参数的区间估计

一、概述总体参数的区间估计是统计学中一个重要的概念，在实际应用中具有广泛的应用。

区间估计的目的是利用样本数据对总体参数进行估计，以确定参数的取值范围。

在进行区间估计时，需要考虑三个重要的要素，以确保估计结果的准确性和可靠性。

二、总体参数的定义在统计学中，总体参数指的是对整个总体的某一特征进行描述的指标。

例如总体均值、总体比例等。

总体参数通常是未知的，需要通过样本数据来进行估计。

区间估计就是利用样本数据对总体参数进行估计，给出一个区间，以确定参数的取值范围。

三、区间估计的三个要素1. 置信水平置信水平是区间估计中非常重要的一个要素。

它指的是对总体参数估计的准确程度的度量，通常用1-α来表示，其中α称为显著性水平，通常取0.05或0.01。

置信水平越高，说明对总体参数的估计越可信。

在实际应用中，常用的置信水平为95或99。

2. 样本容量样本容量是另一个影响区间估计结果的重要要素。

样本容量的大小直接影响了估计结果的精确度。

通常来说，样本容量越大，估计结果越精确。

在进行区间估计时，一般需要根据置信水平和总体参数的方差来确定合适的样本容量。

3. 统计分布在进行区间估计时，需要考虑所使用的统计分布。

常用的统计分布包括正态分布、t分布、F分布等。

选择合适的统计分布对区间估计的结果具有重要影响。

通常在实际应用中，根据样本容量和总体参数的分布情况来选择合适的统计分布。

四、区间估计的计算方法区间估计的计算方法通常包括以下几个步骤：1. 确定置信水平，通常取95或99。

2. 根据置信水平和总体参数的分布情况，选择合适的统计分布。

3. 根据样本数据计算得到统计量的值。

比如样本均值、样本比例等。

4. 根据统计量的值，计算得到区间估计的上限和下限。

通常使用公式：点估计值±临界值×标准误差。

五、实际应用区间估计在实际应用中具有广泛的应用，比如医学研究、市场调研、经济预测等领域。

在这些领域中，通常需要对总体参数进行估计，以确定参数的取值范围。

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则 就是 的100( )％的置信区间.
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而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
(这样我们才能确定一个大概率区间).
可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未知参数
的置信水平为0.95的置信区间是 [ 159.27, 180.74]
将 =170,S=30, =1.96,n=30代入得,
三、单侧置信区间
上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.
添加标题
这时，可将置信上限取为+∞，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
来定义.
其中伽玛函数 通过积分
分布的密度函数为
2、t 分布
3、F分布
定义: 设 X与Y相互独立，则称统计量
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作 F~F(n1,n2) .
在求置信区间时，要查表求分位数.
教材已经给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义，为便于应用，这里我们再简要介绍一下.
设0< <1, 对随机变量X，称满足
例如:
的点 为X的概率分布的上 分位数.
标准正态分布的 上 分位数
设0< <1, 对随机变量X，称满足
2
因方差未知，取
添加标题
3
对给定的置信度 ,确定分位数
添加标题
4
使
添加标题
5
即
添加标题

2 1


2 2
)

1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2

2 1
n


2 2
m
,(X
Y
)
z
2

2 1


2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n

m

2)}

1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)


2 0.95
(18)

9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,

2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1

2
,

2 1

三、总体参数的区间估计
图5-10 “探索”对话框
图5-11 “探索:统计量”对话框
三、总体参数的区间估计
单击“统计量”按钮，弹出“探索：统计量”对话框，如图5-11所示。 该对话框中有如下四个复选框： （1）描述性：输出均值、中位数、众数、标准误、方差、标准差、极小值 、极大值、全距、四分位距、峰度系数和偏度系数的标准误差等。此处能够设 置置信区间，默认为90%(α=0.1),可根据需要进行调整。 （2）M 最大似然确定数。 （3）界外值：输出五个最大值和五个最小值。 （4）百分位数：输出第5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%位数 。
三、总体参数的区间估计
【例5-17】 某餐馆随机抽查了50位顾客的消费额（单位：元）为 18 27 38 26 30 45 22 31 27 26 35 46 20 35 24 26 34 48 19 28 46 19 32 36 44 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 53 22 24 32 46 26 27 在90%的概率保证下，采用点估计和区间估计的方法推断餐馆顾客的平均消 费额。 解：执行“分析”→“描述统计”→“探索”命令，打开“探索”对话框。由于本例只 有消费额一个变量，且需要对消费额进行探索性分析，故选中左侧列表框中的“消 费额”选项，将其移入“因变量列表”框中，如图5-10所示。
解：已知n=31,α=0.01,=10.2;σ=2.4,z0.005=2.58，由于总 体方差已知，为大样本，可以利用式（5-23）来进行计算。
即（9.088，11.312 该学生每天的伙食费在显著性水平为99%时的置信区间为（ 9.088，11.312）。