第二节 向量组的线性组合
分布图示
★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2
内容要点
一、n 维向量及其线性运算
定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.
注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.
若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m ⨯矩阵
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211
每一列
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =
组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行 ),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β 组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.
根据上述讨论，矩阵A 记为
),,,(21n A ααα = 或 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n A βββ 21.
这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.
矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 0=⨯X A n m
的全体解当n A r <)(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组.
定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向
量，称为向量α与β的和, 记为βα+，即
),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα
由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：
)(βαβα-+=-
),,,(2211n n b a b a b a ---= .
定义3 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为αk ，即
),,,(21n ka ka ka k =α.
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.
注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) αββα+=+;
(2) )()(γβαγβα++=++; (3) ;αα=+o (4) ;)(o =-+αα (5) ;1αα=
(6) ;)()(ααkl l k =
(7) ;)(βαβαk k k +=+ (8) .)(αααl k l k +=+
二、向量组的线性组合 考察线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212********* (1) 令 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m mj j j j b b b n j a a a 2121),,,2,1(βα
则线性方程组(1)可表为如下向量形式:
βααα=+++n n x x x 2211 (2)
于是, 线性方程组(1)是否有解, 就相当于是否存在一组数n k k k ,,,21 使得下列线性关系式成立：
.2211n n k k k αααβ+++=
定义4 给定向量组s A ααα,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式
s s k k k ααα+++ 2211
称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数.
定义5 给定向量组s A ααα,,,:21 和向量β, 若存在一组数,,,,21s k k k 使
,2211s s k k k αααβ+++=
则称向量β是向量组A 的线性组合, 又称向量β能由向量组A 线性表示(或线性表出).
注：(1)β能由向量组s ααα,,,21 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有唯一解；
(2) β能由向量组s ααα,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有无穷多个解；
(3) β不能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是线性方程组
βααα=+++s s x x x 2211无解；
定理1 设向量
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21β，),,,2,1(21s j a a a mj j j j =⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=α
则向量β能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21s A ααα =与矩
阵),,,,(~
21βαααs A =的秩相等.
三、向量组间的线性表示 定义6 设有两向量组
,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα
若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在
),,2,1(,,,21t j k k k sj j j = 使
,),,,(21212211⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+++=sj j j s s sj j j j k k k k k k ααααααβ
所以
,),,,(),,,(2
1
22221
112112121⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=st s s t t s t k k k k k k k k k αααβββ
其中矩阵t s ij t s k K ⨯⨯=)(称为这一线性表示的系数矩阵.
引理 若,n t t s n s B A C ⨯⨯⨯= 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B 为这一表示的系数矩阵. 而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示, A 为这一表示
的系数矩阵.
定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示, 向量组B 可由向量组C 线性表示, 则向量组A 可由向量组C 线性表示.
例题选讲
n 维向量及其线性运算
例1 设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21T
T
---=--=αα 如果向量满足 ,0)(2321=+-αβα 求β.
解 由题设条件,有022321=--αβα
β)32(2112αα--=1223αα+-=T T )1,1,4,2(23
)2/5,2,1,3(--+----=.)1,2/1,5,6(T --=
例2 (E01) 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα
(1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求.x
