山东省泰安市2016年中考数学真题试题(含解析)

2016年山东省泰安市东平县中考数学二模试卷一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共60分）1．（3分）（﹣2）0的相反数等于（）A．1B．﹣1C．2D．﹣22．（3分）下列运算正确的是（）A．3a3+4a3＝7a6B．3a2﹣4a2＝﹣a2C．3a2•4a3＝12a3D．（3a3）2+4a3＝a23．（3分）计算10﹣（）2011×（﹣2）2012的结果是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．34．（3分）如果一元一次不等式组的解集为x＞3．则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a≤3D．a＜35．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1C．1D．26．（3分）函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．7．（3分）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣2）2+2B．y＝2（x+2）2﹣2C．y＝2（x﹣2）2﹣2D．y＝2（x+2）2+28．（3分）下列四个函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（）A．y＝2x B．y＝x+1C．y＝（x＞0）D．y＝x2（x＞0）9．（3分）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）A．8B．14C．8或14D．﹣8或﹣14 10．（3分）在同一直角坐标平面内，如果直线y＝k1x与双曲线没有交点，那么k1和k2的关系一定是（）A．k1+k2＝0B．k1•k2＜0C．k1•k2＞0D．k1＝k211．（3分）某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是（）A．B．C．D．12．（3分）从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（）A．0B．C．D．113．（3分）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°．在AC 上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）A．6B．3C．D．14．（3分）如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°15．（3分）如图，A、B是数轴上两点．在线段AB上任取一整数点C，则点C到表示﹣1的点的距离不大于2的概率是（）A．B．C．D．16．（3分）如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝，则下列结论正确的个数有（）①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝2cm．A．1个B．2个C．3个D．4个17．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．B．C．1D．1.518．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC＝4，AC＝3，CD平分∠ACB，则弦AD长为（）A．B．C．D．319．（3分）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4C．1：：2D．1：2：3 20．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．（3分）若|m﹣1|+（﹣5）2＝0，则将mx2﹣ny2分解因式得．22．（3分）已知函数y＝ax和y＝的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是．23．（3分）已知关于x的分式方程＝2有增根，则m的值为．24．（3分）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是．三、解答题（本大题共5小题，满分48分，应有证明过程或演算步骤）25．（8分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y＝与y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO＝．（1）求这两个函数的关系式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．26．（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．（1）求证：∠AED＝∠ADC，∠DEC＝∠B；（2）求证：AB2＝AE•AC．27．（10分）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？28．（10分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC 边上的中点，连结DE．（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若AD、AB的长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，求直角边BC的长．29．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．2016年山东省泰安市东平县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共60分）1．（3分）（﹣2）0的相反数等于（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵（﹣2）0＝1，1的相反数是﹣1，∴（﹣2）0的相反数是﹣1．故选：B．2．（3分）下列运算正确的是（）A．3a3+4a3＝7a6B．3a2﹣4a2＝﹣a2C．3a2•4a3＝12a3D．（3a3）2+4a3＝a2【解答】解：A、3a3+4a3＝7a3，故选项错误；B、3a2﹣4a2＝﹣a2，故选项正确；C、3a2•4a3＝12a5，故选项错误D、（3a3）2+4a3＝9a6+4a3，故选项错误．故选：B．3．（3分）计算10﹣（）2011×（﹣2）2012的结果是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．3【解答】解：10﹣（）2011×（﹣2）2012的＝1﹣[×（﹣2）]2011×（﹣2）＝1﹣（﹣1）2011×（﹣2）＝1+1×（﹣2）＝﹣1．故选：B．4．（3分）如果一元一次不等式组的解集为x＞3．则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a≤3D．a＜3【解答】解：不等式组的解集为x＞3，∴有a≤3，故选：C．5．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1C．1D．2【解答】解：因为对称轴x＝1且经过点P（3，0）所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c中，得a﹣b+c＝0．故选：A．6．（3分）函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x＝﹣＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．7．（3分）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣2）2+2B．y＝2（x+2）2﹣2C．y＝2（x﹣2）2﹣2D．y＝2（x+2）2+2【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），∵把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（2，2），∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+2．故选：A．8．（3分）下列四个函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（）A．y＝2x B．y＝x+1C．y＝（x＞0）D．y＝x2（x＞0）【解答】解：A、y＝2x，正比例函数，k＞0，故y随着x增大而增大，错误；B、y＝x+1，一次函数，k＞0，故y随着x增大而增大，错误；C、y＝（x＞0），反比例函数，k＞0，故在第一象限内y随x的增大而减小，正确；D、y＝x2，当x＞0时，图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，错误．故选：C．9．（3分）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）A．8B．14C．8或14D．﹣8或﹣14【解答】解：根据题意＝±3，解得c＝8或14．故选：C．10．（3分）在同一直角坐标平面内，如果直线y＝k1x与双曲线没有交点，那么k1和k2的关系一定是（）A．k1+k2＝0B．k1•k2＜0C．k1•k2＞0D．k1＝k2【解答】解：∵直线y＝k1x与双曲线没有交点，∴k1x＝无解，∴x2＝无解，∴＜0，即k1，•k2＜0．故选：B．11．（3分）某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，甲．乙两种奖品共30件，所以x+y＝30因为甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，所以16x+12y＝400由上可得方程组：．故选：B．12．（3分）从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（）A．0B．C．D．1【解答】解：共有6种情况，积是正数的有2种情况，故概率为，故选：B．13．（3分）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°．在AC 上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）A．6B．3C．D．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝6，∴sin A＝BC：AB＝1：2，∴∠A＝30°，∠CBA＝60°．根据折叠的性质知，∠CBE＝∠EBA＝∠CBA＝30°，∴CE＝BC tan30°＝，∴DE＝2CE＝2．故选：C．14．（3分）如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：∠PBP′＝∠P′BA+∠PBA，＝∠PBC+∠PBA，＝∠ABC，＝60°．故选：B．15．（3分）如图，A、B是数轴上两点．在线段AB上任取一整数点C，则点C到表示﹣1的点的距离不大于2的概率是（）【解答】解：如图，C1与C2到表示﹣1的点的距离均不大于2，根据概率公式P＝．故选：D．16．（3分）如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝，则下列结论正确的个数有（）①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝2cm．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20cm∴AD＝5cm∵sin A＝＝∴DE＝3cm（①正确）∴AE＝4cm∵AB＝5cm∴BE＝5﹣4＝1cm（②正确）∴菱形的面积＝AB×DE＝5×3＝15cm2（③正确）∵DE＝3cm，BE＝1cm∴BD＝cm（④不正确）所以正确的有三个，故选C．17．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）【解答】解：∵AB＝，BC＝2，∴AC＝＝，∴AO＝AC＝，∵EO⊥AC，∴∠AOE＝∠ADC＝90°，又∵∠EAO＝∠CAD，∴△AEO∽△ACD，∴＝，即＝，解得AE＝1.5．故选：D．18．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC＝4，AC＝3，CD平分∠ACB，则弦AD长为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图，连接BD．∵AB是直径，AC＝3，BC＝4，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵CD平分∠ACD，∴＝，∴AD＝BD，设AD＝DB＝x，∴x2+x2＝52，∴x＝．故选：A．19．（3分）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4C．1：：2D．1：2：3【解答】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，因而AD＝OC+OD；在直角△OCD中，∠DOC＝60°，则OD：OC＝1：2，因而OD：OC：AD＝1：2：3，所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选D．20．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y＝4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把x＝1代入抛物线得：y＝a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴3b+2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴y＝a﹣b+c的值最大，即把x＝m（m≠﹣1）代入得：y＝am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．（3分）若|m﹣1|+（﹣5）2＝0，则将mx2﹣ny2分解因式得（x+5y）（x﹣5y）．【解答】解：∵|m﹣1|+（﹣5）2＝0，∴m＝1，＝5，解得：n＝25，则mx2﹣ny2＝（x+5y）（x﹣5y）．故答案为：（x+5y）（x﹣5y）．22．（3分）已知函数y＝ax和y＝的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是（1，2）和（﹣1，﹣2）．【解答】解：依题意有y＝a，y＝4﹣a，解得a＝2．代入原函数有，解此方程组得和．所以交点的坐标为（1，2）和（﹣1，﹣2）．故答案为：（1，2）和（﹣1，﹣2）．23．（3分）已知关于x的分式方程＝2有增根，则m的值为﹣1．【解答】解：去分母得：x+m＝2x﹣2，解得：x＝m+2，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入得：m＝﹣1，故答案为：﹣124．（3分）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是y＝﹣0.04x2+1.6x．【解答】解：设解析式是：y＝a（x﹣20）2+16，根据题意得：400a+16＝0，解得a＝﹣0.04．∴函数关系式y＝﹣0.04（x﹣20）2+16，即y＝﹣0.04x2+1.6x．故答案为：y＝﹣0.04x2+1.6x．三、解答题（本大题共5小题，满分48分，应有证明过程或演算步骤）25．（8分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y＝与y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO＝．