现代数学与中学数学考试卷
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由 (1b) 2 (1a) 3得： x1 7x3 10.......... .......( 2 f )
从而，由（2e）-(2f)得： x3
53 6 ，再带入（2e）得到 x2 的值
，然后把 x2,x3 的值带入（1a）求出 x1 的值
十、（10 分） 使用二分法求解 x2 2 0 于[1,2]内的根，二分 3 次即可。
,
i 1,, k
(9.2)
称为似然方程组。解这个方程组，得到 log L( ) 的驻点，如果驻点是唯一的，又能 验证它是一个极大值点，则它必是 log L( ) ，也就是 L( ) 的最大值点，即为所求的最
大似然估计
八、（10 分） 甲同学在他的盒子中放了 200 个玻璃球（盒子中黑球、白球究 竟各有多少他并未告诉其他任何人），甲同学当众宣布：他的这些球中黑 球所占比例 p=3%，乙同学从甲同学的盒子中任意取若干个球（比如：10 个），观察并记录取到球的颜色。该实验的结果有多种可能。（1）假如乙 同学发现他任取的 10 个球中 2 个黑球，问此时乙同学能否相信甲同学的 说法？（2）假如乙同学发现他任取的 10 个球没有黑球，问此时乙同学对 甲同学的说法又应做何反应？
i1
，
在 1, 2 ,, k 固 定 时 ， 上 式 表 示 X1, X 2 ,, X n 取 值 x1, x2 ,, xn 的 概 率 ； 当
x1, x2 ,, xn 固定时，它是1, 2 ,, k 的函数，我们把它并记为 L(1, 2 ,, k ) ，称
n
L(1 ,, k ) p(xi ,1 ,, k )
Xi ~ B(5, p), i 1,2,,10 ，这里 p 就是这种物质致癌的概率。试导出 p 的 最大似然估计值的计算公式。
解：设 X 为离散型随机变量，其概率分布的形式为
PX x p(x;1, 2 ,, k ) ，则样本 X1, X 2 ,, X n 的概率分布为
n
PX1 x1,, X n xn p(xi ;1, 2 ,, k )
则有 f o (g h)(x) (sin x cosx)2 , f o g f o h sin 2 x cos2 x
此时， f (g h) f g f h 不成立
（2） (g h) f g f h f
正确
二、（10 分） 若函数 f (x) 在点 x a 可导，计算
解：（1）甲同学说他的这些球中黑球所占比例 p=3%，那么 200 个球中只有 6
个黑球，那么乙同学取 10 个球其中有 2 个黑球，乙同学会推测黑球所占比例
为 20℅，与甲同学说的比例相差甚远，所以乙同学不会相信甲同学的说法。
（2）假如乙同学发现他任取的 10 个球没有黑球，那么他会推测黑球所占
的比例非常小，与甲同学说的这些球中黑球所占比例 p=3%，相差不多，所以
解：令 f (x) x2 2, 则 f (1) 1 0, f (2) 2 0
f (1.5) 0.25 0 ,所以方程的根在区间（1，1.5）内， 再取其中点 1.25， f (1.25) 0.4375 0
所以方程的根在区间（1.25，1.5）内，再取其中点 0.1375，
（2）甲投中
1
次，乙投中
0
次。 P2
C
1 2
0.3
0.6
0.4
2
0.0576
所以，甲比乙投中次数多的概率是 P P1 P2 0.1152
七、（10 分） 要研究某种物质致癌性质，用小白鼠做试验。假定把 50 只小 白鼠随机地分成 10 组，每组 5 只，对每只小白鼠注射该物质，经过一段 时 间 后 ， 观 察 每 组 小 白 鼠 患 癌 的 个 数 ， 得 到 X1, X 2,, X10 ， 则
（1） lim f (a 2t) f (a)
t 0
t
lim f (a 2t) f (a) 2 f / (a)
t 0
t
（2） lim f (a 2t) f (a t)
t(a 2t) 2t
f (a t)
1 2
f
/ (a)
三、（10 分） 求一函数 y f (x) ，其曲线过坐标原点且曲线上每一点切线斜 率是该点横坐标的 2 倍。
f (1.375) 0.2 0 。
所以方程的根可以近似取区间（1.375，1.5）的任意一个值。例如，根取 1.38
y2 b2
z2 c2
0 与平面 z
c 所围成的
锥体的体积。
解：任取 z (0, c), 过点（0,0,z）做垂直与 z 轴的平面，截面为椭圆，其方
x2 程为 a 2 z 2
c2
y2 b2z2 c2
1
，
S(z) abz2 1
椭圆面积为
c 2 ，故
V
C
ab
S(z)dz
c z 2dz 1 abc
0
c2 0
3
六、（10 分） 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.3,0.6。今各投 2 次。 求甲比乙投中次数多的概率。
解：甲比乙投中次数多的情况有两种：
（1）甲投中 2 次，乙投中 0 次或 1 次。P1 0.32 (1 0.62 ) 0.0576
5
6
7
8
9
10
2012 年 2 月 12 日
总分
评阅教师签字：
年月日
现代数学与中学数学 考试卷
一、(10 分) 对下列各式，判断其对错，或加以证明，或举出反例 （1） f (g h) f g f h
错误，例如：取 f (x) x2 , g(x) sin x, h(x) cos x
解：由题意知， f / (x) 2x, 所以 f (x) x2 C
又因 f (0) 0 ,所以 C=0，故 f (x) x2
四、（10
分）证明：若 0
x1
x2
x3
，则
sin
x2 x2
sin x1
x1
sin
x3 x3
sin x2
x2
证明：令 f (x) sin x ， f / (x) x cosx sin x 0，
研究生课程进修班试卷封面
姓 名： 李娜 单 位： 郑州 19 中 专 业： 数学 考试科目： 现代数学与中学数学 考试分数：
2012 年 2 月 12 日
东北师范大学研究生课程进修班考试试卷评分表
题号 分 数 签 名
1
课程名称 现代数学与中学数学
2
姓 名 李娜
3
单 位 郑州 19 中
4
专 业 数学
i 1
.
与 L( ) 有相同的最大值点。而在许多情况下，求 log L( ) 的最大值点比较简单，于是，
我们就将求 L( ) 的最大值点改为求 log L( ) 的最大值点.对 log L( ) 关于1,, k 求
导数，并命其等于零，得到方程组
log L( ) 0
i
乙同学会相信甲同学的话。
九、（10 分） 用选主元素的 Gauss 消元法求解
x1 2x2 3x3 26,
(1a)
2x1 3x2 x3 34,
(1b)
3x1 2x2 x3 39.
(1c)
请指明消元、回代过程。
解：由（1c）-(1a)得：
x1
x3
13 ,.......2( e) 2
x
x2
f (x) 在区间 (0, ) 递减，所以
f (x1 )
f (x2)
f
(
x3
)
即
s
in x1 x1
sin x2 x2
sin x3 x3
从而有 sin x2 sin x1 sin x3 sin x2
x2 x1
x3 x2
五、（10
分）求顶点在坐标原点的锥面
x2 a2
