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222第七章 参数估计统计推断是数理统计的重要内容，它是指在总体的分布完全未知或形式已知而参数未知的情况下，通过抽取样本对总体的分布或性质作出推断.大致可以分为估计问题和假设检验问题两大类. 本章重点介绍参数估计问题，即根据样本对总体分布中所包含的未知参数或总体的数字特征作出数值上的估计.主要内容包括：点估计和区间估计.§1 点估计概述1.1 点估计在许多实际问题中,可以认为总体X 分布的形式是已知的,它只依赖于一个或几个未知参数.如果能对分布中所含的参数作出推断,那么就可以确定总体分布.例如, 已知总体服从正态分布(),1N μ,μ未知,我们的目的是通过样本提供的信息对未知参数μ作出估计,也就是借助于样本对总体作出推断,这类问题就是参数估计问题.点估计问题的一般提法是:设总体X 的分布函数();F x θ类型已知,θ为未知参数,它的可能取值范围Θ是已知的,称Θ为参数空间,即θ∈Θ.这样,我们有一族分布函数(){};:F x θθ∈Θ.如果(){}2;,:,0F x μσμσ-∞<<+∞>是正态分布的分布函数族,其中()2,θμσ=.设12,,,n XX X 是X 的一个样本, 12,,,n x x x 为相应的样本值.我们构造一个统计量()12,,,n X X X θ ,以()12,,,n X X X θ 的值()12,,,n x x x θ 作为参数θ的真实值的估计.习惯上,称223()12,,,n X X X θ 为参数θ的估计量()12ˆ,,,n X X X θ ,称()12,,,n x x x θ 为θ的估计值为()12ˆ,,,n x x x θ .在不致混淆的情况下,估计量与估计值都简称为估计,简记为ˆθ.容易看出,对于不同的样本值来说,由同一个估计量得出的估计值一般是不相同的.在几何上一个数值是数轴上的一个点,用θ的估计值ˆθ作为θ的近似值就像用一个点来估计θ,故称为点估计.如果总体分布中含有k 个未知参数1,,k θθ ,则需要构造k 个统计量()()11212ˆˆ,,,,,,,,n k n X X X X X X θθ 分别作为1,,k θθ 的估计量.例1．1 设总体X 服从参数为λ的泊松分布, 0λ>为未知参数,现有以下样本值3,4,1,5,6,3,8,7,2,0,1,5,7,9,8试求未知参数λ的估计值.解:由于()E X λ=,自然地想到用样本均值11ni i X X n==∑作为λ的估计量,利用样本值得()1341563872015798 4.615x =++++++++++++++=.这样，我们获得了参数λ的估计量ˆX λ=与估计值ˆ 4.6x λ==. 在本例中，对于总体X 的一个样本12,,,n X X X ，()1i X i n ≤≤亦可以作为λ的估计量；同样地，()1X 和()n X 都应该可作为λ的估计量.这样，对于同一个参数，可以有许多不同的点估计；在这些估计中，我们自然地希望挑选一个最“优”的点估计.因此，有必要建立评价估计量优劣的标准.下面介绍几个常用的标准：无偏性、有效性和一致性.1.2 评价估计量的标准1. 无偏性224对于不同的样本值来说,由估计量()12ˆˆ,,,n X X X θθ= 得出的估计值一般是不相同的,这些估计只是在参数θ真实值的两旁随机地摆动.要确定估计量ˆθ的好坏,要求某一次抽样所得的估计值等于参数θ的真实值是没有意义的,但我们希望()ˆE θθ=,这是估计量所应该具有的一种良好性质,称之为无偏性，它是衡量一个估计量好坏的一个标准.定义 1.1 如果未知参数θ的估计量()12ˆˆ,,,n X X X θθ= 的数学期望()ˆE θ存在,且对任意θ∈Θ,都有()ˆE θθ= （1.1） 则称ˆθ是θ的无偏估计量.在科学技术中，称()ˆE θθ-是以ˆθ作为θ估计的系统误差. 无偏估计的实际意义就是无系统误差.例 1.2 设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本, 总体X 的k 阶原点矩记为()kk E X μ=,样本原点k 阶矩记为11nkk i i A X n==∑,证明：k A 是k μ的无偏估计量.证明: 12,,,n X X X 是总体X 的一个样本,即12,,,n X X X 与X同分布,因此 ()(),1,2,,k ki k E X E X i n μ=== .即 11()()nk k ik i E A E X nμ===∑ .例1.3 设总体X 的均值μ和方差2σ都存在,证明：未修正样本方差2252211()nii S X X n==-∑不是2σ的无偏估计量.证明: 在第六章第二节中，我们证明了()22E S σ=，因此，修正的样本方差2S =211()1nii X X n =--∑是2σ的无偏估计量，也就是说20S 不是2σ的无偏估计量.我们以后一般取2S 作为2σ的估计量.例 1.4 设总体()X P λ ,12,,,n X X X 是X 的一个样本, 2S 为样本方差,01α≤≤,证明：()21L X S αα=+-是参数λ的无偏估计量.证明:易见()()()2,()E X E X E S D X λλ====,()()()()()211,E L E X E Sαααλαλλ=+-=+-=因此，估计量()21L X S αα=+-是λ的无偏估计.2. 