（1）求这两个函数的关系式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．【解答】解：（1）∵AB⊥x轴于B且S△ABO＝|k|＝，∴k＝±3．又∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴k＝﹣3，∴反比例函数的解析式为y＝﹣，一次函数的解析式为y＝﹣x﹣（﹣3+1）＝﹣x+2．（2）联立反比例函数与一次函数解析式，，解得：，．∴点A的坐标为（﹣1，3），点C的坐标为（3，﹣1）．观察两函数图象，发现：当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，∴一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞3．26．（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．（1）求证：∠AED＝∠ADC，∠DEC＝∠B；（2）求证：AB2＝AE•AC．【解答】证明：（1）在△ADE和△ACD中，∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠DAE，∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE，∠ADC＝180°﹣∠DAE﹣∠C，∴∠AED＝∠ADC．（2分）∵∠AED+∠DEC＝180°，∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠DEC＝∠ADB，又∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B，∴∠DEC＝∠B．（4分）（2）在△ADE和△ACD中，由（1）知∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ADC，∴△ADE∽△ACD，（5分）∴，即AD2＝AE•AC．（7分）又AB＝AD，∴AB2＝AE•AC．（8分）27．（10分）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？【解答】解：（1）由题意可知，调配给甲连锁店电冰箱（70﹣x）台，调配给乙连锁店空调机（40﹣x）台，电冰箱为60﹣（70﹣x）＝（x﹣10）台，则y＝200x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10），即y＝20x+16800．∵∴10≤x≤40．∴y＝20x+16800（10≤x≤40）；（2）由题意得：y＝（200﹣a）x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10），即y＝（20﹣a）x+16800．∵200﹣a＞170，∴a＜30．当0＜a＜20时，20﹣a＞0，函数y随x的增大而增大，故当x＝40时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；当a＝20时，x的取值在10≤x≤40内的所有方案利润相同；当20＜a＜30时，20﹣a＜0，函数y随x的增大而减小，故当x＝10时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台．28．（10分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC 边上的中点，连结DE．（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若AD、AB的长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，求直角边BC的长．【解答】（1）证明：DE与半圆O相切，理由为：连接OD，BD，如图所示：∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△BDC中，E为BC的中点，∴DE＝BE＝BC，∴∠EBD＝∠EDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，又∵∠ABC＝90°，即∠OBD+∠EBD＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，即∠ODE＝90°，∴DE为圆O的切线；（2）解：方程x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x1＝4，x2＝6，∵AD、AB的长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，且AB＞AD，∴AD＝4，AB＝6，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD＝＝2，∵△ABD∽△ACB，∴＝，即＝，∴BC＝3．29．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．【解答】解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y＝x2+bx+c中，得，解得∴该抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4．（2）令y＝0，即x2+x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），S△ABC＝AB•OC＝12．设P点坐标为（x，0），则PB＝2﹣x．∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠BAC，∠BEP＝∠BCA，∴△PBE∽△BAC，∴，即，化简得：S△PBE＝（2﹣x）2．S△PCE＝S△PCB﹣S△PBE＝PB•OC﹣S△PBE＝×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2＝x2﹣x+＝﹣（x+1）2+3∴当x＝﹣1时，S△PCE的最大值为3．（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM＝DO时，如答图①所示．DO＝DM＝DA＝2，∴∠OAC＝∠AMD＝45°，∴∠ADM＝90°，∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；（II）当MD＝MO时，如答图②所示．过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，∴DN＝ON＝1，AN＝AD+DN＝3，又△AMN为等腰直角三角形，∴MN＝AN＝3，∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；（III）当OD＝OM时，∵△OAC为等腰直角三角形，∴点O到AC的距离为×4＝，即AC上的点与点O之间的最小距离为．∵＞2，∴OD＝OM的情况不存在．综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．。

ft 东省 2016 年中考数学试卷第 24 题汇编[济南市 2016 年中考数学试卷]01. 如图 1，抛物线 y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与 x 轴交于点 A （4，0），与 y 轴交于点 B ，在 x 轴上有一动点 E （m ，0）（0＜m ＜4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N ，交抛物线于点 P ，过点 P 作 PM ⊥AB 于点 M ．（1） 求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（2） 设△PMN 的周长为 C 1，△AEN 的周长为 C 2，若C 1 6，求 m 的值； C 2 5（3） 如图 2，在（2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE ′，旋转角为 α（0°＜α＜90°），连接 E ′A 、E ′B ，求 E ′A ＋ 2E ′B 的最小值．3[菏泽市 2016 年中考数学试卷]02. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋2 过 B （－2，6），C （2，2）两点．（1） 试求抛物线的解析式；（2） 记抛物线顶点为 D ，求△BCD 的面积；（3） 若直线 y ＝－ 1x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC （包括端点 B 、C ）部分有两个交2点，求 b 的取值范围．03. 如图，已知抛物线 y ＝ 1x 2＋bx ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A （0，1），点 B （－9，10），AC ∥x3轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点． （1） 求抛物线的解析式；（2） 过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB 、AC 分别交于点 E 、F ，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3） 当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q ，使得以 C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由．[淄博市 2016 年中考数学试卷]04. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O ，点 M ，N 分别是边 BC ，CD 上的动点（不与点 B ，C ，D重合），AM ，AN 分别交 BD 于点 E ，F ，且∠MAN 始终保持 45°不变．（1） 求证： AF 2；AM 2（2） 求证：AF ⊥FM ；（3） 请探索：在∠MAN 的旋转过程中，当∠BAM 等于多少度时，∠FMN ＝∠BAM ？写出你的探索结论，并加以证明．ADNBMC yBlECF AOxPF O EQFO05. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝－2x ＋10 与 x 轴，y 轴相交于 A ，B 两点，点 C 的坐标是（8， 4），连接 AC ，BC ．（1） 求过 O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2） 动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，PA ＝QA ？（3） 在抛物线的对称轴上，是否存在点 M ，使以 A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．[青岛市 2016 年中考数学试卷]06. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，对角线 AC ，BD 交于点 O ．点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ； 当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 PO 并延长，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ， 交 BD 于点 F ．设运动时间为 t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题： （1） 当 t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？（2） 设五边形 OECQF 的面积为 S （cm 2），试确定S 与 t 的函数关系式； （3） 在运动过程中，是否存在某一时刻，使 S 五边形 OECQF ：S △ACD ＝9：16？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4） 在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OD 平分∠COP ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．APDB ECD07. 如图，已知抛物线 m ：y ＝ax 2－6ax ＋c （a ＞0）的顶点 A 在 x 轴上，并过点 B （0，1），直线n ：y ＝－ 1 x ＋ 7与 x 轴交于点 D ，与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F ，过 B 点的直线 BE 与直线 n 相交于点 E （－ 2 2 7，7）．（1）求抛物线 m 的解析式；（2）P 是 l 上的一个动点，若以 B ，E ，P 为顶点的三角形的周长最小，求点 P 的坐标；（3）抛物线 m 上是否存在一动点 Q ，使以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[泰安市 2016 年中考数学试卷]08．（1）已知：△ABC 是等腰三角形，其底边是 BC ，点 D 在线段 AB 上，E 是直线 BC 上一点，且∠DEC＝∠DCE ，若∠A ＝60°（如图①）．求证：EB ＝AD ； （2） 若将（1）中的“点 D 在线段 AB 上”改为“点 D 在线段 AB 的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；（3） 若将（1）中的“若∠A ＝60°”改为“若∠A ＝90°”，其它条件不变，则 EB的值是多少？（直接写出AD结论，不要求写解答过程）A AEE BCD C 图 1图 2ByCA BOxyNCA BOxyCMABO Px09．如图 1，抛物线 y ＝－ 3[(x －2)2＋n ]与 x 轴交于点 A （m －2，0）和 B （2m ＋3，0）（点A 在点B 的左 5侧），与y 轴交于点 C ，连结 BC ． （1） 求 m 、n 的值；（2） 如图 2，点 N 为抛物线上的一动点，且位于直线 BC 上方，连接 CN 、BN ．求△NBC 面积的最大值；（3） 如图 3，点 M 、P 分别为线段 BC 和线段 OB 上的动点，连接 PM 、PC ，是否存在这样的点 P ，使△PCM 为等腰三角形，△PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由．[德州市 2016 年中考数学试卷]10. 已知，m ，n 是一元二次方程 x 2＋4x ＋3＝0 的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1） 求这个抛物线的解析式； （2） 设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为 D ，试求出点 C ，D 的坐标，并判断△BCD的形状； （3） 点 P 是直线 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B 和点 C 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M ，点 Q 在直线 BC 上，距离点 P 为S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式．个单位长度，设点 P 的横坐标为 t ，△PMQ 的面积为备用图yA O C xBD y A O C x BD211.