||2)2(||2)()h x x x x x h x -=--+=-+=-()h x 0x …2()24h x x x =+()h x 2(3)(3)0h x tx h x t -+-<2(3)(3)(3)h x tx h x t h t x -<--=-23(3)0x t x t +--<(3)(1)0x t x -+<13t <-3t <-13tx <<-13t=-3t =-13t >-3t >-13t x -<<3t <-|13t x x ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭3t =-∅3t >-|13t x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭()f x ()g x (6)a +16000220006a a =+16a =(8)x x -…22(3022)(3120120)120216024960120(9)34680y x x x x x =+--=-++=--+9x =22*111311685050()324324w n n n n n n n ⎛⎫=--+-=-+-∈ ⎪⎝⎭N 503131215.2532444w n z n n ==--+-+==…当且仅当，即时等号成立，（16分）所以z 的最大值为5.25.（17分）【评分细则】1.第二问未配方，只要结果正确，就给分；2.第三问未说明等号成立条件扣1分.19.解：（1）时，设，由，得，所以，即，得或1，故或.（4分）（2）时，，由，得，得或即或（5分）当时，是方程的两根，故，（6分）当时，两式相减得，由集合中元素的互异性得，所以，故，即，同理，故是方程的两根，所以，（7分）故ab 的所有取值构成的集合为.（8分）（3）设，由，得，①若故是方程的三个不等的实数根，而此方程最多有两个实数根，不可能有三个实数根，故不成立；（11分）②若，当时，，令，得，（12分）对，，两式相减得，因为，所以，代入，得，同理，5032n n=40n =1k ={}A a =11A A =⊗ 2{1}{1}a a -=-211a a -=-220a a +-=2a =-{2}A =-1}{A =3k ={,}A a b =33A A =⊗ 22{3,3}{3,3}a b a b --=--2233,33a a b b ⎧-=-⎨-=-⎩2233,33,a b b a ⎧-=-⎨-=-⎩2260,60a a b b ⎧+-=⎨+-=⎩226,6,a b b a ⎧=-⎨=-⎩2260,60a ab b ⎧+-=⎨+-=⎩,a b 260x x +-=6ab =-226,6a b b a⎧=-⎨=-⎩22a b a b -=-a b ≠1a b +=266(1)5a b a a =-=--=+250a a --=250b b --=,a b 250x x --=5ab =-{6,5}--{,,}A a b c =A k A k =⊗ 222{,,}{,,}a k b k c k k a k b k c ---=---222,,,a k k a b k k b c k k c ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩,,a b c 220x x k +-=222,,,a k kb b k k ac k k c ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩2c k k c -=-220c c k +-=180k ∆=+ (1)8k -…2a k k b -=-2b k k a -=-22a b a b -=-a b ≠1a b +=2a k k b -=-2120a a k -+-=2120b b k -+-=故为方程的两个不相等的实根，令，得，（13分）当时，与均有两个不相等的实根，且这两个方程的根不完全相同，故符合题意；（14分）③若则，根据集合中元素的互异性，两两不相等，不妨设，（ⅰ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立；（ⅱ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立；（ⅲ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立；（ⅳ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立.（16分）综上，实数k 的取值范围是.（17分）【评分细则】1.第一问只得出一种情况，扣2分；结果不写成集合形式，扣1分；2.第二问求出ab 的一个值，给2分，最后结果不写成集合形式，扣1分；3.第三问结果写成不等式、集合或区间形式，结果正确即给满分.,a b 2120x x k -+-=14(12)0k '∆=-->38k >38k >2120x x k -+-=220x x k +-=222,,,a k k b b k k c c k k a ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩2222a b b c c a k +=+=+=,,a b c a b c >>0a b c >>>22a b >b c >22c a b b ++>22c a b b ++=0a b c >>>22a b >b c >22c a b b ++>22c a b b ++=0a b c >>>22b c <c a <22b c a c ++<22b c a c ++=0a b c >>>22b c <c a <22b c a c ++<22b c a c ++=3,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。

2024-2025学年江苏省常熟市高一第一学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知命题p:“∃x∈R，x+2≤0”，则命题p的否定为( )A. ∃x∈R，x+2>0B. ∀x∈R，x+2>0C. ∃x∉R，x+2>0D. ∀x∈R，x+2≤02.已知x>0，则x−1+4x的最小值为( )A. 4B. 5C. 3D. 23.已知函数y=f(x)的定义域为[−2,1]，则函数y=f(2x+1)的定义域为( )A. RB. [−2,1]C. [−3,3]D. [−32,0]4.若函数f(x)=(m2−2m−2)x2−m是幂函数，且y=f(x)在(0,+∞)上单调递减，则实数m的值为( )A. 3B. −1C. 1+3D. 1−35.常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称。

双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出;若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高x(x∈N∗)元，则被卖出的“叫花鸡”会减少5x只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为( )A. 48元B. 49元C. 51元D. 50元6.已知f(x)是奇函数，对于任意x1，x2∈(−∞,0)(x1≠x2)，均有(x2−x1)(f(x2)−f(x1))>0成立，且f(2)=0，则不等式xf(x−2)<0的解集为( )A. (−2,0)∪(2,4)B. (−∞,−2)∪(2,4)C. (2,4)D. (−2,0)∪(0,2)7.通过研究发现：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数，则函数f(x)=x3−3x2图象的对称中心为( ) 参考公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3A. (0,0)B. (1,2)C. (1,−2)D. (2,−4)8.已知正实数a，b满足a+b=4，则代数式1b +b+1a的最小值为( )A. 5+12B. 5+14C. 54D. 25+2二、多选题：本题共3小题，共18分。

高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的值。

A. {1,2,3}B. {1,2,3,4}C. {2,3}D. {1,4}2. 函数f(x)=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值是多少？A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。

A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 已知直线y=-3x+5与x轴的交点坐标是什么？A. (0, 5)B. (1, 2)C. (5/3, 0)D. (0, 0)6. 已知sin(α)=3/5，α∈(0,π)，求cos(α)的值。

A. 4/5B. -4/5C. √(1-(3/5)^2)D. -√(1-(3/5)^2)7. 一个函数f(x)是奇函数，且f(1)=2，求f(-1)的值。

A. 2B. -2C. 0D. 18. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 7C. 8D. 99. 已知一个函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(2)的值。

A. -2B. 0C. 2D. 410. 已知一个等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第5项的值。

A. 162B. 243C. 486D. 729二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求对称轴的方程。

___________________________12. 已知等比数列的前n项和为S_n=3^n-1，求首项a1。

___________________________13. 已知正弦定理公式为a/sinA=b/sinB=c/sinC，求三角形ABC的面积，已知a=5，sinA=3/5。

___________________________14. 已知某函数的导数f'(x)=6x^2-4x+1，求f'(1)的值。

高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 无理数集D. 复数集C2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B的元素个数。

A. 1B. 2C. 3D. 44. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的符号是：A. 正B. 负C. 零D. 不确定5. 下列哪个不等式是正确的？A. √2 < πB. e < 2.72C. √3 > √2D. log2(3) > log3(2)6. 已知等差数列的首项为a1 = 3，公差为d = 2，第5项a5的值是：A. 9B. 11C. 13D. 157. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。

A. 0B. 4C. 8D. 169. 抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知等比数列的首项为a1 = 2，公比为r = 3，求第4项a4的值。

A. 162B. 486C. 729D. 1458二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0，其中d^2 + e^2 - 4f > 0时，表示______。

12. 若函数f(x) = 3x - 2在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) =______。

13. 已知集合M = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则M的补集∁_R M = {x | ______ }。

14. 函数y = log_2(x)的定义域是{x | x > ______ }。

高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的零点是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1，那么a_5等于：A. 11B. 9C. 13D. 155. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2)等于：A. 1B. -1C. 7D. 36. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (1, 5)C. (-3/2, 0)D. (3/2, 0)7. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0，其圆心坐标是：A. (-1, 2)B. (1, -2)C. (-1, -2)D. (1, 2)8. 函数y = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 39. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 函数y = √(x - 2)的定义域是：A. x ≥ 2B. x > 2C. x < 2D. x ≠ 2二、填空题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最大值为2，则x的值为______。

