第一章集合与函数概念
知识架构
第一讲 集合
★知识梳理
一：集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；
3.集合中元素与集合的关系：
文字语言 符号语言
属于 ∈
不属于
∉
4.常见集合的符号表示
数集 自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集 复数集
符号
N *N 或+
N
Z
Q
R C
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A 与集合B 中的所有元素
都相同
B A ⊆且A ⊆B ⇔ B A =
子集 A 中任意一元素均为B 中的元素
B A ⊆或A B ⊇
真子集
A 中任意一元素均为
B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素
A
B
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
A ⊆φ，φ
B （φ≠B ）
三：集合的基本运算
①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A
B ={}x x A x B ∈∈或;
③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}
x x U x A ∈∉且
交 并 补
{|,}A B x x A x B =∈∈且 {|,}A B x x A x B =∈∈或
U C A ={}x x U x A ∈∉且
★重、难点突破
重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合
的交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法
（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{}
)(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：
问题：已知集合221,1,9432x y x y M x
N y ⎧⎫⎧⎫
=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
则M N=（ ） A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2
[错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ，集合N 表示直线12
3=+y
x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B
[正解] C ； 显然{}
33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M
(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用
Venn 图。
3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆
（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆ 4．集合的运算性质
（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ⊆ ，B B A ⊆ ⑤B A A B A ⊆⇔= ；
（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ⊇ ，B B A ⊇ ⑤A B A B A ⊆⇔= ； （3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U ；U A C A U =
②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =
★热点考点题型探析
考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征
[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设
{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）
A ．0；
B ．2；
C ．3；
D ．6
[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的元素
[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知
A B *={}4,2,0，故应选择D
【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。 题型2：集合间的基本关系
[例2]．数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（ ）
A ．X Y ；
B ．Y X ；
C ．Y X =；
D ．Y X ≠
[解题思路]可有两种思路：一是将X 和Y 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。
[解析] 从题意看，数集X 与Y 之间必然有关系，如果A 成立，则D 就成立，这不可能； 同样，B 也不能成立；而如果D 成立，则A 、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。 [新题导练]
1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）
A ．
B A ⊆ B.
C B ⊆ C.C B A = D. A C B = [解析]
D ；因为全集为A ，而C B =全集=A
2．(2006•山东改编）定义集合运算:{
}
B y x xy y x B ∈∈+==⊗A,,z A 2
2,设集合
{}1,0A =,{}3,2=B ,则集合B ⊗A 的所有元素之和为
