高一数学必修一《恒成立与存在性问题》专题复习完美

函数与导数

14 导数及其应用 恒成立及存在性问题

一、具体目标：

1.导数在研究函数中的应用：

①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.

2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。

考点透析：

1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；

2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；

3.适度关注生活中的优化问题.

3.备考重点：

(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；

(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.

二、知识概述：

一）函数的单调性：

1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果0)(xf，则函数y=f(x)为增函数；如果f ' (x)<0，则函数y＝f(x)为减函数；如果恒有f ' ( x)＝0，则y=f(x)为常函数.

2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．

3.f(x)在区间I上可导，那么0)(xf是f(x)为增函数的充分条件，例如f(x)=x3是定义于R的增函数，

但 f '(0)=0，这说明f '(x)>0非必要条件．)(xf为增函数，一定可以推出0)(xf，但反之不一定．

4. 讨论可导函数的单调性的步骤：

（1）确定)(xf的定义域； 【考点讲解】

（2）求)(xf，令0)(xf，解方程求分界点；

- 1 - 函数与方程与恒成立、存在性问题练习

1当1(,3)||13axlogx时，恒成立，则实数a的范围是____

2.已知2sincos0axx，xR恒成立，则a的范围为

3.若关于x的不等式axx21恒成立，试求a的范围为

4.方程x(x-1)=a有四个不相等的实数解求实数a的范围为

5.如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，π2]上有解，求a的取值范围为

6.sinx=lgx的实数解的个数为

7.已知函数2xya有零点，则实数a的取值范围为

8.已知关于x的方程2log20,1axaa有两解，则实数a的范围为

9．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（k，k+1）内则k的值为

10.已知函数f x =x2−1,g x =a x−1 .

(1)若关于x的方程 f(x) =g(x)只有一个实数解，求实数a的取值范围；（a<0）

(2)若x∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围。(a≤−2)

11. 已知函数axaxxf21)(2（a是常数且Ra）

（1）若函数)(xf的一个零点是1，求a的值；（2）求)(xf在2,1上的最小值)(ag；

（3）记0)(xfRxA若A，求实数a的取值范围.

解(1) 由题意知32022)1(aaaf …………………2分

（2）2,1,12)(2xaxaxxf

ⅰ 当0a时3)2()(fag ………………3分

ⅱ 当 0a时，对称轴为021ax 36)2()(afag

“恒成立成绩”与“存在性成绩”的基本解题计谋之杨若古兰创作

一、“恒成立成绩”与“存在性成绩”的基本类型

恒成立、能成立、恰成立成绩的基本类型

1、恒成立成绩的转化：afx恒成立maxafx；minafxafx恒成立

2、能成立成绩的转化：afx能成立minafx；maxafxafx能成立

3、恰成立成绩的转化：afx在M上恰成立afx的解集为MRafxMafxCM在上恒成立在上恒成立

另一转化方法：若AxfDx)(,在D上恰成立，等价于)(xf在D上的最小值Axf)(min，若,DxBxf)(在D上恰成立，则等价于)(xf在D上的最大值Bxf)(max.

4、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmin

5、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmax

6、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmax

7、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmin

8、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则AB.

9、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方；

10、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方；

1 近年高考热点及难点问题

—— 恒成立、存在性问题题型及解法

“存在性”与“恒成立”问题是近年来高考中的热点及难点问题，这类题目是逻辑问题，也是对选修中“推理与证明”的理性的考查，表现形式一般是函数的问题，对于这类问题的区分与解法下面举例说明。

已知函数]1,0[,274)(2xxxxf,函数)1(],1,0[,23)(23axaxaxxg.

易知,axgaaxf2)(321,3)(42。

（1）若对任意的]1,0[1x，总存在]1,0[0x，使)()(10xfxg成立，求a的取值范围.

略解：由题意，]2,321[]3,4[2aaa，解得，231a.

（2）若存在]1,0[,21xx，使得)()(21xgxf成立，求a的取值范围.

略解：只要两个函数的值域交集不空即可，即142aa，∴ 21a.

（3）若存在]1,0[,21xx，使得)()(21xgxf成立，求a的取值范围.

略解：只要minmax)()(xgxf，即132132aaa，∴ 1a.

（4）若对任意的]1,0[1x，总存在]1,0[2x，使)()(21xgxf成立，求a的取值范围.

略解：只要minmin)()(xgxf，即132142aaa，∴ 1a.

（5）若对任意的]1,0[1x，总存在]1,0[2x，使)()(21xgxf成立，求a的取值范围.

略解：只要maxmax)()(xgxf，即132aa，∴ 231a.

（6）若对任意的]1,0[,21xx，都有)()(21xgxf成立，求a的取值范围.

略解：（这是恒成立问题）只要minmax)()(xgxf，解得a.

（7）若对任意的]1,0[,21xx，都有)()(21xgxf成立，求a的取值范围. 2 略解：（这是恒成立问题）只要maxmin)()(xgxf，解得2a.