2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，那么a_3等于______。

3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是______。

4. 集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A的元素个数为______。

2024~2025学年度第一学期武汉市部分学校高一年级期中调研考试数学试卷（答案在最后）武汉市教育科学研究院命制2024.11.13本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,0,1,2,3}{A =-}，220}{|B x x x =-<，则A B = A.{0,1,2}B.{1}C.{0,1}D.(0,2)2.命题p ：[0,1]x ∀∈，20x x +的否定是A.0[0,1]x ∃∈，200x x +> B.[0,1]x ∀∈，20x x +>C.0[0,1]x ∃∈，200x x + D.[0,1]x ∀∈，20x x +3.下列关于幂函数2()f x x -=的判断：①定义域为(0,)+∞，②值域为R ；③是偶函数；④在(0,)+∞上单调递减.其中正确的个数是A.4B.3C.2D.14.下列不等式中成立的是A.若0a b >>，则22ac bc > B.若a b >，则33a b >C.若0a b <<，则22a ab b << D.若a b <且0ab ≠，则11a b<5.已知函数2()f x 的定义域为[1,2]，则函数(21)f x +的定义域为A.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[1,2]D.[1,4]6.已知函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.若111()123f x x x x =+++++存在对称中心(,)a b ，则2a b +=A.-4B.-3C.3D.47.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，12,[0,)x x ∀∈+∞，且12x x ≠，恒有122212))1((f x f x x x ->--.若(1)1f =，则不等式2()2f x x <-的解集为A.(,1)-∞ B.(1,)+∞C.(,1)(1,)-∞-+∞ D.(1,1)-8.已知0a <，关于x 的方程22246aa x x x+=-+在[1,2)上有实数解，则a 的取值范围为A.[3,2]-- B.[3,2)--C.[3,-D.[3,-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为6小时），得到了剩余电量y （单位：百分比）与测试时间t （单位：h）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有A.测试结束时，该手机剩余电量为85%B.该手机在前5h 内电量始终在匀速下降C.该手机在0h~3h 内电量下降的速度比3h~5h 内下降的速度更快D.该手机在5h~6h 进行了充电操作10.已知函数|1|,0()1,0x x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩，关于x 的方程()0f x k -=，下列判断中正确的是A.1k =时方程()0f x k -=有3个不同的实数根B.方程()0f x k -=至少有2个不同的实数根C.若方程()0f x k -=有3个不同的实数根，则k 的取值范围为(0,1]D.若方程()0f x k -=有3个不同的实数根1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围为[)1,-+∞11.已知正数,a b 满足321a b+=，则下列结论中正确的是A.24abB.5ab +C.2a b-的最小值为1- D.b 与2a -可以相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数2,0()2,0x x f x x ⎧=⎨<⎩，则((1))f f -=________.13.已知函数32()f x x x=+，若()f a =()f a f -+=________.14.对于任意实数,a b ，定义,min{,},a a b a b b a b ⎧=⎨>⎩，当实数,x y 变化时，令228min ,8yt x y x y =++，则t 的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知集合{|21}A x a x a =+，2{|430}B x x x =-+ .（1）当12a =时，求A B ，R B A ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分条件，求实数a 的取值范围.16.（本小题15分）已知函数1()2f x x x=-.（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）讨论函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性并证明.17.（本小题15分）（1）对于正实数,,,a b c d ，求证：2()()a b c d --；（2）已知函数()M t =1）的结论，求函数()M t 的最小值，并求出此时对应的t 的值.18.（本小题17分）在日常生活中，经济学家们通常将函数()f x 的边际函数()M f x 定义为()(1)()M f x f x f x =+-.现已知某高科技企业每月生产某种特殊设备最多11台，根据以往经验：生产x 台（111x ，*x ∈N ）这种特殊设备的月收入函数为2281()70R x x x =++（单位：千万元），其月成本函数为126()14C x x x=+（单位：千万元）.求：（1）月收入函数()R x 的最小值及此时x 的值；（2）月成本函数()C x 的边际函数()M C x 的定义域及最大值（精确到0.01千万元）；（3）生产x 台这种特殊设备的月利润()p x 的最小值.（月利润=月收入-月成本）19.（本小题17分）对于定义在R 上的函数()f x ，若其在区间[,]()p q p q >上存在最小值m 和最大值M ，且满足p m M q < ，则称()f x 是区间[,]p q 上的“聚集函数”.现给定函数22()24x a f x ax =-+.（1）当2a =时，求函数()f x 在[1,4]-上的最大值和最小值，并判断()f x 是否是“聚集函数”；（2）若函数()f x 是[1,4]-上的“聚集函数”，求实数a 的取值范围；（3）已知s a t <<，若函数()f x 是[,]s t 上的“聚集函数”，求t s -的最大值.数学答案一、选择题1234567891011BACBBADBACDACDABD二、填空题12.413.三、解答题15.解：（1）当12a =时，312A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，由20}{3|4B x x x =-+≤可得：13}{|B x x =≤≤因此[1,3]A B = ，R 3,32B A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð·······················································································6分（2）由题意可得A B ⊆当A =∅时，21a a >+，∴1a >当A ≠∅时，12113a a a ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，解得112a ≤≤综上所述，a 的取值范围1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.························································································13分16.解：（1）函数()f x 是奇函数，下面给出证明：可知函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称.对于任意(,0)(0,)x ∈-∞+∞ ，有1()2()f x x f x x-=-+=-，故为奇函数.·······································6分（2）函数()f x 在区间(0,)+∞内单调递增，证明如下：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则21212121212112122))()1111((222()x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-+-=-+ ⎪ ⎝-⎪⎭⎝⎭2112)12(x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵210x x ->，12120x x +>∴21)()(f x f x >∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.······························································································15分17.（1）证明：∵2()()a b c d ----(()ac bd ac bd bc ad =+--+--20bc ad =+-=-≥∴原不等式得证.（当且仅当bc ad =即a cb d=时取到等号）···············································································6分（2）解：由t 满足430110t t t -≥⎧⇒≥⎨-≥⎩，此时(43)(1)320t t t ---=->∵431t t ->->，∴()0M t >2=1=由（1）可知：222233()(21)(1)44M t t t ⎡⎤⎛⎫=≥----= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3()2M t ≥，当且仅当2231421t t --=，即1312t =时取到等号.综上所述：当1312t =时，()M t 的最小值为32.·······································································15分18.解：（1）2281()7070187088R x x x =++≥=+=当且仅当2281x x =即3x =时取到等号.即()R x 的最小值为88千万元，此时3x =.（2）由()(1)()M C x C x C x =+-，可知定义域为110x ≤≤，*N x ∈.∴126126126()14(1)14141(1)M C x x x x x x x⎛⎫=++-+=- ⎪++⎝⎭，110x ≤≤，*N x ∈.由函数单调性可知：()M C x 在110x ≤≤，*N x ∈上单调递增.∴当10x =时，max 126707()1412.85111055M C x =-=≈⨯（千万元），···············································10分（3）2228112699()()()70141452p x R x C x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=++-+=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴29()73p x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，111x ≤≤，*N x ∈.令9()7g x x x=+-，∵(1)3g =，1(2)2g =，1(5)5g =，1(6)2g =∴min 76()(5) 3.0425p x p ===（千万元），此时5x =.································································17分19.解：（1）当2a =时，221()21(2)122x f x x x =-+=--因此()f x 在[1,4]-上的最小值为-1，最大值为72.因为71,[1,4]2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 是“聚集函数”.·······························································4分（2）()f x 在[1,4]-上的最大值为(1)f -与(4)f 中的较大者，因此221(1)442(4)4844a f a a f a ⎧-=++≤⎪⎪⎨⎪=-+≤⎪⎩解得82a -≤≤-+∵[82[1,4]--+⊆-.因此对称轴[1,4]x a =∈-，即221()()24a f x x a =--在[1,4]-上的最小值214a -≥-，解得22a -≤≤.综上所述，a的取值范围是[8-.·················································································10分（3）∵221()()24a f x x a =--，()f x 的对称轴(,)x a s t =∈∴2min ()4a y f a ==-，下面讨论()f x 的最大值.①若2s t a +≤，由抛物线图像可知，22max ()24s a y f s as ==-+∴min max s y y t ≤<≤，设L t s =-，即要求L 的最大值.222222max min11(2)()24422s a a L y y as s as a s a ⎛⎫≥-=-+--=-+=- ⎪⎝⎭，∵2s t a +≥，∴022t s La s --≥=>，代入上式，得2122L L ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故8L ≤.②若2s ta +≥，由抛物线图像可知，22max ()24t a y f t at ==-+∴min max s y y t ≤<≤，设L t s =-，有()222222max min112()24422t a a L y y at t at a t a ⎛⎫≥-=-+--=-+=- ⎪⎝⎭∵2s t a +≤，∴022t s L t a --≥=>，代入上式，得2122L L ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故8L ≤.综上可知L t s =-的最大值为8，当且仅当82()t s s t a f a s -=⎧⎪+⎪=⎨⎪=⎪⎩时取到等号，即228442a ta s a s t ⎧-=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，消去,s t 可得：2282a a =-，解得2a =-±即22 6a t s ⎧=-+⎪⎪=+⎨⎪=-+⎪⎩或226a t s ⎧=--⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩时取到.因此t s -的最大值为8.······································································································17分。

四川省成都市郫都区2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．下列关系正确的是（）A ．{}{}00,1∈B ．0∈∅C ．{}0∅⊆D Q2．命题“20,251x x x ∃≤<-”的否定是（）A ．20,251x x x ∀><-B ．20,251x x x ∃>≥-C ．20,251x x x ∀≤≥-D ．20,251x x x ∃≤>-3．已知函数()235,128,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则()2f f ⎡⎤⎣⎦的值为（）A ．11B ．0C ．5D ．44．对于任意实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是（）A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，0c ≠，则ac bc>D ．若a b >，则11a b<5．某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，共有24人参加比赛，其中有12人参加跳远比赛，有11人参加球类比赛，有16人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有4人，同时参加球类和跑步比赛的有5人，没有人同时参加三项比赛，则（）A ．同时参加跳远和跑步比赛的有4人B ．仅参加跳远比赛的有3人C ．仅参加跑步比赛的有5人D ．同时参加两项比赛的有16人6．已知集合M 满足{}1,2{}1,2,3,4,5M ⊆，则所有满足条件的集合M 的个数是（）A ．6B ．7C ．8D ．97．已知关于x 的不等式0ax bx c-≥+的解集为()[),12,∞∞-⋃+，则错误．．的说法是（）A ．2a b =B ．1c =-C ．1ab+D ．20ax bx +>的解集为{|2x x <-或0}x >8．已知()f x 为R 上的减函数，设函数()()(),0,0f x x g x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则满足不等式()()4g m g m ->的m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．()(),11,-∞+∞ D ．()(),22,-∞+∞ 二、多选题9．已知函数2()4f x x x =-+的值域为[0,4]，则()f x 的定义域可以为（）A ．[]1,3B ．[]0,3C ．(1,4]D ．[]0,410．下列说法正确的是（）A ．若()f x 的定义域为()2,4-，则()2f x 的定义域为()1,2-B ．()2x f x x=和()g x x =表示同一个函数C ．函数2y x =-17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．函数()f x 满足()()221f x f x x --=-，则()213f x x =+11．函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．则函数()323f x x mx =-图象的对称中心可能是（）A ．()0,0B ．()1,2-C ．()1,2D ．()216,三、填空题12．已知集合{}212,4,10A a a a =++，5A ∈，则a =．13．已知奇函数()f x 是R 上的增函数，且()2,1N 是其图象上的一点，那么()11f x -<的解集是．14．已知函数2()(35)||1f x x m x =+++的定义域为R ，若函数有四个单调区间，则实数m 的取值范围为．四、解答题15．已知集合{}15A x x =-≤≤，{}221B x a x a =-≤≤+，(1)若4a =，求A B ⋂，A B ，()A A B ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．16．已知集合{M x y ==，命题p ：实数x M ∈，命题q ：实数x 满足22230x ax a --<（其中0a >）．(1)若2a =，且当命题p 和q 都是真命题时，求实数x 的取值范围；(2)若命题p 是q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．17．已知函数()222x x af x x++=，[)2,x ∞∈+．(1)当12a =时，试判断()f x 的单调性，并加以证明；(2)若对任意[)2,x ∞∈+，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．18．某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格()x ϕ（单位：元）与时间第x 天的函数关系近似满足()10kx xϕ=+，（0k >），日销售量()g x （单位：件）与时间第x 天的部分数据如下表所示：x1015202530()g x 5055605550已知第10天的日销售收入为505元．(1)求k 的值；(2)给出以下三个函数模型：①()g x ax b =+；②()ag x b x=-；③()g x a x m b =-+．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量()g x 与时间第x 天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域；(3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），求()f x 的最小值．19．已知定义在R 上的一次函数=满足()92f f x x ⎡⎤=-⎣⎦，且对1x ∀，2R x ∈，12x x ≠时，都有()()()()12120x x f x f x --<，又函数=满足22111g x x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭．(1)求函数=和=的解析式；(2)若[]0,2x ∃∈使得()221f x t t ≥-+成立，求实数t 的取值范围；(3)设()()212143m h x g x mx -⎡⎤=-+-⎣⎦，（0m >），对1x ∀，[]21,3x ∈，都有()()1232h x h x -≤，求实数m 的取值范围．。