有效性同一个参数可以有多个无偏估计量,那么用哪一个为好呢?设参数θ有两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ,在样本容量n 相同的情况下, 1ˆθ的观测值都集中在θ的真值附近,而2ˆθ的观测值较远离θ的真值,即1ˆθ的方差较2ˆθ的方差小,我们认为1ˆθ较2ˆθ好,由此有如下的定义:定义 1.2 设()1112ˆˆ,,,n X X X θθ= 和()2212ˆˆ,,,n X X X θθ= 都是参数θ的无偏估计量,若对任意θ∈Θ,都有12ˆˆ()()D D θθ≤ （1.2）226且至少存在一个0θ∈Θ使得上式中的不等号成立,则称1ˆθ较2ˆθ有效.例1.5 设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本, X 的均值 μ和方差2σ都存在,且20σ>,记11ˆkk i i X kθ==∑,1,,k n = .易见,111ˆ()()kk i i E E X k kkθμμ===⋅=∑,1,,k n = .因此, 这些估计量都是μ的无偏估计量.由于 2222111ˆ()()kk ii D D Xk kkkσθσ===⋅=∑,从而ˆn X θ=最有效.3.一致性无偏性和有效性都是在假设样本容量n 固定的条件下讨论的.由于估计量是样本的函数,它依赖样本容量n ,自然地,我们希望一个好的估计量,当n 越来越大时,它与参数的真值几乎一致,这就是估计量的一致性或称之为相合性.定义1.3 设()12ˆˆ,,,n n X X X θθ= 为参数θ的一个估计量, n 为样本容量,如果对任意θ∈Θ，ˆn θ依概率收敛于θ,即对任意0ε>,有{}ˆlim 1n n P θθε→∞-<= (1.3)则称ˆn θ为参数θ的一致估计量.例 1.6 设总体X 的均值μ和方差2σ都存在,证明:样本均值11ni i X X n==∑是μ的一致估计量.证明:由切比雪夫大数定律可知,对任意0ε>,有22711lim 1ni n i P X nμε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑因此，11ni i X X n==∑是μ的一致估计量.例1.7 设总体()2,X N μσ ,12,,,n X X X 是总体X 的一个样本,证明: 样本方差2S =211()1nii X X n =--∑是2σ的一致估计量.证明:由于()22211n S n χσ-- ,有 2212(1)n DS n σ-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,因此, 22422212()11n D S D S n n σσσ⎛⎫-⎡⎤==⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭.由切比雪夫不等式可知,对任意0ε>,有{}{}42222222120()()(1)P S E S P S D S n σεσεεε≤-≥=-≥≤=-.这样 {}22lim ()0n P S E S ε→∞-≥=,即 {}22lim 1n P S σε→∞-<=, 2S是2σ的一致估计量.§2 矩估计与最大似然估计本节我们介绍两种常用的构造估计量的方法,即矩估计法和最大似然估计法.2.1矩估计法228许多总体的未知参数与总体矩之间存在着函数关系,如在泊松总体()P λ中,它的参数λ就是总体的一阶矩,又如在正态总体()2,X N μσ中(),E X μ=()()222E XE X σ=-⎡⎤⎣⎦.若总体矩存在,我们很自然地想到用样本矩来估计相应的总体矩,从而可以获得未知参数的估计量,这种方法称之为矩估计法.设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本,若X 是连续型随机变量,则其概率密度函数为();f x θ;若X 是离散型随机变量,则其分布律为();p x θ,()12,,,k θθθθ= ,θ∈Θ.假设总体X 的k 阶原点矩存在,记()ll E Xμ=,11nlli i AX n==∑,()1,2,,l k = .由辛钦大数定律可知,l A 依概率收敛于l μ,即可以用样本矩替换同阶的总体矩,我们称之为替换原则.替换原则是矩估计法的思想实质,这种方法只需假设总体矩存在,无需知道总体的分布类型.由于l μ依赖于参数12,,,k θθθ ,可设 1121212212(,,,),(,,,),(,,,).k k k k k μθθθμμθθθμμθθθμ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩将此方程组的解记为1112221212(,,,),(,,,),(,,,).k k kk k θθμμμθθμμμθθμμμ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩用l A 替换l μ()1,2,,l k = ,得到2291112221212ˆ(,,,),ˆ(,,,),ˆ(,,,).k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩并把它们分别作为参数12,,,k θθθ 的估计量,称之为矩估计量, 矩估计量的观测值称为矩估计值.