2.3.1直线与平面垂直的判定(公开课)ppt课件

2．3.1 直线与平面垂直的判定

教学过程

直线与平面的垂直

[提出问题]鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常常遇到有关直角的问题．虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事．于是，鲁班对矩进行改进，做成一把叫做曲尺的“L”形木尺．现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．

问题1：用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？

提示：不能．

问题2：上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？

提示：直线垂直于平面内的两条相交直线．

问题3：若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平面垂直吗？

提示：不一定．

[导入新知]

1．直线与平面垂直的定义

(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

(2)图形语言：如图．

画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。

(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.

2．直线与平面垂直的判定定理

(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

(2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.

[化解疑难]

1．关于直线与平面垂直的定义的理解：

(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直。

(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式。

(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法。

(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为l⊥α.

§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定

学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.会用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直.

知识点一 直线与平面垂直的定义

定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

记法 l⊥α

有关

概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足

图示

画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

思考 空间两条直线垂直一定相交吗？

答案 不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异面垂直.

知识点二 直线与平面垂直的判定定理

文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α

图形语言

知识点三 直线与平面所成的角

有关概念

对应图形

斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA

斜足 斜线和平面的交点，图中点A

射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO

直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°

取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°

1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.( × )

2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( × )

3.直线与平面所成角为α，则0°

4.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.( √ )

题型一 直线与平面垂直的定义及判定定理的理解

第 1 页 共 8 页 课题一：直线与平面垂直的判定

一、教学目标

1.掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；

2.掌握判定直线和平面垂直的方法；

3.培养几何直观能力，在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

二、教学重点、难点

直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。

三、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

1、提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”。

2、指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。

（二）研探新知

1、长方体模型

（1）感知直线与平面的垂直关系。

（2）能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？概括其定义。

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。

L

p

α

图2-3-1

2、提出问题，思考：

（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？

（2）活动：准备一块三角形的纸片，做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？ 第 2 页 共 8 页 A

B D C

A a

b l

A B C D1A 1B 1C 1D

E F H  P l B A

C D 1A 1D

1C 1B

OP

A B EC 2.3.1 直线与平面垂直的判定

一、课程标准要求

1．理解直线与平面垂直的定义；

2．理解并掌握直线与平面垂直的判定；

3．能运用定理和已获得的结论解决直线和平面垂直的问题.

二、自主课前预习

1．异面直线垂直的定义：若a、b是异面直线，过a上任意一点作bc//，如果 ，则称异面直线a、b互相垂直，记作 .

2．直线与平面垂直：

（1）定义：如果直线l与平面内的 直线都垂直，那么直线l与平面互相垂直，记作 .直线l叫做平面的 ，平面叫做直线l的 .它们惟一的公共点叫做 ；

（2）画法：画直线与平面

垂直时，通常把直线画成与表

示平面的平行四边形的一边垂

直，如图所示.

3．直线和平面垂直的判定定理：

如果一条直线垂直于一个平面内的两条

直线，那么这条直线就与这个平面 ；

用符号语言描述（如图）：



；

可简述为：  .

4．在三棱锥ABCP中，PA、BA、CA两两互相垂直，则图中的线面垂直关系有 ；

5．在正方体1111DCBAABCD中，

（1）与直线CD垂直的平面是 ；

（2）与平面11AABB垂直的直线是 .

三、例题精选

例1．如图，在正方体1111DCBAABCD中，求证：AC平面11BBDD.

例2．如图，已知PA平面ABC，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点，PCAE于E.

求证：AE平面PBC.

例3．如图，已知长方体1111DCBAABCD的底面ABCD为正方形，E为线段1AD的中点，F为1BD的中点.（1）求证：EF平面11BBCC；（2）设H为线段1CC的中点，当ADDD1为多少时，DF平面HBD1?并说明理由.