2024-2025学年度（上）高2027届期中考试数学试题（满分150分，120分钟完成）命题人：数学命题组 审题人：数学命题组第Ⅰ卷 选择题（共58分）一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案）1．已知集合，，则集合（ ）A ．B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．,C ．，D ．，3．“”是“”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数的定义域为，则的定义域为（）A ．B ．C ．D ．6．已知，则下列结论正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，，则D ．若，则{}20A x x =-≤{B x y ==A B = []0,2(]0,2(],2-∞[)2,+∞0x ∃>2310x x -->0x ∃>2310x x --≤0x ∃≤2310x x --≤0x ∀>2310x x --≤0x ∀≤2310x x --≤3x >31x<()0,1y =13y x=1y x x=+2y x=-()y f x =[]1,4-y =31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(]1,935,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,,a b c ∈R ab >22ac bc >0a b <<2a ab<0a b <<0c >c a c ab b ->-1a b >>11a b a b+>+7．已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知全集，集合，若有4个子集，且，则（）A ．B ．集合有3个真子集C ．D ．10．已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ）A ．的最小值为4B ．的最小值为C ．的最大值为8D．的最小值为411．我们知道，函数的图象关于原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成中心对称的充要条件是函数为奇函数．下列说法正确都有（）A ．若函数关于对称，则函数满足B ．函数的对称中心为C ．若关于对称，当时，则当时D ．若关于对称，为偶函数，则为偶函数第Ⅱ卷 非选择题（共92分）三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）12．已知，集合，则______．()()2314,16,1a x a x f x x ax x ⎧-+<=⎨-+≥⎩12,x x ∈R 12x x ≠()()12120f x f x x x ->-a [)2,+∞1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦[]1,2()24f x x x a =-+()5g x ax a =+-[]11,3x ∈-[]21,3x ∈-()()12f x g x =a (],9-∞-[]9,3-[)3,+∞(][),93,-∞-+∞ {}2230U x x x =∈+-≤Z {}210B x x =-=U A ðA B =∅ 1A∉A 3A-∈A B U= ,x y xy x y =+xy 2x y +3+22x y +112x y+()y f x =()y f x =()y f x =(),a b ()y f x a b =+-()y f x =()1,2()()112f x f x -++=()323f x x x =-()1,2-()y f x =()1,0[]2,3x ∈()f x =[]1,0x ∈-()f x =()y f x =()1,0()y f x =()2y f x =-,a b ∈R {}{}2,,2,2,0a b a a +=()3a b -=13．已知函数为偶函数，则______．14．记表示中最大的数，已知为正实数，记．若，则的最小值为______，若，则的最小值为______．四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程）15．（本题满分13分）已知，集合，（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．16．（本题满分15分）为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据：10304060700.8684.83.5为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，，（1）选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值；（2）计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度．17．（本题满分15分）在①不等式解集为，②，且，③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答问题：已知函数，且______．（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上的值域为，求的值．18．（本题满分17分）()21f x ax x a =+++a ={}max ,,x y z ,,x y z x 2221max ,,4M x y x y ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭14y =M 0y >M a ∈R 12A x x a ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭{}2320B x x x =-+<12a =R A B ðx B ∈x A ∈a L v νLL v 2701600kvL v v =-+2L v k =+L k =k ()0f x ≤{}11x x b ≤≤+x ∀∈R ()()22f x f x +=-()03f =x ∀∈R ()222264x f x x x -≤≤-+()22f x x bx c =-+()f x ()f x [],m n []1,1m n --m n +已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．19．（本小题满分17分）定义在上的函数满足：如果对任意的，都有（当且仅当时等号成立），则称函数为定义在上的凹函数；如果对任意的，都有（当且仅当时等号成立），则称函数为定义在上的凸函数，如果函数在定义域上为凹函数或凸函数，则称函数具有凹凸性．（1）判断函数的凹凸性并用上述定义证明；（2）若函数为定义在上的凹函数，求的取值范围；（3）若是定义在上的凹函数，单调递增，恒正；是定义在上的凸函数，单调递减恒正，判断函数在上的凹凸性并证明．()f x ,x y ()()()f x y f x f y +=+0x >()0f x <()12f =-()f x ()f x R 1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2220f kxf x ++>k M ()f x 12,x x M ∈()()1212122x x f f x f x +⎛⎫⎡⎤≤+⎪⎣⎦⎝⎭12x x =()f x M 12,x x M ∈()()1212122x xf f x f x +⎛⎫⎡⎤≥+ ⎪⎣⎦⎝⎭12x x =()f x M ()f x ()f x ()f x =()2g x x =()2h x x =+[]1,2a ()m x M ()m x ()n x M ()n x ()()m x n x M。

2024-2025学年上学期高一期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答卷上填写清楚2.选择题答案用2B 铅笔在答题卷把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 黑色签字笔在每题对应的答题区内做答，答在试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列说法正确的有（ ）A .10以内的质数组成的集合是B .与是同一个集合C ：方程的解集是D .集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形2.命题：p ：，的否定为（ ）A .，B .，C .，D .，3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A .B .C .D .4下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（ ）A .B .C .D .5下列说法正确的是（ ）A .若，则B .若a ，b ，，则C .若，则D .若，，则6.不等式的一个必要不充分条件是（ ）A .B .C .D .7已知，，且恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A .B .C .D .{}0,2,3,5,7∅{}02210xx -+={}1,1{},,M a b c =ABC ∆ABC ∆x ∀∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +<x ∃∈R 0x x +≤x ∀∈R 0x x +<()f x []0,1()1f x +[]0,1[]1,0-{}0[]1,2()0,+∞y x=3y x =2y x =3y x=-22acbc >a b>()0,m ∈+∞b b m a a m+<+a b >11a b<a b >x y >ax by>22530x x --<132x -<<16x -<<102x -<<132x <<0a >0b >211a b+=a b m +≥(,3-∞(],6-∞(,3-∞+(],7-∞8.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a ，b ，设物体的真实质量为G ，则（ ）A .B .C .D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

海南省屯昌中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3,4,5}U =，{0,1,3}A =，{2,3,5}B =.则()U A B = ð（）A ．{0,1}B ．{0,1,3,4}C ．{1,3}D ．{0,1,3}2．“2x <”是“24x <”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．如果0,0a b <>，那么下列不等式中正确的是（）A ．22a b <B <C ．a b>D ．11a b<4．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则（）A ．a >bB ．a <bC ．a ≥bD ．a ≤b 5．由下表给出函数y ＝f (x )，则f (f (1))等于（）x 12345y45321A ．1B ．2C ．4D ．56．设2x >，则函数4412y x x =-+-，的最小值为（）A ．7B ．8C ．14D ．157．对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．()0,24B ．(]24,0-C ．(]0,24D ．[)24,∞+8．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧>=⎨-<⎩，若对任意的[],2x t t ∈+，不等式()()9f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．[4,)-+∞D ．(],4-∞-二、多选题9．关于命题p ：“2,10x x "Î+¹R ”的叙述，正确的是（）A ．p 的否定：2,10x x $Î+=RB ．p 的否定：2,10x x "Î+=RC ．p 是真命题，p 的否定是假命题D ．p 是假命题，p 的否定是真命题10．下列各图中，可能是函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．11．设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2三、填空题12．函数()f x =的定义域为.13．不等式1123x x +≤-的解集为.14．已知0a >，0b >，114a b+=，则a b +的最小值为.四、解答题15．若0bc ad -，0bd >，求证：a b c db d++ ．16．已知函数22()1x f x x =+．（1）求11(2),(3)23f f f f⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）求证：1()f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是定值．17．已知函数()21ax f x x-=，且()11f -=-(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在区间()0,∞+上的单调性并证明．18．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为m x ，宽为m y ．(1)若菜园面积为272m ，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小；(2)若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y+的最小值．19．已知关于x 的不等式210ax x a -+-≤.（1）当a R ∈时，解关于x 的不等式；（2）当[]2,3x ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求a 的取值范围.。