如图，已知抛物线y＝－1x2－1x＋2 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C.4 2（1）求点A，B，C 的坐标；（2）点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以A，B，E，F 为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[东营市2016 年中考数学试卷]12.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A、C 的坐标分别是（0，4）、（－1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M 的坐标；（3）若P 为抛物线上的一动点，N 为x 轴上的一动点，点Q 坐标为（1，0），当P、N、B、Q 构成平行四边形时，求点P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．13. 如图 1，已知平行四边形 ABCD 顶点 A 的坐标为（2，6），点 B 在 y 轴上，且 AD ∥BC ∥x 轴，过 B ，C ，D 三点的抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（2，2），点 F （m ，6）是线段 AD 上一动点，直线 OF 交 BC 于点 E ．（1） 求抛物线的表达式；（2） 设四边形 ABEF 的面积为 S ，请求出 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； （3） 如图 2，过点 F 作 FM ⊥x 轴，垂足为 M ，交直线 AC 于 P ，过点 P 作 PN ⊥y 轴，垂足为 N ，连接MN ，直线 AC 分别交 x 轴，y 轴于点 H ，G ，试求线段 MN 的最小值，并直接写出此时 m 的值．[威海市 2016 年中考数学试卷]14. 如图，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （－2，0），点 B （4，0），点 D （2，4），与 y 轴交于点 C ，作直线 BC ，连接 AC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E 是抛物线上的点，求满足∠ECD ＝∠ACO 的点 E 的坐标；（3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一点，若以点 C ，M ，N ，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．备用图 1备用图 215.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过点A（－3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD 垂直于y 轴，交抛物线于点D，DE 垂直与x 轴，垂足为E，l 是抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．（1）求出二次函数的表达式以及点D 的坐标；（2）若Rt△AOC 沿x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形的面积；（3）若Rt△AOC 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED 重叠部分的图形面积记为S，求S 与t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．[枣庄市2016 年中考数学试卷]16.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x 轴交于点B．（1）若直线y＝mx＋n 经过B、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x＝－1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．17. 如图，二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象经过点 A （－1，0），B （4，0），C （－2，－3），直线 BC 与 y轴交于点 D ，E 为二次函数图象上任一点.（1） 求这个二次函数的解析式；（2） 若点 E 在直线 BC 的上方，过 E 分别作 BC 和 y 轴的垂线，交直线 BC 于不同的两点 F ，G （F 在G 的左侧），求△EFG 周长的最大值；（3） 是否存在点 E ，使得△EDB 是以 BD 为直角边的直角三角形？如果存在，求点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由.备用图4 10 ⎩ ⎨ ⎨ft 东省 2016 年中考数学试卷第 24 题汇编参考答案01. 解：（1）令 y ＝0，则 ax 2＋(a ＋3)x ＋3＝0，∴(x ＋1)(ax ＋3)＝0，∴x ＝－1 或- 3.a∵抛物线 y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与 x 轴交于点 A （4，0），∴ - 3 ＝4，∴a ＝ - 3 ．∵A （4，0），B （0，3），⎧b = 3 a 4 ⎧k = - 3设直线 AB 解析式为 y ＝kx ＋b ，则⎨4k + b = 0∴直线 AB 解析式为 y ＝ - 3x ＋3．4，解得⎪ 4 ，⎪⎩b = 3（2） 如图 1 中，∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，∴∠PMN ＝∠AEN .∵∠PNM ＝∠ANE ，∴△PNM ∽△ANE ，∴ PN = 6.AN 5∵NE ∥OB ，∴ AN = AE ，∴AN ＝ 5(4 - m ) .AB OA 4∵抛物线解析式为 y ＝ - 3 x 2＋ 9x ＋3，4 4∴PN ＝ - 3 m 2＋ 9 m ＋3－( - 3 m ＋3)＝ - 3m 2＋3m ，4 4 4 4 - 3m 2 + 3m∴ 4 = 6，解得 m ＝2．5(4 - m ) 5 4（3） 如图 2 中，在 y 轴上 取一点 M 使得 OM ＝ 4，3∵OE ′＝2，OM ·OB ＝ 4 ×3＝4，∴OE ′2＝OM ·OB ，∴ OE ' = OB .3 OM OE 'ME ' OE ' 2∵∠BOE ′＝∠MOE ′，∴△MOE ′∽△E ′OB ，∴ BE ' = OB = 3，∴ME ′＝ 2 BE ′，∴AE ′＋ 2BE ′＝AE ′＋E ′M ＝AM ′，3 3此时 AE ′＋ 2 BE ′最小，最小值= AM = 3 ⎧4a - 2b + 2 = 6 = .3 ⎧2a - b = 2⎧a = 1 02. 解：（1）由题意得⎨4a + 2b + 2 = 2，整理得⎨2a + b = 0 ，解得⎪2 ，∴抛物线解析式为 y ＝ 1x 2－x ＋2．2⎪⎩b = -1（2）∵y ＝ 1 x 2－x ＋2＝ 1 (x －1)2＋ 3 ，∴顶点坐标 D （1， 3），2 2 2 2过点 B 、C 、D 分别作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 M 、N 、H ，42+ ( 4)2 3 ⎩ ⎩1 ⎨⎪ ⎩ ∴S △BDC ＝S 梯形 BMNC －S 梯形 BMHD －S 梯形 DHNC 3 +2 = 2 + 6 ⨯ 4 - 23 + 6 ⨯1 - 2 ⨯ 3 = 3 .2 2 21 1（3）直线 y =⎧x 向上平移 b 个单位所得的直线为 y = - 2 2 1 x + b ⎪ y = - 2 x + b 由题意得⎨ ⎪ y = x 2 - x + 2 ，整理得 x 2- x + (4 - 2b ) = 0 ， ⎪⎩ 2当∆ = (-1)2 - 4 ⨯1⨯ (4 - 2b ) = 0 时，得 b ＝ 15 . 8 此时情况如图中 l 1 所示；当直线 y ＝－ 1 x ＋b 经过点 C （2，2）时，b ＝3， 2此时情况如图中 l 2 所示； 要直线与抛物线段 BDC 有两个交点，直线应在 l 1 与 l 2 又∵l 1 不符合，l 2 符合，故符合题意的 b 的取值范围为15＜b ≤3．803. 解：（1）∵点 A （0，1）．B （－9，10）在抛物线上，⎧c = 1 ∴ ⎪1 ⨯ 81 - 9b + c = 10 ⎩3⎧b = 2 ，∴ ⎨c = 1 ，∴抛物线的解析式为 y ＝ 1 3 x 2＋2x ＋1. （2）∵AC ∥x 轴，A （0，1），∴ 1 x 2＋2x ＋1＝1，3∴x 1＝6，x 2＝0，∴点 C 的坐标（－6，1）. ∵点 A （0，1）．B （－9，10）， ∴直线 AB 的解析式为 y ＝－x ＋1.设点 P （m ， 1m 2＋2m ＋1），∴E （m ，－m ＋1）3∴PE ＝－m ＋1－( 1 m 2＋2m ＋1)＝－ 1 m 2－3m . 3 3∵AC ⊥EP ，AC ＝6，∴S 四边形 AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝ 1 AC ×EF ＋ 1 AC ×PF ＝ 1 AC ×(EF ＋PF )＝ 1AC ×PE2 2 2 2＝ 1 ×6×(－ 1 m 2－3m )＝－m 2－9m ＝－(m ＋ 9 )2＋ 81 . 2 3 2 4∵－6＜m ＜0，∴当 m ＝－ 9 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 81，2 4此时点 P （－ 9 ，－ 5）．2 4 （3）∵y ＝ 1 x 2＋2x ＋1＝ 1(x ＋3)2－2，∴P （－3，－2），3 3∴PF ＝y F －y P ＝3，CF ＝x F －x C ＝3，∴PF ＝CF ，∴∠PCF ＝45°，2 3 2 9 29 2⎨ ⎩同理可得∠EAF ＝45°，∴∠PCF ＝∠EAF ， ∴在直线 AC 上存在满足条件的 Q .设 Q （t ，1）且 AB ＝9 ，AC ＝6，CP ＝3 ∵以 C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当△CPQ ∽△ABC 时，∴ CQ = CP ，∴ AC AB t + 6 6 = ，∴t ＝－4，∴Q （－4，1）； ②当△CQP ∽△ABC 时， ∴ CQ = CP ，∴ t + 6 = 3 2 ，∴t ＝3，∴Q （3，1）． AB AC 6 04.（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，∠ABC ＝90°， ∵∠MAN ＝45°，∴∠MAF ＝∠MBE ，∴A 、B 、M 、F 四点共圆，∴∠ABM ＋∠AFM ＝180°，∴∠AFM ＝90°，∴∠FAM ＝∠FMA ＝45°，∴AM ＝ AF ，∴ AF = 2． AM 2（2）由（1）可知∠AFM ＝90°，∴AF ⊥FM ． （3）结论：∠BAM ＝22.5 时，∠FMN ＝∠BAM理由：∵A 、B 、M 、F 四点共圆，∴∠BAM ＝∠EFM ，∵∠BAM ＝∠FMN ，∴∠EFM ＝∠FMN ，∴MN ∥BD ，∴ CM = CN.CB CD∵CB ＝DC ，∴CM ＝CN ，∴MB ＝DN .⎧ AB = AD 在△ABM 和△ADN 中， ⎪∠ABM = ∠ADN = 90︒ ，⎪BM = DN ∴△ABM ≌△ADN ，∴∠BAM ＝∠DAN . ∵∠MAN ＝45°，∴∠BAM ＋∠DAN ＝45°，∴∠BAM ＝22.5°． 05. 解：（1）∵直线 y ＝－2x ＋10 与 x 轴，y 轴相交于 A ，B 两点，∴A （5，0），B （0，10），∵抛物线过原点，∴设抛物线解析式为 y ＝ax 2＋bx ， ∵抛物线过点 B （0，10），C （8，4），⎧a = 1 ⎧25a + 5b = 0 ⎪ 6 ∴ ⎨64a + 8b = 4 ，∴⎨ 5 ， ⎩ ⎪b = -⎩ 6 ∴抛物线解析式为 y ＝ 1 x 2－ 5x . 6 6∵A （5，0），B （0，10），C （8，4），图 1 ∴AB 2＝52＋102＝125，BC 2＝82＋(8－5)2＝100，AC 2＝42＋(8－5)2＝25， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形． （2） 方法 1：如图 1，当 P ，Q 运动 t 秒， 即 OP ＝2t ，CQ ＝10－t 时，PA ＝QA .由（1）知 AC ＝OA ，∠ACQ ＝∠AOP ＝90°，2 2yBl ECQ 1 F A Q 2 OxPy B QPCO Ax⎩ ⎪ ⎧ AC = OA在 R t △AOP 和R t △ACQ 中， ⎨PA = QA ， ∴R t △AOP ≌R t △ACQ ，∴OP ＝CQ ，∴2t ＝10－t ，∴t ＝ 10，3∴当运动时间为10时，PA ＝QA .3方法 2：分别过 C 、Q 作 CD 、QE 垂直于 y 轴，垂足分别为 D 、E . ∵P 、Q 的运动时间为 t 秒，∴BQ ＝t ，OP ＝2t ，CD ＝8. 设 Q 点的坐标是（m ，n ），∴QE ＝m .∵CD ⊥y 轴，QE ⊥y 轴，∴CD ∥QE ，∴△BQE ∽△BCD ， QE BQ m t 4∴ = ，即 = ，∴ m = t . CD BC 8 10 5 设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ，⎧b = 10 则⎨ ⎧k = - ，解得⎨3 4 ，∴直线 BC 的解析式为 y = - 3 x + 10 . 图 2⎩8k + b = 4 ⎪⎩b = 104 ∵点 Q 在 BC 上，∴ n = - 3 ⨯ 4 t + 10 = - 3t + 10 ，4 5 5∴Q 点的坐标是（ 4 t ， - 3t + 10 ），5 5∴QA 2 = (- 3 t + 10)2 + (5 - 4t )2 = t 2 - 20t + 125 . 5 5又∵OP ＝2t ，∴ PA 2 = (2t )2 + 25 = 4t 2+ 25 .∵PA ＝QA ，∴ t 2 - 20t + 125 = 4t 2 + 25 ，即3t 2 + 20t -100 = 0 ，解得t = 10， t = -10 （不合题意，舍去）.132 因此，当 t 为10秒时，PA ＝QA .3（3） 存在. 由（1）知抛物线的对称轴是直线 x = 5.2设点 M 的坐标为（ 5，m ）.2 5 2 2①若 BM ＝BA 时，∴( 2) ＋(m －10) ＝125，∴m 1＝ 20 + 5 19 ，m 2＝ 20 - 5 19 ，2 2 ∴M （ 5 ， 20 + 5 19 ），M （ 5 ， 20 - 5 19 ），2 2 2 2 2②若 AM ＝AB 时，∴( 52)2＋m 2＝125，∴m ＝ 5 19 ，m ＝－ 5 19， 342 2图 3∴M 3（ 5 ， 5 19 ），M 4（ 5 ，－ 5 19），2 2 2 2y BE P DQC OA xy M 1M 3 BMCOM 2AxM 4 1⎨ ⎩△ACD③若 MA ＝MB 时，∴( 5 －5)2＋m 2＝( 5 2 2 ∴m ＝5，∴M （ 5，5），2)2＋(10－m )2，此时点 M 恰好是线段 AB 的中点，构不成三角形，舍去，∴点 M 的坐标为：M 1（ 5 ， 20 + 5 19 ），M 2（ 5 ， 20 - 5 19），2 2 2 2M 3（ 5 ， 5 19 ），M 4（ 5 ，－ 5 19 ）.2 2 2 206. 解：（1）∵在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴AC ＝10. 1 5APD①当 AP ＝PO ＝t ，如图 1，过 P 作 PM ⊥AO ，∴AM ＝ AO ＝ .2 2∵∠PMA ＝∠ADC ＝90°，∠PAM ＝∠CAD ，∴△APM ∽△ADC ， ∴ AP = AM ，∴AP ＝t ＝ 25 . AC AD 8②当 AP ＝AO ＝t ＝5，∴当 t 为 25或 5 时，△AOP 是等腰三角形.8B E C（2）作EH ⊥AC 于 H ，QM ⊥AC 于 M ，DN ⊥AC 于 N ，交 QF 于 G ， P⎧∠PAO = ∠ECO 在△APO 与△CEO 中， ⎪AO = OC， ⎪∠AOP = ∠COE ∴△AOP ≌△COE ，∴CE ＝AP ＝t .