现代数学与中学数学意义2

高观点下的中学数学高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．（一）高观点下研究中学数学的必要性新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为（１） 教学过程中，创设问题情境的需要． ◆例１：等差数列求和10012310010150S =++++=⨯L(1)(1)2123112(1)22n n n n n n S n n n n n ⎧+⎪+⎪=++++==⎨-+⎪++⎪⎩L 为奇数为奇数2(1)n S n n =+从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。

把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣． 例２ 数列的递推公式 ◆河内塔问题相传在越南的某寺庙中有一个用n 个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）AB C1231,3,7,.a a a ===L 121,21n n n n a a a +=+=-教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力． ◆例 平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可把平面分成几部分？11(1)2,1,12n n n n n a a a n a ++==++=+◆例 （Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？12(3)n n n a a a n --=+≥( 2 ) 高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景 ◆例１ 用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？ 这是著名的四色问题解法Ⅰ加法原理和乘法原理4312124321214321111120⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=分１、4同色与1、4不同色（2、4同色与2、4不同色）解法Ⅱ 本例也可以利用递推方法， 当4n ≥时，113432,4n n n a a a --+=⨯⨯=！教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识，抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性同法．( 3 ) 学生的求知欲对教师提出了更高的要求 当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水． ◆例 四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高考题）分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小，可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提出１００人的错排，应如何解决呢？一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有多少个？解 1 （容斥原理） 用i A 表示i 在第i 位的全排列（n i ,,2,1Λ=），则nn A A A D I ΛI I 21==∑∑∑-+++-n n j i i A A A A A A S I ΛI I ΛI 21)1(=!0)1()!2()!1(!21nn n n nC n C n C n -++-+--Λ=)!1)1(!31!2111(!n n n -++-+-Λ解2 （递推公式）设n a a a Λ,,21为n Λ,2,1的一个错排，显然i a a i≠≠,11，分两类（1） 第1a 位是1，共2-n D 种方法；（2）第1a 位不是1，有1-n D 种方法.又1a 有（1-n ）种取法，故))(1(21--+-=n n nD D n D 其中1,021==D D)!2(1)!1(1!21-+--=--n D n n D n n n D n n n 令!n D E nn=，则2111--+-=n n nE nE n n E !1)1()(1211n E E n E E n n n n n -==--=----Λ,又01=E!1)1(!31!21n E n n -++-=Λ，因此)!1)1(!31!21!111(!n n D n n -++-+-=Λ．◆例 2 过:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 交点),(00y x P 的直线系0)()(22221111=+++++c y b x a c y b x a λλ),(),,(222111b a n b a n ==，1n 与2n 线性无关，可作为二维空间的一组基底，由平面向量基本定理可知该直线包含过),(00y x P 的任何直线．而0)()(222111=+++++c y b x a c y b x a λ表示的直线系不含2l ，原因是21n n λ+与2n 不共线． （二）排列组合的有关问题（1）多重复的排列和组合◆例1，一排七盏路灯，关掉其中互不相邻的三盏，且不关两端的路灯，有多少种方法？分析：4个a ，3个b 的全排列，要求b 互不相邻且不在两端的方法有34C◆例2：100=++z y x 的正整数解的个数？方法Ⅰ：98+97+…+1=299C方法Ⅱ：对应于97///=++z y x 非负整数解个数，又可转化为97个球与两个竖线的全排列方法数299C(也可理解为{a,b,c}的一个97可重组合，97个相同的球放入三个不同的盒子中的方法数).古典组合数学的主要原理有： ①两个基本原理 ②容斥原理③一一对应，和中学要求一致.（2）分配问题（k n ≥）◆例：4人分配到3个工厂，每个工厂至少1人的方法数为 3324A C .一般地，n 个人分配到k 个工厂，（n ≥k ）,每个工厂至少1人的方法数？解：用i A 表示第i 个工厂空的方法数，（i =1,2…k ）kk n A A A S k ⋅⋅⋅=⋅I I 21!=n k k k n k n k n k k C k C k C k )()1()2()1(21--+⋅⋅⋅--+--现代组合数学工具还有母函数和Fevver 图，在数学竞赛中经常看到，例如解决整数的分拆. （三）有关根据递推公式，求通项公式 （1）)(1n f a a n n =-+型与)(1n f a a n n •=+型.利用累加法与累乘法. （2）q pa a n n +=+1型.◆例：,1,1211=+=+a a a n n 求?=na解：)1(211+=++n n a a ，令}{,1n n n b a b +=是等比数列，n n b 2= 12-=n n a（3）)(1n f pa a n n +=+◆例：,1,3211=+=+a a a n n n 求n a解：)3(2311n n n n a a -=-++ 令}{,3n n n n b a b -=是等比数列，n n b 2-= 所以n n n a 23-=.也可化为(1)型(2)型 ◆例: ,1,211=+=+a n a a n n 求n a 解: ),1(21)1(1++=++++n a n a n n 1231--⨯=-n a n n(4) 11-++=n n n qa pa a 型解:特征方程:02=--q px x ,若有两个不相等实根βα,,则n n n a βλαλ21+=, 若有两个相等实根βα=,则n n n a αλλ)(21+=,若无实根,周期数列. ◆例: F 数列,)3(,1,12121≥+===--n a a a a a n n n ,求 n a解:特征方程: 251,012±==--x x x , nn n a )251()251(21-++=λλ 21,λλ 由21,a a 确定. (注:也可以化为一阶递推公式,再求通项公式) (5)分数型递推公式)(,)(1n n a f a dcx bax x f =++=+构造数列}{n a 当x x f =)(有两个不等实根βα,时,(即)(x f 有两个不动点),则k a a k a a n n n n (11βαβα--⋅=--++为常数). 当x x f =)(有两个相等实根0x 时,(即)(x f 有唯一不动点),则存在常数k 使得k x a x a n n +-=-+00111.当x x f =)(无不动点时,往往是周期数列. 此种形式的数列,有时也可采用倒数法或三角换元. ◆例: 2,1111=-+=+a a a a nnn 求 n a解: x xx f -+=11)(, 方程x xx =-+11无实根,则数列{n a }是一周期数列,(周期是4).+===θθtan(,tan 221a a л/4)…,)1(tan[-+=n a n θ л/4](6)生成函数,例F 函数由递推公式求通项公式,往往是通过构造新数列,把递推公式变形成等差或等比数列,通过求新数列通项公式,再求原数列通项,差分方程中有太多这样的例子.以上只是我对这两部分的一些简单认识,其余章节也有一些类似的问题.。