山东省2023~2024学年第一学期期中高一数学试题（答案在最后）2023.11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.集合{1,0,1,2,3}A =-，{0,2,4}B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{0,2}B.{1,1,3,4}-C.{1,0,2,4}- D.{1,0,1,2,3,4}-2.命题“x ∀∈R 都有210x x ++>”的否定是（）A.不存在2,10x R x x ∈++>B.存在2000,10x R x x ∈++≤C.存在2000,10x R x x ∈++>D.对任意的2,10x R x x ∈++≤3.下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（）A. B.C. D.4.“12x >”是“12x<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数()22132f x x +=+，则()3f 的值等于（）A.11B.2C.5D.1-6.函数()f x =的单调递增区间是（）A.(]-1∞， B.[)1+∞，C.[]1,3 D.[]1,1-7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()112f a f a -=+，则a 的值为（）A.1B.12-C.-1D.28.已知函数y =的定义域与值域均为[]0,1，则实数a 的取值为（）A.-4B.-2C.1D.1二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若0a b c >>>则以下结论正确的是（）A.c c a b> B.22ac bc >C.a b b c->- D.b c ba c a+>+10.设正实数a 、b 满足1a b +=，则（）A.有最大值12B.1122a b a b +++有最小值3C.22a b +有最小值12D.有最大值11.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为奇函数，且对任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，已知()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，则下列正确的是（）A.()f x 的图象关于点()2,0-对称B.()f x 在R 上是增函数C.()()44f x f x +-=D.关于x 的不等式()0f x <的解集为(),2-∞12.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数2()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()424f = B.()4f x 的值域为[]0,4C.()4f x 在[]1,1-上单调递减D.函数()41y f x =+为偶函数第II 卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合{}21,2,4m M m +=+，且5M ∈，则m 的值为________．14.函数()f x =的定义域为______．15.函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为__________.16.设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()1122120x f x x f x x x ->-，若()24f =，则不等式8()0f x x->的解集为___________.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}27,{121}A xx B x m x m =-≤≤=+<<-∣∣，（1）3m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.18.已知幂函数()()215m f x m m x+=--，且函数在()0,∞+上单增（1）函数()f x 的解析式；（2）若()()122f a f -<，求实数a 的取值范围.19.已知函数()2bf x ax x=-，且()11f -=-，()13f =（1）求()f x 解析式；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,+∞的单调性.20.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g 砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客（1）试分析顾客购得的黄金是小于10g ，等于10g ，还是大于10g ？为什么？（2）如果售货员又将5g 的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ，设置为多少？请说明理由.21.已知命题：“[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()223200x ax a a ≥-+≠的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.22.已知函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x ax =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数.且对任意的[)1,m ∈+∞，()221240tf mt m f m m ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的范围.山东省2023~2024学年第一学期期中高一数学试题2023.11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.集合{1,0,1,2,3}A =-，{0,2,4}B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{0,2}B.{1,1,3,4}-C.{1,0,2,4}-D.{1,0,1,2,3,4}-【答案】B 【解析】【分析】求()()A B A B ð得解.【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为()(){1,1,3,4}A B A B =- ð.故选：B2.命题“x ∀∈R 都有210x x ++>”的否定是（）A.不存在2,10x R x x ∈++>B.存在2000,10x R x x ∈++≤C.存在2000,10x R x x ∈++>D.对任意的2,10x R x x ∈++≤【答案】B 【解析】【分析】由全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出原命题的否定.【详解】由全称命题的否定为特称命题，∴原命题的否定为：存在2000,10x R x x ∈++≤.故选：B3.下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案．【详解】对于A ，其对应函数的值域不是{}01N y y =≤≤，A 错误；对于B ，图象中存在一部分与x 轴垂直，即此时x 对应的y 值不唯一，该图象不是函数的图象，B 错误；对于C ，其对应函数的定义域为{|01}M x x = ，值域是{|01}N y y = ，C 正确；对于D ，图象不满足一个x 对应唯一的y ，该图象不是函数的图象，D 错误；故选：C ．4.“12x >”是“12x<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】12x >时12x <成立，12x <时如112x =-<，则=1x -12<，因此只能是充分不必要条件，故选：A ．5.已知函数()22132f x x +=+，则()3f 的值等于（）A.11B.2C.5D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，令213x +=求出x 即可计算作答.【详解】函数()22132f x x +=+，令213x +=，得1x =，所以()233125f =⨯+=.故选：C6.函数()f x =的单调递增区间是（）A.(]-1∞， B.[)1+∞，C.[]1,3 D.[]1,1-【答案】D 【解析】【分析】先求出()f x 定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.【详解】函数()f x =的定义域需要满足2320x x +-≥，解得()f x 定义域为[]13，-，因为232y x x =+-在[]11-，上单调递增，所以()f x =在[]11-，上单调递增，故选：D .7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()112f a f a -=+，则a 的值为（）A.1B.12-C.-1D.2【答案】B 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，分别确定1a -与12a +的范围，代入相应的函数解析式，再利用()()112f a f a -=+即可求解.【详解】当0a >时，有11a -<，121a +>，又因为()()112f a f a -=+，所以()()21122a a a a -+=-+-，解得：1a =-，又0a >，所以1a =-舍去；当a<0时，有11a ->，121a +<，又因为()()112f a f a -=+，所以()()21212a a a a ++=---，解得：12a =-.故选：B.8.已知函数y =的定义域与值域均为[]0,1，则实数a 的取值为（）A.-4B.-2C.1D.1【答案】A 【解析】【分析】依题意知2y ax bx c =++的值域为[]0,1，则方程20ax bx c ++=的两根为0x =或1，可得0c =，a b =-，从而确定当12x =时，2124a y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值为1，进而解得4a =-.【详解】依题意，2y ax bx c =++的值域为[]0,1，且20ax bx c ++≥的解集为[]0,1，故函数的开口向下，a<0，则方程20ax bx c ++=的两根为0x =或1，则0c =，0122b a +-=，即a b =-，则222124a y ax bx c ax ax a x ⎛⎫=++=-=-- ⎪⎝⎭，当12x =时，2124a y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值为1，即14a-=，解得：4a =-.故选：A.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若0a b c >>>则以下结论正确的是（）A.c c a b> B.22ac bc >C.a b b c ->- D.b c ba c a+>+【答案】AB 【解析】【分析】对于AB ，可利用不等式的性质直接判断；对于CD ，可赋值判断.【详解】对于A ，因为0a b >>，所以11a b <，又因为0c >，所以c c a b>，故A 正确；对于B ，因为0a b c >>>，则有20c >，所以22ac bc >，故B 正确；对于C ，因为0a b c >>>，若2a =，1b =，1c =-，则211a b -=-=，()112b c -=--=，此时a b b c -<-，故C 错误；对于D ，因为0a b c >>>，若2a =，1b =，1c =-，则11021b c a c +-==+-，12b a =，此时b c b a c a +<+，故D 错误.故选：AB.10.设正实数a 、b 满足1a b +=，则（）A.有最大值12B.1122a b a b +++有最小值3C.22a b +有最小值12 D.有最大值【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式求出各选项中代数式的最值，由此可判断各选项的正误.【详解】设正实数a 、b 满足1a b +=.对于A 122a b +=，当且仅当12a b ==时，等号成立，A 选项正确；对于B 选项，由基本不等式可得()111113322322a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭()()111122=222322322a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫++++=+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭14233⎛≥+= ⎝，当且仅当12a b ==时，等号成立，B 选项错误；对于C 选项，()()()222222122222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，C 选项正确；对于D 选项，()222a b a b =+++=≤，当且仅当22a b ==时，等号成立，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为奇函数，且对任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，已知()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，则下列正确的是（）A.()f x 的图象关于点()2,0-对称B.()f x 在R 上是增函数C.()()44f x f x +-=D.关于x 的不等式()0f x <的解集为(),2-∞【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性及单调性，再逐项判断即得答案．【详解】由()2f x +为奇函数，得()2(2)f x f x -+=-+，即(4)()0f x f x -+=，因此()f x 的图象关于点()2,0对称，由任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，得函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，于是()f x 在R 上单调递增，B 正确；显然(2)(2)0f f -<=，即()f x 的图象关于点()2,0-不对称，A 错误；对C ，由(4)()0f x f x -+=，得()()44f x f x +-≠，C 错误；对D ，由于()f x 在R 上单调递增，()()0(2)f x f x f <⇔<，则2x <，即不等式()0f x <的解集为(),2-∞，D 正确．故选：BD12.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数2()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()424f = B.()4f x 的值域为[]0,4C.()4f x 在[]1,1-上单调递减 D.函数()41y f x =+为偶函数【答案】BCD 【解析】【分析】令2214x x -+≤求出不等式的解，即可求出()4f x 的解析式，即可判断A 、B 、C ，再求出()41y f x =+的解析式，画出图象，即可判断D.【详解】根据题意，由2214x x -+≤，解得13x -≤≤，∴()2421,134,14,3x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=<-⎨⎪>⎩，所以()24222211f =-⨯+=，故A 错误；当13x -≤≤时()()224211f x x x x =-+=-，且()4f x 在[]1,1-上单调递减，在[]1,3上单调递增，()401f =，()()44431f f -==，所以()404f x ≤≤，即()4f x 的值域为[]0,4，故B 、C 正确；因为()24,2214,24,2x x y f x x x ⎧-≤≤⎪=+=<-⎨⎪>⎩，则()41y f x =+的图象如下所示：由图可知()41y f x =+的图象关于y 轴对称，所以函数()41y f x =+为偶函数，故D 正确；故选：BCD第II 卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合{}21,2,4m M m +=+，且5M ∈，则m 的值为________．