∵△CEH ∽△CAB ，∴ EH = CE ，∴EH ＝ 3t . B ECAB AC 5∵DN ＝ AD ⋅ CD ＝ 24，∵QM ∥DN ，∴△CQM ∽△CDN ，AC QM CQ 5QM = 6 - t ∴ = ，即 DN CD24 6 ，5∴QM ＝ 24 - 4t ，∴DG ＝ 24 -24 - 4t = 4t .5 5 2 5∵FQ ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ，∴ FQ = DG ，∴FQ ＝ 5t， OC DN 6∴S 五边形 OECQF ＝S △OEC ＋S 四边形 OCQF＝ 1 ×5× 3t ＋ 1 ( 5t ＋5)· 24 - 4t ＝－ 1 t 2＋ 3 t ＋12， 2 5 2 6 5 3 2∴S 与 t 的函数关系式为 S ＝－ 1 t 2＋ 3t ＋12（0＜t ＜6）.3 2（3）存在. ∵S ＝ 1 ×6×8＝24， 2∴S ：S ＝(－ 1 t 2＋ 3 t ＋12)：24＝9：16，解得 t ＝ 3，t ＝3，五边形 OECQF △ACD∴t ＝ 3 或 t ＝3 时，S ：S ＝9：16.五边形 OECQF △ACD（4）如图 3，过 D 作 DM ⊥AC 于 M ，DN ⊥AC 于 N ，∵∠POD ＝∠COD ，QFMOFGON H MQ3 2 22⎩ ∴DM ＝DN ＝ 24 ，∴ON ＝OM ＝ 5 = 7.5 A P DOP •DM 3PD OP 5 5 tPM18 5t . ∵ ＝ ，∴ ＝ － ，∴ ＝ － 8 5 8 PD 2 PM 2 DM 2 (8 t )2 ( 18 5t )2( 24 )2 ∵ ＝ ＋ ，∴ － ＝ － ＋， 5 8 5解得 t ＝16（不合题意，舍去），t ≈2.87，∴当 t ＝2.87 时，OD 平分∠COP ． 07. 解：（1）∵抛物线y ＝ax 2－6ax ＋c （a ＞0）的顶点 A 在 x 轴上 ∴配方得 y ＝a (x －3)2－9a ＋1，则有－9a ＋1＝0，解得 a ＝ 1.9∴A 点坐标为（3，0），抛物线m 的解析式为 y ＝ 1 x 2－ 2x ＋1. B E C 9 3（2） ∵点 B 关于对称轴直线 x ＝3 的对称点 B ′为（6，1） ∴连接 EB ′交 l 于点 P ，如图所示设直线 EB ′的解析式为 y ＝kx ＋b ， 把（－7，7），（6，1）代入， ⎧6 yl ⎧-7k + b = 7 ⎪k = - 13 n m 得⎨6k + b = 1 ，解得⎨ ， ⎪b = 49E ⎩ 13 则函数解析式为y ＝－ 6 x ＋ 49 . P 13 13 31 F31B B ′ 把 x ＝3 代入，解得 y ＝ ，∴点 P 坐标为（3， ）. 13 13（3） ∵y ＝－ 1 x ＋ 7与 x 轴交于点 D ，∴点 D 坐标为（7，0），O A Dx 2 2 ∵y ＝－ 1 x ＋ 7与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F ，∴点 F 坐标为（3，2）.2 2求得 FD 的直线解析式为 y ＝－ 1 x ＋ 7，2 2若以 FQ 为直径的圆经过点 D ，可得∠FDQ ＝90°，则 DQ 的直线解析式的 k 值为 2，设 DQ 的直线解析式为 y ＝2x ＋b ，把（7，0）代入解得 b ＝－14， 则 DQ 的直线解析式为 y ＝2x －14， 设点 Q 的坐标为（a ， 1 a 2 - 2 a + 1 ），把点Q 代入 y ＝2x －14， 9 3得 1 a 2 - 2a + 1 ＝2a －14，解得 a 1＝9，a 2＝15． 9 3 ∴点 Q 坐标为（9，4）或（15，16）． 08.（1）证明：作 DF ∥BC 交 AC 于 F ，如图， 则∠ADF ＝∠ABC ，∠AFD ＝∠ACB ，∠FDC ＝∠DCE ，∵△ABC 是等腰三角形，∠A ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠DBE ＝120°，∠ADF ＝∠AFD ＝60°＝∠A ，A D F OD 2 - DN 2 M F O N Q ⎪2 BC D⎨ ⎩⎨ ⎩ ⎨A DF∴△ADF 是等边三角形，∠DFC ＝120°，∴AD ＝DF . ∵∠DEC ＝∠DCE ，∴∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD .⎧∠DEC = ∠FDC 在△DBE 和△CFD 中， ⎪∠DBE = ∠DFC = 120︒ ，⎪ED = CD ∴△DBE ≌△CFD （AAS ），∴EB ＝DF ，∴EB ＝AD . （2） 解：EB ＝AD 成立. 理由如下：作 DF ∥BC 交 AC 的延长线于 F ，如图，同（1）得：AD ＝DF ，∠FDC ＝∠ECD ，∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD ，⎧∠DEC = ∠FDC 又∵∠DBE ＝∠DFC ＝60°，∴在△DBE 和△CFD 中， ⎪∠DBE = ∠DFC ，⎪ED = CD ∴△DBE ≌△CFD （AAS ），∴EB ＝DF ，∴EB ＝AD .（3） 解： EB＝ AD. 理由如下：作 DF ∥BC 交 AC 于 F ，如图，同（1）得：△DBE ≌△CFD （AAS ），∴EB ＝DF .E∵△ABC 是等腰直角三角形，DF ∥BC ，∴△ADF 是等腰直角三角形， ∴DF ＝ AD ，∴ DF ＝ AD ，∴ EB＝ . FAD09. 解：（1）∵抛物线的解析式为y ＝－ 3 [(x －2)2＋n ]＝－ 3 (x －2)2－ 3n ， 5 5 5∴抛物线的对称轴为直线 x ＝2， ∵点 A 和点 B 为对称点，∴2－(m －2)＝2m ＋3－2，解得 m ＝1，∴A （－1，0），B （5，0）. 把 A （－1，0）代入 y ＝－ 3[(x －2)2＋n ]得 9＋n ＝0，解得 n ＝－9；5（2）作 ND ∥y 轴交 BC 于 D ，抛物线解析式为 y ＝－ 3 [(x －2)2－9]＝－ 3 x 2＋ 12x ＋3，5 5 5当 x ＝0 时，y ＝3，则 C （0，3），设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋b ， ⎧5k + b = 0⎧k = - 3把 B （5，0），C （0，3）代入得 ⎩b = 3 ∴直线 BC 的解析式为 y ＝－ 3x ＋3，5⎪ ，解得⎨ 5 ， ⎪⎩b = 3设 N （x ，－ 3 x 2＋ 12 x ＋3），则 D （x ，－ 3x ＋3），5 5 5 ∴ND ＝－ 3 x 2＋ 12 x ＋3－(－ 3 x ＋3)＝－ 3x 2＋3x ，5 5 5 5∴S ＝S＋S ＝ 1 •5•ND ＝－ 3 x 2＋ 15 x ＝－(x － 5 )2＋ 75 ， △NBC △NDC△NDB2 2 2 82 22 y NCA DBO x232 + 52 34 34 3434 34 - t 342 yA O C xM F PQ⎩ ⎩ 当 x ＝ 5 时，△NBC 面积最大，最大值为 75 ；2 8（3）存在．∵B （5，0），C （0，3），∴BC ＝ = .当∠PMB ＝90°，则∠PMC ＝90°，△PMC 为等腰直角三角形，MP ＝MC ， 设PM ＝t ，则 CM ＝t ，MB ＝ －t ， ∵∠MBP ＝∠OBC ，∴△BMP ∽△BOC ，∴PM = BM = BP ， 即 t = 34 - t = BP ，解得 t ＝ 3 34 ，BP ＝ 17 ， OC OB BC 3 5 8 4 ∴OP ＝OB －BP ＝5－ 17 ＝ 3 ，此时 P 点坐标为（ 3，0）；4 4 4当∠MPB ＝90°，则 MP ＝MC ， 设 PM ＝t ，则 CM ＝t ，MB ＝ －t ， ∵∠MBP ＝∠CBO ，∴△BMP ∽△BCO ，∴ MP = BM = BP ， 即 t = = BP ，解得 t ＝ 102 - 9 34 ，BP ＝ 34 - 3 34 ，OC BC BO 3 5 25 5 ∴OP ＝OB －BP ＝5－ 34 - 3 34 ＝ 3 ，此时 P 点坐标为（ 3 34 - 9，0）；5 4 5综上所述，P 点坐标为（ 3 34 - 9，0）或（ 3 ，0）．54 10. 解（1）∵x 2＋4x ＋3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝－3.∵m ，n 是一元二次方程 x 2＋4x ＋3＝0 的两个实数根，且｜m ｜＜｜n ｜，∴m ＝－1，n ＝－3，∵抛物线 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （m ，0），B （0，n ），⎧1 - b + c = 0 ⎧b = -2 2－2∴ ⎨c = -3 ，∴ ⎨c = -3 ，∴抛物线解析式为 y ＝x x －3.（2）令 y ＝0，则 x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3，∴C （3，0）. ∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴顶点坐标 D （1，－4）. 过点 D 作 DE ⊥y 轴，∵OB ＝OC ＝3，∴BE ＝DE ＝1， ∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形， ∴∠OBC ＝∠DBE ＝45°，∴∠CBD ＝90°， ∴△BCD 是直角三角形.（3）∵B （0，－3），C （3，0），∴直线 BC 解析式为 y ＝x －3. ∵点 P 的横坐标为 t ，PM ⊥x 轴，∴点 M 的横坐标为 t . ∵点 P 在直线 BC 上，点 M 在抛物线上， ∴P （t ，t －3），M （t ，t 2－2t －3），过点 Q 作 QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形. ∵PQ ＝ ，∴QF ＝1，讨论：如图，当点 P 在点 M 上方时，即 0＜t ＜3 时， PM ＝t －3－(t 2－2t －3)＝－t 2＋3t ，∴S ＝ 1 PM ×QF ＝ 1 (－t 2－3t )＝－ 1 t 2＋ 3 t ；2 2 2 2如图 3，当点 P 在点 M 下方时，即 t ＜0 或 t ＞3 时， PM ＝t 2－2t －3－(t －3)，- 17 -yA O C xB E Dy A OC xQ P FBMD7 7 7 3＋ 41 3－ 41∴S ＝ 1 PM ×QF ＝ 1 (t 2－3t )＝ 1 t 2－ 3 t .2 2 2 211. 解：（1）令 y ＝0 得－ 1 x 2－ 1x ＋2＝0，∴x 2＋2x －8＝0，x ＝－4 或 2，4 2∴点 A 坐标（2，0），点 B 坐标（－4，0），令 x ＝0，得 y ＝2，∴点 C 坐标（0，2）．（2） 由图象可知 AB 只能为平行四边形的边，∵AB ＝EF ＝6，对称轴 x ＝－1，∴点 E 的横坐标为－7 或 5，∴点 E 坐标（－7，－ 27 ）或（5，－ 27 ），此时点 F （－1，－ 27），4 4 4∴以 A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积＝6× 27 ＝ 81．4 2y（3） 如图，①当 C 为顶点时，CM 1＝CA ，CM 2＝CA ，作 M 1N ⊥OC 于 N ，M 1N在 Rt △CM 1N 中，CN ＝ ∴点 M 1 坐标（－1，2＋ = ， ），点 M 2 坐标（－1，2－ ）． C②当 M 3 为顶点时，∵直线 AC 解析式为 y ＝－x ＋1， 线段 AC 的垂直平分线为 y ＝x ， ∴点 M 3 坐标为（－1，－1）． ③当点 A 为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点 M 坐标为（－1，－1）或（－1，2＋B）或（－1，2－ ）．AM 2 OxM 312. 解：（1）∵□ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A ′B ′OC ′，点 A 的坐标是（0，4），∴点 A ′的坐标为（4，0），点 B 的坐标为（1，4）. ∵抛物线过点 C ，A ，A ′，设抛物线的函数解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），⎧⎪a －b ＋c ＝0 ⎧⎪a ＝－1 可得⎨c ＝4 ，解得⎨b ＝3 ，⎪⎩16a ＋ 4b ＋c ＝0 ⎪⎩c ＝4 ∴抛物线的函数解析式为 y ＝－x 2＋3x ＋4.（2） 连接 AA ′，设直线 AA ′的函数解析式为 y ＝kx ＋b ，⎧0＋b ＝4 ⎧k ＝－1 可得⎨ ，解得⎨ .⎩14k ＋b ＝0 ⎩b ＝4∴直线 AA '的函数解析式是 y ＝－x ＋4.设 M （x ，－x 2＋3x ＋4）， S ＝1 －x 2＋3x ＋4－(－x ＋4)]＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8.△AMA ′2×4×[ ∴x ＝2 时，△AMA ′的面积最大 S △AMA ′＝8，∴M （2，6）. （3） 设 P 点的坐标为（x ，－x 2＋3x ＋4），当 P 、N 、B 、Q 构成平行四边形时， ①当 BQ 为边时，PN ∥BQ 且 PN ＝BQ ， ∵BQ ＝4，∴－x 2＋3x ＋4＝±4. 当－x 2＋3x ＋4＝4 时，x 1＝0，x 2＝3，即 P 1（0，4），P 2（3，4）；当－x 2＋3x ＋4＝－4 时，x 3＋ 41 x3－ 41 3＝即 P 3（ 2 ，－4），P 4（ 2 ， 4＝ 2 ， 2 ，－4）； ②当 BQ 为对角线时，PB ∥x 轴，即 P 1（0，4），P 2（3，4）；当这个平行四边形为矩形时，即 P l （0，4），P 2（3，4）时，N 1（0，0），N 2（3，0）.CM 2 - M N 21 17 73＋ 413－ 41 PN 2 + PM 2 m 2 + (- 3 m + 9)2 2 13 (m - 54)2 + 3244 13 13综上所述，当 P l （0，4），P 2（3，4），P 3（ 2 ，－4），P 4（ 2 ，－4）时， P 、N 、B 、Q 构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N 1（0，0），N 2（3，0）.13. 解：（1）∵过 B ，C ，D 三点的抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点 C 的横坐标为 4，BC ＝4，∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC ＝4.∵A （2，6），∴D （6，6）.设抛物线解析式为 y ＝a (x －2)2＋2，∵点 D 在此抛物线上，∴6＝a (6－2)2＋2，∴a ＝ 1，4∴抛物线解析式为 y ＝ 1 (x －2)2＋2＝ 1x 2－x ＋3.4 4（2）∵AD ∥BC ∥x 轴，且 AD ，BC 间的距离为 3，BC ，x 轴的距离也为 3，F （m ，6），∴E （ π ，3），∴BE ＝ π ，∴S ＝ 1 (AF ＋BE )×3＝ 1 (m －2＋ π )×3＝ 9 m －3.2 2 2 2 2 4 ∵点 F （m ，6）是线段 AD 上，∴2≤m ≤6，即 S ＝ 9 m －3．（2≤m ≤6）4（3）∵抛物线解析式为 y ＝ 1x 2－x ＋3，∴B （0，3），C （4，3）.4∵A （2，6），∴直线 AC 解析式为 y ＝－ 3x ＋9.2∵FM ⊥x 轴，垂足为 M ，交直线 AC 于 P∴P （m ，－ 3 m ＋9）（2≤m ≤6），∴PN ＝m ，PM ＝－ 3m ＋9.2 2∵FM ⊥x 轴，垂足为 M ，交直线 AC 于 P ， 过点 P 作 PN ⊥y 轴，∴∠MPN ＝90°，∴MN ＝ = = .∵2≤m ≤6，∴当 m ＝ 54时，MN 13最大＝ ＝ 18 13 ．13 14. 