参数的区间估计

参数估计的置信区间例题和知识点总结在统计学中，参数估计的置信区间是一个非常重要的概念，它为我们提供了对总体参数的估计范围以及估计的可靠程度。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入理解置信区间，并对相关的知识点进行总结。

一、知识点回顾1、总体参数与样本统计量总体参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体方差等。

而样本统计量则是根据样本数据计算得到的数值，如样本均值、样本方差等。

我们通过样本统计量来对总体参数进行估计。

2、点估计点估计是用一个数值来估计总体参数，常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。

3、区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数有一定的概率落在这个区间内。

置信区间就是一种常见的区间估计方法。

4、置信水平置信水平表示置信区间包含总体参数的概率，通常用1 α 表示，常见的置信水平有 90%、95%和 99%。

5、置信区间的计算公式对于总体均值的置信区间，当总体方差已知时，置信区间为：＼（＼bar{X} ＼pm Z_{＼alpha/2} ＼frac{＼sigma}｛＼sqrt{n}｝＼）；当总体方差未知时，使用样本方差代替，置信区间为：＼（＼bar{X}＼pm t_{＼alpha/2}（n-1) ＼frac{S}｛＼sqrt{n}｝＼）。

二、例题解析例 1：某工厂生产一种零件，其长度服从正态分布。

现随机抽取 10 个零件，测量其长度（单位：cm）分别为 121, 119, 123, 120, 118, 122, 124, 117, 125, 120。

已知总体方差为 004，求总体均值的 95%置信区间。

首先，计算样本均值：＼（＼bar{X} ＝＼frac{1}｛10} （121 ＋ 119 ＋ 123 ＋ 120 ＋ 118＋ 122 ＋ 124 ＋ 117 ＋ 125 ＋ 120) ＝ 120\）因为置信水平为 95%，＼（＼alpha ＝ 005\），＼（Z_{＼alpha/2}＝ 196\），总体方差\（＼sigma^2 ＝ 004\），所以\（＼sigma ＝ 02\），样本容量\（n ＝ 10\）。

3. 试验总数 n 为泊松变量时 p 的区间估计 4. 比较和小结
1. 动机
二项分布 ---- 随机试验的结果只有“成功”“失败”两种， n 次随机试验中，“成功”次数为 s，s 为二项分布变量，概率分布为
n s ns p 1 p s
二项分布参数 p ---- 表示一个随机事件被判定为“成功”的概率， 对应于探测器探测效率或事例判选效率。需要确定其误差：
,
2
(2.3a)
Z 2 . ˆ s p , T n n
或直接写为
2 2 z p 1 p z 2 2 2 p z 2 2n n 4n p , 2 1 z 2 n
(2.3b)
》当置信水平 1 0.6827 时， z 2 1 ，上式简化为一倍标准误差区间
其中 B 1 , 2 表示自由度 1 , 2 的贝塔 (Beta) 分布的 分位数。 》利用 F 1 , 2 分布的 分位数（quantile） q 1 , 2 来表示： 贝塔分布和 F 分布的 分位数之间存在以下关系：
(2.7a)
B 1 , 2 1 2 q1 2 2 , 2 1 , 1
给定 n 值，将一切 p 值对应的这一区间连接起来形成 p--s 置信带。
ˆ 的两个交点对应于置信概率 的区间 [ pl , pu ]。 该置信带与直线 s = s
》置信水平 1 的中心置信区间为 pl , pu ：
ˆ, n s ˆ 1 , pu B1 2 s ˆ 1, n s ˆ , pl B 2 s
图1
名义置信水平 95%的 Wald 区间的涵盖概率 与 p ˆ 的关系（n = 100）

解:(1)总体N , 2 的的置信水平为1的双侧
置信区间分两种情况:
2已知时，为 X
n
z 2 , X &#
t
2
它们都关于X 对称，所以
(n 1), X + 区间长度
S n
t
2 (n
1)
11.46 7.54
置信下限 9.5 (11.46 9.5) 7.54; 3.92. 17
本X1,..., X n的观测值，若样本均值x 9.5,且参数
的置信水平为1 的双侧置信区间的置信上限
为11.46.(其中(1.96) 0.975) (1)求该双侧置信区间的置信下限及区间长度l；
（2）若已知 4,为使双侧置信区间的置信度达
到0.95, 且区间长度不超过l，求最小样本容量n.
16
22
总结： （1）正确理解置信区间的含义， （2）正确运用置信区间的公式
确定参数
2已知 2未知
的置信区间.
2
23
21
解：总体X ~ B(1, p),均值 p,方差 2 p(1 p), p的置信度为1 的近似置信区间为
X z /2S / n , X z /2S / n
n
650,
pˆ
x
52 650
0.08,
s2
pˆ (1
pˆ )
0.0736,
查表知 z0.025 1.96，代入得(0.059,0.101).
常取a 和b 满足
P此(G时( X，1,P...,XˆL
n
(
; ) a)
X1,, X
n)
P(G(X11,...,2X,
n
;
)
b)
2
.

这就是矩法估计的理论依据。
三、正态总体参数的区间估计 前面讨论了未知参数的点估计问题，它是用估计
量 θ 的值作为未知参数θ的估计。然而不管θ 是一 个怎样优良的估计量，它也只是一定程度的精确， 至于如何反映精确度，参数的点估计并没有回答。 由于θ 是一随机变量，需说明用θ 去估计θ的精度， 也就是要说明在一定概率意义下， 与θ的误差有 θ 多大。即确定具有特定概率意义的区间，使它以 相当大的概率包含未知参数的真值，以表明总体 参数真值所处的范围。
α
α
α
2
− uα
σ
n } = 1−α ) = 1−α
2
2
2
uα
2
σ
n
< µ < X + uα 2 < µ < x − uα 2
于是P{x − uα 2
σ
n
σ
n
例6：见教材82页例1。
(2)总体方差σ 2未知时，正态总体均值µ的区间估计
X −µ 因为若X服从N ( µ , σ )，则T = 服从t (n − 1) S n
2 2
小结：学习了
1、点估计法——矩法 2、评价估计量优劣的标准——无偏性、有效性 和一致性 3、正态总体的区间估计——均数和方差的区间估计 作业：教材98页第4题。 教材99页第10、13题。 教材100页第17、18题。
3、正态总体方差σ 的区间估计
2
因为若X服从N ( µ , σ 2 )，则χ 2 = 由附表4知P{χ12−α 2 < (n − 1) S 2
(n − 1) S 2
σ2
服从χ 2 (n − 1)
σ2
2 < χα 2 } = 1 − α