【答案】1或3##3或1【解析】【分析】根据题意得到25m +=，245m +=，解方程再验证得到答案.【详解】{}21,2,4m M m +=+，5M ∈，当25m +=时，3m =，此时{}1,9,13M =，满足条件；当245m +=时，1m =±，1m =-时，不满足互异性，排除；1m=时，{}1,3,5M =，满足条件.综上所述：1m =或3m =.故答案为：1或3.14.函数()f x =的定义域为______．【答案】1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负且分母不为零得到不等式组，解得即可.【详解】对于函数()f x =，则1021210xx x -⎧≥⎪+⎨⎪+≠⎩等价于()()1210210x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得112x -<≤，所以函数()f x =的定义域为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：1,12⎛⎤-⎥⎝⎦15.函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为__________.【答案】[]1,4【解析】【分析】根据分段函数单调性的定义，解不等式求实数a 的取值范围.【详解】函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则44(1)32(5)21250a a a a a -++≥--⎧⎪+≥⎨⎪-<⎩，解得14a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,4.故答案为：[]1,4．16.设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()1122120x f x x f x x x ->-，若()24f =，则不等式8()0f x x->的解集为___________.【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【解析】【分析】令()()F x xf x =，可得函数利()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数且在(0,)+∞上单调递增，原不等式等价于()80F x x->，分析可得答案.【详解】令()()F x xf x =，由()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，可得()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，由对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()2211210x f x x f x x x ->-，可得()()F x xf x =在(0,)+∞上单调递增，由(2)4f =，可得(2)8F =，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)8F -=，不等式8()0f x x ->，即为()80xf x x ->，即()80F x x->，可得0()8x F x >⎧⎨>⎩或0()8x F x <⎧⎨<⎩，即02x x >⎧⎨>⎩或020x x <⎧⎨-<<⎩解得2x >或20x -<<.故答案为：(2,0)(2,)-+∞ .四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}27,{121}A xx B x m x m =-≤≤=+<<-∣∣，（1）3m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|45A B x x =<<I （2）(]4∞-，【解析】【分析】（1）代入m 求集合B ，根据交集的定义即可得解；（2）A B B = ，即B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，从而可得出答案.【小问1详解】解：若3m =，则{}45B x x =<<，又{}27A xx =-≤≤∣，所以{}|45A B x x =<<I ；【小问2详解】解：因为A B B = ，所以B A ⊆，当B =∅时，则211m m -≤+，解得2m ≤，此时B A ⊆，符合题意，当B ≠∅时，则12112217m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得24m <≤，综上所述4m ≤，所以若A B B = ，m 的取值范围为(]4∞-，.18.已知幂函数()()215m f x m m x+=--，且函数在()0,∞+上单增（1）函数()f x 的解析式；（2）若()()122f a f -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()4f x x =（2）13,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）幂函数()()215m f x m m x+=--，有251m m --=，再由函数在()0,∞+上单调递增，解出m 的值，得函数()f x 的解析式；（2）由函数的奇偶性和单调性解不等式.【小问1详解】()()215m f x m m x +=--为幂函数，则有251m m --=，解得3m =或2m =-，3m =时，()4f x x =，在()0,∞+上单调递增，符合题意；2m =-时，()1f x x -=，在()0,∞+上单调递减，不合题意；所以()4f x x =.【小问2详解】()4f x x =，函数定义域为R ，()()()44f x x x f x -=-==，函数为偶函数，在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，若()()122f a f -<，有2122a -<-<，解得1322a -<<，所以实数a 的取值范围为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.19.已知函数()2bf x ax x=-，且()11f -=-，()13f =（1）求()f x 解析式；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,+∞的单调性.【答案】（1）()22f x x x=+（2）单调递增，证明见解析.【解析】【分析】（1）依题意可得1a b +=-，3a b -=，解方程即可得函数解析式；（2）利用函数单调性的定义法判断即可.【小问1详解】因为()11f -=-，()13f =，所以1a b +=-，3a b -=，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 解析式为：()22f x x x=+.【小问2详解】函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，证明如下：由（1）知()22f x x x=+，取任意1x 、()21,x ∈+∞，令12x x <，则()()()22121212121212222f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-+- ⎪⋅⎝⎭因为12x x <，所以120x x -<，又211x x >>，则122x x +>，121x x ⋅>，所以12101x x <<⋅，则12202x x <<⋅，所以1222x x ->-⋅，即121220x x x x +->⋅，所以()()120f x f x -<，即函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增.20.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g 砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客（1）试分析顾客购得的黄金是小于10g ，等于10g ，还是大于10g ？为什么？（2）如果售货员又将5g 的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ，设置为多少？请说明理由.【答案】（1）顾客购得的黄金是大于10g ，理由见详解（2）三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比2λ=,理由见详解【解析】【分析】（1）设天平的左臂长为a ，右臂长b ，则a b ¹，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金x g 放在右盘使之平衡；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金y g 放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为x y +（g）利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.（2）再一次将5g 的砝码放在天平左盘，再取黄金m g 放在右盘使之平衡，加上前两次利用基本不等式进行分析即可.【小问1详解】由于天平两臂不等长，设天平左臂长为a ，右臂长为b ，且a b ¹，先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则5,5bx a ay b ==，则55,a b x y b a ==，所以555210a b x y b a +=+≥⨯=当且仅当a bb a=，即a b =时取等号，由a b ¹，所以10x y +>顾客购得的黄金是大于10g【小问2详解】由（1）再一次将5g 的砝码放在天平左盘，再取黄金m g 放在右盘使之平衡，则此时有5a bm =，此时有5am b=，所以三次黄金质量总和为：55525()52a b a a b x y m b a b b a ++=++=+≥⨯=当且仅当2a b b a =，即2a b b λ=⇒==所以三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比22λ=.21.已知命题：“[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()223200x ax a a ≥-+≠的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}5A m m =>（2）5002a a a ⎧⎫<<≤⎨⎩⎭或【解析】【分析】（1）分析可知24m x x >-在[]13,x ∈-时恒成立，利用二次函数的基本性质可求得实数m 的取值集合A ；（2）分析可知A B ⊆，分a<0、0a >两种情况讨论，求出集合B ，结合A B ⊆可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：由[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立，得240x x m --<在[]13,x ∈-时恒成立，所以()2max4m x x>-，因为二次函数24y x x =-在[]1,2-上单调递减，在[]2,3上单调递增，且()21145x y=-=-+=，233433x y ==-⨯=-，所以，当[]13,x ∈-时，max 5y =，5m ∴>，所以，{}5A m m =>.【小问2详解】解：由22320x ax a -+≥可得()()20x a x a --≥.①当0a <时，可得{2B x x a =≤或}x a ≥，因为x A ∈是x B ∈的充分条件，则A B ⊆，则5a ≤，此时，0a <；②当0a >时，可得{B x x a =≤或}2x a ≥，因为x A ∈是x B ∈的充分条件，则A B ⊆，则25a ≤，解得52a ≤，此时502a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是5002a a a ⎧⎫<<≤⎨⎩⎭或.22.已知函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x ax =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数.且对任意的[)1,m ∈+∞，()221240tf mt m f m m ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的范围.【答案】（1）22,(0)(),(0)x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩（2）5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和0x ≥时()f x 的解析式，即可得出0x <时的解析式，进而得出答案；（2）由()f x 的单调性和奇偶性解不等式，通过参变分离、换元法、构造函数求单调性，求得函数的最值，可求实数t 的范围．【小问1详解】函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，1a =，当0x ≥时，2()f x x x =-+．当0x <时，有0x ->，22()()()f x f x x x x x =--=---=+．所以22,(0)(),(0)x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩．【小问2详解】因奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，由2()f x x ax =-+在[)0,∞+上单调递减，故函数()f x 为单调递减函数，由()221240t f mt mf m m⎛⎫-+->⎪⎝⎭，可得()2221124t t f mt mf f m m m m ⎛⎫⎛⎫->--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22124t mt m m m -<-，即221124m t m m m ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，又注意到22211424m m m m ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，结合[)1,m ∈+∞，知120m m +>，得：14(21(2)t m m m m<+-+．令1()2=+g x x x，其中[)1,x ∞∈+，任取121x x ≤<，故2112121212121212111()()222()()2x x g x g x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因121x x ≤<，则120x x -<，121x x >，12120->x x ，故12121()20x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12()()<g x g x ，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，得()()13g x g ≥=．又令12m n m +=，则14(21(2)t m m m m <+-+转化为4t n n <-，其中3n ≥．要使式子成立，需t 小于4n n-的最小值．又注意到函数y x =与函数4y x=-均在[)3,+∞上单调递增，则函数4y x x=-在[)3,+∞上单调递增．故445333n n -≥-=，得53t <，则t 的范围为5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．。