解：（1）∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （－2，0），点 B （4，0），点 D （2，4），∴设抛物线解析式为 y ＝a （x ＋2）（x －4），∴－8a ＝4，∴a ＝－ 1，2∴抛物线解析式为 y ＝－ 1 (x ＋2)(x －4)＝－ 1x 2＋x ＋4.2 2 （2） 如图 1，①点 E 在直线 CD 上方的抛物线上，记 E ′，连接 CE ′，过 E ′作 E ′F ′⊥CD ，垂足为 F ′， 由（1）知，OC ＝4，∵∠ACO ＝∠E ′CF ′，∴tan ∠ACO ＝tan ∠E ′CF ′，∴AO = E 'F ' = 1. CO CF ' 2设线段 E ′F ′＝h ，则 CF ′＝2h ，∴点 E ′（2h ，h ＋4）. ∵点 E ′在抛物线上，∴－ 1 (2h )2＋2h ＋4＝h ＋4，2324 13 yE ′ C D FF ′E A BOx2 2 2 2 ∴h ＝0（舍），h ＝ 1 ，∴E ′（1， 9）.2 2②点 E 在直线 CD 下方的抛物线上，记 E ，同①的方法得，E （3， 5），2 点 E 的坐标为（1， 9 ），（3， 5）.2 2（3） ①CM 为菱形的边，如图 2，在第一象限内取点 P ′，过点 P ′作 P ′N ′∥y 轴，交 BC 于 N ′，过点 P ′作 P ′M ′∥BC ，交 y 轴于 M ′， ∴四边形 CM ′P ′N ′是平行四边形.∵四边形 CM ′P ′N ′是菱形，∴P ′M ′＝P ′N ′. 过点 P ′作 P ′Q ′⊥y 轴，垂足为 Q ′，∵OC ＝OB ，∠BOC ＝90°，∴∠OCB ＝45°，∴∠P ′M ′C ＝45°. P ′ m 1 m 2 m 4 设 点 （ ，－ 2＋ ＋ ），在Rt △P ′M ′Q ′中，P ′Q ′＝m ，P ′M ′＝ m ， ∵B （4，0），C （0，4），∴直线 BC 的解析式为 y ＝－x ＋4， ∵P ′N ′∥y 轴，∴N ′（m ，－m ＋4），∴P ′N ′＝－ 1 m 2＋m ＋4－(－m ＋4)＝－ 1m 2＋2m ，2 2 ∴ m ＝－ 1m 2＋2m ，∴m ＝0（舍）或m ＝4－2 ， 2菱形 CM ′P ′N ′的边长为 (4－2 )＝4 －4．②CM 为菱形的对角线，如图 3，在第一象限内抛物线上取点 P ，过点 P 作 PM ∥BC ，交 y 轴于点 M ，连接 CP ，过点 M 作 MN ∥CP ，交 BC 于 N ， ∴四边形 CPMN 是平行四边形，连接 PN 交 CM 于点 Q ， ∵四边形 CPMN 是菱形，∴PQ ⊥CM ，∠PCQ ＝∠NCQ . ∵∠OCB ＝45°，∴∠NCQ ＝45°，∴∠PCQ ＝45°， ∴∠CPQ ＝∠PCQ ＝45°，∴PQ ＝CQ .设点 P （n ，－ 1 n 2＋n ＋4），∴CQ ＝n ，OQ ＝n ＋2，2 ∴n ＋4＝－ 1n 2＋n ＋4，∴n ＝0（舍），∴此种情况不存在．2∴菱形的边长为4 －4． 15. 解：（1）∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点 A （－3，0），B （9，0）和 C （0，4）．∴设抛物线的解析式为 y ＝a (x ＋3)(x －9).∵C （0，4）在抛物线上，∴4＝－27a ，∴a ＝－ 4，27∴设抛物线的解析式为 y ＝－ 4 27 ∵CD 垂直于 y 轴，C （0，4）(x ＋3)(x －9)＝－ 4 27 x 2＋ 8x ＋4，9∴－ 4 27 x 2＋ 8x ＋4＝4，∴x ＝6，∴D （6，4）.92 2 2 yQMPN CDABOxyM ′ Q ′ P ′CDN ′ ABOx⎪⎩ ⎩ ⎩⎪ （2）如图 1，∵点 F 是抛物线 y ＝－ 4 27 x 2＋ 8x ＋4 的顶点，9∴F （3， 16 ），∴FH ＝ 4.3 3GH =FH4 ∵GH ∥A 1O 1，∴ AO FG ，∴ GH = 3 ，∴GH ＝1.1 13 4∵Rt △A 1O 1F 与矩形 OCDE 重叠部分是梯形 A 1O 1HG ，∴S ＝S－S ＝ 1 A O ×O F － 1 GH ×FH ＝ 1 ×3×4－ 1 ×1× 4 ＝ 16． 重叠部分 △A 1O 1F △FGH 2 1 1 1 22 23 3（3）①当 0＜t ≤3 时，如图 2，∵C 2O 2∥DE ，O G OO O G t 2 ∴ 2 = 2 ，∴ 2= ，∴O 2G ＝ t ，DE OE 4 6 3 ∴S ＝S ＝ 1 OO ×O G ＝ 12 ＝ 1 t 2，△OO 2G 2 2 2t × t 2 3 3 ②当 3＜t ≤6 时，如图 3，∵C 2H ∥OC ， ∴ DC 2 = C 2 H ，∴ 6 - t = C 2 H ，∴C 2H ＝ 2(6－t )， CD OC 6 4 3∴S ＝S 四边形 A 2O 2HG ＝S △A 2O 2C 2－S △C 2GH＝ 1 OA ×OC － 12 2C 2H ×(t －3) ＝ 1 ×3×4－ 1 × 2 2 2(6－t )(t －3) 3 ＝ 1t 2－3t ＋12 3∴当 0＜t ≤3 时，S ＝ 1 t 2，当 3＜t ≤6 时，S ＝ 1t 2－3t ＋12．3 ⎧- b 3 = -1 ⎪ 2a ⎧a = -1⎪ 16. 解：（1）依题意得： ⎨a + b + c = 0，解得⎨b = -2 ，⎪c = 3 ⎩∴抛物线解析式为 y ＝－x 2－2x ＋3.⎪c = 3∵对称轴为 x ＝－1，且抛物线经过 A （1，0），∴把 B （－3，0）、C （0，3）分别代入直线 y ＝mx ＋n ， ⎧-3m + n = 0 得⎨n = 3 ⎧m = 1 ，解得⎨n = 3 ，∴直线 y ＝mx ＋n 的解析式为 y ＝x ＋3.（2）设直线 BC 与对称轴 x ＝－1 的交点为 M ，则此时 MA ＋MC 的值最小． 把 x ＝－1 代入直线 y ＝x ＋3 得，y ＝2，∴M （－1，2），即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为（－1，2）. （3）设 P （－1，t ），又∵B （－3，0），C （0，3），∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10， ①若点 B 为直角顶点，则 BC 2＋PB 2＝PC 2， 即 18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得 t ＝－2；3 - 17 6 + 2 5 2 5⎩⎨ ②若点C 为直角顶点，则 BC 2＋PC 2＝PB 2， y 即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得 t ＝4， P③若点P 为直角顶点，则 PB 2＋PC 2＝BC 2， PC即 4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得 t 1＝ 3 + 217 ，t 2＝ 3 - 2 17 ；M综上所述 P 的坐标为（－1，－2）或（－1，4）或BAOx（－1， 2 ） 或（－1， ）． P217. 解：（1）把 A （－1，0），B （4，0），C （－2，－3）代入 y = ax 2 + bx + c 中， P⎧a = - 1 ⎪⎧a - b + c = 0 ⎪ 得⎪ ⎪ 3⎨16a + 4b + c = 0 ，解得⎨b = 2 ， ⎪4a - 2b + c = -3 ⎪ ⎪c = 2 ⎪⎩ 故二次函数的解析式为 y = - 1 x 2 + 3x + 2 .2 2（2） 设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ，⎧4k + b = 0 ⎧k = 1 1 则⎨-2k + b = -3 ，解得⎪ 2 ，∴ y = x - 2 . 2 ⎪⎩b = -2设点 E （m ， - 1 m 2 + 3m + 2 ）， -2 < m < 4 ， 2 2 则点 G （ -m 2 + 3m + 8 ， - 1 m 2 + 3m + 2 ）， 2 2∴ EG = (-m 2 + 3m + 8) - m = -m 2 + 2m + 8 . 易证△EFG ∽△DOB ，则△EFG 的周长 C与△DOB 的周长 C满足 C ∆EFG= EG ，易知 OD ＝2，OB ＝4，BD ＝ 2 △EFG，∴C ∆EFG= -m 2 + 2m + 8△DOB， C ∆DOB DB∴ C ∆EFG =3 5 + 5 (-m 2 + 2m + 8) = 3 5 + 5[-(m -1)2 + 9]. 5 5∴当 m ＝1 时，△EFG 的周长最大，最大值是 27 5 + 45 .5（3） 假设存在点 E ，使得△EDB 是以 BD 为直角边的直角三角形，设 E （a ， - 1 a 2 + 3a + 2 ）. 2 2 ①若∠EBD ＝90°，如图 1，过点 E 作 EF ⊥x 轴，垂足为 F ，则∠FBE ＋∠BEF ＝∠FBE ＋∠DBO ＝90°， ∴∠BEF ＝∠DBO ，∴△BEF ∽△DBO ，- 1 a 2 + 3a + 2 ∴ EF = BF ，∴ 22 = 4 - a，解得 a ＝3 或 a ＝4（舍去）， BO DO 4 2 此时 E （3，2）.3 + 17 5 yEAB OFxCD ⎩ 2②若∠EDB ＝90°，如图 2，过点 E 作 EF ⊥y 轴，垂足为 F ， 同理可得△DEF ∽△BDO ，-- 1 a 2 + 3 a + 2 - (-2) ∴ EF = DF ，∴ a = 2 2 ， DO BO 2 4 解得 a ＝－1 或 a ＝8，此时 E （－1，0）或 E （8，－18）. 故存在满足条件的点 E ， 点 E 的坐标为（3，2），（－1，0），（8，－18）.。

泰安市泰山区2016年中考数学模拟试卷含答案2016年山东省泰安市泰山区中考数学模拟试卷一、选择题（共20小题，每小题3分，满分60分）1．|﹣|的相反数是（）A．B．﹣C．3 D．﹣32．下列运算正确的是（）A．x3•x2=x5B．（x3）3=x6C．x5+x5=x10 D．x6﹣x3=x33．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．南海是我国的固有领土，2014年在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米．194亿用科学记数法表示为（）A．1.94×109B．0.194×1010C．19.4×109D．1.94×10105．如图，是由两个相同的圆柱组成的图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．6．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（）A．4 B．3C．4.5 D．57．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为4，大正方形面积为74，直角三角形中较小的锐角为θ，那么tanθ的值是（）A．B．C． D．9．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，有以下结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．不等式组的整数解（）个．A．3 B．4 C．5 D．611．方程（k﹣1）x2﹣x+=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥1B．k≤1C．k＞1 D．k＜112．某校春季运动会比赛中，八年级（1）班和（5）班的竞技实力相当．关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（）A．B．C．D．13．化简÷（1+）的结果是（）A．B．C．D．14．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（）A．B．πC．πD．15．如图，是某工件的三视图，其中圆的半径为10cm，等腰三角形的高为30cm，则此工件的侧面积是（）cm2．A．150π B．300π C．50πD．100π16．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．10海里/小时B．30海里/小时C．20海里/小时D．30海里/小时17．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（）A．53°B．37°C．47°D．123°18．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（）A．（，n）B．（m，n）C．（m，）D．（）19．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A．30 B．45 C．50 D．60y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴（）1 ﹣2 …B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点二、填空题（本大题共4个小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）21．计算：（﹣3）2×+（sin45°﹣1）0﹣（）﹣1+×=．22．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=．23．如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm（结果不取近似值）．24．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n表示）．三、解答题（本大题共5个小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．27．已知：A（m，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（x＞0）的交点．（1）求m的值；（2）若该一次曲线的图象分别与x、y轴交于E、F两点，且点A恰为E、F的中点，求该直线的解析式；（3）在（x＞0）的图象上另取一点B，作BK⊥x轴于K，在（2）的条件下，在线段OF上取一点C，使FO=4CO．试问：在y轴上是否存在点P，使得△PCA和△PBK的面积相等？若存在，求出所有可能的点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．29．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．2016年山东省泰安市泰山区中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共20小题，每小题3分，满分60分）1．|﹣|的相反数是（）A．B．﹣C．3 D．﹣3【考点】绝对值；相反数．【分析】一个负数的绝对值是它的相反数，求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．【解答】解：∵|﹣|=，∴的相反数是﹣．故选：B．2．下列运算正确的是（）A．x3•x2=x5B．（x3）3=x6C．x5+x5=x10 D．x6﹣x3=x3【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与合并同类项的知识求解，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、x3•x2=x5，故本选项正确；B、（x3）3=x9，故本选项错误；C、x5+x5=2x5，故本选项错误；D、x6﹣x3≠x3，故本选项错误．故选A．3．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．4．南海是我国的固有领土，2014年在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米．194亿用科学记数法表示为（）A．