数学学习心得体会（精选30篇）数学学习心得体会篇1数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。

透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。

数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。

“数学”这一词在西方源自于古希腊语的μ？θημα（máthēma），其有学习、学问、科学，以及另外还有个较狭隘且技术性的意义—“数学研究”，即使在其语源内。

我国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

我们从呱呱坠地起就开始融入到充满数学的世界中，是数学丰富了我们的生活，极大的便利了我们的一切活动，我们的一切活动也都离不开数学这个学科。

因此，数学对于人类来说是极其重要的，尤其对于我们学生来讲，数学是理科之源，学好了数学，就为学习其他理科科目打下了坚实的基础，反之，即使有浓厚的兴趣在其他理科科目上，但是数学学不好，则一切都将是徒劳的。

我是在幼儿园真正的接触到了数学，老师用形象的方法来教授我们简单的100以下的加减运算。

起初，我还不太懂，没有理解老师的意思，而后，老师用实物来辅助我们学习数学，如：桌上有六块积木，有两块掉在了地上，那么桌上还有几块积木？通过老师的实物演示全过程，我逐渐理解了题目，从而很快就将答案算了出来。

从那以后，我便对数学产生了浓厚的兴趣，从而一直推动着我向着数学顶峰不断迈进。

进入小学，由于小时候打下了坚实的基础，在小学六年的学年中，数学学得一直都比较轻松，成绩也很优异，尤其是学习了两年的奥数，拓展了我的思维，开阔了我的思路，使我养成了考虑问题多方面的好习惯，让我受用终身。

而小学数学窦老师给予我很大的帮助，经常指导我，鼓励我，引导我，给了我无限的耐心和关怀，让我对数学这门学科更加的感兴趣。

步入初中后，随着课程的增多和知识量的增加，我逐渐感觉到压力的增加。

由于我还在使用小学惯常的学习方法，有点渐渐不适应，感觉初中在小学的学习基础上上了一个很大的台阶，跟不上初中的学习节奏，自我压力很大。

新课标下信息技术与初中数学课堂教学的融合信息技术在当今社会已经得到了越来越广泛的应用，它已经成为了我们生活中不可或缺的一部分，尤其在教育领域中，信息技术的运用更是变得越来越普遍化。