2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题（第1-6题每題4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．若，，则______．2．不等式的解集是______．3．已知，则______．4．不等式“”是“”______的条件．5．已知集合，集合，若集合M 满足，则这样的集合M 共有______个．6．已知，那么等于______．7．已知，，则用m ，n 表示______．8．若关于x 的不等式恰有两个整数解，则a 的取值范围是______．9．命题“任意，为真命题，则实数a 的取值范围是______．10．碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生．碳14原子经过衰变转变为氨原子．由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期（Half-life ）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为______万年．（四舍五入到0.1万年）11．已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合______．12．已知实数a ，b 满足，且，则的最小值为______．二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．14．关于x 的不等式的解集是，那么（）A ．1B ．C ．12D ．{}|31A x x =-≥{}|15B x x =<<A B = 304x x -≤+12510a b ==11a b +=23x x ≤|2|1x -<{}2,3,5,8A ={}2,3,5,8,13,21B =A M B ⊂⊆()223350x x x -+=>1133x x -+9log 5m =3log 7n =35log 9=()22120x a x a -++<x ∈R ()()222240a x a x -+--<β14235{,,,,}A a a a a a =4222221235{,,,},B a a a a a =51234a a a a a <<<<i a ∈Z 1,2,3,4,5i ={}14,B a a A = 1410a a +=22a >A B A =11a b -<<<2a b +=1311a ab ++-4|,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤P Q = {}1,2,4{}0,1,3{}|03x x ≤≤{}|14x x -≤≤2x ax b ≤-{}4log a b =344315．若，，则下列不等式中一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．16．定义集合运算；将称为集合A 与集合B 的对称差，命题甲：：命题乙：则下列说法正确的是（ ）A ．甲乙都是真命题B ．只有甲是真命题C ．只有乙是真命题D ，甲乙都不是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知集合，，若，，则实数a 、b 、c 的值为．18．设关于x 的方程的两个实根分别是，．（1）求实数p 的取值范围；（2）求的取值范围．19．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒x 年（x 为正整数）所用的各种费用总计为万元（1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？（2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：（1）老师请你模仿例题，研究，上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立）；（2）研究，上的最小值；（3）当时，求，的最小值．21．已知有限集，如果A 中的元素满足，就称A 为“完美集”．x a m -<y a n -<2x y m -<2x y n -<x y n m-<-x y n m -<+{}|A B x x A x B -=∈∉且()()A B A B B A ∆=-- ()()()A B C A B A C ∆=∆ △()()()A B C A B A C ∆=∆ {}2|0A x x ax b =++={}2|150B x x cx =++={}3,5A B = {}3A B = 22lg lg 30x x p -+=αβlog log βαβα+2210x x +44x x -()0,x ∈+∞a b c d +++≥a b c d ===3139x x -()0,x ∈+∞0a >3x ax -()0,x ∈+∞{}()12,,2,,n A a a a n n ⋅⋅⋅=≥∈N ()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由：（2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2；（3）若为正整数，求：“完美集”A ．2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题1．【答案】【解析】由题意知，，所以．2．【答案】【解析】，解得或，所以不等式的解集为．3．【答案】【解析】若，可得，，．4．【答案】必要不充分【解析】，，由于是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．5．【答案】3【解析】因为集合，所以集合M 中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素，所以或或，所以满足条件的M 个数为3．6．【解析】由，因，故，即得，．7．【答案】【解析】由，，可得，，又由{11---+1a 2a {}12,a a 1a 2a i a ()1,4(),4A =-∞()1,4A B = ()[),43,-∞-+∞ ()()34030440x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇔⎨++≠⎪⎩4x <-3x ≥()[),43,-∞-+∞ 1-12510b a ==2log 10a =-5log 10b =-()521111lg 5lg 2lg101log 10log 10a b ⎛⎫+=-+=-+=-=- ⎪⎝⎭{}{}23|0|3x x x x x ≤=≤≤{}{}3|21|1x x x x -<=<<{}|13x x <<{}3|0x x ≤≤23x x ≤21x -<A M B ⊂⊆{}2,3,5,8,13M ={}2,3,5,8,21{}2,3,5,8,13,212112233332527x x x x --⎛⎪+=++⎫⎝⎭+ ==0x >11330x x -+>1133x x -+=22m n+9log 5m =3log 7n =31log 52m =3log 7n =8．【答案】【解析】令，解得或．当，即时，不等式，解得，则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得；当，即时，不等式无解，所以不符合题意；当，即时，不等式解得，则不等式中的两个整数解为0和，有，解得．综上，a 的取值范围是9．【答案】【解析】因为“任意，”为真命题，所以不等式在上恒成立，当时，，显然成立，当时，有，解得，综上所述，实数a 的取值范围是．10．【答案】3.8【解析】设第n 个半衰期结束时，碳14含为，由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为，第二个半衰期结束时，碳14含量为；以此类推，为以首项，公比为的等比数列，所以第n 个半衰期结束时，碳14含量为，335333log 922log 9log 35log 5log 72m n===++3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或()22120x a x a -++=1x =2x a =21a >12a >()22120x a x a -++<12x a <<324a <≤322a <≤21a =12a =()22120x a x a -++<12a =21a <12a <()22120x a x a -++<21a x <<1-221a -≤<-112a -≤<-3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或(]2,2-x ∈R ()()222240a x a x -+--<()()222240a x a x -+--<R 2a =40-<2a ≠()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩22a -<<(]2,2-n a 112a =214a ={}n a 112a =12q =12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭令，解得所以这块化石距今约为年，即约为3.8万年：11．【答案】【解析】由，且，得到只可能，即或0，当时，，而，故舍去，则，又，∴，且，∴或，①若时，，不合题意；②若时，此时，，因，从而，又，则，当时，无整数解，当时，，所以，综上，12．【解析】因为，所以，，因为，所以，由，所以所以，11%2n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭2212lg102log 10 6.6410.301lg 2n ---===≈-5730 6.6438047.2⨯={}1,3,5,9,11{}14,A B a a = 12345a a aa a <<<<211a a =1a =11a =0410a ={}14,A B a a = =Z 1a =11410a a +=49a =()24923i a a i ==≤≤23a =33a =33a =22a =23a ={}531,3,,9,A a a ={}22531,9,,81,B a a =22353513981256a a a a +++++++=2255331620a a a a +++-=234a a a <<339a <<3a =4,6,7,85a 35a =511a ={}1,3,5,9,11A ={}1,3,5,9,11A =1-11a b -<<<10a +>10b ->2a b +=()()112a b ++-=2a b +=()32131133111111b a a b a b a b -+=+=+-+-+-+-()()13113311311211a b a b a b ⎡⎤⎢-+-=+++--⎡⎤⎣⎦+-+⎥⎣⎦()31111133432312112a b a b ⎛+- =+++-≥⎝⎛⎫ ⎪⎝+-=+-=- +⎭-当且仅当，即，二、单选题13．【答案】B 【解析】若，则是4的正因数，而4的正因数有1，2，4，所以，因为，所以，故选：B ．14．【答案】D【解析】即，因为解集为，则根据韦达定理知，即，则故选：D ．15．【答案】D 【解析】运用绝对值三角不等式，由于，，运用不等式性质得到故，故选：D ．16．【答案】B【解析】对于甲，，故命题甲正确；对于乙，如图所示：所以，，故命题乙不正确三、解答题17．【答案】，，()31111a b a b +-=+-2a =-+4b =-41y x =+y ∈N 1x +{}4|,0,1,31P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤{}0,1,3P Q = 2x ax b ≤-20x ax b -+≤{}42424a b =⨯⎧⎨=⎩816a b =⎧⎨=⎩32844log log 16log 23a b ===x y x a a y x a a y -=--≤-++-x a m -<y a n -<x a a y m n-+-<+x y m n -<+()()()()A B C A B B C B C A B C A B C ∆=-=- ()()()()()()A B A C A B A C A B A C =-=∆ ()()()A B C A B A C ∆≠∆ ()A B C ∆ ()()A B A C ∆ 6a =-9b =8c =-【解析】因为，所以，所以，得，所以，所以，即有且只有一个实根，所以，，解得，，综上可得，，，．18．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，即，设，则关于t 的方程：的两根为和，所以，解得．（2）由韦达定理，得，所以因为且，所以或，所以或，所以的取值范围为19．【答案】（1）第3年：（2）第7年平均利润最大，为12万元【解析】（1）设利润为y ，则，由整理得，，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利．（2）首先，由（1）得平均利润万元，{}3AB = 3B ∈93150c ++=8c =-{}{}28150|3,5B x x x =-+=={}3A =20x ax b ++=3x =33a +=-33b ⨯=6a =-9b =6a =-9b =8c =-1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()[),22,-∞-+∞ 22lg lg 30x x p -+=2lg 2lg 30x x p -+=lg t x =2230t t p -+=lg αlg β()22120p ∆=-≥-13p ≤lg lg 2lg lg 3pαβαβ+=⎧⎨=⎩22lg lg lg lg log log lg lg lg lg αββαβαβααβαβ++=+=2(lg lg )2lg lg 4642lg lg 33p p pβααβαβ+--===-31p ≤30p ≠443p ≥403p<4223p -≥4223p-<-log log αββα+()[),22,-∞-+∞ ()()22*509821024098y x x x x x x =-++=-+-∈N 2240980x x -+->220490x x -+<1010x -<<x *∈N {}|317x x x *∈∈≤≤N {}|317x x x *∈∈≤≤N 4924024012y x x x ⎛⎫=-++≤-⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当，万元时等号成立，综上，第7年，平均利润最大，为12万元20．【答案】（1）：（2）；（3）【解析】（1）因为，利用，于是，，当且仅当时，取得最小值．（2）因为，利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值．（3）因为利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值21．【解析】（1）由，，则集合是“完美集”．（2）若、是两个不同的正数，且是“完美集”，设，根据根和系数的关系知，和相当于的两根，由，解得或（舍去），所以，又，均为正数所以、至少有一个大于2．（3）不妨设A中，49x x=7x =3-6-0x >a b c d +++≥41114x x ++≥+444111434433x x x x x x -=+++--≥--=-1x =3-0x >a b c ++≥313339x x ++≥331133363363699x x x x x x -=++--≥--=-3x =6-0x >a b c ++≥3x ax +≥33x ax x ax -=-≥x =((112-+-+=-(112--=-{11--+1a 2a {}12,a a 12120a a a a t +=⋅=>1a 2a 20x tx t -+=240t t ∆=->4t >0t <124a a ⋅>1a 2a 1a 2a 312n a a a a <<<⋅⋅⋅<由，得，当时，即有，又为正整数，所以，于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；当时，，故只能，，求得，于是“完美集”A 只有一个，为．当时，由，即有，而，又，因此，故矛盾，所以当时不存在完美集A ，综上知，“完美集”A 为1212n n n a a a a a n a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅<⋅+121n n a a a -⋅⋅<⋅2n =12a <i a 11a =2211a a +=⨯2a 3n =123a a <11a =2a =23a =3{}1,2,34n ≥()1211231n a a a n n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n ≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()()()221242220n n n n n n ---=-+-=--+<()()()121231n n n n --≤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n <⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-4n ≥{}1,2,3。