1.94×109B．0.194×1010C．19.4×109D．1.94×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将194亿用科学记数法表示为1.94×1010．故选D．5．如图，是由两个相同的圆柱组成的图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看立着的圆柱是一个圆，躺着的圆柱是一个矩形，并且矩形位于圆的右侧．故选C．6．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（）A．4 B．3C．4.5 D．5【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用．【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．【解答】解：∵点C′是AB边的中点，AB=6，∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=（9﹣BF）2，解得，BF=4，故选：A．7．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选：B．8．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为4，大正方形面积为74，直角三角形中较小的锐角为θ，那么tanθ的值是（）A．B．C． D．【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】由题意知小正方形的边长为2，大正方形的边长为．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2=（）2，解方程求得x=5，从而求出较长边的长度，再运用正切函数定义求解．【解答】解：由已知条件可知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2=（）2，解得x=5．则较长边的边长为x+2=5+2=7．故tanθ==．故选B．9．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，有以下结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】先证明△AEB≌△AFC得∠EAB=∠FAC即可推出③正确，由△AEM≌△AFN即可推出①正确，由△CMD≌△BND可以推出②正确，由△ACN≌△ABM可以推出④正确，由此即可得出结论．【解答】解：在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC，∴∠EAB=∠FAC，EB=CF，AB=AC，∴∠EAM=∠FAN，故③正确，在△AEM和△AFN中，，∴△AEM≌△AFN，∴EM=FN，AM=AN，故①正确，∵AC=AB，∴CM=BN，在△CMD和△BNC中，，∴△CMD≌△BND，∴CD=DN，故②正确，在△ACN和△ABM中，，∴△ACN≌△ABM，故④正确，故①②③④正确，故选D．10．不等式组的整数解（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出每个不等式的解集，在确定不等式组的解集，即可得整数解个数．【解答】解：解不等式﹣2x+1＜x+4，得：x＞﹣1，解不等式≤1，得：x≤4，∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤4，则不等式组的整数解有0、1、2、3、4这5个，故选：C．11．方程（k﹣1）x2﹣x+=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥1B．k≤1C．k＞1 D．k＜1【考点】根的判别式．【分析】假设k=1，代入方程中检验，发现等式不成立，故k不能为1，可得出此方程为一元二次方程，进而有方程有解，得到根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，且由负数没有平方根得到1﹣k大于0，得出k的范围，综上，得到满足题意的k的范围．【解答】解：当k=1时，原方程不成立，故k≠1，∴方程为一元二次方程，又此方程有两个实数根，∴b2﹣4ac=（﹣）2﹣4×（k﹣1）×=1﹣k﹣（k﹣1）=2﹣2k≥0，解得：k≤1，1﹣k＞0，综上k的取值范围是k＜1．故选D．12．某校春季运动会比赛中，八年级（1）班和（5）班的竞技实力相当．关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】根据题意可得等量关系：①（1）班得分×5=（5）班得分×6；②1）班得分=（5）班×2﹣40分，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意得：，故选：D．13．化简÷（1+）的结果是（）A．B．C．D．【考点】分式的混合运算．【分析】首先对括号内的式子通分相加，然后把除法转化成乘法，进行约分即可．【解答】解：原式=÷=•=．故选A．14．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（）A．B．πC．πD．【考点】几何概率．【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．【解答】解：∵如图所示的正三角形，∴∠CAB=60°，设三角形的边长是a，∴AB=a，∵⊙O是内切圆，∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，∴BO=tan30°AB=a，则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2，因此概率是a2÷a2=．故选C．15．如图，是某工件的三视图，其中圆的半径为10cm，等腰三角形的高为30cm，则此工件的侧面积是（）cm2．A．150π B．300π C．50πD．100π【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．【分析】根据给出的三视图，此工件是一个圆锥，此工件的侧面积展开图是扇形，根据扇形的面积计算．【解答】解：由题意知：展开侧面是一个扇形，扇形所在圆的半径是：=10（cm），扇形的弧长是：20π，∴工件的侧面积是×10×20π=100π（cm2）．故选D．16．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．10海里/小时B．30海里/小时C．20海里/小时D．30海里/小时【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】易得△ABC是直角三角形，利用三角函数的知识即可求得答案．【解答】解：∵∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=80°﹣20°=60°，∴∠C=90°，∵AB=20海里，∴AC=AB•cos30°=10（海里），∴救援船航行的速度为：10÷=30（海里/小时）．故选D．17．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（）A．53°B．37°C．47°D．123°【考点】平行四边形的性质．【分析】设EC于AD相交于F点，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠EFA的度数，再利用平行四边形的性质：即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出∠BCE的度数．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，∴∠E=90°，∵∠EAD=53°，∴∠EFA=90°﹣53°=37°，∴∠DFC=37∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCE=∠DFC=37°．故选B．18．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（）A．（，n）B．（m，n）C．（m，）D．（）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．【解答】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（）．故选D．19．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A．30 B．45 C．50 D．60【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据已知条件“过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D、，∠ABC=30°”、及直角三角形OBE的两个锐角互余求得∠BOE=60°；然后根据同弧BD所对的圆周角∠DCB是所对的圆心角∠DOB的一半，求得∠DCB 的度数．【解答】解：∵OD⊥BC，∠ABC=30°，∴在直角三角形OBE中，∠BOE=60°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵∠DCB=∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DCB=30°；故选A．y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴（）1 ﹣2 …B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】利用二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值．【解答】解：根据表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可以发现当x=0，x=2时，y的值都等于﹣＜0，又根据二次函数的图象对称性可得：x=1是二次函数y=ax2+bx+c的对称轴，此时y有最小值﹣2，再根据表中的数据，可以判断出y=0时，x＜﹣1或x＞2，因此判断该二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．故选B．二、填空题（本大题共4个小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）21．计算：（﹣3）2×+（sin45°﹣1）0﹣（）﹣1+×=25．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】分别进行乘方、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的乘法运算，然后合并求解．【解答】解：原式=3+1﹣3+24=25．故答案为：25．22．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【分析】首先根据题意推出△CAE≌△BCD，可知∠DCB=∠CAE，因此∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，所以∠FAG=30°，即可推出结论．【解答】解：∵AD=BE，∴CE=BD，∵等边三角形ABC，∴△CAE≌△DCB，∴∠DCB=∠CAE，∴∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，∵AG⊥CD，∴∠FAG=30°，∴FG：AF=．故答案为：．23．如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为（+1）cm（结果不取近似值）．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，那么△PBQ的周长最小，此时△PBQ 的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．【解答】解：连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，BO=OD，CD=2cm，∴点B与点D关于AC对称，∴BP=DP，∴BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ===cm，∴△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1（cm）．故答案为：（+1）．24．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1）（用n表示）．【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可．【解答】解：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），所以，点A4n+1（2n，1）．故答案为：（2n，1）．三、解答题（本大题共5个小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？【考点】分式方程的应用．【分析】首先设李老师每小时走x千米，则张老师每小时走（x+1）千米，根据关键描述语是：“比李老师早到半小时”可得等量关系为：李老师所用时间﹣张老师所用时间=，再由等量关系列出方程，解方程即可．【解答】解：设李老师每小时走x千米，依题意得到的方程：，解得x1=﹣6，x2=5，经检验x1=﹣6，x2=5都是原分式方程的解，但x1=﹣6不合题意舍去．所以张老师每小时走：5+1=6（千米），答：李老师每小时走5千米，张老师每小时走6千米．26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF=BD，∴AF=DC．（2）四边形ADCF是菱形，证明：AF∥BC，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=BC=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．27．已知：A（m，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（x＞0）的交点．（1）求m的值；（2）若该一次曲线的图象分别与x、y轴交于E、F两点，且点A恰为E、F的中点，求该直线的解析式；（3）在（x＞0）的图象上另取一点B，作BK⊥x轴于K，在（2）的条件下，在线段OF上取一点C，使FO=4CO．试问：在y轴上是否存在点P，使得△PCA和△PBK的面积相等？若存在，求出所有可能的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）把点A的横纵坐标代入反比例函数的解析式即可求得m的值；（2）由A点向两坐标轴作垂线，利用相似三角形的性质求得点E、F的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式即可；（3）设出B的坐标，利用CO和FO的关系求得C点的坐标，再利用两三角形面积相等得到有关y的关系式求得y的值即可作为P点的纵坐标．【解答】解：（1）∵A（m，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的交点∴2=，∴m=；（2）由（1）得A（，2），∴2=k+b，由题意可知：A是线段EF的中点，且E（﹣，0）F（0，b）则：A（，），∴=2即b=4，∴k=﹣，∴一次函数y=kx+b的解析式为：y=﹣+4；（3）由题意知：B、F坐标分别为（k，），（0，4），又4CO=FO，∴C点坐标为（0，1），设P点坐标为（0，y），则S△PCA=×|y﹣1|；又BK⊥x轴于k，S△PBK=；∵S△PCA=S△PBK，∴|y﹣1|=××k，∴y=﹣1或3．即存在点P且P点坐标为（0，﹣1）或（0，3）．