作为学科的信息技术与数学在中学阶段的融合，在有互联网工具和多媒体课件大量应用的现代教育中，不仅有助于推进数学教育的现代化进程，而且能够提升学生数学素养及培育学生的创新能力。

本文将深入探讨信息技术与初中数学课堂教学的融合，探究信息技术对数学教学的促进作用，并介绍在实际课堂中如何运用信息技术，以取得最佳的教学效果。

一、信息技术在数学教学中的应用信息技术在数学教学中的应用主要可以分为网上教育、多媒体教学和实时答疑等几个方面。

1. 网上教育现如今的网络技术和互联网工具，为数学教学提供了无限的发展前景。

通过网上教育，学生可以跨越地理和时间上的限制，自由组合学习资源。

网络化学习平台提供了同步、异步学习等多个功能，同时还支持问答、讨论、课件、练习、作业等多项教学活动，这为学生提供了更自由、更灵活的学习方式。

通过网络学习，班级、老师和学生之间的互动将变得更加密切、更为紧密。

2. 多媒体教学多媒体教学是指用多媒体技术来制作和播放教学资源。

多媒体教学资源包括了动画、声音、图像、文字、视频等多种形式，整合了多种传统媒体，并能更加直观地表达数学概念和原理，用一种更易懂的方式展现抽象的数学知识。

同时，信息技术的使用可以极大地改善数学教育的教学质量，帮助学生理解和吸收知识，更好地提升数学素养。

多媒体课件的制作具有良好的可控性，可以根据不同学生的需求，不同的教学方法选择不同的课件。

3. 实时答疑实时答疑是指通过在线的互联网工具来进行数学教学答疑。

实现机制是，在线课堂进行实时答疑、辅导、交流等活动，并能及时的统计、分析和反馈答疑结果和学生表现等。

实时答疑可以加强师生之间的交流和互动，有益于学生学习问题的解决，增加了学生学习的自信心和兴趣。

同时，可以及时地纠正学生的错误、加深对知识的理解和记忆。

对数学文化在中学数学中的再认识福建泉州第一中学黎强《数学课程标准》要求通过在高中阶段数学文化的学习,学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值,开阔视野,寻求数学进步的历史轨迹,激发对于数学创新原动力的认识,受到优秀文化的熏陶,领会数学的美学价值,从而提高自身的文化素养和创新意识.1作为数学教师的视角“一个数学教师,如果不能对自己的学科怀有一种追本溯源的态度,如果不能对什么是数学、什么是数学教育、数学与人的关系、数学教育存在的意义、数学教育之目的等有一份深切关注与深刻思索,他的工作则必然就带有一种盲目性与追逐性,自然就无法在纷繁复杂的数学教育变革中寻得不变的东西,找准继承与创新的支点.”回到“原点”思考,这应该是我们数学教师面对任何问题时必须首先提醒自己的.从人类社会的发展史看,人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化,“数学曾经是四门学科:算术、几何、天文学和音乐,处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位.”数学既可以来自现实世界的直接抽象,也可以来自人类思维的能动创造.著名数学家冯诺伊曼就认为,数学兼有演绎科学和经验科学两种特性.波利亚(G.Poliva,1888~ 1985)认为,“数学有两个侧面,它是欧几里德式的严谨科学,但也是别的什么东西.由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学,但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学.”弗赖登塔尔说,“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”,我们应该用历史的、发展的观点来看待数学的本质特征,只有对数学的本质特征有比较清晰的认识,才能在数学教育研究中把握正确的方向.张奠宙先生希望我们大家能从三个层面来了解数学:第一个层面就是公式定理,像勾股定理、求根公式等等.第二个层面就是思想,就是我们公理化思想,数形结合、函数思想等等.还有一个层面就是文化价值.我们应该实现数学文化和人类文明的整合,要搞清楚数学的文化背景,搞清楚数学成就的文化价值,把数学结果的文化品位发掘出来,用文化的视野来看数学,用数学的眼光来看文化,发展现代数学,弘扬世界的文化.