2023-2024学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷（答案在最后）注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集U =R ，集合{}10,1,2,3,4,5,6A =-，，{}N |4B x x =∈<，则A B = （）A.{}10,1,23-，，B.{}1,23，C .{}0,1,2,3 D.{}10,1,2,3,4,5,6-，2.命题“0x ∀>，2320x x +->”的否定是（）A.0x ∃≤，2320x x +-≤B.0x ∃>，2320x x +-≤C.0x ∀≤，2320x x +-> D.0x ∀>，2320x x +-≤3.已知函数(32)f x +的定义域为()0,1，则函数()21f x -的定义域为（）A.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,63⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭4.“x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立”的一个必要不充分条件是（）A.04a ≤<B.04a ≤≤C.04a <≤ D.04a <<5.函数()21x f x x -=的图像为（）A. B.C. D.6.已知()f x 是定义在()0,∞+上的函数，()()g x xf x =，则“()f x 为增函数”是“()g x 为增函数”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.“若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+>恒成立”是真命题，则实数λ可能取值是（）A. B. C.4 D.58.设函数()(0)2a x f x a a x -=≠+，若()()120232g x f x =-+是奇函数，则()2023f =（）A.14- B.15 C.14 D.13-二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在下列四组函数中，()f x 与()g x 不表示同一函数的是（）A.21()1()1,x f x x g x x -=-=+B.()1f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C.0()1,()(1)f x g x x ==+D.2(),()f x x g x ==10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.a<0B.0b <C.0c >D.20a b c ++<11.已知函数()y f x =是定义在[0,2]上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若(0)f M =，(2)f N =（0M >，0N >），那么对上述常数,M N ，下列选项正确的是（）A.一定存在[0,2]x ∈，使得()2M N f x +=B.一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =C.不一定存在[0,2]x ∈，使得2()11f x M N=+D.不一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =12.已知函数221()1x x f x x x +=++，则下列结论正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 值域为(,2][2,)-∞-+∞ C.若12120,0,x x x x >>≠，且12()()f x f x =，则122x x +>D.当0x >时，恒有5()2f x x ≥成立第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为______.14.若函数()3,11,1x x f x ax x +≥⎧=⎨+<⎩在R 上为单调函数，则实数a 的取值范围为_______.15.已知正数,x y 满足2(43)3x y x y +=，则23x y +的最小值为____________.16.若定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为偶函数；②对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()222121210x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式()()2242(2)f x f x x --<+的解集为_________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集为R ，{}2R 2320A x x x =-->ð．（1）求集合A ；（2）设不等式220x ax a -+≤的解集为C ，若C ≠∅且“x C ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求实数a 的取值范围.18.设2()(1)f x ax a x a =+++．（1）若不等式()0f x ≥有实数解，试求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，试解关于x 的不等式()1f x a <-.19.已知函数()22x x m f x x-+=.（1）若()()2g x f x =+，判断()g x 的奇偶性并加以证明.（2）若1[,1]4x ∈时，不等式()22f x m >-恒成立，试求实数m 的取值范围.20.已知函数()f x x m =+，()22232m g x x mx m =-++-，（1）若()212m g x <+的解集为()1,a ，求a 的值；（2）试问是否存在实数m ，使得对于12[0,1],[1,2]x x ∀∈∀∈时，不等式12()()f x g x >恒成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数()2(2)4f x x a x =--+，()232x b g x ax +-=+.（1）若函数()f x 在2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦上为偶函数，试求实数b 的值；（2）在（1）的条件下，当()g x 的定义域为()1,1-时，解答以下两个问题：①判断函数()g x 在定义域上的单调性并加以证明；②若()()120g t g t -+<，试求实数t 的取值范围.22.设函数()f x 的定义域为D ，对于区间[],I a b =（a b <，I D ⊆），若满足以下两条性质之一，则称I为()f x 的一个“美好区间”.性质①：对任意x I ∈，有()f x I ∈；性质②：对任意x I ∈，有()f x I ∉.（1）判断并证明区间[]1,2是否为函数3y x =-的“美好区间”；（2）若[]0,m （0m >）是函数()22f x x x =-+的“美好区间”，试求实数m 的取值范围；（3）已知定义在R 上，且图像连续不断的函数()f x 满足：对任意,R a b ∈（a b <），有()()f a f b b a ->-.求证：()f x 存在“美好区间”，且存在0R x ∈，使得0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”.2023-2024学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集U =R ，集合{}10,1,2,3,4,5,6A =-，，{}N |4B x x =∈<，则A B = （）A.{}10,1,23-，， B.{}1,23，C.{}0,1,2,3 D.{}10,1,2,3,4,5,6-，【答案】C【解析】【分析】确定{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}N |40,1,2,3B x x =∈<=，{}10,1,2,3,4,5,6A =-，，故{}0,1,2,3A B = .故选：C.2.命题“0x ∀>，2320x x +->”的否定是（）A.0x ∃≤，2320x x +-≤ B.0x ∃>，2320x x +-≤C.0x ∀≤，2320x x +-> D.0x ∀>，2320x x +-≤【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题“0x ∀>，2320x x +->”为全称量词命题，其否定为：0x ∃>，2320x x +-≤.故选：B3.已知函数(32)f x +的定义域为()0,1，则函数()21f x -的定义域为（）A .3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】由(32)f x +的定义域求出32x +，再令2215x <-<，解得即可.【详解】函数(32)f x +的定义域为()0,1，即01x <<，所以2325x <+<，令2215x <-<，解得332x <<，所以函数()21f x -的定义域为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A4.“x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立”的一个必要不充分条件是（）A.04a ≤< B.04a ≤≤C.04a <≤ D.04a <<【答案】B【解析】【分析】首先求出不等式恒成立时参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】因为对x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立，当0a =时10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；综上可得04a ≤<.因为[)0,4[]0,4，所以“x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立”的一个必要不充分条件可以是04a ≤≤.故选：B5.函数()21x f x x -=的图像为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0∞-上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()21x f x x-=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x x x ----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x -=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x x x x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.6.已知()f x 是定义在()0,∞+上的函数，()()g x xf x =，则“()f x 为增函数”是“()g x 为增函数”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】取特殊函数分别按照充分和必要条件判断即可.【详解】取()21(0)f x x x =->，则()3g x x x =-在()0,∞+不单调；取()1(0)g x x x =+>单调递增，但()11,(0)f x x x=+>单调递减，故“()f x 为增函数”是“()g x 为增函数”的既不充分也不必要条件.故选：D.7.“若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+>恒成立”是真命题，则实数λ可能取值是（）A.B. C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由题得到13x x λ<+恒成立，求出min 13x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可得到答案.【详解】1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+>，即13x x λ<+恒成立，13x x +≥=13x x =，即33x =时等号成立，故λ<对比选项知A 满足.故选：A8.设函数()(0)2a x f x a a x -=≠+，若()()120232g x f x =-+是奇函数，则()2023f =（）A.14- B.15 C.14 D.13-【答案】C【解析】【分析】首先得到()g x 的解析式，再根据()g x 为奇函数求出参数a 的值，即可得到()f x 的解析式，最后代入计算可得.【详解】因为()(0)2a x f x a a x-=≠+，所以()()()()20231202322202123x g x a f a x x -=-+=--++432023204624046202322a x a x a a a x x ++-=+-=+-+-，因为()()120232g x f x =-+是奇函数，所以()()g x g x -=-，即63432240624042a a ax a x =--+-+-，又0a ≠，所以280920a -=，解得4046a =，所以4046()40462x f x x -=+，所以()40462023120234046220234f -==+⨯.故选：C二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在下列四组函数中，()f x 与()g x 不表示同一函数的是（）A.21()1()1,x f x x g x x -=-=+B.()1f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C.0()1,()(1)f x g x x ==+D.2(),()f x x g x ==【答案】ACD【解析】【分析】通过函数的定义域，对应法则是否一致进行判断.【详解】对于A ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为{}1x x ≠-，所以不是同一函数；对于B ，因为1x ≥-时，()1f x x =+；1x <-时，()1f x x =--；所以(),()f x g x 表示同一函数；对于C ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为{}1x x ≠-，所以不是同一函数；对于D ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为{}0x x ≥，所以不是同一函数；故选：ACD.10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.a<0B.0b <C.0c >D.20a b c ++<【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式性质确定a<0且32b ac a⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，再依次判断每个选项得到答案.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故a<0且122122b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即32b a c a ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，对选项A ：a<0，正确；对选项B ：302b a =->，错误；对选项C ：0c a =->，正确；对选项D ：3522022a b c a a a a ++=--=->，错误；故选：AC11.已知函数()y f x =是定义在[0,2]上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若(0)f M =，(2)f N =（0M >，0N >），那么对上述常数,M N ，下列选项正确的是（）A.一定存在[0,2]x ∈，使得()2M Nf x +=B.一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =C.不一定存在[0,2]x ∈，使得2()11f x M N =+D.不一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =【答案】AB 【解析】【分析】取M N λ<<，构造函数()()g x f x λ=-，确定函数单调递增，根据零点存在定理得到存在()01,2x ∈使得()0f x λ=，再依次判断每个选项得到答案.【详解】函数()y f x =是定义在[0,2]上的增函数，故0M N <<，对任意值λ，M N λ<<，考虑()()g x f x λ=-，函数单调递增，则()()110g f M λλ=-=-<，()()220g f N λλ=-=->，故存在()01,2x ∈使得()()000g x f x λ=-=，即()0f x λ=，对选项A ：2M N M N +<<，存在[0,2]x ∈，使得()2M Nf x +=，正确；对选项B：M N <<，存在[0,2]x ∈，使得()f x =对选项C ：211M NM N <<+，存在[0,2]x ∈，使得2()11f x M N=+，错误；对选项D：M N <<，存在[0,2]x ∈，使得()f x =故选：AB.12.已知函数221()1x xf x x x +=++，则下列结论正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 值域为(,2][2,)-∞-+∞ C.若12120,0,x x x x >>≠，且12()()f x f x =，则122x x +>D.当0x >时，恒有5()2f x x ≥成立【答案】AC 【解析】【分析】应用奇偶性定义判断A ；在,()0x ∈+∞上，令211x t x x x+==+研究其单调性和值域，再判断()f x 的区间单调性和值域判断B ；利用解析式推出1()()f f x x=，根据已知得到211x x =，再应用基本不等式判断C ；特殊值法，将2x =代入判断D.【详解】由解析式知：函数定义域为{|0}x x ≠，且2222()11()()()()11x x x xf x f x x x x x -+-+-=+=-+=---++，所以()f x 为奇函数，A 对；当,()0x ∈+∞时，令2112x t x x x +==+≥=，当且仅当1x =时等号成立，由对勾函数性质知：1t x x=+在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，且值域为[2,)t ∈+∞，而1()f x t t =+在[2,)t ∈+∞上递增，故()f x 在(0,1)x ∈上递减，在(1,)x ∈+∞上递增，且5()[,)2f x ∈+∞，由奇函数的对称性知：()f x 在(,1)x ∈-∞-上递增，在(1,0)x ∈-上递减，且5()(,2f x ∈-∞，所以()f x 值域为55(,[,)22-∞-+∞ ，B 错；由222211()111()()111()1x x x x f f x x x x x x++=+=+=++，若12120,0,x x x x >>≠且12()()f x f x =，所以211x x =，故121112x x x x +=+≥=，当且仅当11x =时等号成立，而11x =时211x x ==，故等号不成立，所以122x x +>，C 对；由412295(2)25241102f +=+=<⨯=+，即2x =时5()2f x x <，D 错；故选：AC【点睛】关键点点睛：对于C 选项，根据解析式推导出1(()f f x x=，进而得到211x x =为关键.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为______.【答案】0或15【解析】【分析】依题意可得B A ⊆，分B =∅和{}5B =两种情况讨论.