例2.1 设总体X 的概率密度函数为()()101,;0x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩,,其他.1,θ>-求参数θ的矩估计量.解: ()()111011d 2E X xx θθμθθ++==+=+⎰,解得 11211μθμ-=-,因此, θ的矩估计量为 21ˆ1X Xθ-=-.如果我们获得一组样本观测值,其样本均值为0.65x =,则参数θ的矩估计值为20.651ˆ0.8610.65θ⨯-==-.例2．2 设总体X 的均值μ和方差2σ都存在,且20σ>,又设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本,求μ和2σ的矩估计量.解:注意到()()()22E XD XE X =+⎡⎤⎣⎦,由方程组()()12222,.E X E X μμμσμ==⎧⎪⎨==+⎪⎩230解得1μμ=,2221σμμ=-.因此,μ和2σ的矩估计量分别为1ˆA X μ==， 22222211111()nniii i A A X XX X nnσ===-=-=-∑∑.此例表明, 总体X 均值和方差的矩估计量分别是样本均值与样本的二阶中心矩,而不依赖总体X 的分布.2.2 最大似然估计法由于矩估计法只需假设总体矩存在,没有充分利用总体分布提供的信息,为获得更理想的估计,需要引入最大似然估计法,它的一个直观想法是某个随机试验有若干个结果,,A B C 等,如果在一次试验中,出现结果A ,则认为事件A 发生的概率是最大的.例如,一只袋子里有黑白两种外形相同的球,这两种球的数量不详,只知道它们占总数的比例:一种球为10%,另一种球占90%.今从中任抽取一只球,取得白球,一种比较合理的想法是认为袋子里白球的数量较多, 占总数的90%，这就是最大似然估计法的基本思想.我们通过下面的例子说明最大似然估计法的原理.某工厂加工一批产品,现需要估计其不合格品率p ,今从中抽取一个容量为n 的样本值12,,,n x x x ,令1,0,i i X i ⎧=⎨⎩第次取到次品第次取到正品1,2,,i n = ,总体X 的分布律为()()1;1,0,1xxp x p pp x -=-=.取得样本获得观测值的概率为{}()()()1111111122,,,111==---====--∑∑=- nnnniii i x x x x n n x n x P X x X x X x pp pp pp ,()0,11,2,,i x i n == .显然{}1122,,,n n P X x X x X x === 是p 的函231数,记为()L p ,即()()111nnii i i x n x L p pp ==-∑∑=-.由于在一次取样中,样本值12,,,n x x x 出现,我们认为概率()L p 是最大的,选取使得()L p 达到最大的ˆp 作为参数p 的一个估计值,即()(){}ˆm ax p L pL p ∈Θ=.由微积分中求极大点的方法, p 可从方程()d 0d L p p=求出,又由于ln x 是x 的单调增函数,()ln L p 与()L p 在同一个p 处取极大值,p 也可从方程()d ln L p 0dp=求出,()()()11ln ln ln 1nni i i i L p x p n x p ===⋅+--∑∑，()11d ln 0d 1nniii i x n x L p ppp==-=-=-∑∑，解得: 1ˆn ii x pn==∑.容易验证, 1ˆn ii x pn==∑能使得()L p 达到最大,称之为参数p 的最大似然估计值,其对应的统计量称为参数p 的最大似然估计量.下面我们讨论最大似然估计法.设12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本, 12,,,n x x x 为样本值.如果总体X 是离散型的,其分布律为();p x θ,θ为未知参数,θ∈Θ. 样本12,,,n X X X 的联合分布律为232{}()11221,,,;nn n ii P X x X x X x p x θ=====∏ ,容易看出,当样本值12,,,n x x x 固定时上式是参数θ的函数,当θ取固定值时,上式是事件{}1122,,,n n X x X x X x === 发生的概率,记()()()121;,,,;nn ii L L x x x p x θθθ===∏ ， (2.1)并称()L θ为样本的似然函数.若样本值12,,,n x x x 的函数()12ˆˆ,,,n x x x θθ=∈Θ 满足()(){}ˆm ax L L θθθ∈Θ=， (2.2)则称()12ˆˆ,,,n x x x θθ= 为θ的最大似然估计值,其相应的统计量()12ˆ,,,n X X X θ 称为θ的最大似然估计量.如果总体X 是连续型的,X 的概率密度为();f x θ,θ为未知参数,θ∈Θ.随机点12(,,,)n X X X 落在点12(,,,)n x x x 的边长为12,,,n x x x ∆∆∆ 的邻域内的概率近似为()1;ni i i fx x θ=∆∏.