28．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【考点】旋转的性质；直角三角形全等的判定；正方形的性质．【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1=∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AH⊥CG．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5=∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6=∠7；由图知∠AEB=∠CEH=90°﹣∠6，即∠7+∠CEH=90°，由此得证．【解答】解：（1）答：AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2；∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHG=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣90°=90°，∴AE⊥GC．（2）答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，∴∠1=∠2=90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG，∴∠5=∠4；又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°﹣∠DCE=180°﹣90°=90°，∴∠6=∠7，又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，∴∠CEH+∠7=90°，∴∠EHC=90°，∴AE⊥GC．29．如图，在直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△ DOC，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t， ①设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求出当△ CEF 与△ COD 相似时，点 P 的坐标； ②是否存在一点 P，使△ PCD 的面积最大？若存在，求出△ PCD 的面积的最大值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）先求出 A、B、C 的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式； （2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∠CEF=90°时，当∠CFE=90°时，根据相似三 角形的性质就可以求出 P 点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线 CD 的解析式，设 PM 与 CD 的交点为 N，根据 CD 的解析式表示出点 N 的坐标， 再根据 S△ PCD=S△ PCN+S△ PDN 就可以表示出三角形 PCD 的面积，运用顶点式就可以求出结论．【解答】解：（1）在 Rt△ AOB 中，OA=1，tan∠BAO= =3，∴OB=3OA=3． ∵△DOC 是由△ AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°而得到的， ∴△DOC≌△AOB， ∴OC=OB=3，OD=OA=1， ∴A、B、C 的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）． 代入解析式为，解得：．∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3，∴对称轴 l=﹣ =﹣1，∴E 点的坐标为（﹣1，0）． 如图，当∠CEF=90°时，△ CEF∽△COD．此时点 P 在对称轴上，即点 P 为抛物线的顶点，P（﹣1，4）； 当∠CFE=90°时，△ CFE∽△COD，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，则△ EFC∽△EMP．∴，∴MP=3EM． ∵P 的横坐标为 t， ∴P（t，﹣t2﹣2t+3）． ∵P 在第二象限， ∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t， ∴﹣t2﹣2t+3=﹣（t﹣1）（t+3），解得：t1=﹣2，t2=﹣3（因为 P 与 C 重合，所以舍去）， ∴t=﹣2 时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3． ∴P（﹣2，3）． ∴当△ CEF 与△ COD 相似时，P 点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）； ②设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线 CD 的解析式为：y= x+1． 设 PM 与 CD 的交点为 N，则点 N 的坐标为（t， t+1）， ∴NM= t+1． ∴PN=PM﹣NM=﹣t2﹣2t+3﹣（ t+1）=﹣t2﹣ +2． ∵S△ PCD=S△ PCN+S△ PDN， ∴S△ PCD= PN•CM+ PN•OM = PN（CM+OM） = PN•OC = ×3（﹣t2﹣ +2） =﹣ （t+ ）2+ ，∴当 t=﹣ 时，S△ PCD 的最大值为 ．2016 年 6 月 27 日。

2016年山东省泰安市新泰市中考数学一模试卷一、选择题（共20小题，每小题3分，满分60分）1．（3分）下列各式运算结果是负数的是（）A．﹣（﹣2）B．﹣|﹣20|C．2﹣2D．（﹣2）22．（3分）2015年羊年除夕夜，中央电视台春晚送红包活动中，送出微信红包约120 000 000个，将120 000 000用科学记数法表示应为（）A．0.12×109B．1.2×107C．1.2×108D．12×1073．（3分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列整式运算正确的是（）A．2x2﹣3x2=x2B．2x3•3x2﹣3x2•2x3=﹣x5C．2（﹣x）6÷（﹣x2）=4x4D．（2x2）3+2x6=10x65．（3分）如图四个几何体，其中，它们各自的主视图与俯视图不相同的几何体的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）不等式组的整数解的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．97．（3分）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠E=80°，那么∠A的大小为（）A．40°B．45°C．50°D．80°8．（3分）某工厂计划在规定时间内生产2400个零件，若每天比原计划多生产3个零件，则在规定时间内可以多生产30个零件，求原计划每天生产的零件个数．设原计划每天生产的零件个数为x个，由题意得（）A．=B．=C．=D．=9．（3分）在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A落在点A′（5，﹣1）处，则此平移可以是（）A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位10．（3分）小明对居住在某小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图，这组数据的众数和中位数分别是（）A．6，4 B．6，6 C．4，4 D．4，611．（3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，点E是斜边AB上的一点，作EF⊥AB交边BC于点F连结EC，若BE：EA=1：2，则∠ECF的余弦值为（）A．B．C．D．﹣12．（3分）有一箱子装有3张分别标示4、5、6的号码牌，已知小武以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个二位数，取出第1张牌的号码为十位数，第2张牌的号码为个位数，若先后取出2张牌组成二位数的每一种结果发生的机会都相同，则组成的二位数为6的倍数的机率为何？（）A．B．C．D．13．（3分）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=3厘米，EF=4厘米，则边BC的长是（）A．4厘米B．5厘米C．6厘米D．8厘米14．（3分）在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（0，2），点D的坐标是（，2），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发沿BA以每秒1个单位的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从B点出发沿折线B C→CD以每秒2个单位的速度做匀速运动，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动．设M、N两点的运动时间为x，△BMN的面积是y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．15．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，点C、D为⊙O上的点，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点E，若∠E=50°，则∠CDB等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°16．（3分）一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A．（30﹣50，30）B．（30，30﹣50）C．（30，30）D．（30，30）17．（3分）如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，BC=5，AE=6，则DE的长为（）A．4 B．3 C．4 D．18．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A． B．C．D．19．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2．其中正确的是（）A．②④B．①④C．②③D．①③20．（3分）已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是﹣或．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）21．（3分）当m=﹣，分式÷（1﹣）=．22．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则偶数k的最小取值为．23．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．24．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y 轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A6B7A7的周长是．三、解答题（共5小题，满分48分）25．（8分）某学校将“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干．若购买30条长跳绳和20条短跳绳共需720元，且购买10条长跳绳比12条短跳绳多花16元．（1）两种跳绳的单价各是多少元？（2）若学校一次性购买长、短跳绳共200条，要使总费用不超过3000元，最少可购买多少条短跳绳？26．（10分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（2，4），与y轴交于点A（0，﹣4），与x轴交于点C，PB⊥y轴于点B．（1）求一次函数、反比例函数的表达式；（2）在反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．27．（10分）如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF=∠CDE=90°．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB=AD=8，BF=6，求AE的长．28．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B．（1）求证：△CDF∽△BFE；（2）若EF∥CD，求证：2CF2=AC•CD．29．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y 轴交于点C（0，8），与x轴交于A，B两点，其中A（﹣2，0），B（6，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）若E是线段BC上一点，P是抛物线（在第一象限内的）上一点，EC=EP，且点E关于直线PC的对称点F在y轴上，求证：PE平行于y轴，并求出此时点P的坐标．2016年山东省泰安市新泰市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共20小题，每小题3分，满分60分）1．（3分）下列各式运算结果是负数的是（）A．﹣（﹣2）B．﹣|﹣20|C．2﹣2D．（﹣2）2【解答】解：∵﹣（﹣2）=2，﹣|20|=﹣1，，（﹣2）2=4，∴上面运算结果是负数的是：﹣|20|=﹣1，故选B．2．（3分）2015年羊年除夕夜，中央电视台春晚送红包活动中，送出微信红包约120 000 000个，将120 000 000用科学记数法表示应为（）A．0.12×109B．1.2×107C．1.2×108D．12×107【解答】解：120 000 000用科学记数法表示为1.2×108．故选：C．3．（3分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选：A．4．（3分）下列整式运算正确的是（）A．2x2﹣3x2=x2B．2x3•3x2﹣3x2•2x3=﹣x5C．2（﹣x）6÷（﹣x2）=4x4D．（2x2）3+2x6=10x6【解答】解：A、原式=﹣x2，错误；B、原式=6x5﹣6x5=0，错误；C、原式=﹣4x4，错误；D、原式=8x6+2x6=10x6，正确，故选D5．（3分）如图四个几何体，其中，它们各自的主视图与俯视图不相同的几何体的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：A、正方体的主视图是正方形，俯视图是正方形；B、三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形；C、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆；D、圆锥主视图是等腰形，俯视图是圆；主视图与俯视图不相同的几何体有3个，故选：C．6．（3分）不等式组的整数解的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：，解①得x＜3，解②得x≥﹣6．则不等式组的解集是：﹣6≤x＜3．则整数解是﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．共有9个．故选D．7．（3分）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠E=80°，那么∠A的大小为（）A．40°B．45°C．50°D．