【详解】因为{}{}505A x x =-==，又A B B = ，所以B A ⊆，当0a =时{}10B x ax =-==∅，符合题意；当{}5B =，则510a -=，解得15a =，综上可得0a =或15a =.故答案为：0或1514.若函数()3,11,1x x f x ax x +≥⎧=⎨+<⎩在R 上为单调函数，则实数a 的取值范围为_______.【答案】(]0,3【解析】【分析】确定函数单调递增，得到0a >且131a +≥+，解得答案.【详解】()3,11,1x x f x ax x +≥⎧=⎨+<⎩在R 上为单调函数，3y x =+，1x ≥为单调递增函数，故1y ax =+，1x <单调递增，0a >，且131a +≥+，即3a ≤，故03a <≤.故答案为：(]0,315.已知正数,x y 满足2(43)3x y x y +=，则23x y +的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】令23t x y =+，则0t >且23t x y -=，即可得到22294t x x=+，再利用基本不等式求出2t 的最小值，即可求出t 的最小值.【详解】因为0x >，0y >，令23t x y =+，则0t >且23t xy -=，因为2(43)3x y x y +=，所以22243333t x t x x x --⎛⎫⋅+⨯= ⎪⎝⎭，所以()()2922t x t x x -+=，即22294t x x -=，所以22294t x x =+，又2229412t x x =+≥=，当且仅当2294x x =，即2x =时取等号，所以t ≥或t ≤-，所以23x y +的最小值为2x =、3y =时取等号.故答案为：16.若定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为偶函数；②对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()222121210x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式()()2242(2)f x f x x --<+的解集为_________.【答案】()()3,22,1--⋃--【解析】【分析】构造函数()()2f xg x x=，由题意可以推出函数()()2f xg x x=的奇偶性、单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】不妨设120x x <<，则120x x -<，由()()222121210x f x x f x x x -<-，得()()2221120x f x x f x ->，则()()122212f x f x xx>，构造函数()()2f xg x x=，则120x x <<，()()12g x g x >，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递减，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，则()()()()()22f x f xg x xx g x --==-=，所以函数()g x 为偶函数，且函数()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，由()()2242(2)f x f x x --<+，得()()()()22224224f x f x x x--<--，即()()224g x g x -<-，所以22242040x x x x ⎧->-⎪⎪-≠⎨⎪-≠⎪⎩，解得31x -<<-且2x ≠-，所以不等式()()2242(2)f x f x x --<+的解集为()()3,22,1--⋃--.故答案为：()()3,22,1--⋃--.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数()()2f xg x x=.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集为R ，{}2R 2320A x x x =-->ð．（1）求集合A ；（2）设不等式220x ax a -+≤的解集为C ，若C ≠∅且“x C ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）14[,0][1,]83- 【解析】【分析】（1）依题意可得{}22320A x x x =--≤，再解一元二次不等式即可；（2）依题意可得220x ax a -+≤的解集非空且是122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭的真子集，设2()2f x x ax a =-+，即可得到Δ01221()02(2)0a f f ≥⎧⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩，解得即可.【小问1详解】由{}2R 2320A x x x =-->ð，得{}22320A x x x =--≤，由22320x x --≤，得()1202x x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，解得122x -≤≤，故122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】因为C ≠∅且“x C ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，所以220x ax a -+≤的解集非空且是122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭的真子集，设2()2f x x ax a =-+，则Δ01221(02(2)0a f f ≥⎧⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩，即2440122104440a a a a a a a ⎧-≥⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪++≥⎪⎪-+≥⎩，解得108a -≤≤或413a ≤≤，当18a =-时不等式220x ax a -+≤的解集为11,24C ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，符合题意；当43a =时不等式220x ax a -+≤的解集为2,23C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，符合题意；综上，实数a 的取值范围为14[,0][1,83- ．18.设2()(1)f x ax a x a =+++．（1）若不等式()0f x ≥有实数解，试求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，试解关于x 的不等式()1f x a <-.【答案】（1）13a ≥-（2）答案见解析【解析】【分析】（1）依题意不等式()210ax a x a +++≥有实数解，分0a =、0a >、a<0三种情况讨论，当a<0时需0∆≥，即可求出参数的取值范围；（2）原不等式可化为()110x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，再分1a =、01a <<、1a >三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【小问1详解】依题意，()0f x ≥有实数解，即不等式()210ax a x a +++≥有实数解，当0a =时，0x ≥有实数解，则0a =符合题意.当0a >时，取0x =，则()210ax a x a a +++=>成立，符合题意.当a<0时，二次函数()21y ax a x a =+-+的图像开口向下，要0y ≥有解，当且仅当()22114013a a a ∆=+-≥⇔-≤≤，所以103a -≤<.综上，实数a 的取值范围是13a ≥-.【小问2详解】不等式()()21110f x a ax a x <-⇔+++<，因为0a >，所以不等式可化为()110x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，当11a -=-，即1a =时，不等式()()110x x ++<无解；当11-<-a ，即01a <<时，11x a-<<-；当11a ->-，即1a >时，11x a-<<-；综上，当01a <<时，原不等式的解集为1(,1)a--，当1a =时，原不等式的解集为∅，当1a >时，原不等式的解集为1(1,)a--．19.已知函数()22x x mf x x-+=.（1）若()()2g x f x =+，判断()g x 的奇偶性并加以证明.（2）若1[,1]4x ∈时，不等式()22f x m >-恒成立，试求实数m 的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）1,18⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）首先求出()g x 的解析式，再根据奇偶性的定义证明即可；（2）设()mh x x x =+（1[,1]4x ∈），依题意只需min ()2h x m >，再分0m ≤、m 1≥、1016m <≤、1116m <<四种情况讨论，求出()h x 的最小值，从而求出m 的取值范围.【小问1详解】()g x 为奇函数，证明如下：因为()22x x m f x x -+=，所以()()2222x x m mx x xg x f x -+=+=+=+，则()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()mg x x g x x-=--=-，所以()g x 为奇函数.【小问2详解】1[,1]4x ∈ 时，不等式()22f x m >-恒成立，2mx m x ∴+>对1[,1]4x ∈恒成立.设()mh x x x =+（1[,1]4x ∈），则只需min ()2h x m >即可.当0m ≤时，则()h x 在1[,1]4单调递增，所以min 11()()4244h x h m m ==+>，解得18m >-，所以108m -<≤；当0m >时，因为()h x 在单调递减，)+∞单调递增.1≥，即m 1≥时，()h x 在1[,1]4单调递减，所以min ()(1)12h x h m m ==+>，解得1m <，舍去；14≤，即1016m <≤时，()h x 在1[,1]4单调递增，所以min 11()()4244h x h m m ==+>，解得18m >-，所以此时1016m <≤；③当114<<，即1116m <<时，min ()2h x h m ==，解得01m <<，所以此时1116m <<；综上，实数m 的取值范围为1,18⎛⎫- ⎪⎝⎭.20.已知函数()f x x m =+，()22232m g x x mx m =-++-，（1）若()212m g x <+的解集为()1,a ，求a 的值；（2）试问是否存在实数m ，使得对于12[0,1],[1,2]x x ∀∈∀∈时，不等式12()()f x g x >恒成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）代入数据得到2240x mx m -+-<，根据不等式与方程的关系确定3m =，代入计算得到答案.（2）题目转化为min max ()()f x g x >，根据单调性计算()min f x m =，根据二次函数性质考虑322m ≤和322m >两种情况，计算最值得到答案.【小问1详解】()212m g x <+，即()22223122m m g x x mx m =-++-<+，整理得到2240x mx m -+-<，不等式2240x mx m -+-<的解集为()1,a ，故1x =为方程2240x mx m -+-=的根，即1240m m -+-=，解得3m =，故2320x x -+<，解得12x <<，则2a =.【小问2详解】对[]10,1x ∀∈，2[1,2]x ∈，()()12f x g x >恒成立，只需min max ()()f x g x >.()f x x m =+在[]0,1上单调递增，因此()()min 0f x f m ==；()22232m g x x mx m =-++-的对称轴为02m x =.当322m ≤，即3m ≤时，2max ()(2)12m g x g ==+，故212m m >+，即2220m m -+<，无解，舍；当322m >，即3m >时，2max ()(1)22m g x g m ==+-，故222m m m >+-，解得22m -<<，舍.综上所述：不存在实数m 符合题意.21.已知函数()2(2)4f x x a x =--+，()232x b g x ax +-=+.（1）若函数()f x 在2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦上为偶函数，试求实数b 的值；（2）在（1）的条件下，当()g x 的定义域为()1,1-时，解答以下两个问题：①判断函数()g x 在定义域上的单调性并加以证明；②若()()120g t g t -+<，试求实数t 的取值范围.【答案】（1）3b =（2）①()g x 在()1,1-上单调递增，证明见解析；②10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据偶函数确定2a =且230b b b -+--=，解得答案.（2）任取12,x x 满足1211x x -<<<，计算()()12g x g x <得到函数单调递增，变换()()21g t g t <-，考虑函数的单调性结合函数定义域计算得到答案.【小问1详解】()2(2)4f x x a x =--+在2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦上为偶函数，故2a =，230b b b -+--=，即()()310b b -+=，解得3b =或1b =-，由区间定义可知23b b b -<--，即23b >，1b =-不满足，所以3b =.【小问2详解】①函数()g x 在()1,1-上单调递增；证明如下：()222x g x x =+，()1,1x ∈-，任取12,x x 满足1211x x -<<<，()()()()()()122112122222121212222211x x x x x x g x g x x x x x ---=-=++++，由于1211x x -<<<，故121x x <，210x x ->，于是()()()()()()122112*********x x x x g x g x x x ---=<++，则()()12g x g x <，则()g x 在()1,1-上单调递增.②函数()g x 的定义域为()1,1-，关于原点对称，()()222x g x g x x --==-+，则()g x 为奇函数，由(1)(2)0g t g t -+<，即()()21g t g t <-，又因为()g x 在()1,1-上单调递增，则12111121t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩，解得103t <<，所以实数t 的取值范围是10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.设函数()f x 的定义域为D ，对于区间[],I a b =（a b <，I D ⊆），若满足以下两条性质之一，则称I 为()f x 的一个“美好区间”.性质①：对任意x I ∈，有()f x I ∈；性质②：对任意x I ∈，有()f x I ∉.（1）判断并证明区间[]1,2是否为函数3y x =-的“美好区间”；（2）若[]0,m （0m >）是函数()22f x x x =-+的“美好区间”，试求实数m 的取值范围；（3）已知定义在R 上，且图像连续不断的函数()f x 满足：对任意,R a b ∈（a b <），有()()f a f b b a ->-.求证：()f x 存在“美好区间”，且存在0R x ∈，使得0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”.【答案】（1）是，证明见解析（2）[]1,2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数3y x =-，进行判定，即可求解；（2）若I 为()f x 的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即S I ⊆，由()22f x x x =-+，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解；（3）对于任意区间[],I a b =，记{()|}S f x x I =∈，根据单调性得到()(),S f b f a =⎡⎤⎣⎦，若I 为()f x 的“美好区间”，必满足性质②，转化为()f a a <或()f b b >，得出()f x 一定存在“美好区间”，记()()g x f x x =-，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在()0,0x t ∈，使得()00g x =，即可求解.【小问1详解】函数3y x =-，当[1,2]x ∈时，可得[]1,2y ∈，所以区间[]1,2是函数3y x =-的一个“美好区间”.【小问2详解】记[]0,I m =，{()|}S f x x I =∈，可得()[]000,f m =∈，故若I 为()f x 的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即S I ⊆；由()()22211f x x x x =-+=--+，当01m <<时，()f x 在[]0,m 上单调递增，且()()2210f m m m m m m m -=-+-=-->，即()f m m >，所以()0,S f m =⎡⎤⎣⎦不包含于[]0,I m =，不合题意；当12m ≤≤时，()()[][]0,10,10,S f f m I ==⊆=⎡⎤⎣⎦，符合题意；当m>2时，()()()220f m f f <==，所以()f m I ∉，不合题意；综上可知，12m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]1,2.【小问3详解】对于任意区间[](),I a b a b =<，记{()|}S f x x I =∈，由已知得()f x 在I 上单调递减，故()(),S f b f a =⎡⎤⎣⎦，因为()()f a f b b a ->-，即S 的长度大于I 的长度，故不满足性质①，所以若I 为()f x 的“美好区间”，必满足性质②，这只需S I =∅ ，即只需()f a a <或()f b b >，由()f x x =显然不恒成立，所以存在常数c 使得()f c c ≠.如()f c c <，取a c =，区间[](),I a b a b =<满足性质②；如()f c c >，取b c =，区间[](),I a b a b =<满足性质②；综上，函数()f x 一定存在“美好区间”；记()()g x f x x =-，则()g x 图象连续不断，下证明()g x 有零点：因为()f x 在R 上是减函数，所以()g x 在R 上是减函数，记()0f t =；若0=t ，则00x =是()g x 的零点，若0t >，则()()0f t f t <=，即()00g >，()0g t <，由零点存在性定理，可知存在()00,x t ∈，使得()00g x =，若0t <，则()()0f t f t >=，即()0g t >，()00g <，由零点存在性定理，可知存在()0,0x t ∈，使得()00g x =，综上，()g x 有零点0x ，即()00f x x =，因为()f x 的所有“美好区间”I 都满足性质②，故0x I ∉.（否则()00f x x I =∈，与性质②不符），即0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”，证毕.【点睛】关键点睛：对于新定义问题关键是理解所给定义及限制条件，再利用相应的数学知识解答.。