我们寻找使()1;ni i i f x x θ=∆∏达到最大的()12ˆˆ,,,n x x x θθ= ,但1ni i x =∆∏与它无关,故可取样本的似然函数为()()()121;,,,;nn ii L L x x x f x θθθ===∏ . (2.3)类似地, 若样本值12,,,n x x x 的函数()12ˆˆ,,,n x x x θθ=∈Θ 满足233()(){}ˆm ax L L θθθ∈Θ=则称()12ˆˆ,,,n x x x θθ= 为θ的最大似然估计值,其相应的统计量()12ˆ,,,n X X X θ 称为θ的最大似然估计量.获得样本的似然函数后,为求出未知参数θ的最大似然估计量,可以利用微积分中求函数极值的方法.假设();f x θ或();p x θ关于θ可微,由下面的似然方程()d 0d L θθ=，或对数似然方程()d ln 0d L θθ=，可求出最大似然估计θ.例2.3 设总体(),X P λ 求λ的最大似然估计量.解:似然函数为 ()1!ix ni i eL x λλλ-==∏,对数似然函数为 ()11ln ln ln(!)nni i i i L x n x λλλ===--∑∑ ,令()1d ln 0d nii xL n λλλ==-=∑,求得λ的最大似然估计值为 11nii xx n λ===∑,最大似然估计量为 11ni i X X nλ===∑.234例2.4 总体(),X E λ 求λ的最大似然估计量. 解: 总体X 的概率密度为(),0,0,x e x f x x λλλ-⎧>=⎨≤⎩.似然函数为 ()11niii nx x ni L eeλλλλλ=-=∑==∏,对数似然函数为()1ln ln ni i L n x λλλ==-∑，令()d ln 0d L λλ=,有10nii xnλ=-=∑，因此,λ的最大似然估计值为 11nii nxxλ===∑,最大似然估计量为 1Xλ=.假设总体的分布中含有k 个未知参数12,,,k θθθ ,类似地,写出似然函数()12,,,k L L θθθ= ,求解方程组()01,2,,iL i k θ∂==∂或()ln 01,2,,iL i k θ∂==∂可获得未知参数12,,,k θθθ 的最大似然估计.例2.5 总体()2,,X N μσ 求2,μσ的最大似然估计量.解: 似然函数为 ()()22212211,exp ()22n i n i L x μσμσπσ=⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭∑235对数似然函数为()()222211ln ,ln 2ln ()222nii n nL xμσπσμσ==----∑分别求关于2μσ和的偏导数,得以下对数似然方程组()()221222241ln ,1()0,ln ,1()0.22n ii nii L xL n xμσμμσμσμσσσ==⎧∂⎪=-=∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑解上述方程组得2μσ和的最大似然估计值分别为11ˆnii xx nμ===∑ ，2211(),nii x x nσ==-∑因此2μσ和的最大似然估计量分别为ˆX μ=和 2211()nii XX nσ==-∑.最大似然估计具有一个性质:如果ˆθ为总体X 未知参数θ的最大似然估计,函数()μμθ=具有单值反函数()θθμ=,则()ˆˆμμθ=为()μμθ=的最大似然估计.利用此性质,我们可获得例2.5中σ的最大似然估计量为ˆσ==例 2.6 设总体X 服从[]0,θ上的均匀分布,0θ>,求θ的最大似然估计值.解:记()()()()111min ,,,max ,,n n n x x x x x x == .236似然函数为 ()()()11,0,0,n n x x L θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他注意到对于()()10,n x x θ≤≤有 ()()110nnn L x θθ<=≤.因此,取θ的最大似然估计值为()ˆn x θ=.最后我们给出求最大似然估计的一般步骤(有时候它并不适用,如上例):1、写出似然函数)(θL ,即由总体分布导出样本的联合分布律（或联合概率密度）；2、令()d 0d L θθ=或()01,2,,iL i k θ∂==∂ ,求出驻点(常转化为求对数似然函数ln ()L θ的驻点:令()d ln 0d L θθ=或()ln 01,2,,iL i k θ∂==∂ )；3、求出最大值点；4、求得参数的最大似然估计.§3 区间估计参数的点估计实质是用一个估计值来估计未知参数θ的真值,但估计值只是θ的一个近似值,它本身既没有反映这种近似的精度又没有给出误差的范围,因此，在实际问题的应用中意义有限.例如在一大批产品中,任意取出60件产品,经检验有3件为次品,按点估计的方法,我们获得次品率p的一个估计值为ˆp=0.05,但ˆp 与次品率p 的真值是有误差的,这个误差有237多大,点估计无法给予回答.我们希望给出一个区间()ˆˆ,pp -∆+∆,用它来估计次品率p 的真值,这样就产生了误差∆的大小及用区间()ˆˆ,pp -∆+∆估计次品率p 真值的可靠程度的问题.