数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势,数学对推动社会发展的作用,数学的社会需求,社会发展对数学发展的推动作用,数学科学的思想体系,数学的美学价值,数学家的创新精神;数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观.日本数学教育家米山国藏认为:“无论是对于科学工作者、技术人员,还是数学教育工作者,最重要的就是数学的精神、思想和方法,而数学知识是第二位的.”教师应把培育学生的数学人文精神作为现代数学教育的重要目标之一,以数学人文精神为导向,奠定数学科学精神的基础,两者不可偏颇.与此同时,我们还应具备一定的国际视野.知道现在国外的数学课程改革之进程,把握他们曾经走过的弯路,也汲取他们历次改革后沉淀下的原创性的经验与教训.2对数学文化的认识瑞典著名数学家克基塞尔曼说数学既有文化元素的作用又有亚文化的作用.作为文化元素,数学是由某人群所共有的数学知识,概念和能力所组成.保存和发展这种文化2元素是普通教育的任务.作为亚文化的数学只属于一群受过理论数学教育的人.这群人的观点不尽一致,但是,作为亚文化的数学是一个饶有趣味的现象,同诸多其他文化现象相比,特别是同初等数学相比,它因国家不同而出现的差异更小.在古代,人们可以说中国数学、阿拉伯数学、希腊数学和南美数学,但现在几乎不能这样说.人们常常以为数学文化即数学史,确实,察史可以明今,从历史上考察数学的进步,是揭示数学文化层面的重要途径.但是,除了这种宏观的历史考察之外,还应该有微观的一面,即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化底蕴,多侧面地展现数学文化.包括用数学的观点观察现实,构造数学模型,学习数学的语言、图表、符号表示,进行数学交流.通过理性思维,培养严谨素质,追求创新精神,欣赏数学之美.哲学家罗素说:“数学,如果正确地看她,不但拥有真理,而且也具有至高的美.数学提供了一种精确简洁通用的科学语言,数学语言正是以她的结构与内容上的完美给人以美的感受.”数学具有自己独一无二的语言系统——数学语言,数学具有独特的价值判断标准——独特的数学认识论,这就使得数学文化不仅与文学,艺术有很大的区别,而且与自然科学、社会科学也有着本质的不同.数学还具有独特模式,正是由于具有这些与一般人类文化不同的特殊性,产生了独特的数学精神,并进而对人类文化的精神创造领域产生了独特的影响.数学是人类社会进步的产物,也是推动社会发展的动力,数学绝不是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”,数学的发展需要社会的推动,其真理性需要实践的检验,数学的进步也需要人类文化的哺育.欧几里得的“几何原本”称为数学家的圣经,在数学史,乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位.随着几何学美妙结构和精确推理的发展,数学变成了一门艺术.毕达哥拉斯学派研究数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理.他们对周围世界作了周密的观察,发现了数与几何图形的关系,数与音乐的和谐,他们还发现数与天体的运行都有密切关系.当代英国理论物理学家狄拉克说:上帝是一位了不起的数学家,他用极高超的数学建造了宇宙.数学就是宇宙存在合理性的最完美的表达.透过数学,我们可以更好地理解宇宙,理解大自然,理解世界的无限有序性、包容性与和谐性.事实上,人文科学也是不能脱离数学的,作为理性基础和代表的数学思想方法、数学精神被人们注入文学、艺术、政治、经济、伦理、宗教等众多领域.数学对社会科学、人文科学的作用,影响主要不是很直观的公式、定理,而是抽象的数学方法和数学思想,其中最突出的莫过于演绎方法.哲学上,研究一些永恒的话题,诸如生与死等,这些课题是无法用简单归纳(反复试验法),类比推理来研究的,只能求助于数学方法——演绎推理.我们还应该认识到数学文化的民族性和世界性,每个民族都有自己的文化,也就一定有属于这个文化的数学.不同政治文明孕育了不同的数学.3数学文化在中学数学中的作用张奠宙先生说数学文化如果我们把它打扮起来,数学就是一位光彩照人的科学女王.