80°【解答】解：∵AB∥CD，∠C=125°，∴∠EFB=125°，∵∠E=80°，∴∠A=∠EFB﹣∠E=45°，故选B．8．（3分）某工厂计划在规定时间内生产2400个零件，若每天比原计划多生产3个零件，则在规定时间内可以多生产30个零件，求原计划每天生产的零件个数．设原计划每天生产的零件个数为x个，由题意得（）A．=B．=C．=D．=【解答】解：设原计划每天生产的零件个数为x个，由题意得：=，故选：A．9．（3分）在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A落在点A′（5，﹣1）处，则此平移可以是（）A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位【解答】解：根据A的坐标是（0，2），点A′（5，﹣1），横坐标加5，纵坐标减3得出，故先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，故选：B．10．（3分）小明对居住在某小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图，这组数据的众数和中位数分别是（）A．6，4 B．6，6 C．4，4 D．4，6【解答】解：6小时出现了20次，出现的次数最多，则众数为6；因为共有50个人，按大小顺序排列在中间的两个人的锻炼时间都为6小时，则中位数为6．故选：B．11．（3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，点E是斜边AB上的一点，作EF⊥AB交边BC于点F连结EC，若BE：EA=1：2，则∠ECF的余弦值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：过E作DE⊥BC，∵AC⊥BC，∴ED∥AC，∴==，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，∴BD=ED=DF，设BE=x，则有AE=2x，AB=3x，∴BD=ED=x，BC=x，即DC=BC﹣BD=x，∴EC=x，则cos∠ECF==，故选A12．（3分）有一箱子装有3张分别标示4、5、6的号码牌，已知小武以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个二位数，取出第1张牌的号码为十位数，第2张牌的号码为个位数，若先后取出2张牌组成二位数的每一种结果发生的机会都相同，则组成的二位数为6的倍数的机率为何？（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图得：∵每次取一张且取后不放回共有6种可能情况，其中组成的二位数为6的倍数只有54，∴组成的二位数为6的倍数的机率为．故选：A．13．（3分）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=3厘米，EF=4厘米，则边BC的长是（）A．4厘米B．5厘米C．6厘米D．8厘米【解答】解：∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°，同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四边形EFGH为矩形．∵BC=BF+CF=FM+NF=FM+MH=HF，HF===5（厘米），∴AD=5厘米．故选B．14．（3分）在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（0，2），点D的坐标是（，2），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发沿BA以每秒1个单位的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从B点出发沿折线BC→CD以每秒2个单位的速度做匀速运动，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动．设M、N两点的运动时间为x，△BMN的面积是y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当0＜x≤2时，如图1：连接BD，AC，交于点O′，连接NM，过点C作CP⊥AB垂足为点P，∴∠CPB=90°，∵四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（0，2），点D的坐标是（，2），∴BO′=2，CO′=2，∴BC=AB==4，∵AC=4，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴CP=BC•sin60°=4×=2，BP=2，BN=2x，BM=x，，，∴，又∵∠NBM=∠CBP，∴△NBM∽△CBP，∴∠NMB=∠CPB=90°，∴y=•x•x=x2，当2＜x≤4时，如图2：作NE⊥AB，垂足为E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴NE=CP=2，BM=x，∴y==，∴y=．故选D．15．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，点C、D为⊙O上的点，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点E，若∠E=50°，则∠CDB等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【解答】解：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∵∠E=50°，∴∠COE=90°﹣50°=40°，∴∠CDB=∠COE=20°．故选A．16．（3分）一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A．（30﹣50，30）B．（30，30﹣50）C．（30，30）D．（30，30）【解答】解：过点A作AC⊥x轴于C．在直角△OAC中，∠AOC=30°，OA=4×15=60海里，则AC=OA=30海里，OC=30海里．因而A所在位置的坐标是（30，30）．小岛B在A的正西50海里处，因而小岛B所在位置的坐标是（30﹣50，30）．故选：A．17．（3分）如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，BC=5，AE=6，则DE的长为（）A．4 B．3 C．4 D．【解答】解：∵OD⊥AC，∴AE=CE=6，∵AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB===13，∵OA=OB，AE=CE，∴OE为△ABC的中位线，∴OE=BC=2.5，∴DE=OD﹣OE=×13﹣2.5=4．故选C．18．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A． B．C．D．【解答】解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx 来说，图象开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx 来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．故选：C．19．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2．其中正确的是（）A．②④B．①④C．②③D．①③【解答】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，∴AD=AF，∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°﹣∠DAE=45°，∴∠DAE=∠FAE，AE为△AED和△AEF的公共边，∴△AED≌△AEF∴ED=FE在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，又∵∠ACB=∠ABF，∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，∴在Rt△FBE中BE2+BF2=FE2，∴BE+DC=DE③显然是不成立的．故正确的有①④，不正确的有③，②不一定正确．故选B20．（3分）已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是﹣或．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵x＞0时，函数y2的图象在上面，∴y2＞y1，故①错误．当x＜0时，M的值=y1或y2，∵x＜0，y随x增大而增大，∴x值越大，M值越大，故②正确．刚才图象可知M的最大值为2，∴使得M大于2的x值不存在，故③正确，y2=1时，x=﹣，y1=1时，x=±，观察图象可知：x=﹣或时，M=1，故④正确．故选D．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）21．（3分）当m=﹣，分式÷（1﹣）=﹣1．【解答】解：原式=÷=•=，当m=﹣时，原式===﹣1．故答案是：﹣1．22．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则偶数k的最小取值为4．【解答】解：由已知得：，解得：k＞且k≠2，∵k为偶数，∴k的最小值为4．故答案为：4．23．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为π﹣4（结果保留π）．【解答】解：设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积=π×4+π×1﹣4×2÷2=π﹣4．24．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y 轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A6B7A7的周长是192．【解答】解：当x=0时，y=1，则B（0，1），当y=0时，x=﹣，则A（﹣，0），∴OA=，OB=1，∵tan∠OAB===，∴∠OAB=30°，∵△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，∴∠A1OB1=∠A2A1B2=∠A3A2B3=60°，∴∠OB1A=∠AB2A1=∠AB3A2=30°，∴OB1=OA=，A1B2=AA1，A2B3=AA2，则OA1=OB1=，A1B2=AA1=2，∴A1A2=A1B2=AA1=2OA1=2，同理：A2A3=A2B3=2A1A2=4，A3A4=2A2A3=8，A4A5=2A3A4=16，A5A6=2A4A5=32∴A6A7=2A5A6=64，∴△A6B7A7的周长是：3×64=192，故答案为：192．三、解答题（共5小题，满分48分）25．（8分）某学校将“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干．若购买30条长跳绳和20条短跳绳共需720元，且购买10条长跳绳比12条短跳绳多花16元．（1）两种跳绳的单价各是多少元？（2）若学校一次性购买长、短跳绳共200条，要使总费用不超过3000元，最少可购买多少条短跳绳？【解答】解：（1）设长绳的单价为x元/条，短绳的单件为y元/条，根据题意，得：，解得：，答：长绳的单价为16元/条，短绳的单件为12元/条．（2）设可购买m条短绳，则可购买（200﹣m）条长绳，根据题意，得：12m+16（200﹣m）≤3000，解得：m≥50，答：最少可购买50条短跳绳．26．（10分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（2，4），与y轴交于点A（0，﹣4），与x轴交于点C，PB⊥y轴于点B．（1）求一次函数、反比例函数的表达式；（2）在反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）将点A（0，﹣4）、点P（2，4）代入到一次函数y=kx+b中得：，解得：，∴一次函数表达式为y=4x﹣4．将点P（2，4）代入反比例函数y=（x＞0）中得：4=，解得：m=8．∴反比例函数的表达式为y=．（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示．令y=4x﹣4中y=0，则有0=4x﹣4，解得：x=1，∴点C的坐标为（1，0）．∵四边形BCPD为菱形，∴BP⊥CD，且CD=2OB，∵点P（2，4），∴点B（0，4），OB=4，CD=8，又∵点C（1，0），∴点D（1，8）．将x=1代入反比例函数y=中，得：y==8，即点D在反比例函数图象上，∴在反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，点D的坐标为（1，8）．27．（10分）如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF=∠CDE=90°．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB=AD=8，BF=6，求AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA），∴BF=DE，∠AFB=∠CED∴BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：连接BD交AC于G，如图所示：∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴四边形BEDF是菱形，∴BE=BF=6，EG=FG，∵∠ABF=90°，AB=AD=8，BF=6，∴AF==10，∵△ABF的面积=AF•BG=AB×BF，∴BG==，∴EG==，∴AE=AF﹣2EG=10﹣2×=．28．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B．（1）求证：△CDF∽△BFE；（2）若EF∥CD，求证：2CF2=AC•CD．【解答】（1）证明：∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠C+∠FDC，∴∠EFB=∠FDC，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴△CDF∽△BFE；（2）解：∵EF∥CD，∴∠EFD=∠FDC，∵∠B=∠C，∠FDC=∠B∴∠FDC=∠C=∠B，∴△CDF∽△BCA，∴，∵BC=2CF，DF=CF，∴，∴2CF2=AC•CD．29．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y 轴交于点C（0，8），与x轴交于A，B两点，其中A（﹣2，0），B（6，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）若E是线段BC上一点，P是抛物线（在第一象限内的）上一点，EC=EP，且点E关于直线PC的对称点F在y轴上，求证：PE平行于y轴，并求出此时点P的坐标．【解答】（1）解：∵点C（0，8）ZA在抛物线y=ax2+bx+c上，∴c=8又∵A（﹣2，0），B（6，0）在抛物线y=ax2+bx+8上，把（﹣2，0），（6，0）代入解析式得解得∴抛物线的表达式为：y=2+（2）证明：∵E和F关于直线PC对称∴∠FCP=∠ECP∵EC=EP∴∠EPC=∠ECP∴∠FCP=∠EPC∴PE∥y轴设线段BC的解析式为y=kx+b，把B（6，0），C（0，8）代入得，解得∴线段BC的解析式为y=﹣x+8（0≤x≤6）设P（x，﹣x2+x+8）则E（x，﹣x+8）∴PE的距离为（﹣x2+x+8）﹣（﹣x+8）=﹣x2+4x过点E作EG⊥y轴于点，∴GE∥OB∴∴CE=EG 即CE=x由PE=EC得x2+4x=x解得：x1=x2=0（舍去），此时点P到x轴的距离为∴点P的坐标为（）。