区间估计解决了上述问题,我们将介绍在区间估计理论中被广泛接受的置信区间.3.1 置信区间定义3.1设1,,n X X 是取自总体X 的一个样本, θ为总体分布中所含的未知参数, θ∈Θ.对于给定的α,01α<<,若存在两个统计量()1,,n X X θθ= 和()1,,n X X θθ= ,使得{}1P θθθα<<=- （3.1）则称随机区间(),θθ是θ的臵信水平为1α-的臵信区间,θ和θ分别称为θ的臵信下限和臵信上限.定义3.1表明置信区间(),θθ包含θ的真值的概率为1α-,它的两个端点是只依赖12,,,n X X X 的随机变量.设12,,,n x x x 为一个样本值,我们获得一个普通的区间()()1212(,,,,,,,)n n x x x x x x θθ 称之为置信区间(),θθ的一个实现,在不致引起误解的情形下,也简称为置信区间.对于一个实现,只有两种可能, 它要么包含θ的真值,要么不包含θ的真值.在重复取样下(各次取样的样本容量均为n ),我们获得许多不同的实现,根据伯努利大数定律,这些不同的实现中大约有100(1α-)%的实现包含θ的真值,而有100α%的实现不包含θ的真值.例 3.1 已知某产品的重量(单位:克)()2,X N μσ,其中8σ=,μ未知,现从中随机抽取9个样品,其平均重量为575.2x =克,试238求该产品的均值μ的臵信水平为95%的臵信区间.解:样本均值11ni i X X n==∑是未知参数μ的较优的点估计,同时有2,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭ , 或()0,1N . 因此,我们构造一个枢轴量U =,选取区间()/2/2,u u αα-,使得/2/21P u u ααα⎧⎫-<<=-⎨⎬⎩⎭，即/2/21P X u X u ααμα⎧-<<+=-⎨⎩.这样我们得到μ的置信水平为1α-的置信区间为/2/2X u X u αα⎛-+ ⎝.由575.2x =,9n =,8σ=,1α-=95%,0.05α=,/2u α=1.96算得/2575.2 1.96569.976x u α-=-⨯=/2575.2 1.96580.424x u α+=+⨯=所以，μ的一个置信区间为()569.976,580.424.从此例可以看出, 寻求未知参数θ的置信区间的步骤为:(1) 选取θ的一个较优的点估计()12ˆˆ,,,n X X X θθ= ,一般是通过239最大似然估计法获得.(2) 以()1ˆˆ,,n X X θθ= 为基础, 寻求未知参数θ的一个枢轴量W ,即()1,,;n W W X X θ= 且W 的分布已知.(3)对于给定的置信水平（与θ无关）1α-,确定两个分位点,a b ,使得(){}1,,;1n P a W X X b θα<<=- .,a b 可通过(){}(){}11,,;,,;2n n P WX X a P W X X b αθθ≤=≥=确定.(4)求出θ的置信区间.3.2 单个正态总体均值与方差的置信区间以下我们将讨论正态总体的均值与方差的置信区间.设()2,X N μσ,12,,,n XX X 是取自总体X 的一个样本.1. 参数μ的置信区间关于参数μ的置信区间,我们分方差2σ已知和2σ未知两种情形. (1) 方差2σ已知的情形例3.1中,我们已经获得了在方差2σ已知的条件下, μ的置信区间为/2/2X u X u αα⎛-+ ⎝,简记为/2X u α⎛± ⎝.(2) 方差2σ未知的情形由于U =σ,又2S 是2σ的无偏估计量,因此，选取240随机变量X T -=.由第六章定理4.1可知(1)T t n - ，对于给定的置信水平1α-,有/2/2(1)(1)1P t n t n ααα⎧⎫--<<-=-⎨⎬⎩⎭,即/2/2(1)(1)1S S P X t n X t n ααμα⎧--<<+-=-⎨⎩,因此,μ的置信水平为1α-的置信区间为/2/2(1)(1)X t n X t n αα⎛--+- ⎝，（3.2）简记为/2(X t n α⎛±- ⎝. 例3.2 假设轮胎的寿命2(,)X N μσ .为估计它的平均寿命，现随机抽取12只，测得它们的寿命为（单位：万千米）4.68 4.85 4.32 4.85 4.615.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 求μ的臵信水平为0.95的臵信区间.解：12n =, 4.7092,x =20.0615s =,1α-=95%,0.05α=,()0.02511 2.2010t =算得μ的置信水平为0.95的置信区间为(()()0.0250.0251111 4.5516,4.8668x t x t ⎛-+= ⎝.2. 参数2σ的置信区间 (1) 均值μ已知的情形 由于()()2,1,2,,i X N i n μσ= ,即()0,1i X N μσ- ,241所以 ()()2221ni i X n μχσ=-∑.我们选取随机变量()2211ni i X μσ=-∑作为枢轴量, 对于给定的置信水平1α-,有()2221/2/2211()()1ni i P n X n ααχμχασ-=⎧⎫<-<=-⎨⎬⎩⎭∑,即()()2221122/21/21.