但是如果你仅仅把数学等于逻辑,等于枯燥的几条公式,那么这个美女就变成X光下面的骷髅,就是X光的照片.我们只是看到她的骨骼.人需要坚硬的骨骼还是柔软的肌肉呢?两者都需要.仅有骨骼不能运动.没有骨骼,肌肉就丧失了起作用的对象.对于一切知识领域,情况都是如此.数学的某些部分看起来似乎固定不变,但另一些部分却迅速地演变着.学校里教的部分是早已固定了的部分,变动着的部分则鲜为人知.因此,对于普通人所谓数学不象肌肉而更象骨骼的说法就不足为奇3了.为了保持知识的系统性,数学教科书的教学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排,缺乏自然的思维方式,对数学知识的内涵,以及相应知识的创造过程介绍的也很少.在教学与学习的过程中存在着这样一个矛盾:一方面,教育者为了让学生能够更快更好地掌握数学知识,将知识系统化;另一方面,系统化的知识无法让学生了解到知识大都是经过问题、猜想、论证、检验、完善,一步一步成熟起来的,影响了学生正确的数学思维方式的形成.正如数学家克基塞尔曼所说“数学作为文化元素和作为亚文化这两种观念在教育中存在着明显的冲突.……它过于形式化,过于注重常规能力的传授.这就给学生一种印象:数学是全世界最枯燥无味的知识领域.”在新的高中数学课程中,比较全面地考虑到两个层次:具体的数学技能和无形的数学文化.即数学中的数学文化成分已愈来愈多地受到关注,而且强调在数学学习中,数学文化不再只是需要学生个人去感悟,更重要的是需要教师有计划、有目的和自然地引入到数学的课堂中,让它能够帮助学生学习数学、理解数学,深刻地认识数学和真正地应用数学,让数学真正发挥它应有的作用.数学文化很大程度上改变着教师学生的数学观,影响着数学学习,学生也只有了解数学的价值,才能自觉学习数学.伴随着先进的数学文化,数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人.事实上,有很多优秀教师在新课程开始之前就已经有意识地在教学中渗透数学文化,必要的数学史知识可以使学生在平时的学习中对所学问题的背景有更加深入的理解,认识到数学绝不是孤立的,它与很多学科都关系密切,甚至是很多学科的基础和生长点,对人类文明的发展起着巨大的作用.让学生在学习系统的数学知识的同时,对数学知识的产生过程,有一个比较清晰的认识,从而培养学生正确的数学思维方式.4结束语:创新思维扎根于文化修养对教育而言,学生在校所能学到的知识很有限,而科学技术的迅速发展,要求社会成员具有较强的独立获取新知识、掌握新技术、解决新问题的创新能力.正如赞可夫所说:“无论学校的教学大纲编得多么完善,学生毕业后必然会遇到他们不熟悉的科学上的新发现和新技术.那时候,他们将不得不独立、迅速地弄懂这些东西并掌握它.”“所谓教育,是把在学校所学到的知识全都忘掉之后所剩下的东西.”作为一名教育工作者,我们传承着文化.数学课堂应当是数学文化流淌的地方,是学生不断用心去触摸数学本质、感受数学内在文化特质的自由天空.我们不要只顾激励学生的好胜心,而不关注他们的好奇心,一名数学教师应该具备比他人更加敏锐的数学视角,以捕捉生活中富有生命力的“文化”要素,弘扬数学发展乃至人类发展的历史中人们对认识自然、征服自然的不懈追求和探索精神.博大方能精深.数学教学应努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染,产生文化共鸣,体会数学的文化品位,体察社会文化和数学文化之间的互动.丘成桐先生说:“我把《史记》当作歌剧来欣赏”,“由于我重视历史,而历史是宏观的,所以我在看数学问题时常常采取宏观的观点,和别人的看法不一样.”这是一位数学大家的数学文化阐述.参考文献[1]汪晓勤.韩祥临.中学数学中的数学史.科学出版社2002.7.[2]顾明远.民族文化传统与教育现代化.北京师范大学出版社.1998.[3]严士健等.普通高中数学课程标准(实验)解读.江苏教育出版社.2004.4.[4]张奠宙.数学文化一理性文明的火车头.中国大学生在线.2004.05.[5]张顺燕.数学文化及其应用..cn/200406/ca473862.htm[6]克基塞尔曼(瑞典).数学的文化涵义张大卫译./culture/math.htm4。