()()n ni i i i X X P n n ααμμσαχχ==-⎧⎫--⎪⎪⎪⎪<<=-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑ 因此，2σ的置信水平为1α-的置信区间为()()221122/21/2,()()nnii i i XXn n ααμμχχ==-⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭∑∑. （3.3） 我们也得到σ的置信水平为1α-的置信区间为⎝⎭. (3.4) (2) 均值μ未知的情形 由于()()()2222221111nii n S XXn χχσσ=-=-=-∑ ,选取随机变量2χ作为枢轴量,类似地, 我们得到2σ的置信水平为1α-的置信区间为242()()221122/21/2,(1)(1)nn ii i i X X X X n n ααχχ==-⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑,即()()2222/21/211,(1)(1)n S n S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪--⎝⎭， 和σ的置信水平为1α-的置信区间为⎛ ⎝⎭， (3.5) 即⎛ ⎝.例3.3 在例3.2中，求2σ的臵信水平为0.95的臵信区间. 解：12n =, 4.7092,x =20.0615s =,()210.6765n s -=1α-=95%,0.05α=,()20.0251121.920χ=,()20.97511 3.816χ=算得2σ的置信水平为0.95的置信区间为(0.03086,0.17728).3.3 两个正态总体均值差与方差比的置信区间设()211,X N μσ ,()222,Y N μσ ,从总体X 和Y 中,分别独立地取出样本12,,,n X X X 和12,,,m Y Y Y ,样本均值依次记为X 和Y ,样本方差依次记为21S 和22S .1. 设21σ和22σ已知,求12μμ-的置信区间243由第六章定理2.2可知()0,1X Y U N μμ---=.对于给定的置信水平1α-,有/2/21X Y P u u ααμμα⎧⎫⎪⎪---⎪⎪-<<=-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭，即/212/21,P X Y u X Y u ααμμα⎧⎪--<-<-+=-⎨⎪⎩因此,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为//X Y u X Y u αα⎛---+ ⎝. (3.6) 例3.4 分别从()1,4X N μ ,()2,6Y N μ 中独立地取出样本容量为16和24的两样本,已知16.9x =,15.3y =,求12μμ-的臵信水平为0.95的臵信区间.解:16,24n m ==, 16.9x =,15.3y =,1α-=95%,0.05α=, 214σ=22,6σ=,/20.025 1.96u u α==,因此12μμ-的置信水平为0.95的置信区间为()16.915.3 1.9615.3 1.960.214,2.986⎛--⨯-+⨯= ⎝由此可以认为,在置信水平为0.95的情形下12μμ>.2. 设22212σσσ==未知,求12μμ-的置信区间244记()()22122112wn S m S S n m -+-=+-,由第六章定理4.2可知()2X Y T t n m μμ---=+- .以T 为枢轴量,类似地,我们得到12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为()()/2/222X Y t n m S X Y t n m S αα⎛--+--++- ⎝(3.7)例3.5 为了估计磷肥对某农作物增产的作用,现选用20块条件大致相同的地块进行对比试验.其中10块地施磷肥,另外10块地不施磷肥,得到单位面积的产量如下（单位：公斤）:施磷肥:620, 570, 650, 600, 630, 580, 570, 600, 600, 580; 不施磷肥:560, 590, 560, 570, 580, 570, 600, 550, 570, 550. 设施磷肥的地块的单位面积的产量()21,X N μσ ,不施磷肥的地块的单位面积的产量()22,Y N μσ ,求12μμ-的臵信水平为0.95的臵信区间.解:10n m ==,1α-=95%,0.05α=,600x =,570y =,2164009s =,2224009s =,()()22122211222w n s m s s n m -+-==+-,0.025(18) 2.1010t =.因此,12μμ-的置信水平为0.95的置信区间为60057022 2.101060057022 2.1010⎛--⨯⨯-+⨯⨯⎝(9.23,50.77)=，即我们可以认为磷肥对此农作物增产有作用.2453. 设1μ和2μ已知,求2122σσ的置信区间因为()()212211ni i X n μχσ=-∑,()()222212mi i Y m μχσ=-∑且样本12,,,n X X X 与样本12,,,m Y Y Y 独立,所以有()2211222121(),()nii mii Xm F F n m n Yμσσμ==-=⋅⋅-∑∑ ,对于给定的置信水平1α-,有(){}1/2/2(,),1P F n m F F n m ααα-<<=-，即()22211111222/221/22211()()111,,(,)()()n ni i i i m m i i i i m X m X P F n m F n m n Y n Y ααμμσασμμ==-==⎧⎫--⎪⎪⎪⎪<<=-⎨⎬⎪⎪--⎪⎪⎩⎭∑∑∑∑因此,2122σσ的置信水平为1α-的置信区间为()22111122/21/22211()()11,,(,)()()n ni i i i m mi i i i m X m X F n m F n m n Y n Y ααμμμμ==-==⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--⎪⎝⎭∑∑∑∑. (3.8) 4.设1μ和2μ未知,求2122σσ的置信区间由于()221222211,1S F F n m Sσσ=⋅-- ,对于给定的置信水平1α-,有246(){}1/2/2(1,1)1,11P F n m F F n m ααα---<<--=-，即()222111222/2221/221111,1(1,1)S S P F n m S F n m S αασασ-⎧⎫⎪⎪⋅<<⋅=-⎨⎬----⎪⎪⎩⎭,从而2122σσ的置信水平为1α-的置信区间为()()221122/221/2211,1,11,1S S F n m S F n m S αα-⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪----⎝⎭. (3.9) 例 3.6 某车间有甲,乙两台机床加工同类零件,假设此类零件直径服从正态分布.现分别从由甲机床和乙机床加工出的产品中取出5个和6个，进行检查,得其直径数据（单位：毫米）为甲: 5.06, 5.08, 5.03, 5.00, 5.07； 乙: 4.98, 5.03, 4.97, 4.99, 5.02, 4.95； 试求22σσ甲乙的臵信水平为0.95的臵信区间.解: 5,6n m ==,1α-=95%,0.05α=,20.00107,s =甲20.00092,s =乙()0.0254,57.39,F =于()()0.9750.025114,50.10685,49.36F F ===,因此22σσ甲乙的置信水平为0.95的置信区间为()0.0010710.001071,0.15738,10.88990.000927.390.000920.1068⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭.3.4 单侧置信区间前面讨论的参数θ的置信区间(),θθ是双侧置信区间,即有置信上限247θ和置信下限θ.有时在一些实际问题中,我们只关心参数θ的上限或下限,因此有必要讨论参数θ的单侧置信区间.定义3.2设1,,n X X 是取自总体X 的一个样本, θ为总体分布中所含的未知参数, θ∈Θ.对于给定的α（01α<<）,若存在统计量()1,,n X X θθ= 或()1,,n X X θθ= ,使得{}1P θθα>=- (3.10)或{}1P θθα<=- (3.11)则称随机区间(),θ+∞(或(),θ-∞)是θ的臵信水平为1α-的单侧臵信区间,θ称为θ的单侧臵信下限(θ称为θ的单侧臵信上限).求参数θ的单侧置信区间的方法与求θ的置信区间(),θθ的方法是类似的,只需将步骤（3）中的(){}12,,,;n P a W X X X b θ<< 1α=-改为(){}1,,;1n P a W X X θα<=- 或(){}1,,;1n P W X X b θα<=- ,其中,,a b 可通过(){}(){}11,,;,,;n n P W X X a P W X X b θθα≤=≥= 确定.详细的结果看表7.2.例3.7 在例3.2中，求μ的臵信水平为0.95的单侧臵信下限.解:12n =, 4.7092,x =20.0615s =,1α-=95%,0.05α=,()0.0511 1.7960t =算得μ的置信水平为0.95的单侧置信下限为(0.0511 4.5806x t -=.表7.1 正态总体均值,方差的置信区间248表7.2 正态总体均值,方差的单侧置信上、下限249250251习题七( A )1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量.2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为22,0(;)0,xx f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它.其中参数0θ>，求θ的矩估计.3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--0,0,0,);(1x x ex x f xαλαλαλ其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计.4、设总体X 服从几何分布 ,10,,2,1,)1()(1<<=-==-p k p p k X P k 试利用样本值n x x x ,,,21 ,求参数p 的矩估计和最大似然估计.5、设总体X 的概率密度为()1;exp ,2x f x σσσ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭0σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一样本,求参数σ的最大似然估计.6、证明第5题中σ的最大似然估计量为σ的无偏估计量. 7,、设总体X 的概率密度为()222220;0x x e x f x σσσ-⎧⎪>=⎨⎪⎩，，，其它.,20σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,求参数2σ的的矩估252计量和最大似然估计量.8、设总体),(~2σμN X ,μ已知,σ为未知参数, n X X X ,,,21 为X 的一个样本,∑=∧-=ni i X c 1||μσ, 求参数c ,使∧σ为σ的无偏估计.9、设θˆ是参数θ的无偏估计量,且有0)ˆ(>θD ,试证22)ˆ(ˆθθ=不是2θ的无偏估计量.10、设总体),(~2σμN X ,321,,X X X 是来自X 的样本,试证：估计量32112110351ˆX X X ++=μ;32121254131ˆX XX ++=μ;3213216131ˆX XX ++=μ都是μ的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.11,、设12,,,n X X X 是总体()20,X N σ 的一个样本,20σ>,证明：211ni i X n=∑是2σ的相合估计量.12、设总体X 的数学期望为μ,方差为2σ,分别抽取容量为1n 和2n 的两个独立样本,1X ,2X 分别为两样本均值,试证明:如果,a b 满足1a b +=,则12Y aX bX =+是μ的无偏估计量,并确定,a b ,使得()D Y最小.13、设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本, X 的概率密度为();f x θ,0θ>,未知，已知()222nXn χθ,试求θ的置信水平为1α-的置信区间.14、从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,253可以认为显像管的寿命X 服从正态分布.已知均方差40=σ小时,在置信水平0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间.15、设随机地调查26年投资的年利润率(%),得样本标准差(%)15=S ,设投资的年利润率X 服从正态分布,求它的方差的区间估计(置信水平为0.95).16,、从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:厘米)2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11.设钉子的长度X 服从正态分布,试求总体均值μ的置信水平为0.90的置信区间.17、生产一个零件所需时间(单位：秒)),(~2σμN X ,观察25个零件的生产时间得5.5=x ,73.1=s .试求μ和2σ的置信水平为0.95的置信区间.18、产品的某一指标),(~2σμN X ，已知04.0=σ，μ未知.现从这批产品中抽取n 只对该指标进行测定,问n 需要多大,才能以95%的可靠性保证μ的置信区间长度不大于0.01?19、设A 和B 两批导线是用不同工艺生产的,今随机地从每批导线中抽取5根测量其电阻,算得721007.1-⨯=A s ,62103.5-⨯=B s ,若A 批导线的电阻服从),(211σμN ,B 批导线的电阻服从),(222σμN ,求2221σσ的置信水平为0.90的置信区间.20,、从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137;乙厂135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95%置信区间.（ B ）1、设总体X 的概率分别为254其中102θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭是未知参数,利用总体X 的如下样本值: 3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3 求θ的矩估计值和最大似然估计值.2、设()111ˆˆ ,,n X X θθ= 和()221ˆˆ,,n X X θθ= 是参数θ的两个相 互独立的无偏估计量,且方差()()12ˆˆ2D D θθ=,试确定常数,a b ,使得12ˆˆa b θθ+是θ的无偏估计量,且在一切这样的线性估计类中方差最小.3、在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为0.05秒,为了以0.95的置信水平使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,应取多大的样本容量.【提供者：路磊】。
